[推荐课件] 平均数教案如何写

在我们的校园生活中离不开教案，教案是保证教学质量的基本条件，要想在教学中不断提升自己，教案必不可少。优秀的教案是什么样子的？《[推荐课件] 平均数教案如何写》是小编为大家精心挑选的范文，希望你喜欢。

教学目标：

1、在丰富的具体问题情境中，感受求平均数是解决一些实际问题的需要，并通过进一步的操作和思考体会平均数的意义，学会计算简单数据的平均数。

2、运用平均数的知识解释简单生活现象、解决简单实际问题的过程专用，进一步积累分析和处理数据的方法，发展统计观念。

3、在活动中，进一步增强与他人交流的意识与能力，提高合作学习的效率。

4、在解决实际问题中，能体验运用已学的统计知识解决问题的乐趣，建立学习数学的信心。

教学重点：

理解平均数的意义，学会求简单数据的平均数。

教学难点：

理解平均数的意义。

教学准备：

课件、练习纸。

教学过程：

一、问题引入

1、出示例3的主题图

谈话：四年级的男、女生进行套圈比赛，每人套15个圈。你想了解他们的比赛情况吗？

第一轮：

课件出示空白的男、女生套圈成绩统计图，谈话：我们来看这两个小组同学的套圈情况，第一个出场的男生是小刚，女生是小燕（分别出示表示两位同学套中个数的直条），他们各套中多少个？(6、4)谁套的准些？你是怎样看出来的？

谈话：这数字6可以代表男生组的水平，那么女生组的水平可以用？来代替。

第二轮：

谈话：第二个出场的男生分别是小明（课件出示直条6），女生是小娟课件出示直条4），（结合手势，表示整体）比较每组中同学的比赛成绩，你认为是男生套的准还是女生套的准些？你是怎样比较出来的？（预设：生1，比总数，生2，比每个人套中的个数）

提问：这时，你能用哪个数来表示男女生的水平吗？（预设：生1，6、4，生2，12、8）让学生说说分别表示什么意思。

第三轮：

谈话：第三、四个出场的男生是小宇和小杰（7、9），第三、四、五个出场的女生分别是小敏、小芸和小芳（7、5、10）（完整出示条形图），现在，你能比较是男生套的准些还是女生啊？你想怎样来比较呢？学生讨论

提问：我们先来想想，你能用哪个数来表示男女生的一般水平？

生交流，总结出（28、30）来表示不合适，也就是比较总数不合适。

那你认为要找哪个数，才能代表男生组的一般水平呢？（这个数要基本反映一组数的一般水平，在数学上，我们把这种数叫做平均数）（板书课题）

二、探究求平均数的方法

1、探究男生求平均数的方法

谈话：我们先来仔细找一找男生组的这个数，男生的得分各不相同。我们怎么来找这个数呢？套的最多的和最少的能代表整体水平吗？那你觉得这个数应该在什么范围呢？

给大家3分钟，在练习纸上想办法找到男生组的那个数。（练习纸）

交流：

方法一：移多补少（课件演示）

方法二：先合后分(说说各数表示的意思)

预设：

如果只答出方法一：除了像这样局部调整，得出平均数，还有其它调整方法了吗？给大家一个小提示：可以把所有男生的个数先看成一个整体，然后再把这些个数平均分配给他们。

如果只答出方法二：除了像这样，把他们的得分先加起来，再重新平均分配给他们。还有其它调整方法了吗？给大家一个小提示：能否只移动其中一小部分个数，使得男生的个数一样多。

交流。

小结：同学们，刚才我们用两种不同的方法找到了能表示男生组的这个数7，我们来回顾一下。

一种方法，通过移动来局部调整，把多的一部分，移给少的，从而得到男生的平均个数，你想帮它取个名字吗？（板书“移多补少”）；

另一种方法，通过整体重新分配，先把所有的个数先加起来，再平均分给他们，也得到了男生的平均个数，你也能取个名字吗？（板书“求和平分”）。

2、揭示课题

谈话：两种方法都得到了一个新的、能够反映男生组整体情况的数据，就是7个。没错，这个数就是男生组（6、6、7、9）的平均数。

用课件显示图中平均数画线，直观感知平均数的范围。

让学生也在练习纸上画线。请你用一条线把这个数7表示到图上来

提问：得到的这个数7表示什么含义？你觉得这个数是一个怎样的数？能不能说男生组中每人都套中了7个？这个数7与小宇套中的7表示的意思一样吗？平均数比最厉害的个数？比最差的呢？

3、迁移类推，感悟意义

谈话：现在，请你们也来找一找女生组的平均数吧。（学生在练习纸上操作并交流）

说说“6”的意义

交流，提问：现在可以比较出哪组套的准了吗？（完整板书）

提问：仔细观察这两组的平均数，你想说些什么？原来的数据和平均数的大小，有什么发现？高于、低于平均数的有几个？（其中的个数有的比平均数高，有的比平均数低，初步感受平均数的范围）

感受平均数的优势：老师啊觉得平均数真厉害，因为它在人数不等的情况下也能公平的比较出男生和女生哪组的水平高，老师说的对吗？

三、巩固练习，应用平均数

1、书本练一练。（课件逐个出示笔筒）

第1个笔筒有（ ）枝，第2个有（ ）枝，第3个笔筒有（ ）枝。

怎样移动笔筒中的铅笔，找到平均每个笔筒有多少枝铅笔。（课件动态显示移多补少的过程，然后逐步变化为条形图）我们也可以用条形统计图来表示，这样更直观。（显示移的过程）

交流：当然，你还可以怎样来解决这个问题？（求和平分）

如果用求和平分，怎么计算？综合算式？

2、第一题

出示丝带图，提问：这时你能用移多补少的方法一下子找出它们的平均数吗？

估一估，平均长度到哪儿？

想一想，应该在多少厘米到多少厘米之间？（平均数在最小数和最大数之间）

算一算，让学生独立列式解答，再交流

提问：如果每条丝带都增加1厘米，平均长度会有什么变化？（相当于每条丝带的长度增加了1厘米，也就是平均长度在原来的基础上增加1厘米）

如果把其中一条丝带的长增加3厘米，3条丝带的平均长度是多少厘米？如果减少3厘米呢？（刚刚每条丝带增加1厘米，总体增加了3厘米，那么现在呢？）

指出：一组数中有一个数据变化了，这组数据的平均数也会发生变化，平均数很敏感。

3、第4题（假如我当经理）

先估计一下苹果和橘子平均每天卖出的箱数，再同桌分工计算，然后画出表示平均数的那条线。

提问：如果你是水果店的经理，看到这样的数据和平均数的情况，你会有什么想法？

4、第3题（篮球队员的身高）

提问：李强是学习篮球队队员，他身高155厘米，可能吗？学校篮球队可能有身高超过160厘米的队员吗？

（出示篮球队5名队员的身高统计表）

小结：同学们，平均数是反映一组数据整体情况的数，如果只知道平均数，要去推测其中一个数据是多少，这个数据会有很多种可能性，这就体现了依据平均去推测其中一个数据的（不确定性）。

但是，知道了一组数据的每一个数据，可以用“移多补少”或者“先合后分”明确地得到平均数是多少，体现了求平均数的（确定性）

思考：如果姚明加入学校篮球队，平均身高会如何变化呢？（图片显示）

出示现在的平均身高，提问：这时得到的平均身高，具有什么样的特点？为什么增加了姚明，小队员的身高都在平均数一下了？（太高的人，对平均数的影响很大，所以姚明的身高在这组数据中属于极端数据，具有极端数据的话，平均数就变得不一样了）

介绍：在生活中，也会遇到像这种不一样的平均数，你想知道吗？课件出示“你知道吗？”（生读）

谈话：通过xx的介绍，我们对平均数又有了一些新的认识，那么我们就带这这个新认识去看看吴萌的诗朗诵比赛吧。

完成练习八第9题。（口答综合算式）

四、总结经验，感悟平均数。

通过这节课，你有什么收获？你对平均数有那些认识？

总结：通过今天的学习，我们知道平均数在生活中有很大的作用，愿大家能带上今天的学习内容，更好地认识生活中与平均数有关的各种问题。

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高中教案算术平均数与几何平均数（二）

第一课时

一、教材分析

（一）教材所处的地位和作用

“算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第二册（上）“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材二同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．

（二）教学目标

1．知识目标：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的重要不等式的证明及其几何解释；掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；掌握应用平均值定理解决一些简单的应用问题．

2．能力目标：培养学生数形结合、化归等数学思想．

（三）教学重点、难点、关键

重点：用平均值定理求某些函数的最值及有关的应用问题．

难点：定理的使用条件，合理地应用平均值定理．

关键：理解定理的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键．

（四）教材处理

依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理及它们的几何解释．掌握应用定理解决某些数学问题．第二课时讲解应用平均值定理解决某些实际问题．为了讲好平均值定理这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．

二、教法分析

（－）教学方法

为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标．在探索结论时，采用发现法教学；在定理的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行．

（二）教学手段

根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机辅导教学．

三、教学过程设计

6．2算术平均数与几何平均数（第一课时）

（一）导入新课

（教师活动）1．教师打出字幕（提出问题）；2．组织学生讨论，并点评．

（学生活动）学生分组讨论，解决问题．

[字幕]某种商品分两次降价，降价的方案有三种：方案甲是第一次9折销售，第二次再8折销售；方案乙是第一次8折销售，第二次再9折销售；方案丙是两次都是折销售．试问降价最少的方案是哪一种？

［讨论］

①设物价为t元，三种降价方案的销售物价分别是：

方案甲：（元）；

方案乙：（元）；

方案丙：（元）．

故降价最少的方案是丙．

②若将问题变为第一次a折销售，第二次b折销售．显然可猜想有不等式成立，即，当时，

设计意图：提出一个商品降价问题，要求学生讨论哪一种方案降价最少．学生对问题的背景较熟悉，可能感兴趣，从而达到说明学习本节知识的必要，激发学生求知欲望，合理引出新课．

（二）新课讲授

【尝试探索，建立新知】

（教师活动）打出字幕（重要不等式），引导学生分析、思考，讲解重要不等式的证明．点评有关问题．

（学生活动）参与研究重要不等式的证明，理解有关概念．

［字幕］如果，那么（当且仅当时取“=”号）．

证明：见课本

［点评］

①强调的充要条件是

②解释“当且仅当”是充要条件的表达方式（“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的）．

③几何解释，如图。

[字幕]定理如果a，b是正数，那么（当且仅当时取“=”号）．

证明：学生运用“”自己证明．

［点评］

①强调；

②解释“算术平均数”和“几何平均数”的概念，并叙述它们之间的关系；

②比较上述两个不等式的特征（强调它们的限制条件）；

④几何解释（见课本）；

＠指出定理可推广为“n个（）正数的算术平均数不小干它们的几何平均数”．

设计意图：加深对重要不等式的认识和理解；培养学生数形结合的思想方法和对比的数学思想，多方面思考问题的能力．

【例题示范，学会应用】

（教师活动）教师打出字幕（例题），引导学生分析，研究问题，点拨正确运用定理，构建证题思路．

（学生活动）与教师一道完成问题的论证．

［字幕］例题已知a，b，c，d都是正数，求证：

［分析］

①应用定理证明；

②研究问题与定理之间的联系；

③注意应用定理的条件和应用不等式的性质．

证明：见课本．

设计意图：巩固对定理的理解，学会应用定理解决某些数学问题．

【课堂练习】

（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；巡视学生解题情况，对正确的解法给予肯定和鼓励，对偏差给予纠正；请甲、乙两学生板演；点评练习解法．

（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、动两位同学板演．

［字幕］练习：已知都是正数，求证：

（1）；

（2）

设计意图：掌握定理及应用，反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用定理解决有关数学问题的解题方法．

（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上．

1．重要不等式可以用来证明某些不等式．

2．应用重要不等式证明不等式时要注意不等式的结构特征：①满足定理的条件；②不等式一边为和的形式，另一边为积或常数的形式．

3．用重要不等式证明有关不等式时注意与不等式性质结合．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握应用重要不等式解决有关数学问题的方

法．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．

（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．

1．本节课学习了两个重要不等式及它们在解决数学问题中的应用．

2．注意：①两个重要不等式使用的条件；②不等式中“=”号成立的条件．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

1．课本作业；习题．1，3

2．思考题：已知，求证：

3．研究性题：设正数，，试尽可能多的给出含有a和b的两个元素的不等式．

设计意图：课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生完成，灵活掌握重要不等式的应用；研究性题是一道结论开放性题，培养学生创新意识．

（五）课后点评

1．导入新课采用学生比较熟悉的问题为背景，容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机．使得学生学习本节课知识自然且合理．

2．在建立新知过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构．对有关概念使学生理解难确，尽量以多种形式反映知识结构，使学生在比较中得到深刻理解．

3．通过变式训练，使学生在对知识初步理解和掌握后，得到进一步深化，对所学的知识得到巩固与提高，同时反馈信息，调整课堂教学．

4．本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

作业答案

思考题证明：因为，所以

．又因为，，，所以，，所以

研究性题①．由条件得，…（A）利用公式…（B）．得，即．②．由（A）、（B）之和即得．③．可利用．再利用①，即可得．④．利用立方和公式得到：．利用①可得．利用①②可得．还有……

第二课时

（－）导入新课

（教师活动）1．教师打出字幕（引例）；2．设置问题，引导学生思考，启发学生应用平均值定理解决有关实际问题．

（学生活动）思考、回答教师设置的问题，构建应用平均值定理解决实际问题的思路．

［字幕］引例．如图，用篱笆围一块面积为50的一边靠墙的矩形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少时，所用篱笆最省？此时，篱笆墙长为多少米？

[设问]

①这是一个实际问题，如何把它转化成为一个数学问题？

（学生口答：设篱笆墙长为y，则（）．问

题转化成为求函数y的最小值及取得最值时的的值．）

②求这个函数的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函数的最小值？

（学生口答：利用函数的单调性或判别式法，也可用平均值定理．）

设计意图：从学生熟悉的实际问题出发，激发学生应用数学知识解决问题的兴趣，通过设问，引导和启发学生用所学的平均值定理解决有关实际问题，引入课题．

（二）新课讲授

【尝试探索、建立新知】

（教师活动）教师打出字幕（课本例题1），引导学生研究和解决问题，帮助学生建立用平均值定理求函数最值的知识体系．

（学生活动）尝试完成问题的论证，构建应用平均值定理求函数最值的方法．

[字幕]已知都是正数，求证：

（1）如果积是定值P，那么当时，和有最小值；

（2）如果和是定值S，那么当时，积有最大值

证明：运用，证明（略）．

［点评］

①（l）的结论即，（2）的结论即

②上述结论给出了一类函数求最值的方法，即平均值定理求最值法．

③应用平均值定理求最值要特别注意：两个变元都为正值；两个变元之积（或和）为定值；当且仅当，这三个条件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同时成立．

设计意图：引导学生分析和研究问题，建立新知——应用平均值定理求最值的方法．

【例题示范，学会应用】

（教师活动）打出字幕（例题），引导学生分析问题，研究问题的解法．

（学生活动）分析、思考，尝试解答问题．

[字幕]例题1求函数（）的最小值，并求相应的的值．

［分析］因为这个函数中的两项不都是正数且又与的积也不是常数，所以不能直接用定理求解．但把函数变形为后，正数，的积是常数1，可以用定理求得这个函数的最小值．

解：，由，知，，且．当且仅当，即时，（）有最小值，最小值是。

[点评]要正确理解的意义，即方程要有解，且解在定义域内．

[字幕]例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800，深为3m，如果池底每l的造价为150元，池壁每1的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

［分析］设水池底面一边的长为m，水池的总造价为y，建立y关干的函数．然后用定理求函数y的最小值．

解：设水池底面一边的长度为m，则另一边的长度为m，又设水池总造价为y元，根据题意，得

（）

所以

当，即时，y有最小值297600．因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时．水池的总造价最低，最低总造价是297600元．

设计意图：加深理解应用平均值定理求最值的方法，学会应用平均值定理解决某些函数最值问题和实际问题，并掌握分析变量的构建思想．培养学生用数学知识解决实际问题的能力，化归的数学思想．

【课堂练习】

（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请三位同学板演；巡视学生解题情况，对正确的给予肯定，对偏差进行纠正；讲评练习．

（学生活动）在笔记本且完成练习、板演．

［字幕〕练习

A组

1．求函数（）的最大值．

2求函数（）的最值．

3．求函数（）的最大值．

B组

1．设，且，求的最大值．

2．求函数的最值，下面解法是否正确？为什么？

解：，因为，则．所以

[讲评]A组1．；2．；3．

B组1．；2．不正确①当时，；②当时，，而函数在整个定义域内没有最值．

设计意图；A组题训练学生掌握应用平均值定理求最值．B组题训练学生掌握平均值定理的综合应用，并对一些易出现错误的地方引起注意．同时反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用平均值定理解决有关函数最值问题和实际问题的解题方法．

（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．

1．应用平均值定理可以解决积为定值或和为定值条件下，两个正变量的和或积的最值问题．

2．应用定理时注意以下几个条件：（ⅰ）两个变量必须是正变量．（ⅱ）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值．（iii）当且仅当两个数相等时取最值，即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．

3．在求某些函数的最值时，会恰当的恒等变形——分析变量、配置系数．

4．应用平均值定理解决实际问题时，应注意：（l）先理解题意，没变量，把要求最值的变量定为函数．（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题，确定函数的定义域．（3）在定义域内，求出函数的最值，正确写出答案．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．

（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

这节课学习了利用平均值定理求某些函数的最值问题．现在我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值方法．这是平均值定理的一个重要应用，也是本节的重点内容，同学们要牢固掌握．

应用定理时要注意定理的适用条件，即“正数、定值、相等”三个条件同时成立，且会灵活转化问题，达到化归的目的．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

1．课本作业：P，6，7．

2．思考题：设，求函数的最值．

3．研究性题：某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽车费用9千元；汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年递增．问这种汽车最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的平均费用最少）？

设计意图：课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生练习，使学生能灵活运用定理解决某些数学问题；研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．

（五）课后点评

1．关于新课引入设计的想法：

导入这一环节是调动学生学习的积极性，激发学生探究精神的重要环节，本节课开始给出一个引例，通过探究解决此问题的各种解法，产生用平均值定理求最值，点明课题．事实上，在解决引例问题的过程中也恰恰突出了教学重点．

2．关于课堂练习设计的想法：

正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值是教学难点．为突破难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，发现使用定理的三个条件缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，设计解法正误讨论能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深了对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中．

3．培养应用意识．

教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用干客观世界．为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学．本节课中设计了两道应用问题，用刚刚学过的数学知识解决了问题，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”．

作业解答

思考题：

．当且仅当，即时，上式取等号．所以当时，函数y有最小值9，无最大值．

研究性题：设使用年报废最合算，由题意有；

年平均费用

当且仅当，即时，取得最小值，即使用10年报废最合算，年平均费用3万元．

算术平均数与几何平均数【精】

进货次数问题探讨

题目某公司某年需要某种计算机元件8000个，在一年内连续作业组装成整机卖出（每天需同样多的元件用手组装，并随时运出整机至市场），该元件向外购买进货，每次（不论购买多少件）须花手续费500元，如一次进货，可少花手续费，但8000个元件的保管费很有观，如果多次进货，手续费多了，但可节省保管费，请你帮该公司出个主意，每年进货几次为宜，该公司的库存保管费可按下述方法计算：每个元件每年2元，并可按比例折算成更短的时间：如每个元件保管一天的费用为元（一年按360天计算）。每个元件的买价、运输费及其他费用假设为一常数。

解：设购进8000个元件的总费用为F，一年总保管费为E，手续费为H，元件买价、运输费及其他费用为C（C为常数），则

如果每年进货次，则每次进货个，用完这些元件的时间是年。进货后，因连续作业组装，一天后保管数量只有个（为一天所需元件），两天后只有个，……，因此年中个元件的保管费可按平均数计算，即相当于个保管了年，每个元件保管须元，做这年中个元件的保管费为

每进货一次，花保管费元，一共次，故

，

，

所以

当且仅当，即时，总费用最少，故以每年进货4次为宜。

说明这道寻求最佳进货次数的问题，是北京市首届“方正杯“中学生数学知识应用竞赛初赛试题（1993．11），求解的关键数学知识是“的极小值是”

平均数初中教案精选

第一课时

素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生初步了解统计知识是应用广泛的数学内容.

2．了解的意义，会计算一组数据的.

3．当一组数据的数值较大时，会用简算公式计算一组数据的.

（二）能力训练点

培养学生的观察能力、计算能力.

（三）德育渗透点

1．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.

2．渗透数学来源于实践，反地来又作用于实践的观点.

（四）美育渗透点

通过本课的学习，渗透数学公式的简单美和结构的严谨美，展示了寓深奥于浅显，寓纷繁于严谨的辩证统一的数学美.

重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：的概念及其计算.

2．教学难点：的简化计算.

3．教学疑点：简化公式的应用，a如何选择.

4．解决办法：分清两个公式，公式②的运用要选择一个适当的a.

教学步骤

（一）明确目标

在日常生活中，我们常与数据打交道，例如，电视台每天晚上都要预报第二天当地的最低气温与最高气温，商店每天都要结算一下当天的营业额，每个班次的飞机都要统计一下乘客的人数等．这些都涉及数据的计算问题．请同学们思考下面问题．（教师出示幻灯片）

为了从甲乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验．两人在相同条件下各射靶10次，命中的环数如下：

甲78686591074

乙9578768677

1．怎样比较两个人的成绩？2．应选哪一个人参加射击比赛？

教师要引导学生观察，给学生充分的时间去思考，并可以分成小组讨论解决办法．

对于这个问题，部分学生可能感到无从下手，部分学生可能想到去比较两组数据的平均，让学生动手具体算一下两组数据的结果它们相等在学生无法解决此问题的情况下，教师说明，这正是本章要解决的问题之一（写出课题）．这样做的目的是教师有意创设问题情境、制造悬念，这不仅能激发学生学习的积极性和自觉性，引起学生对所学课程的注意，还能诱发学生探求新知识的浓厚兴趣．

（二）整体感知

解决类似上述的问题要用到统计学的知识，统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据并据之做出推断的科学，它以概率论为基础，着重研究如何根据样本的性质去推测总体的性质．在当今的信息时代，统计学的应用非常广泛，以至于它已渗透到整个社会生活的各个方面．本章我们将学习统计学的一些初步知识．

（三）教学过程

这节课我们首先来学习．

1．（出示幻灯片）请同学看下面问题：

某班第一小组一次数学测验的成绩如下：

869110072938990857595

这个小组的平均成绩是多少？

教师引导学生动笔计算，并找一名学生到黑板板演，讲完引例后，引导学生归纳出求方法，这样做使学生对的计算公式能有深刻的认识.

2．的概念及计算公式

一般地，如果有n个数.

那么①

叫做这n个数的，读作“x拨”.

这是在初中数学课本中第一次出现带有省略号的用字母表示的n个数相加的一般写法.学生对此可能会感到比较抽象，不太习惯，要向学生强调，采用这种写法是简化表示，是为了使问题的讨论具有一般性.教师应通过对公式的剖析，使学生正确理解公式，并掌握公式中各元素的意义.

3．计算公式①的应用

例1一个地区某年1月上旬各天的最低气温依次是（单位：℃）：

－6，－5，－7，－6，－4，－5，－7，－8，－7

求它们的平均气温.

让学生动手计算，以巩固计算公式（一名学生板演）

教师应强调：①解题格式.②在统计学里处理的数据包括负数.③在本章中，如无特殊说明，计算结果保留的位数与原数据相同.

例2从一批机器零件毛坯中取出20件，称得它们的质量如下（单位：千克）：

210208200205202218206214215207195207218192202216185227187215

计算它们的平均质量.（用投影仪打出）

引导学生两人一组完成计算，然后一起对答案.由于数据较大，计算较繁，可能会出现不同的答案.正好为下面提出简化计算公式作好铺垫.

教师提出问题：像例2这样，数据较大，计算较繁，因而容易出错，有没有较为简便的算法呢？引导学生观察数据有什么特点？都接近于哪一个数？启发学生讨论，寻找简便算法.

学生回答：数据都在200左右波动，可将各数据同时减去200，转而计算一组数值较小的新数据的，至此让学生再一次两人一组用简便方法计算例2，并与前面计算的结果相比较是否一样.

讲完例2后，教师指出几点：常数a的取法不是惟一的；读作“x——撇——拨”；；简化计算的结果与前面毛算的结果相同.

通过学生的动手计算，若产生困难或错误，教师及时点拨，引导学生寻找解决问题的方法，这不仅可以激发学生学习的兴趣，更培养了学生的发散思维能力，同时也使学生对公式②的推导更容易接受.

3．推导公式②

一般地，当一组数据的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到

，

那么，

因此，

即②

为了加深学生对公式②的认识，再让学生指出例2的、、各是什么？（学生回答）

课堂练习：

教材P148中～P149中1，2，3

（四）总结、扩展

知识小结：1．统计学是一门与数据打交道的学问，应用十分广泛.本章将要学习的是统计学的初步知识.

2．求n个数据的的公式①.

3．的简化计算公式②.这个公式很重要，要学会运用.

方法小结：通过本节课我们学到了示一组数据的方法.当数据比较小时，可用公式①直接计算.当数据比较大，而且都在某一个数左右波动时，可选用公式②进行计算.

八、布置作业

教材P153中1、2、3、4.

九、板书设计

教学设计示例2

教学目标

(一)使学生了解的意义，会计算一组数据的.了解加权的意义，并会求加权；

(二)会运用的简化运算方法.

教学重点和难点

重点：会计算及运用的简化方法，会运用加权公式.

教学过程设计

(一)引入新课

在初中一年级代数课本P106的“读一读”那一节，讲的是求.有这样一例题：

女子排球队共有10名队员，身高(单位：米)分别为：

1.73，1.74，1.70，1.76，1.80，1.75，1.77，1.79，1.74，1.72.

求这个队的队员平均身高是多少？

解：求这个的计算方法有两个.

方法1：直接计算

方法2：简化计算

观察一下这些数都在1.75的上、下，这时，可以这样考虑：先计算各数与1.75的差，也就是先都减去1.75(为了不出现小数，不妨把单位换成厘米)得到-2厘米，-1厘米，-5厘米，1厘米，5厘米，0厘米，2厘米，4厘米，-1厘米，-3厘米.

计算这组数的，得：

因为前面计算时，每个数都减去了175厘米，所以把这里的得数0加上175，就得出这个排球队全体队员的平均身高是175厘米

在求一组数的时，只要这组数都接近某一个数，就可以采用这种简化的计算方法.

以上例子告诉我们什么是，怎样求.如果这组数存在着大致在某一个数的上、下波动的情况，可以用简便方法计算.

(二)新课

1.

在统计里，是重要概念之一，它是显示出一组数据的集中趋势的特征数字，也就是说这组数据都“接近”哪个数.

上面的公式①，就是我们在求女排队员身高的“直接算法”.

当一组数据x1，x2，…，xn的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当

公式②就是我们在求女排队员身高的“简便方法”

例1某食品厂为了加强质量管理，对某天生产的罐头抽查了10个，样本净重如下(单位：克)

342，348，346，340，344，341，343，350，340，342．

求样本的.

解法2：把已知数据都减去342，得0，6，4，－2，2，－1，1，8，－2，0，

例2从一批货物中取出20件，称得它们的重量如下(单位：千克)：

310，308，300，305，302，318，306，314，315，307，

295，307，318，292，302，316，285，327，287，315.

求样本的(结果保留到个位)

即样本为306千克.

解法2：

由于题中数据都较大，而且都在常数300上、下波动，把原数据都减去300，得：

10，8，0，5，2，18，6，14，15，7，-5，7，18，-8，2，16，-15，27，-13，15.

2.加权

设有甲、乙、丙三种可混合包装的食品，它们的单价分别是1.8元，2.5元，3.2元，现取甲种食品50公斤，乙种食品40公斤，丙种食品10公斤，把这三种食品混合后每公斤的单价是多少？

答：混合后的单价为2.50元.这个答案是不对的，因为混合后的售价不仅与每种食品的单价有关，而且还与每种食品的重量(公斤数)有关.这些食品混合后的售价应该等于

这种叫做加权．

一般说来，如果在n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，……，xk出现fk次(这里f1+f2＋……＋fk＝n)，那么根据公式①，这n个数的可以表示为

计算加权的公式③，与计算的公式①，实际上是一回事.当一组数据中有不少数据多次重复出现时，用加权公式计算简便些.在公式③中，相同数据xi的个数fi叫做权.这个“权”，含有所占分量轻重的意思.fi越大，表示xi的个数越多，于是xi的“权”就越重．

例3某班有50名学生，数学期中考试成绩90分的有9人，84分的有12人，73分的有10人，65分的有13人，56分的有2人，45分的有4人，计算这个班学生的数学期中考试平均成绩(结果保留到小数点后第一位)．

在例1～例3的求问题中可以看到，能够反映出数据的集中趋势．

(三)课堂练习

若4，x，5的是7，则3，4，5，x，6五个数的是______.

(四)小结

1.用样本去估计总体，这是学习的目的.

2.计算公式，简化计算公式，加权计算公式都很重要，应根据具体情况，恰当选取哪个公式

(五)作业

1.数据15，23，17，18，22的是________.

2.5个数据的和为405，其中一个数据为85，那么另4个数据的是______.

(1)105，103，101，100，114，108，110，106，98，102；(共10个)

(2)4203，4204，4200，4194，4204，4210，4195，4199.(共8个)

4.在一个班的40名学生中，14岁的有5人，15岁的有30人，16岁的有4人，17岁的有1人.求这个班学生的平均年龄.

5.抽查了一个商店某月里5天的日营业额，结果如下(单位：元)：

14845，25306，18954，11672，16330

(1)求样本；

(2)根据样本估计，这个商店在该月里平均日营业额约是多少？

6.在一段时间里，一个学生记录了其中8天他每天完成家庭作业所需要的时间，结果如下(单位：分)：

80，70，90，70，60，50，80，60.

在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需要的时间约是多少？

作业答案与提示：

1.19.

5.(1)样本是17421元；

(2)根据上面计算结果，可估计在该月里平均日营业额约为17421.

根据样本,可估计该学生平均每天完成家庭作业所需时间约为70分.

课堂教学设计说明

1.是统计中的重要概念之一，通过样本来估计总体.样本容量取得越大，则用样本估计的总体越精确，也就是所表示的总体平均的变化趋势越集中于准确值.作业中的第5，6两题就是为体现这种思想而设计的.

2.这一节课的目标是要弄清两个概念(、加权)，三个公式(求平均值公式，求平均值的简化公式和求加权公式).

教学设计中，先从初中一年级代数课本的内容引出概念、计算公式及简化公式.所以很自然地转入新课，在介绍了概念后，紧接着对计算公式作出一般性的证明.

在加权一节，先列举一个易犯的错误，分析其错误原因，然后推导出公式.

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