(第一课时)
一.教学目标
1.理解并掌握实数与向量的积的意义.
2.理解两个向量共线的充要条件,能根据条件判断两个向量是否共线;
3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了解事物运动变化的辩证思想.
二.教学重点:实数与向量的积的定义、运算律,向量共线的充要条件;
教学难点:理解实数与向量的积的定义,向量共线的充要条件;
三.教学具准备
直尺、投影仪.
四.教学过程
1.设置情境
我们知道,位移、力、速度、加速度等都是向量,而时间、质量等都是数量,这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现,如力与加速度的关系f=ma,位移与速度的关系s=vt.这些公式都是实数与向量间的关系.
师:我们已经学习了向量的加法,请同学们作出和向量,(已知向量已作在投影片上),并请同学们指出相加后,和的长度与方向有什么变化?这些变化与哪些因素有关?
生:的长度是的长度的3倍,其方向与的方向相同,的长度是长度的3倍,其方向与的方向相反.
师:很好!本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题,(板书课题:实数与向量的乘积(一))
2.探索研究
师:请大家根据上述问题并作一下类比,看看怎样定义实数与向量的积?可结合教材思考.
生:我想这样规定:实数与向量的积就是,它还是一个向量.
师:想法很好.不过我们要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行.
实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下:
(1)
(2)时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;特别地,当或时,
下面我们讨论作为数乘向量的基本运算律:
师:求作向量和(为非零向量)并进行比较,向量与向量相等吗?(引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较)
生:,
师:设、为任意向量,,为任意实数,则有:
(1)(2)(3)
通常将(1)称为结合律,(2)(3)称为分配律,有时为了区别,也把(2)叫第一分配律,(3)叫第二分配律.
请看例题
【例1】计算:(1),(2).
(3)
解:(1)原式
(2)原式
(3)原式.
下面我们研究共线向量与实乘向量的关系.
师:请同学们观察,,有什么关系.
生:因为,所以、是共线向量.
师:若、是共线向量,能否得出?为什么,可得出吗?为什么?
生:可以!因为、共线,它们的方向相同或相反.
师:由此可得向量共线的充要条件.向量与非零向量共线的充分必要条件是有且仅有一个实数,使得
此即教材中的定理.
对此定理的证明,是两层来说明的.
其一,若存在实数,使,则由实数与向量乘积定义中的第(2)条知与共线,即与共线.
其二,若与共线,且不妨令,设(这是实数概念).接下来看、方向如何:①、同向,则,②若、反向,则记,总而言之,存在实数(或)使.
【例2】如图:已知,,试判断与是否共线.
解:∵
∴与共线.
练习(投影仪)
设、是两个不共线向量,已,,若、、三点共线,求的值.
参考答案
∵、、三点共线.
∴、共线存在实数,使
即
∴,
3.练习反馈(投影仪)
(1)若为的对角线交点,,,则等于()
A.B.C.D.
(2)在△中,点、、分别是边、、的中点,那么.
(3)如图所示,在平行四边形中,是中点,点是上一点,求证、、三点共线.
参考答案:
(1)B;(2);
(3)设,则又,∴∴、、共线.
4.总结提炼
(1)与的积还是向量,与是共线的.
(2)一维空间向量的基本定理的内容和证明思路,也是应用该定理解决问题的思路.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.
(3)运算律暗示我们,化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项.
五.板书设计
1.实数与向量的积定义
2.运算律
①
②
③
3.向量共线定理
例1
2
演练反馈
总结提炼
课题:1.1集合
教学目的:知识目标:(1)使学生初步理解集合的概念,知道常用数集的
概念及其记法
.(2)使学生初步了解“属于”关系的意义
.(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
能力目标:(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力
的培养;
(2)启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立
思考,学会分析问题和创造地解决问题;
(3)通过教师指导发现知识结论,培养学生抽象概
括能力和逻辑思维能力;
教学重点:集合的基本概念及表示方法
教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示
一些简单的集合
授课类型:新授课
课时安排:2课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习导入:
1.简介数集的发展,复习最大公约数和最小公倍数,质数与和数;
2.教材中的章头引言;
3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家);
4.“物以类聚”,“人以群分”;
5.教材中例子(P4)。
二、新课讲解:
阅读教材第一部分,问题如下:
(1)有那些概念?是如何定义的?
(2)有那些符号?是如何表示的?
(3)集合中元素的特性是什么?
(一)集合的有关概念(例题见课本):
1、集合的概念
(1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合。
(2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素。
2、常用数集及其表示方法
(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合。记作N
(2)正整数集:非负整数集内排除0的集。记作N*或N+
(3)整数集:全体整数的集合。记作Z
(4)有理数集:全体有理数的集合。记作Q
(5)实数集:全体实数的集合。记作R
注意:(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括
数0。
(2)非负整数集内排除0的集。记作N*或N+。Q、Z、R等其它
数集内排除0的集,也是这样表示,例如,整数集内排除0
的集,表示成Z*
3、元素对于集合的隶属关系
(1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A
(2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作
4、集合中元素的特性
(1)确定性:按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里,
或者不在,不能模棱两可。
(2)互异性:集合中的元素没有重复。
(3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)
注:1、集合通常用大写的拉丁字母表示,如A、B、C、P、Q……
元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q……
2、“∈”的开口方向,不能把a∈A颠倒过来写。
练习题
1、教材P5练习
2、下列各组对象能确定一个集合吗?
(1)所有很大的实数。(不确定)
(2)好心的人。(不确定)
(3)1,2,2,3,4,5.(有重复)
阅读教材第二部分,问题如下:
1.集合的表示方法有几种?分别是如何定义的?
2.有限集、无限集、空集的概念是什么?试各举一例。
(二)集合的表示方法
1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的
方法。
例如,由方程的所有解组成的集合,可以表示为{-1,1}
注:(1)有些集合亦可如下表示:
从51到100的所有整数组成的集合:{51,52,53,…,100}
所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,…}
(2)a与{a}不同:a表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只
有一个元素。
描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条
件写在大括号内表示集合的方法。
格式:{x∈A|P(x)}
含义:在集合A中满足条件P(x)的x的集合。
例如,不等式的解集可以表示为:或
所有直角三角形的集合可以表示为:
注:(1)在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分。
如:{直角三角形};{大于104的实数}
(2)错误表示法:{实数集};{全体实数}
3、文氏图:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
注:何时用列举法?何时用描述法?
(1)有些集合的公共属性不明显,难以概括,不便用描述法表示,只能用列举法。
如:集合
(2)有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来,或者不便于、不需要一一列举出来,常用描述法。
如:集合;集合{1000以内的质数}
注:集合与集合是同一个集合
吗?
答:不是。
集合是点集,集合=是数集。
(三)有限集与无限集
1、有限集:含有有限个元素的集合。
2、无限集:含有无限个元素的集合。
3、空集:不含任何元素的集合。记作Φ,如:
练习题:
1、P6练习
2、用描述法表示下列集合
①{1,4,7,10,13}
②{-2,-4,-6,-8,-10}
3、用列举法表示下列集合
①{x∈N|x是15的约数}{1,3,5,15}
②{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}{(1,1),(1,2),(2,1)(2,2)}
注:防止把{(1,2)}写成{1,2}或{x=1,y=2}
③
④{-1,1}
⑤{(0,8)(2,5),(4,2)}
⑥
{(1,1),(1,2),(1,4)(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4)}
三、小结:本节课学习了以下内容:
1.集合的有关概念
(集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集)
2.集合的表示方法
(列举法、描述法、文氏图共3种)
3.常用数集的定义及记法
四、课后作业:教材P7习题1.1
introduction,readingandvocabulary学案导学learningaimsanddemands1.toleadthestudentstointroducethemselves2.toleadthestudentstogetfamiliarwithsomewordsofsubjects3.toleadthestudentstoexpresstheirlikesanddislikesself-learningprocedures:step1:trytointroduceyourselftoyourclass.herearesomeusefulexpressionstohelpyou:mynameis…iama…iwasbornon/in…igraduatedfrom……
ilike/amgoodat/amfondof…
ihope/think/want…step2:trytospeakoutandwritethesubjectsyoulearntatyourjuniorhigh.trytoguesswhatsubjectsyouwilllearnatyourseniorhigh.step3:trytousethefollowingsentencepatternstoexpressyourlikesanddislikes:ilike/hate/don’tlike______because_____________.ithink____isimportant/difficultbecause________.iwouldliketostudy__________because____________.iwouldn’tliketostudy_________because_____________.step4:self-testlwriteashortself-introduction.lwritethenamesofyourlearningsubjects.lmakesentencestotalkaboutthingsyoulikeanddislike.
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