教学设计示例
一、素质教育目标
(一)知识起学点
1.理解:等式的意义,并能举出有关等式的例子.
2.掌握:关于等式变形的两条性质,并能语言叙述.
3.应用:会用等式的两条性质将等式变形,并能对变形说明理由.
(二)能力训练点
通过等式的两条性质的教学,培养学生由等式走向新等式的解题思想,即为以后方程的同解变形打下基础.
(三)德育渗透点
从特殊到一般的思维方法.
(四)美育渗透点
等式的两条性质体现了数学的对称美.
二、学法引导
1.教学方法:采取引导发现法,创设合理的问题情境,激发学生思维的积极性,充分展现学生的主体作用.
2.学生学法:演示实验→等式性质→巩固练习.
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点:等式概念的认识理解,等式性质的归纳.
2.难点:利用等式的两条性质变形等式.
3.疑点:(1)等式性质2中,关于除数不为零的理解.
(2)利用性质变形时,对“等式两边”的理解.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片、简单实物.
六、师生互动活动设计
师生共同做演示实验,得出等式性质,教师出示巩固性练习,学生以多种形式完成.
七、教学步骤
(-)创设情境,复习导入
教师在上课开始时,给出如下的数学关系
(出示投影1)
;;
;;
;
师提出问题:观察上面式子表示了什么关系?由学生回答“相等关系”后引出等式的概念和等式的含义,分清等式的左边和右边.
教师和学生一起完成一个演示实验:
两只手中各拿4支粉笔,现在我们再分别从粉笔盒里拿出两支,放入相应手中,问两只手中粉笔个数的关系?如果我们将开始手中的粉笔各放回两支怎样呢?既扩大到原来的2倍,或缩小到原来的2倍,结果还是相等.
(二)探索新知,讲授新课
教师引导学生,把上面实验抽象为一个数学问题.
即:4=4.
提出问题:由上面两组等式变形,我们可以得出关于等式变形什么结论?把上面式中2,改3或-5行吗?
学生活动:让全体学生参与讨论,启发学生怎样用精炼的语言叙述,或分组推荐代表回答.
师总结等式的性质:
由前两式总结:1.等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个等整式,所得结果仍是等式.
由后两式总结:2.等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为零),所得结果仍是等式.
提出问题:①4=4两边都加上整式如:两边都加上结果还是等式吗?
②第二结论中所说除数可以是零吗?
学生活动:学生回答问题后,教师对上面结论加以补充说明.
教师归纳:以上两个规律,就是我们今天学习的“等式性质”
【教法说明】通过以上两条性质的总结,教师应强调以下四点:
①等式的性质1是加法和减法运算,等式的性质2是乘法或除法运算.
②等式的两边都参与运算,并且是同一种运算.
③加(或减)、乘以(或除以)的是同一个数.
④零不能做除数或分母.
(三)尝试反馈,巩固练习
【教法说明】由于这组题是例题的巩固,因此可以由学生讨论分组,以竞赛形式回答以增加课堂上的参与意识.
(出示投影2)
1.判断:已知等式,下列等式是否成立?
①;②;③;④.
2.若,请同学们根据等式性质编出三个等式并说出你的编写根据.
【教法说明】这组题是对等式性质的辨析,教学时应多让学生思考,并能说出依据.
(出示投影3)
1.从能不能得到呢?为什么?
2.从能不能得到呢?为什么?
3.从能不能得到呢?为什么?
4.从能不能得到呢?为什么?
学生活动:分组抢答.
【教法说明】从以上题目可知,根据等式的性质,从已知等式出发通过变形可得出新的等式.
(出示投影4)
例用适当的数或整式填空,使所得结果仍是等式
1.如果,那么;
2.如果,那么;
3.如果,那么.
【教法说明】分析:
1题从已知的一边入手,怎样变形就得到呢?(原等式两边都减去5)根据___________________________________________?
2题观察等式的右边怎样由变形成5(两边加上),即原来两边都加上,根据等式性质1.
3题观察等式左边怎样由变形为,即等式两边都除以0.2,根据等式性质2.
巩固练习:(出示投影5)
练习:用适当数填空,并且说出根据等式的哪条性质及怎样变形的?
1.如果,那么;
2.如果,那么;
3.如果,那么;
4.如果,那么;
5.如果,那么.
学生活动:分组讨论回答.
【教法说明】这一段是学生尝试利用等式性质对等式变形的练习过程,因此可采用小组竞赛、抢答等灵活的课堂训练形式.
师提出问题:上面问题同学们解答的非常好,下面请大家考虑一个问题,每个同学编一道和上面填空题类似的题目,交给同桌同学解答,并请对方谈谈所编题目是否符合标准.
【教法说明】上面问题教师应指导学生编题、解答,最后应用由学生代表性地评比一下,以培养学生灵活性、多角度思考数学问题的方法.
(四)变式训练,培养能力
我们通过学习等式的性质,不难发现可以利用等式的性质解决方程的求解问题(也就是可以求方程未知数的值).
(出示投影6)
利用等式的性质解方程:
(1);(2);
解:等式两边都乘以2解:等式两边都加上7得
得
等式的两边都除以5
得.
【教法说明】上面题目可启发学生思考如何应用等式性质求方程中未知数的值,由学生思考后教师引导作答写出以上过程
(出示投影7)
已知:、都是数,利用等式性质将下列各小题中的等式进行变形,然后填空.
(1)如果,那么
这就是说,如果两个数的和为零,那么这两个数___________.
(2)如果,那么.
这就是说,如果两个数的积为1,那么这两个数__________.
【教法说明】这是利用等式变形来认识相反数、倒数问题,解题时注意“互为”问题的有关概念语言.
(五)归纳小结
师:我们今天学习了等式的概念和等式的性质,通过学习我们应该清楚:
1.能根据等式的性质,把已知等式通过变形得到一个新等式,问题的关键在于怎样从新等式出发考虑用什么性质变形,这要靠大家的观察分析能力.
2.我们今天学习的等式的性质,是将来解方程的依据.
八、随堂练习
1.填空题
(1)将等式的两边都__________得到,这是根据等式性质______.
(2)将等式的两边都乘以____________、或除以___________得到,这是根据等式性质____________;
(3)将等式的两边都____________得到,这是根据等式性质_____________;
(4)将等式的两边都__________得到,这是根据等式性质________.
2.用适当的整式填空,使所得结果仍是等式
(1)如果,那么;
(2)如果,那么;
(3)如果,那么;
(4)如果,那么;
(5)如果,那么.
3.判断下列变形是否正确
(1)由得到.()
(2)由得到.()
(3)由得到.()
(4)由得到.()
(5)由得到.()
(6)由得到.()
九、布置作业
1.课本第186页习题4.1A组,4.(6)(7)(8);
2.课本第187页B组3.
十、板书设计
十一、参考答案
1.(1)加3,1;(2)2,,2;(3)减去,1;(4)除以,2.
2.(1)2;(2)-3;(3);(4);(5),3.
3.√√×××√
作业答案
4.(6);(7);(8);
B组3.①,零;②,是1.
探究活动
能得到什么结论
题目已知且,你能够推出什么结论?
分析与解:由条件推出结论,我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大,对已知变量作运算,运用不等式的性质,或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。
思路一:改变的范围,可得:
1.且;
2.且;
思路二:由已知变量作运算,可得:
3.且;
4.且;
5.且;
6.且;
7.且;
思路三:考虑含有的数学表达式具有的性质,可得:
8.(其中为实常数)是三次方程;
9.(其中为常数)的图象不可能表示直线。
说明从已知信息能够推出什么结论?这是我们经常需要思考的问题,这里给出的都是必要非充分条件,读者可以考虑是否能够写出充要条件;另外,运用推出关系的传递性,在推出结论的基础上进一步进行推理,还可得出很多结果,请读者考虑.
探究关系式是否成立的问题
题目当成立时,关系式是否成立?若成立,加以证明;若不成立,说明理由。
解:因为,所以,所以,
所以,
所以或
所以或
所以或
所以不可能成立。
说明:像本例这样的探索题,题目的结论是“两可”(即两种可能性)情形,而我们知道,说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析,不仅说明结论不成立,而且得出,必须同时大于1或同时小于1的结论。
探讨增加什么条件使命题成立
例适当增加条件,使下列命题各命题成立:
(1)若,则;
(2)若,则;
(3)若,,则;
(4)若,则
思路分析:本例为条件型开放题,需要依据不等式的性质,寻找使结论成立时所缺少的一个条件。
解:(1)
(2)。当时,
当时,
(3)
(4)
引申发散对命题(3),能否增加条件,或,,使其成立?请阐述你的理由。
探究活动
能得到什么结论
题目已知且,你能够推出什么结论?
分析与解:由条件推出结论,我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大,对已知变量作运算,运用不等式的性质,或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。
思路一:改变的范围,可得:
1.且;
2.且;
思路二:由已知变量作运算,可得:
3.且;
4.且;
5.且;
6.且;
7.且;
思路三:考虑含有的数学表达式具有的性质,可得:
8.(其中为实常数)是三次方程;
9.(其中为常数)的图象不可能表示直线。
说明从已知信息能够推出什么结论?这是我们经常需要思考的问题,这里给出的都是必要非充分条件,读者可以考虑是否能够写出充要条件;另外,运用推出关系的传递性,在推出结论的基础上进一步进行推理,还可得出很多结果,请读者考虑.
探究关系式是否成立的问题
题目当成立时,关系式是否成立?若成立,加以证明;若不成立,说明理由。
解:因为,所以,所以,
所以,
所以或
所以或
所以或
所以不可能成立。
说明:像本例这样的探索题,题目的结论是“两可”(即两种可能性)情形,而我们知道,说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析,不仅说明结论不成立,而且得出,必须同时大于1或同时小于1的结论。
探讨增加什么条件使命题成立
例适当增加条件,使下列命题各命题成立:
(1)若,则;
(2)若,则;
(3)若,,则;
(4)若,则
思路分析:本例为条件型开放题,需要依据不等式的性质,寻找使结论成立时所缺少的一个条件。
解:(1)
(2)。当时,
当时,
(3)
(4)
引申发散对命题(3),能否增加条件,或,,使其成立?请阐述你的理由。
教学设计示例
一、素质教育目标
(一)知识起学点
1.理解:等式的意义,并能举出有关等式的例子.
2.掌握:关于等式变形的两条性质,并能语言叙述.
3.应用:会用等式的两条性质将等式变形,并能对变形说明理由.
(二)能力训练点
通过等式的两条性质的教学,培养学生由等式走向新等式的解题思想,即为以后方程的同解变形打下基础.
(三)德育渗透点
从特殊到一般的思维方法.
(四)美育渗透点
等式的两条性质体现了数学的对称美.
二、学法引导
1.教学方法:采取引导发现法,创设合理的问题情境,激发学生思维的积极性,充分展现学生的主体作用.
2.学生学法:演示实验→等式性质→巩固练习.
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点:等式概念的认识理解,等式性质的归纳.
2.难点:利用等式的两条性质变形等式.
3.疑点:(1)等式性质2中,关于除数不为零的理解.
(2)利用性质变形时,对“等式两边”的理解.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片、简单实物.
六、师生互动活动设计
师生共同做演示实验,得出等式性质,教师出示巩固性练习,学生以多种形式完成.
七、教学步骤
(-)创设情境,复习导入
教师在上课开始时,给出如下的数学关系
(出示投影1)
;;
;;
;
师提出问题:观察上面式子表示了什么关系?由学生回答“相等关系”后引出等式的概念和等式的含义,分清等式的左边和右边.
教师和学生一起完成一个演示实验:
两只手中各拿4支粉笔,现在我们再分别从粉笔盒里拿出两支,放入相应手中,问两只手中粉笔个数的关系?如果我们将开始手中的粉笔各放回两支怎样呢?既扩大到原来的2倍,或缩小到原来的2倍,结果还是相等.
(二)探索新知,讲授新课
教师引导学生,把上面实验抽象为一个数学问题.
即:4=4.
提出问题:由上面两组等式变形,我们可以得出关于等式变形什么结论?把上面式中2,改3或-5行吗?
学生活动:让全体学生参与讨论,启发学生怎样用精炼的语言叙述,或分组推荐代表回答.
师总结等式的性质:
由前两式总结:1.等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个等整式,所得结果仍是等式.
由后两式总结:2.等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为零),所得结果仍是等式.
提出问题:①4=4两边都加上整式如:两边都加上结果还是等式吗?
②第二结论中所说除数可以是零吗?
学生活动:学生回答问题后,教师对上面结论加以补充说明.
教师归纳:以上两个规律,就是我们今天学习的“等式性质”
【教法说明】通过以上两条性质的总结,教师应强调以下四点:
①等式的性质1是加法和减法运算,等式的性质2是乘法或除法运算.
②等式的两边都参与运算,并且是同一种运算.
③加(或减)、乘以(或除以)的是同一个数.
④零不能做除数或分母.
(三)尝试反馈,巩固练习
【教法说明】由于这组题是例题的巩固,因此可以由学生讨论分组,以竞赛形式回答以增加课堂上的参与意识.
(出示投影2)
1.判断:已知等式,下列等式是否成立?
①;②;③;④.
2.若,请同学们根据等式性质编出三个等式并说出你的编写根据.
【教法说明】这组题是对等式性质的辨析,教学时应多让学生思考,并能说出依据.
(出示投影3)
1.从能不能得到呢?为什么?
2.从能不能得到呢?为什么?
3.从能不能得到呢?为什么?
4.从能不能得到呢?为什么?
学生活动:分组抢答.
【教法说明】从以上题目可知,根据等式的性质,从已知等式出发通过变形可得出新的等式.
(出示投影4)
例用适当的数或整式填空,使所得结果仍是等式
1.如果,那么;
2.如果,那么;
3.如果,那么.
【教法说明】分析:
1题从已知的一边入手,怎样变形就得到呢?(原等式两边都减去5)根据___________________________________________?
2题观察等式的右边怎样由变形成5(两边加上),即原来两边都加上,根据等式性质1.
3题观察等式左边怎样由变形为,即等式两边都除以0.2,根据等式性质2.
巩固练习:(出示投影5)
练习:用适当数填空,并且说出根据等式的哪条性质及怎样变形的?
1.如果,那么;
2.如果,那么;
3.如果,那么;
4.如果,那么;
5.如果,那么.
学生活动:分组讨论回答.
【教法说明】这一段是学生尝试利用等式性质对等式变形的练习过程,因此可采用小组竞赛、抢答等灵活的课堂训练形式.
师提出问题:上面问题同学们解答的非常好,下面请大家考虑一个问题,每个同学编一道和上面填空题类似的题目,交给同桌同学解答,并请对方谈谈所编题目是否符合标准.
【教法说明】上面问题教师应指导学生编题、解答,最后应用由学生代表性地评比一下,以培养学生灵活性、多角度思考数学问题的方法.
(四)变式训练,培养能力
我们通过学习等式的性质,不难发现可以利用等式的性质解决方程的求解问题(也就是可以求方程未知数的值).
(出示投影6)
利用等式的性质解方程:
(1);(2);
解:等式两边都乘以2解:等式两边都加上7得
得
等式的两边都除以5
得.
【教法说明】上面题目可启发学生思考如何应用等式性质求方程中未知数的值,由学生思考后教师引导作答写出以上过程
(出示投影7)
已知:、都是数,利用等式性质将下列各小题中的等式进行变形,然后填空.
(1)如果,那么
这就是说,如果两个数的和为零,那么这两个数___________.
(2)如果,那么.
这就是说,如果两个数的积为1,那么这两个数__________.
【教法说明】这是利用等式变形来认识相反数、倒数问题,解题时注意“互为”问题的有关概念语言.
(五)归纳小结
师:我们今天学习了等式的概念和等式的性质,通过学习我们应该清楚:
1.能根据等式的性质,把已知等式通过变形得到一个新等式,问题的关键在于怎样从新等式出发考虑用什么性质变形,这要靠大家的观察分析能力.
2.我们今天学习的等式的性质,是将来解方程的依据.
八、随堂练习
1.填空题
(1)将等式的两边都__________得到,这是根据等式性质______.
(2)将等式的两边都乘以____________、或除以___________得到,这是根据等式性质____________;
(3)将等式的两边都____________得到,这是根据等式性质_____________;
(4)将等式的两边都__________得到,这是根据等式性质________.
2.用适当的整式填空,使所得结果仍是等式
(1)如果,那么;
(2)如果,那么;
(3)如果,那么;
(4)如果,那么;
(5)如果,那么.
3.判断下列变形是否正确
(1)由得到.()
(2)由得到.()
(3)由得到.()
(4)由得到.()
(5)由得到.()
(6)由得到.()
九、布置作业
1.课本第186页习题4.1A组,4.(6)(7)(8);
2.课本第187页B组3.
十、板书设计
十一、参考答案
1.(1)加3,1;(2)2,,2;(3)减去,1;(4)除以,2.
2.(1)2;(2)-3;(3);(4);(5),3.
3.√√×××√
作业答案
4.(6);(7);(8);
B组3.①,零;②,是1.
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.使学生理解掌握不等式的三条基本性质,尤其是不等式的基本性质3.
2.灵活运用不等式的基本性质进行不等式形.
(二)能力训练点
培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力.
(三)德育渗透点
培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神.
(四)美育渗透点
通过不等式基本性质的学习,渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美,激发学生探究数学美的兴趣与激情,从而陶治学生的数学情操。
二、学法引导
1.教学方法:观察法、探究法、尝试指导法、讨论法.
2.学生学法:通过观察、分析、讨论,引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质,从具体下升到理论,再由理论指导具体的练习,从而强化学生对知识的理解与掌握.
三、重点·难点·疑点及解决办法
(一)重点
掌握不等式的三条基本性质,尤其是不等式的基本性质3.
(二)难点
正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形.
(三)疑点
弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的关系是学生学习的疑点.
(四)解决办法
讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键.
四、课时安排
一课时
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.通过设计的一组比较大小问题,让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质.
2.通过教师的讲解及学生的质疑,让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质.
3.通过教师的板书及学生的互动练习,体现出以学生为主体,教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育.
七、教学步骤
(-)明确目标
本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用.
(二)整体感知
通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质,再反复比较三条性质的异同,从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件,同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较:相同点为不管是对等式还是不等式,都可以在它的两边同加(或减)同一个数或同一个整式.不同点是对于等式来说,在等式的两边乘以(或除以)同一个正数(或同一个负数)的情况下等式仍然对立.但对于不等式来说,却不一样,在用同一个正数去乘(或除)不等式两边时,不等号方向不变;而在用同一个负数去乘(或除)不等式两边时,不等号要改变方向.这是在不等式变形时应特别注意的地方.
(三)教学过程
1.创设情境,复习引入
什么是等式?等式的基本性质是什么?
学生活动:独立思考,指名回答.
教师活动:注意强调等式两边都乘以或除以(除数不为0)同一个数,所得结果仍是等式.
请同学们继续观察习题:
(1)用“>”或“<”填空.
①7+3____4+3②7+(-3)____4+(-3)
③7×3____4×3④7×(-3)____4×(-3)
(2)上述不等式中哪题的不等号与7>4一致?
学生活动:观察思考,两个(或几个)学生回答问题,由其他学生判断正误.
【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新,为学习本节内容提供必要的知识准备.
不等式有哪些基本性质呢?研究时要与等式的性质进行对比,大家知道,等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式(实质是移项法则),请同学们观察①②题,并猜想出不等式的性质.
学生活动:观察思考,猜想出不等式的性质.
教师活动:及时纠正学生叙述中出现的问题,特别强调指出:“仍是不等式”包括两种情况,说法不确切,一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变.”
师生活动:师生共同叙述不等式的性质,同时教师板书.
不等式基本性质1不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.
对比等式两边都乘(或除以)同一个数的性质(强调所乘的数可正、可负、也可为0)请大家思考,不等式类似的性质会怎样?
学生活动:观察③④题,并将题中的3换成5,-3换成一5,按题的要求再做一遍,并猜想讨论出结论.
【教法说明】观察时,引导学生注意不等号的方向,用彩色粉笔标出来,并设疑“原因何在?”两边都乘(或除以)同一个负数呢?0呢?为什么?
师生活动:由学生概括总结不等式的其他性质,同时教师板书.
不等式基本性质2不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
不等式基本性质3不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
师生活动:将不等式-2<6两边都加上7,-9,两边都乘3,-3试一试,进一步验证上面得出的三条结论.
学生活动:看课本第57~58页有关不等式性质的叙述,理解字句并默记.
强调:要特别注意不等式基本性质3.
实质:不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“+”、“-”、“×”、“÷”四则运算,当进行“+”、“-”法时,不等号方向不变;当乘(或除以)同一个正数时,不等号方向不变;只有当乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向才改变.
不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系?
学生活动:思考、同桌讨论.
归纳:只有乘(或除以)负数时不同,此外都类似.下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质.
①若,则,;
②若,且,则,;
③若,且,则,.
师生活动:学生思考出答案,教师订正,并强调不等式性质3的应用.
注意:不等式除了上述性质外,还有以下性质:①若,则.②若,且,则,这些先不要向学生说明.
2.尝试反馈,巩固知识
请学生先根据自己的理解,解答下面习题.
例1根据不等式的基本性质,把下列不等式化成或的形式.
(1)(2)(3)(4)
学生活动:学生独立思考完成,然后一个(或几个)学生回答结果.
教师板书(1)(2)题解题过程.(3)(4)题由学生在练习本上完成,指定两个学生板演,然后师生共同判断板演是否正确.
解:(l)根据不等式基本性质1,不等式的两边都加上2,不等号的方向不变.
所以
(2)根据不等式基本性质1,两边都减去,得
(3)根据不等式基本性质2,两边都乘以2,得
(4)根据不等式基本性质3,两边都除以-4得
【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比,并将原题与或对照,看用哪条性质能达到题目要求,要强调每步的理论依据,尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别,解题时书写要规范.
例2设,用“<”或“>”填空.
(1)(2)(3)
学生活动:在练习本上完成例2,由3个学生板演完成后,其他学生判断板演是否正确,最后与书中正确解题格式对照.
解:(1)因为,两边都减去3,由不等式性质1,得
(2)因为,且2>0,由不等式性质2,得
(3)因为,且-4<0,由不等式性质3,得
教师活动:巡视辅导,了解学生作题的实际情况,及时给予纠正或鼓励.
注意问题:例2(3)是根据不等式性质3,不等号方向应改变.这是学生做题时易出错误之处.
【教法说明】要让学生明白推理要有依据,以后作类似的练习时,都写出根据,逐步培养学生的逻辑思维能力.
3.变式训练,培养能力
(1)用“>”或“<”在横线上填空,并在题后括号内填写理由.(不等式基本性质1,2,3分别用A、B、C表示.)
①∵∴()②∵∴()
③∵∴()④∵∴()
⑤∵∴⑥∵∴()
学生活动:此练习以学生抢答方式完成,目的是训练学生思维能力,表达能力,烘托学习气氛.
答案:
①(A)②(B)
③(C)④(C)
⑤(C)⑥(A)
【教法说明】做此练习题时,应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比,观察它们是应用不等式的哪条性质,是怎样由已知变形得到的.注意应用不等式性质3时,不等号要改变方向.
(2)单项选择:
①由得到的条件是()
A.B.C.D.
②由由得到的条件是()
A.B.C.D.
③由得到的条件是()
A.B.C.D.是任意有理数
④若,则下列各式中错误的是()
A.B.C.D.
师生活动:教师选出答案,学生判断正误并说明理由.
答案:①A②D③C④D
(3)判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”
①∵∴()②∵∴()
③∵∴()④若,则∴,()
学生活动:一名学生说出答案,其他学生判断正误.
答案:①√②×③√④×
【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情,提高课堂效率;(2)练习第③④题易出错,教师应讲清楚.
(四)总结、扩展
1.本节重点:
(1)掌握不等式的三条基本性质,尤其是性质3.
(2)能正确应用性质对不等式进行变形.
2.注意事项:
(1)要反复对比不等式性质与等式性质的异同点.
(2)当不等式两边同乘(或除以)同一个数时,一定要看清是正数还是负数,对于未给定范围的字母,应分情况讨论.
3.考点剖析:
不等式的基本性质是历届中考中的重要考点,常见题型是选择题和填空题.
八、布置作业
(一)必做题:P61A组4,5.
(二)选做题:P62B组1,2,3.
参考答案
(一)4.(1)(2)(3)(4)
5.(1)(2)(3)(4)
(5)(6)
(二)1.(1)(2)(3)
2.(1)(2)(3)(4)
3.(1)(2)(3)
九、板书设计
6.1不等式和它的基本性质(二)
一、不等式的基本性质
1.不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.
若,则,.
2.不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号方向不变,若,,则.
3.不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号方向改变,若,,则.
二、应用
例1解(1)(2)
(3)(4)
例2解(1)(2)
(3)
三、小结
注意不等式性质3的应用.
十、背景知识与课外阅读
盒子里有红、白、黑三种球,若白球的个数不少于黑球的一半,且不多于红球的,又白球和黑球的和至少是55,问盒中红球的个数最少是多少个?
探究活动
能得到什么结论
题目已知且,你能够推出什么结论?
分析与解:由条件推出结论,我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大,对已知变量作运算,运用不等式的性质,或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。
思路一:改变的范围,可得:
1.且;
2.且;
思路二:由已知变量作运算,可得:
3.且;
4.且;
5.且;
6.且;
7.且;
思路三:考虑含有的数学表达式具有的性质,可得:
8.(其中为实常数)是三次方程;
9.(其中为常数)的图象不可能表示直线。
说明从已知信息能够推出什么结论?这是我们经常需要思考的问题,这里给出的都是必要非充分条件,读者可以考虑是否能够写出充要条件;另外,运用推出关系的传递性,在推出结论的基础上进一步进行推理,还可得出很多结果,请读者考虑.
探究关系式是否成立的问题
题目当成立时,关系式是否成立?若成立,加以证明;若不成立,说明理由。
解:因为,所以,所以,
所以,
所以或
所以或
所以或
所以不可能成立。
说明:像本例这样的探索题,题目的结论是“两可”(即两种可能性)情形,而我们知道,说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析,不仅说明结论不成立,而且得出,必须同时大于1或同时小于1的结论。
探讨增加什么条件使命题成立
例适当增加条件,使下列命题各命题成立:
(1)若,则;
(2)若,则;
(3)若,,则;
(4)若,则
思路分析:本例为条件型开放题,需要依据不等式的性质,寻找使结论成立时所缺少的一个条件。
解:(1)
(2)。当时,
当时,
(3)
(4)
引申发散对命题(3),能否增加条件,或,,使其成立?请阐述你的理由。
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