4.6两角和与差的正弦、余弦、正切(第一课时)
(一)教具准备
直尺、圆规、投影仪
(二)教学目标
1.掌握公式的推导,并能用赋值法,求出公式.
2.应用公式,求三角函数值.
(三)教学过程
1.设置情境
上一单元我们学习了同一个角的三角函数的性质以及各三角函数之间的相互关系.本节开始讨论两个角的三角函数,已知任意角的三角函数值,如何求出,或的三角函数值,这一节课我们将研究、.
2.探索研究
(1)公式、推导.
请大家考虑,如果已知、,怎样求出?
是否成立.
生:不成立,,等式就不成立.
师:很好,把写成是想应用乘法对加法的分配律,可是是角的余弦值,并不是“”乘以,不能应用分配律.
事实上如果都是锐角,那么总有.
考虑两组数据
①,这时,而
②,这时,而
从这组数据我们发现不能由、直接得出.师:如果我们再算出,,试试看能否找到什么关系.
生:①,,,,
而
②,,,,
而
由(1)、(2)可得出,
师:这位同学用具体的例子得到的一个关系式:
只有通过严格的理论证明才行.下面给出证明:为了证明它,首先给出两点间的距离,图1(也可以利用多媒体课件演示).考虑坐标平面内的任意两点,过点分别作轴的垂线,,与轴交于点,;同理,
那么,,由勾股定理,由此得到平面内两点间的距离公式
师:(可以用课件演示)如右图2,在直角坐标系内作单位圆,并作出角、与请同学们把坐标系中,,,各点的坐标用三角函数表示出来.
生:,,,
师:线段与有什么关系?为什么?
生:因为△≌△,所以.
师:请同学们用两点间的距离公式把表示出来并加以整理.
展开并整理,得
所以(记为)
这个公式对任意的,均成立,如果我们把公式中的都换成,又会得到什么?
生:
即
(记为)
(2)例题分析
【例1】不查表,求及的值.
因为题目要求不查表,所以要想办法用特殊角计算,为此化成,化成,请同学们自己利用公式计算.
注:拆角方法并不惟一.事实上,如果求出,那么,再者,也可写成,甚至等均可以.
【例2】已知,,,,求的值.
分析:观察公式要算应先求出,.
解:由,得
又由,得
【例3】不查表,求下列各式的值:
(1);
(2);
(3).
解:(1)
(2)
(3)
【例4】证明公式:
(1);(2)
证明:(1)利用可得
∴
(2)因为上式中为任意角,故可将换成,就得
即
练习(投影、学生板演)
(1)
(2)已知,,求
解答:
(1)逆用公式
(2)凑角:∵,∴,故
.
说明:请同学们很好体会一下,上述凑角的必然性和技巧性,并能主动尝试训练,以求熟练。
3.演练反馈
(1)的值是()
A.B.C.D.
(2)等于()
A.0B.C.D.2
(3)已知锐角满足,,则为()
A.B.C.或D.,
参考答案:(1)B;(2)B;(3)A.
4.总结提炼
(1)牢记公式“”结构,不符合条件的要能通过诱导公式进行变形,使之符合公式结构,即创造条件用公式.
(2)在“给值求值”题型中,要能灵活处理已、未知关系,如已知角、的值,求,应视、分别为已知角,为未知角,并实现“”与“”及“”之间的沟通:.
(3)利用特值代换证明,,体会的强大功能.
(四)板书设计
1.平面内两点间距离公式
2.两角和余弦公式及推导
例1
例2
例3
例4
练习反馈
总结提炼
一.教学目标
1.理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义,并能用数学符号表示向量;
2.理解向量的几何表示,会用字母表示向量;
3.了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义,并会判断向量的平行、相等、共线;
4.通过对向量的学习,使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识,培养学生进行唯物辩证思想.
二.教学具准备
直尺、投影仪.
三.教学过程
1.设置情境
师:(边画图边讲解)美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令:向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹(精度10米左右,射程超过2000公里),试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标?
生:不能,因为没有给定发射的方向.
师:现实生活中还有哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向?
生:力、速度、加速度等有大小也有方向,温度和长度只有大小没有方向.
师:对!力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.数学中用点表示位置,用射线表示方向.常用一条有向线段表示向量.在数学中,通常用点表示位置,用射线表示方向.
(1)意义:既有大小又有方向的量叫向量。例:力、速度、加速度、冲量等
(2)向量的表示方法:
①几何表示法:点和射线
有向线段——具有一定方向的线段
有向线段的三要素:起点、方向、长度
符号表示:以A为起点、B为终点的有向线段记作(注意起讫).
②字母表示法:可表示为(印刷时用黑体字)
例用1cm表示5nmail(海里)
(3)模的概念:向量的大小——长度称为向量的模。
记作:||,模是可以比较大小的
注意:①数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初,向量就成为一套优良通性的数学体系,用以研究空间性质。
2.探索研究(学生自学概念)
(1)介绍向量的一些概念
师:长度为零的向量叫什么向量?如何表示?长度为1的向量叫做什么向量?是不是只有一个?(学生看书回答)
生:长度为零的向量叫做零向量,表示为:0;长度等于1的向量叫做单位向量,有许多个,每个方向都有一个.
师:满足什么条件的两个向量是相等向量?符号如何表示?单位向量是相等向量吗?
生:如果两个向量大小相等且方向相同,那么这两个向量叫做相等向量,a=b单位向量不一定是相等向量,单位向量的方向不一定相同.
师:有一组向量,它们的方向相同或相反,那么这组向量有什么关系?
生:平行.
师:对!我们把方向相同或相反的两个向量叫做平行向量,符号如何表示?如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点,这时它们是不是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关系?
生:是平行向量,a//b,各向量的终点都在同一条直线上.
师:对!由此,我们把平行向量又叫做共线向量.
(2)例题分析
【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案
(1)平行向量的方向一定相同?
(2)不相等的向量一定不平行.
(3)与零向量相等的向量是什么向量?
(4)与任何向量都平行的向量是什么向量?
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?
(6)两个非零向量相等的充要条件是什么?
(7)共线向量一定在同一直线上吗?
解:(1)根据定义:平行向量可以方向相反,故命题(1)为假;
(2)平行向量没有长、短要求,故命题(2)为假;
(3)只有零向量;
(4)零向量;
(5)平行向量;
(6)模相等且方向相同;
(7)不一定,只要它能被平移成共线就行.
说明:零向量是向量,只不过它的起、终点重合.依定义、其长度为零.
【例2】如图,设是正六边形的中心,分别写出图中与向量、,相等的向量.
解:
练习:(投影)在上题中
变式一,与向量长度相等的向量有多少个?(11个)
变式二,是否存在与向量长度相等,方向相反的向量?(存在)
变式三,与向量共线的向量有哪些?(有、和)
3.演练反馈(投影)
(1)下列各量中是向量的是()
A.动能B.重量C.质量D.长度
(2)等腰梯形中,对角线与相交于点,点、分别在两腰、上,过且,则下列等式正确的是()
A.B.C.D.
(3)物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量
参考答案:(1)B;(2)D;(3)相等,相反
4.总结提炼
(1)描述一个向量有两个指标:模、方向.
(2)平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植,这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量,它与长度无关,它与是否真的不在一条直线上无关.
(3)向量的图示,要标上箭头及起、终点,以体现它的直观性.
四.板书设计
向量
1.向量的定义
2.表示法6.例题
3.零向量和单位向量7.演练反馈
4.平行向量(共线向量)8.总结提炼
5.相等向量
一.教学目标
1.理解点P分有向线段所成的比λ的含义,能确定λ的正负号;
2.掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式,并能熟练运用这两个公式解决实际问题;
3.向学生渗透数形结合的思想,培养学生的思维能力,发现事物间的变化规律.
二.教学重点线段的定比分点和终点的坐标公式的应用.
教学难点用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ>0还时λ<0.
三.教学具准备
投影仪,直尺.
四.教学过程
1.设置情境
已知线段的两个端点、,为线段所在直线上任一点,由共线向量知识,必有.我们能否解决这样的问题,(1)已知及、,求P点坐标;(2)已知、及,求值.
本节课就来讨论上述两个问题,(板书课题——线段的定比分点)
2.探索研究
(1)师:请同学们回忆叙述向量的加、减、实数与向量的积的坐标运算法则.
生:两个向量的和(差)的坐标,等于这两个向量的相应的坐标的和(差);实数与向量的积的坐标,等于这个实数与这个向量的相应坐标的积.
师:已知直线l上两点、,在直线l上取不同于、的任一点P,则P点的位置有哪几种情形?
生:有三种情形,P在之间;P在的延长线上,P在的延长线上.
师:请得很好,下面我们就P在直线上的三种情况给出定义:
设、是直线l上的两点,点P是l上不同于、的任意一点,若存在一个实数使,则叫做点P分有向线段所成的比.
你能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定的取值范围吗?(启发学生从向量的方向上考虑)
生:当P在之间时,与方向相同,所以;当点P在的延长线上时,;若点P在的延长线上时,同理可得.
下面我们利用平面向量的坐标运算推导定比分点坐标公式
师:设,,P分所成的比为,如何求P点的坐标呢?
(按以下思路引导学生进行思考)
师:设,你能用坐标表示等式吗?
生:
师:由两个向量相等的条件,可以得出什么结论呢?
生:
师:对!这就是线段的定比分点P的坐标公式,特别地,当时,得中点P的坐标公式:
(2)例题分析
【例1】已知两点,,求点分所成的比及y的值.
解:由线段的定比分点坐标公式得
【例2】如图所示,的三个顶点的坐标分别为,,,D是边AB的中点,G是CD上的一点,且,求点G的坐标.
解:∵D是AB的中点
∴点D的坐标为
∵
∴
由定比分点坐标公式可得G点坐标为:
即点G的坐标为,也就是的重心的坐标公式.
3.演练反馈(投影)
(1)如图所示,点B分有向线段的比为,点C分有向线段的比为,点A分有向线段的比为.
(2)连结A(4,1)和B(-2,4)两点的直线,和x轴交点的坐标是,和y轴交点的坐标是.
(3)如图所示,中,AB的中点是D(-2,1),AC的中点是E(2,3),重心是G(0,1),求A、B、C的坐标.
参考答案:(1);(2)(6,0)、(0,3);(3)用三角形基法作图得:A(0,5),B(-4,-3),C(4,1)
4.总结提炼
(1)定比分点的几种表达方式:
……向量式
……坐标式
……公式形式
(2)中点公式,重心公式要熟记.
(3)定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法.
五.板书设计
1.定比分点的定义
(1)内分点3.例1
(2)外分点
a.
b.
2.分点坐标公式4.演练反馈
a.5.总结提炼
b.
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