经典初中教案不等式它的基本性质
时间：2022-01-21 不等式和它的基本性质 不等式的性质教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节教学的重点是不等式的三条基本性质．难点是不等式的基本性质3．掌握不等式的三条基本性质是进一步学习一元一次不等式（组）的解法等后续知识的基础．
1．不等式的概念
用不等号（“＜”、“＞”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式．
另外，（“≥”是把“＞”、“＝”）结合起来，读作“大于或等于”，或记作“≮”，亦即“不小于”）、（“≤”是把“＜”、“＝”结合起来，读作“小于或等于”，或记作“≯”，也就是“不大于”）等等，也都是不等式．
2．当不等式的两边都加上或乘以同一个正数或负数时，所得结果仍是不等式．但变形所得的不等式中不等号的方向，有的与原不等式中不等号的方向相同，有的则不相同．因而叙述时不能笼统说成“……仍是不等式”，而应明确变形所得的不等式中不等号的方向．
3．不等式成立与不等式不成立的意义
例如：在不等式中，字母表示未知数．当取某一数值时，的值小于2，我们就说当时，不等式成立；当取另外某一个数值时，的值不小于2，我们就说当时，不等式不成立．
4．不等式的三条基本性质是不等式变形的重要依据，性质1、2类似等式性质，不等号的方向不改变，性质3不等号的方向改变，这是不等式独有的性质，也是初学者易错的地方，因此要特别注意．
一、素质教育目标
（－）知识教学点
1．了解不等式的意义．
2．理解什么是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法．
3．能依题意准确迅速地列出相应的不等式．
（二）能力训练点
1．培养学生运用类比方法研究相关内容的能力．
2．训练学生运用所学知识解决实际问题的能力．
（三）德育渗透点
通过引导学生分析问题、解决问题，培养他们积极的参与意识，竞争意识．
（四）美育渗透点
通过不等式的学习，渗透具有不等量关系的数学美．
二、学法引导
1．教学方法：观察法、引导发现法、讨论法．
2．学生学法：只有准确理解不等号的几种形式的意义，才能在实际中进行灵活的运用．
三、重点·难点·疑点及解决办法
（一）重点
掌握不等式是否成立的判定方法；依题意列出正确的不等式．
（二）难点
依题意列出正确的不等式
（三）疑点
如何把题目中表示不等关系的词语准确地翻译成相应的数学符号．
（四）解决方法
在正确理解不等号的意义后，通过抓住体现不等量的关系的词语就能准确列出相应的不等式．
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．创设情境，通过复习有关等式的知识，自然导入新课的学习，激发学生的学习热情．
2．从演示的有关实验中，探究相应的不等量关系，从学生的讨论、分析中探究代数式的不等关系的几种常见形式．
3．从师生的互动讲解练习中掌握不等式的有关知识，并培养学生具有一定的灵活应用能力．
七、教学步骤
（一）明确目标
本节课主要学习依题意正确迅速地列出不等式．
（二）整体感知
通过复习等式创设情境，自然过渡到不等式的学习过程中，又通过细心的分析、审题寻找出正确的不等量关系，从而列出正确的不等式．
（三）教学过程
1．创设情境，复习导入
我们已经学过等式和它的基本性质，请同学们观察下面习题，思考并回答：
（1）什么是等式？等式中“＝”两侧的代数式能否交换？“＝”是否具有方向性？
（2）已知数值：－5，，3，0，2，7，判断：上述数值哪些使等式成立？哪些使等式不成立？
学生活动：首先自己思考，然后指名回答．
教师释疑：①“＝”表示相等关系，它没有方向性，等号两例可以相互交换，有时不交换只是因为书写习惯，例如方程的解．
②判断数取何值，等式成立和不成立实质上是在判断给定的数值是否为方程的解，因为等式为一元一次方程，它只有惟一解，所以等式只有在时成立，此外，均不成立．
【教法说明】设置上述习题，目的是使学生温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．
2．探索新知，讲授新课
不等式和等式既有联系，又有区别，大家在学习时要自觉进行对比，请观察演示实验并回答：演示说明什么问题？
师生活动：教师演示课本第54页天平称物重的两个实例（同时指出演示中物重为克，每个砝码重量均为1克），学生观察实验，思考后回答：演示中天平若不平衡说明天平两边所放物体的重量不相等．
【教法说明】结合实际生活中同类量之间具有一种不相等关系的实例引入不等式的知识，能激发学生的学习兴趣．
在实际生活中，像演示这样同类量之间具有不相等关系的例子是大量的、普遍的，这种关系需用不等式来表示．那么什么是不等式呢？请看：
，，
，，
提问：（l）上述式子中有哪些表示数量关系的符号？（2）这些符号表示什么关系？（3）这些符号两侧的代数式可以随意交换位置吗？（4）什么叫不等式？
学生活动：观察式予，思考并回答问题．
答案：（1）分别使用“＜”“＞”“≠”．（2）表示不等关系．（3）不可以随意互换位置．（4）用不等号表示不等关系的式子叫不等式．
不等号除了“＜”“＞”“≠”之外，还有无其他形式？
学生活动：同桌讨论，尝试得到结论．
教师释疑：①不等号除“＜”“＞”“≠”外，还有“≥”“≤”两种形式（“≥”是指“＞”与“＝”结合起来，读作“大于或等于”，也可理解成“不小于”；同理“≤”读作“小于或等于”，也可理解成“不大于”．）现在，我们来研究用“＞”“＜”表示的不等式．
②不等号“＞”“＜”表示不等关系，它们具有方向性，因而不等号两侧不可互交换，例如，不能写成．
【教法说明】①通过学生自己观察思考，进而猜测出不等式的意义，这种教法充分发挥了学生的主体作用．
②通过教师释疑，学生对不等号的种类及其使用有了进一步的了解．
3．尝试反馈，巩固知识
同类量之间的大小关系常用“＞”“＜”来表示，请同学们根据自己对不等式的理解，解答习题．
（1）用“＜”或“＞”境空．（抢答）
①4___－6；②－1____0③－8___－3；④－4.5___－4．
（2）用不等式表示：
①是正数；②是负数；③与3的和小于6；④与2的差大于－1；⑤的4倍大于等于7；⑥的一半小于3．
（3）学生独立完成课本第55页例1．
注意：不是所有同类量都可以比较大小，例如不在同一直线上的两个力，它们只有等与不等关系，而无大小关系，这一点无需向学生说明．
学生活动：第（l）题抢答；第（2）题在练习本上完成，由两个学生板演，完成之后，由学生判断板演是否正确
教师活动：巡视辅导，统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励．
【教法说明】①第（1）题是为了调动积极性，强化竞争意识；第（2）题则是为了训练学生书面表述能力．
②教学时要注意引导学生将题目中表示不等关系的词语翻译成相应的不等号，例如“小于”用“＜”表示，“大于等于”用“≥”表示．
下面研究什么使不等式成立，请同学们尝试解答习题：
已知数值；－5，，3，0，2，－2.5，5.2；
（1）判断：上述数值哪些使不等式成立？哪些使不成立？
（2）说出几个使不等式成立的的数值；说出几个使不成立的数值．
学生活动：同桌研究讨论，尝试得到答案．
教师活动：引导学生回答，使未知数的取值不仅有正整数，还有负数、零、小数．
师生总结：判定不等式是否成立的方法就是：如果不等号两侧数值的大小关系与不等另一致，称不等式成立；否则不成立．例如对于；当时，的值小于6，就说时不等式成立；当时，的值不小于6，就说时，不成立．
【教法说明】通过学生自己举例，培养他们运用已有的知识探索新知识的意识，同时也活跃了课堂气氛．
4．变式训练，培养能力
（1）当取下列数值时，不等式是否成立？
－7，0，0.5，1，，10
（2）①用不等式表示：与3的和小于等于（不大于）6；
②写出使上述不等式成立的几个的数值；
③取何值时，不等式总成立？取何值时不成立？
学生在练习本上完成1题，2题，同桌订正；教师抽查，强调注意事项．
【教法说明】
①使学生进一步了解使不等式成立的未知数的值可以有多个，为6.2讲解不等式的解集做准备．
②强化思维能力和归纳总结能力．
（四）总结、扩展
学生小结，师生共同完善：
本节课的重点内容：1．掌握不等式是否成立的判断方法；2．依题意列出正确的不等式．
注意：列不等式时，要注意把表示不等关系的词语用相庆的不等号来表示．例如“不大于”用“≤”表示，而不用“＜”表示，这一点学生容易出现错误．
八、布置作业
（一）必做题：P61A组1，2，3．
（二）选做题：
1．单项选择
（1）绝对值小于3的非负整数有（）
A．1，2B．0，1C．0，1，2D．0，1，3
（2）下列选项中，正确的是（）
A．不是负数，则
B．是大于0的数，则
C．不小于－1，则
D．是负数，则
2．依题意列不等式
（1）的3倍与7的差是非正数
（2）与6的和大于9且小于12
（3）A市某天的最低气温是－5℃，最高气温是10℃，设这天气温为℃，则满足的条件是____________________．
【设计说明】1．再现本节重点，巩固所学知识．
2．有层次性地布置作业，可以调动全体学生的学习积极性，这也是实施素质教育的具体体现．
参考答案
1．＜，＜，＞，＞，＜，＜
2．5.2，6，8.3，11是的解，－10，－7，－4.5，0，3不是解
3．（1）（2）（3）（4）
（二）1．（1）C（2）D
2．（1）（2）（3）
九、板书设计
6.1（一）
一、什么叫不等式？
用：“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示不等关系的式子叫不等式．
重点研究“＞”“＜”
二、依题意列不等式
“大于”“＞”；“小于”“＜”；“不大于”“≤”；“不小于”“≥”；
三、不等式能否成立
时，（√）；时，（×）；
时，（×）
四、归纳总结重点
（一）依题意列不等式．
（二）会判断不等式是否成立．
十、背景知识与课外阅读
费马数
费马（P．deFermat）是17世纪法国著名数学家，是法国南部土鲁斯议会的议员，他在数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献．他无意发表自己的著作，平生没有完整的著作问世．去世后，人们才把他写在书页空白处和给朋友的书信中，以及一些陈旧手稿中的论述收集汇编成书．费马特别爱好数论，在这方面有好几项成就，如费马数、费马小定理、费马大定理等．
费马于1640年前后，在验算了形如
的数当的值分别为
3，5，17，257，65537
后（请注意这些数均为质数）便宣称：对于为任何自然数，是质数．
大约过了100年，1732年数学家欧拉（L．Euler）指出
．
从而否定了费马的上述结论（猜想）．
尔后，人们又对进行了大量研究，发现在中，除了上述五个质数外，人们尚未再发现新的质数．
虽然费马的这个猜想是错误的，但为了纪念这位数学家，人们仍把这种形式的数叫做费马数．
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数学教案－不等式它的基本性质初中教案精选
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．
2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式形．
（二）能力训练点
培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．
（三）德育渗透点
培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．
（四）美育渗透点
通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操。
二、学法引导
1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法．
2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．
三、重点难点疑点及解决办法
（一）重点
掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．
（二）难点
正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．
（三）疑点
弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的关系是学生学习的疑点．
（四）解决办法
讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键．
四、课时安排
一课时
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质．
2．通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质．
3．通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育．
七、教学步骤
（－）明确目标
本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用．
（二）整体感知
通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式．不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立．但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向．这是在不等式变形时应特别注意的地方．
（三）教学过程
1．创设情境，复习引入
什么是等式？等式的基本性质是什么？
学生活动：独立思考，指名回答．
教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式．
请同学们继续观察习题：
（1）用“＞”或“＜”填空．
①7＋3____4＋3②7＋（－3）____4＋（－3）
③7×3____4×3④7×（－3）____4×（－3）
（2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？
学生活动：观察思考，两个（或几个）学生回答问题，由其他学生判断正误．
【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．
不等式有哪些基本性质呢？研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（实质是移项法则），请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质．
学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质．
教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变．”
师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书．
不等式基本性质1不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
对比等式两边都乘（或除以）同一个数的性质（强调所乘的数可正、可负、也可为0）请大家思考，不等式类似的性质会怎样？
学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，－3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论．
【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在？”两边都乘（或除以）同一个负数呢？0呢？为什么？
师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书．
不等式基本性质2不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
不等式基本性质3不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
师生活动：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论．
学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记．
强调：要特别注意不等式基本性质3．
实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．
不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系？
学生活动：思考、同桌讨论．
归纳：只有乘（或除以）负数时不同，此外都类似．下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质．
①若，则，；
②若，且，则，；
③若，且，则，．
师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用．
注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若，则．②若，且，则，这些先不要向学生说明．
2．尝试反馈，巩固知识
请学生先根据自己的理解，解答下面习题．
例1根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．
（1）（2）（3）（4）
学生活动：学生独立思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．
教师板书（1）（2）题解题过程．（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．
解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变．
所以
（2）根据不等式基本性质1，两边都减去，得
（3）根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得
（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4得
【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与或对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范．
例2设，用“＜”或“＞”填空．
（1）（2）（3）
学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照．
解：（1）因为，两边都减去3，由不等式性质1，得
（2）因为，且2＞0，由不等式性质2，得
（3）因为，且－4＜0，由不等式性质3，得
教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励．
注意问题：例2（3）是根据不等式性质3，不等号方向应改变．这是学生做题时易出错误之处．
【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力．
3．变式训练，培养能力
（1）用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由．（不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示．）
①∵∴（）②∵∴（）
③∵∴（）④∵∴（）
⑤∵∴⑥∵∴（）
学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛．
答案：
①（A）②（B）
③（C）④（C）
⑤（C）⑥（A）
【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．
（2）单项选择：
①由得到的条件是（）
A．B．C．D．
②由由得到的条件是（）
A．B．C．D．
③由得到的条件是（）
A．B．C．D．是任意有理数
④若，则下列各式中错误的是（）
A．B．C．D．
师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由．
答案：①A②D③C④D
（3）判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”
①∵∴()②∵∴()
③∵∴()④若，则∴，()
学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误．
答案：①√②×③√④×
【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率；（2）练习第③④题易出错，教师应讲清楚．
（四）总结、扩展
1．本节重点：
（1）掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3．
（2）能正确应用性质对不等式进行变形．
2．注意事项：
（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点．
（2）当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．
3．考点剖析：
不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题．
八、布置作业
（一）必做题：P61A组4，5．
（二）选做题：P62B组1，2，3．
参考答案
（一）4．（1）（2）（3）（4）
5．（1）（2）（3）（4）
（5）（6）
（二）1．（1）（2）（3）
2．（1）（2）（3）（4）
3．（1）（2）（3）
九、板书设计
6.1不等式和它的基本性质（二）
一、不等式的基本性质
1．不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
若，则，．
2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，若，，则．
3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则．
二、应用
例1解（1）（2）
（3）（4）
例2解（1）（2）
（3）
三、小结
注意不等式性质3的应用．
十、背景知识与课外阅读
盒子里有红、白、黑三种球，若白球的个数不少于黑球的一半，且不多于红球的，又白球和黑球的和至少是55，问盒中红球的个数最少是多少个？
数学教案－不等式它的基本性质的教学方案
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节教学的重点是不等式的三条基本性质．难点是不等式的基本性质3．掌握不等式的三条基本性质是进一步学习一元一次不等式（组）的解法等后续知识的基础．
1．不等式的概念
用不等号（“＜”、“＞”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式．
另外，（“≥”是把“＞”、“＝”）结合起来，读作“大于或等于”，或记作“≮”，亦即“不小于”）、（“≤”是把“＜”、“＝”结合起来，读作“小于或等于”，或记作“≯”，也就是“不大于”）等等，也都是不等式．
2．当不等式的两边都加上或乘以同一个正数或负数时，所得结果仍是不等式．但变形所得的不等式中不等号的方向，有的与原不等式中不等号的方向相同，有的则不相同．因而叙述时不能笼统说成“……仍是不等式”，而应明确变形所得的不等式中不等号的方向．
3．不等式成立与不等式不成立的意义
例如：在不等式中，字母表示未知数．当取某一数值时，的值小于2，我们就说当时，不等式成立；当取另外某一个数值时，的值不小于2，我们就说当时，不等式不成立．
4．不等式的三条基本性质是不等式变形的重要依据，性质1、2类似等式性质，不等号的方向不改变，性质3不等号的方向改变，这是不等式独有的性质，也是初学者易错的地方，因此要特别注意．
一、素质教育目标
（－）知识教学点
1．了解不等式的意义．
2．理解什么是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法．
3．能依题意准确迅速地列出相应的不等式．
（二）能力训练点
1．培养学生运用类比方法研究相关内容的能力．
2．训练学生运用所学知识解决实际问题的能力．
（三）德育渗透点
通过引导学生分析问题、解决问题，培养他们积极的参与意识，竞争意识．
（四）美育渗透点
通过不等式的学习，渗透具有不等量关系的数学美．
二、学法引导
1．教学方法：观察法、引导发现法、讨论法．
2．学生学法：只有准确理解不等号的几种形式的意义，才能在实际中进行灵活的运用．
三、重点难点疑点及解决办法
（一）重点
掌握不等式是否成立的判定方法；依题意列出正确的不等式．
（二）难点
依题意列出正确的不等式
（三）疑点
如何把题目中表示不等关系的词语准确地翻译成相应的数学符号．
（四）解决方法
在正确理解不等号的意义后，通过抓住体现不等量的关系的词语就能准确列出相应的不等式．
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．创设情境，通过复习有关等式的知识，自然导入新课的学习，激发学生的学习热情．
2．从演示的有关实验中，探究相应的不等量关系，从学生的讨论、分析中探究代数式的不等关系的几种常见形式．
3．从师生的互动讲解练习中掌握不等式的有关知识，并培养学生具有一定的灵活应用能力．
七、教学步骤
（一）明确目标
本节课主要学习依题意正确迅速地列出不等式．
（二）整体感知
通过复习等式创设情境，自然过渡到不等式的学习过程中，又通过细心的分析、审题寻找出正确的不等量关系，从而列出正确的不等式．
（三）教学过程
1．创设情境，复习导入
我们已经学过等式和它的基本性质，请同学们观察下面习题，思考并回答：
（1）什么是等式？等式中“＝”两侧的代数式能否交换？“＝”是否具有方向性？
（2）已知数值：－5，，3，0，2，7，判断：上述数值哪些使等式成立？哪些使等式不成立？
学生活动：首先自己思考，然后指名回答．
教师释疑：①“＝”表示相等关系，它没有方向性，等号两例可以相互交换，有时不交换只是因为书写习惯，例如方程的解．
②判断数取何值，等式成立和不成立实质上是在判断给定的数值是否为方程的解，因为等式为一元一次方程，它只有惟一解，所以等式只有在时成立，此外，均不成立．
【教法说明】设置上述习题，目的是使学生温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．
2．探索新知，讲授新课
不等式和等式既有联系，又有区别，大家在学习时要自觉进行对比，请观察演示实验并回答：演示说明什么问题？
师生活动：教师演示课本第54页天平称物重的两个实例（同时指出演示中物重为克，每个砝码重量均为1克），学生观察实验，思考后回答：演示中天平若不平衡说明天平两边所放物体的重量不相等．
【教法说明】结合实际生活中同类量之间具有一种不相等关系的实例引入不等式的知识，能激发学生的学习兴趣．
在实际生活中，像演示这样同类量之间具有不相等关系的例子是大量的、普遍的，这种关系需用不等式来表示．那么什么是不等式呢？请看：
，，
，，
提问：（l）上述式子中有哪些表示数量关系的符号？（2）这些符号表示什么关系？（3）这些符号两侧的代数式可以随意交换位置吗？（4）什么叫不等式？
学生活动：观察式予，思考并回答问题．
答案：（1）分别使用“＜”“＞”“≠”．（2）表示不等关系．（3）不可以随意互换位置．（4）用不等号表示不等关系的式子叫不等式．
不等号除了“＜”“＞”“≠”之外，还有无其他形式？
学生活动：同桌讨论，尝试得到结论．
教师释疑：①不等号除“＜”“＞”“≠”外，还有“≥”“≤”两种形式（“≥”是指“＞”与“＝”结合起来，读作“大于或等于”，也可理解成“不小于”；同理“≤”读作“小于或等于”，也可理解成“不大于”．）现在，我们来研究用“＞”“＜”表示的不等式．
②不等号“＞”“＜”表示不等关系，它们具有方向性，因而不等号两侧不可互交换，例如，不能写成．
【教法说明】①通过学生自己观察思考，进而猜测出不等式的意义，这种教法充分发挥了学生的主体作用．
②通过教师释疑，学生对不等号的种类及其使用有了进一步的了解．
3．尝试反馈，巩固知识
同类量之间的大小关系常用“＞”“＜”来表示，请同学们根据自己对不等式的理解，解答习题．
（1）用“＜”或“＞”境空．（抢答）
①4___－6；②－1____0③－8___－3；④－4.5___－4．
（2）用不等式表示：
①是正数；②是负数；③与3的和小于6；④与2的差大于－1；⑤的4倍大于等于7；⑥的一半小于3．
（3）学生独立完成课本第55页例1．
注意：不是所有同类量都可以比较大小，例如不在同一直线上的两个力，它们只有等与不等关系，而无大小关系，这一点无需向学生说明．
学生活动：第（l）题抢答；第（2）题在练习本上完成，由两个学生板演，完成之后，由学生判断板演是否正确
教师活动：巡视辅导，统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励．
【教法说明】①第（1）题是为了调动积极性，强化竞争意识；第（2）题则是为了训练学生书面表述能力．
②教学时要注意引导学生将题目中表示不等关系的词语翻译成相应的不等号，例如“小于”用“＜”表示，“大于等于”用“≥”表示．
下面研究什么使不等式成立，请同学们尝试解答习题：
已知数值；－5，，3，0，2，－2.5，5.2；
（1）判断：上述数值哪些使不等式成立？哪些使不成立？
（2）说出几个使不等式成立的的数值；说出几个使不成立的数值．
学生活动：同桌研究讨论，尝试得到答案．
教师活动：引导学生回答，使未知数的取值不仅有正整数，还有负数、零、小数．
师生总结：判定不等式是否成立的方法就是：如果不等号两侧数值的大小关系与不等另一致，称不等式成立；否则不成立．例如对于；当时，的值小于6，就说时不等式成立；当时，的值不小于6，就说时，不成立．
【教法说明】通过学生自己举例，培养他们运用已有的知识探索新知识的意识，同时也活跃了课堂气氛．
4．变式训练，培养能力
（1）当取下列数值时，不等式是否成立？
－7，0，0.5，1，，10
（2）①用不等式表示：与3的和小于等于（不大于）6；
②写出使上述不等式成立的几个的数值；
③取何值时，不等式总成立？取何值时不成立？
学生在练习本上完成1题，2题，同桌订正；教师抽查，强调注意事项．
【教法说明】
①使学生进一步了解使不等式成立的未知数的值可以有多个，为6.2讲解不等式的解集做准备．
②强化思维能力和归纳总结能力．
（四）总结、扩展
学生小结，师生共同完善：
本节课的重点内容：1．掌握不等式是否成立的判断方法；2．依题意列出正确的不等式．
注意：列不等式时，要注意把表示不等关系的词语用相庆的不等号来表示．例如“不大于”用“≤”表示，而不用“＜”表示，这一点学生容易出现错误．
八、布置作业
（一）必做题：P61A组1，2，3．
（二）选做题：
1．单项选择
（1）绝对值小于3的非负整数有（）
A．1，2B．0，1C．0，1，2D．0，1，3
（2）下列选项中，正确的是（）
A．不是负数，则
B．是大于0的数，则
C．不小于－1，则
D．是负数，则
2．依题意列不等式
（1）的3倍与7的差是非正数
（2）与6的和大于9且小于12
（3）A市某天的最低气温是－5℃，最高气温是10℃，设这天气温为℃，则满足的条件是____________________．
【设计说明】1．再现本节重点，巩固所学知识．
2．有层次性地布置作业，可以调动全体学生的学习积极性，这也是实施素质教育的具体体现．
参考答案
1．＜，＜，＞，＞，＜，＜
2．5.2，6，8.3，11是的解，－10，－7，－4.5，0，3不是解
3．（1）（2）（3）（4）
（二）1．（1）C（2）D
2．（1）（2）（3）
九、板书设计
6.1不等式和它的基本性质（一）
一、什么叫不等式？
用：“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示不等关系的式子叫不等式．
重点研究“＞”“＜”
二、依题意列不等式
“大于”“＞”；“小于”“＜”；“不大于”“≤”；“不小于”“≥”；
三、不等式能否成立
时，（√）；时，（×）；
时，（×）
四、归纳总结重点
（一）依题意列不等式．
（二）会判断不等式是否成立．
十、背景知识与课外阅读
费马数
费马（P．deFermat）是17世纪法国著名数学家，是法国南部土鲁斯议会的议员，他在数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献．他无意发表自己的著作，平生没有完整的著作问世．去世后，人们才把他写在书页空白处和给朋友的书信中，以及一些陈旧手稿中的论述收集汇编成书．费马特别爱好数论，在这方面有好几项成就，如费马数、费马小定理、费马大定理等．
费马于1640年前后，在验算了形如
的数当的值分别为
3，5，17，257，65537
后（请注意这些数均为质数）便宣称：对于为任何自然数，是质数．
大约过了100年，1732年数学家欧拉（L．Euler）指出
．
从而否定了费马的上述结论（猜想）．
尔后，人们又对进行了大量研究，发现在中，除了上述五个质数外，人们尚未再发现新的质数．
虽然费马的这个猜想是错误的，但为了纪念这位数学家，人们仍把这种形式的数叫做费马数．
经典初中教案不等式的解集
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节教学的重点是的概念及在数轴上表示的方法．难点为的概念．
1.不等式的解与方程的解的意义的异同点
相同点：定义方式相同（使方程成立的未知数的值，叫做方程的解）；解的表示方法也相同．
不同点：解的个数不同，一般地，一个不等式有无数多个解，而一个方程只有一个或几个解，例如，能使不等式成立，那么是不等式的一个解，类似地等也能使不等式成立，它们都是不等式的解，事实上，当取大于的数时，不等式都成立，所以不等式有无数多个解．
2.不等式的解与解集的区别与联系
不等式的解与是两个不同的概念，不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而，是指满足这个不等式的未知数的所有的值，不等式的所有解组成了解集，解集中包括了每一个解．
注意：必须满足两个条件：第一，解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；第二，解集外的任何一个数值，都不能使不等式成立．
3.不等式解集的表示方法
（1）用不等式表示
一般地，一个含未知数的不等式有无数多个解，其解集是某个范围，这个范围可用一个最简单的不等式表示出来，例如，不等式的解集是．
（2）用数轴表示
如不等式的解集，可以用数轴上表示4的点的左边部分表示，因为包含，所以在表示4的点上画实心圆．
如不等式的解集，可以用数轴上表示4的点的左边部分表示，因为包含，所以在表示4的点上画实心圈.
注意：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以在数轴上表示时应牢记：大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈．
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．使学生了解、解不等式的概念，会在数轴上表示出．
2．知道不等式的“解集”与方程“解”的不同点．
（二）能力训练点
通过教学，使学生能够正确地在数轴上表示出，并且能把数轴上的某部分数集用相应的不等式表示．
（三）德育渗透点
通过讲解不等式的“解集”与方程“解”的关系，向学生渗透对立统一的辩证观点．
（四）美育渗透点
通过本节课的学习，让学生了解可利用图形来表达，渗透数形结合的数学美．
二、学法引导
1．教学方法：类比法、引导发现法、实践法．
2．学生学法：明确不等式的解与解集的区别和联系，并能熟练地用数轴表示，在数轴上表示时，要特别注意：大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈．
三、重点·难点·疑点及解决办法
（一）重点
1．不等式解集的概念．
2．利用数轴表示．
（二）难点
正确理解不等式解集的概念．
（三）疑点
弄不清与方程的解的区别、联系．
（四）解决办法
弄清楚不等式的解与解集的概念．
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片、直尺．
六、师生互动活动设计
（一）明确目标
本节课重点学习，解不等式的概念并会用数轴表示．
（二）整体感知
通过枚举法来形象直观地推出，再给出不等式解集的概念，从而更准确地让学生掌握该概念．再通过师生的互动学习用数轴表示，从而为今后求不等式组的解集打下良好的基础．
（三）教学过程
1．创设情境，复习引入
（1）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．
①②
（2）当取下列数值时，不等式是否成立？
l，0，2，－2.5，－4，3.5，4，4.5，3．
学生活动：独立思考并说出答案：（1）①②．（2）当取1，0，2，－2.5，－4时，不等式成立；当取3.5，4，4.5，3时，不等式不成立．
大家知道，当取1，2，0，－2.5，－4时，不等式成立．同方程类似，我们就说1，2，0，－2.5，－4是不等式的解，而3.5，4，4.5，3这些使不等式不成立的数就不是不等式的解．
对于不等式，除了上述解外，还有没有解？解的个数是多少？将它们在数轴上表示出来，观察它们的分布有什么规律？
学生活动：思考讨论，尝试得出答案，指名板演如下：
【教法说明】启发学生用试验方法，结合数轴直观研究，把已说出的不等式的解2，0，1，－2.5，－4用“实心圆点”表示，把不是的解的数值3.5，4，4.5，3用“空心圆圈”表示，好像是“挖去了”．
师生归纳：观察数轴可知，用“实心圆点”表示的数都落在3的左侧，3和3右侧的数都用空心圆圈表示，从而我们推断，小于3的每一个数都是不等式的解，而大于或等于3的任何一个数都不是的解．可以看出，不等式有无限多个解，这无限多个解既包括小于3的正整数、正小数、又包括0、负整数、负小数；把不等式的无限多个解集中起来，就得到的解的集会，简称不等式的解集．
2．探索新知，讲授新课
（1）
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个．
①以方程为例，说出一元一次方程的解的情况．
②不等式的解的个数是多少？能一一说出吗？
（2）解不等式
求的过程，叫做解不等式．
解方程求出的是方程的解，而解不等式求出的则是，为什么？
学生活动：观察思考，指名回答．
教师归纳：正是因为一元一次方程只有惟一解，所以可以直接求出．例如的解就是，而不等式的解有无限多个，无法一一列举出来，因而只能用不等式或揭示这些解的共同属性，也就是求出．实际上，求某个就是运用不等式的基本性质，把原不等式变形为或的形式，或就是原不式的解集，例如的解集是，同理，的解集是．
【教法说明】学生对一元一次方程的解印象较深，而不等式与方程的相同点较多，因而易将与“方程的解”混为一谈，这里设置上述问题，目的是使学生弄清与“方程的解”的关系．
（3）在数轴上表示
①表示不等式的解集：（）
分析：因为未知数的取值小于3，而数轴上小于3的数都在3的左边，所以就用数轴上表示3的点的左边部分来表示解集．注意未知数的取值不能为3，所以在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈，表示不包括3这一点，表示如下：
②表示的解集：（）
学生活动：独立思考，指名板演并说出分析过程．
分析：因为未知数的取值可以为－2或大于－2的数，而数轴上大于－2的数都在－2右边，所以就用数钢上表示－2的点和它的右边部分来表示．如下图所示：
注意问题：在数轴上表示－2的点的位置上，应画实心圆心，表示包括这一点．
【教法说明】利用数轴表示不等式解的解集，增强了解集的直观性，使学生形象地看到不等式的解有无限多个，这是数形结合的具体体现．教学时，要特别讲清“实心圆点”与“空心圆圈”的不同用法，还要反复提醒学生弄清到底是“左边部分”还是“右边部分”，这也是学好本节内容的关键．
3．尝试反馈，巩固知识
（1）与有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这两个解集表示出来．
（2）在数轴上表示下列．
①②③④
（3）指出不等式的解集，并在数轴上表示出来．
师生活动：首先学生在练习本上完成，然后教师抽查，最后与出示投影的正确答案进行对比．
【教法说明】教学时，应强调2．（4）题的正确表示为：
我们已经能够在数轴上准确地表示出，反之若给出数轴上的某部分数集，还要会写出与之对应的来．
4．变式训练，培养能力
（1）用不等式表示图中所示的解集．
【教法说明】强调“·”“°”在使用、表示上的区别．
（2）单项选择：
①不等式的解集是（）
A．B．C．D．
②不等式的正整数解为（）
A．1，2B．1，2，3C．1D．2
③用不等式表示图中的解集，正确的是（）
A．B．C．D．
④用数轴表示正确的是（）
学生活动：分析思考，说出答案．（教师给予纠正或肯定）
【教法说明】此题以抢答形式茁现，更能激发学生探索知识的热情．
（四）总结、扩展
学生小结，教师完善：
1．本节重点：
（1）了解的概念．
（2）会在数轴上表示．
2．注意事项：
弄清“·”还是“°”，是“左边部分”还是“右边部分”．
七、布置作业
必做题：P65A组3．（1）（2）（3）（4）
八、板书设计
6.2
一、1．：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解的集合，简称．
2．解不等式：求不等式解的过程
二、在数轴上表示
1．2．
三、注意：（1）“·”与“°”；（2）“左边部分”与“右边部分”．
一元一次不等式它的解法初中教案精选
教学建议
一、知识结构
二、重点难点分析
本节教学的重点是掌握解一元一次不等式的步骤．难点是必须切实注意遇到要在不等式两边都乘以(或除以)同一负数时，必须改变不等号的方向．掌握一元一次不等式的解法是进一步学习一元一次方程组的解法以及一元二次不等式的解法的重要基础.
1﹒一元一次不等式和一元一次方程概念的异同点
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，左、右两边都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，一元一次方程表示相等关系．
（3）同方程类似，我们把或叫做一元一次不等式的标准形式．
2﹒一元一次不等式和一元一次方程解法的异同点
相同点：步骤相同，二者都是经过变形，把左边变成，右边变为一个常数．
不同点：在进行第（1）步去分母和第（5）步将项的系数化为1的变形时，要根据同乘（或同除）的数的正负，决定是否要改变不等号的方向．当然，如果不能确定同乘（或同除）的数的符号时，就要进行讨论．这正是解不等式时最容易发生错误的地方．
注意：（1）解方程的移项法则对解不等式同样适用．
（2）解不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而百的顺序，要根据不等式形式灵活安排求解步骤．熟练后，步骤及检验还可以合并简化．
三、教法建议
在讲一元一次不等式的解法时，应突出抓住与方程解法不同的地方，加强“去分母”和“系数化成l”这两个步骤的训练，因为这两个步骤会出现“在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”的情况，为此可以同一元一次方程对照着讲．
解不等式的过程就是将不等式进行同解变形的过程，这也是一种运算．新大纲规定：“运算能力包括会根据法则公式等正确地进行运算，理解运算的算理，能根据题目条件寻求合理，简捷的运算途径．”要培养解不等式的能力首先要使学生理解和掌握算理，即掌握不等式的基本性质，正确理解不等式、不等式的解集等有关概念．
这节课是在复习一元一次方程的基本思想和步骤中学习解一元一次不等式的．要突出不等式基本性质3，这是解不等式容易出错的地方．同时还要反复提醒同学注意克服解方程变形中常犯的错误，在解不等式中也要重现．
（一）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．了解一元一次不等式的定义．
2．掌握一元一次不等式的解法．
（二）能力训练点
1．培训学生运用类比方法处理相关内容的能力．
2．培养学生用所学知识解决实际问题的能力．
（三）德育渗透点
通过类比一元一次方程的解法从而更好地去掌握一元一次不等式的解法，树立学生辩证唯物主义的思想方法．
（四）美育渗透点
通过本节课的学习，渗透不等式解集的奇异的数学美．
二、学法引导
1．教学方法：类化法、引导实践法、练习法．
2．学生学法：抓住解方程的一般解题步骤，归纳出解不等式的一般步骤．
三、重点·难点·疑点及解决方法
（一）重点
掌握一元一次不等式的解法、步骤并准确地求出解集．
（二）难点
正确运用不等式的基本性质3，避免变形中出现错误．
（三）疑点
弄清一元一次不等式与一元一次方程的异同．
（四）解决方法
观察比较一元一次方程与一元一次不等式解题步骤的区别及注意点，从而更准确地掌握一元一次不等式的解题步骤并重视易出错的环节．
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
直尺、投影仪或电脑、胶片．
六、师生互动活动设计
1．通过复习一元一次方程的概念及一般解题步骤，为本节课新授一元一次不等式的求解打下良好的坚实基础．
2．通过类比的办法引入一元一次不等式的概念及求解方法．教师一边示范一边提问让学生通过观察、类比从而加深对一元一次不等式求解的理解．
3．通过反复的练习，让学生掌握常见含字母的不等式的求解办法．从而达到熟能生巧的目的．
七、教学步骤
（一）明确目标
本节课将学习一元一次不等式的求解办法，并能熟练地解之．
（二）整体感知
让学生通过类比的方法既复习了一元一次方程的求解，又快捷地掌握一元一次不等式的求解，从而能更好地区分一元一次方程和一元一次不等式的求解过程的差异．
（三）教学过程
1．创设情境，复习引入
（1）提问：①什么叫一元一次方程？
②它的标准形式是什么？
③解一元一次方程的一般步骤是什么？
④一元一次方程一定有解吗？有几个解？
（2）解下列方程：①．
②，并在数轴上表示它们的解．
（3）指出不等式的解集，并在数轴上表示出来．
学生活动：第（1）题口答，第（2）题、第（3）题在练习本上完成，指定三个学生板演，完成后由学生判断是否正确．
教师活动：纠正，强调解方程时的常见错误及“·”与“。”的使用区别．然后指出，解不等式与解一元一次方程相比，最大的区别就是式子两边乘或除以同一个负数时，“不等号”需改变方向，“等号”不改变．除此之外的对式子进行的任何其他变形都是完全相同的．
【教法说明】由于一元一次不等式与一元一次方程在诸多方面都有联系，因此，教学时光复习一元一次方程的有关内容，然后引入一元一次不等式的相应内容，通过仿同求异对比来学习，这样既降低了学习难度，又强化了对新知识的理解．
2．探索新知，讲授新课
大家知道，不等式的解集是，变形的理论依据是不等式基本性质1，相当于解方程的移项法则，实际上，解不等式就是运用不等式的三条基本性质，对不等式进行适当变形（去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1）最终将不等式变形为或的形式，即求出不等式的解集．
大家知道，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，例如．一元二次方程的标准形式是．类似地，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式，例如．
一元一次不等式的标准形式为或
注意问题：判断一个不等式是否为一元一次不等式，应先将它化成最简形式，再用定义判断．形如的不等式不是一元一次不等式，而是矛盾不等式．
解一元一次不等式与解一元一次方程有类似的步骤，但一定要注意当不等式的两边同乘（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．
例1解不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
例2解不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
师生活动：教师板书例1，学生板书例2．（同桌交换练习，指出对方错误井纠正）
（1）解方程：
解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
化系数为1，得
方程的解在数轴上表示如下：
例1解不等式：
解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
化系数为1，得
不等式的解在数轴上表示如下：
（2）解方程：
解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
化系数为1，得
方程的解在数轴上表示如下：
例2解不等式
解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
化系数为1，得
不等式的解在数轴上表示如下：
【教法说明】①通过对比一元一次不等式与一元一次方程的解题步骤，一方面加深学生对相同点的认识，另一方面强化学生对不同点的理解、认识和记忆．
②教学时，教师要注意强调不等式性质3的应用、方程变形中常见的错误，及实心圆点与空心圆圈的区别．
3．尝试反馈，巩固知识
解下列不等式：
①②③④
⑤（并在数轴上表示其解集）
答案：①②③④⑤
解⑤：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
不等式的解集在数轴上表示如下：
【教法说明】教学时，①、②小题可作抢答题，③、④小题在练习本上完成，然后与投影出示的正确答案进行对比．⑤小题学生口述，这样既锻炼了学生的运算能力，强化了竞争意识，同时也检验了学生解不等式的能力．
4．变式训练，培养能力
（1）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
①②
答案：①②
师生活动：首先学习练习，教师巡视，了解做题情况．接着与正确解题过程进行对比，最后教师对练习中的共性错误进行纠正和强调．
（2）单项选择题：
①下列各式中，是一元一次不等式的是（）
A．B．
C．D．
②不等式的解集是（）
A．B．C．D．
③在解不等式的过程中，①去分母得②移项得③合并得④解集为：
其中错误的是（）
A．①B．②C．③D．④
④下列不等式中，解集不同的是（）
A．与B．与
C．与D．与
答案：D，C，D，D．
学生活动：分析思考，讨论完成，指名回答并说出理由．
教师活动：纠正错误及强调注意事项．
【教法说明】通过同桌（或前后桌）的分析讨论，各抒己见，即激发了学生的学习兴趣又强化了学生思维的灵敏性、科学性、主动性．
（四）归纳、扩展
1．本节重点：
一元一次不等式的概念及其解法．
2．注意问题：
①不等式性质3的正确使用．
②避免不等式变形中常见的错误（去分母时不要漏乘，移项要变号，书写不能连写不等号等）．
八、布置作业
（一）必做题：P73A组1．（1）（2）（4）（5）．
（二）选做题：P73～P74A组2．（2）（4）（6）；B组1．
参考答案
（一）1．（1）（2）（4）（5）
（二）2．（2）（4）（6）
1．
九、板书设计
6.3（一）
一、一元一次不等式
1．概念：只含有一个未知数且未知数次数为1，系数不为0的不等式叫一元一次不等式．
注意：针对最简形式而言．
2．标准形式或（其中）
二、解法（与一元一次方程进行对比）
1．例1
解：解：
2．例2
解：解：
三、小结
注意：1．不等式性质3．
2．变形中常见错误．
经典初中教案数学教案－不等式的解集
教学目标
1．使学生正确理解不等式的解，不等式的解集，解不等式等概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法；
2．培养学生观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法；
3．在本节课的教学过程中，渗透数形结合的思想，并使学生初步学会运用数形结合的观点去分析问题、解决问题．
教学重点和难点
重点：不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法．
难点：不等式的解集的概念．
课堂教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
1．什么叫不等式？什么叫方程？什么叫方程的解？(请学生举例说明)
2．用不等式表示：
(1)x的3倍大于1；(2)y与5的差大于零；
3．当x取下列数值时，不等式x＋3＜6是否成立？
－4，3.5，4，－2.5，3，0，2.9．
(2、3两题用投影仪打在屏幕上)
二、讲授新课
1．引导学生运用对比的方法，得出不等式的解的概念
2．不等式的解集及解不等式
首先，向学生提出如下问题：
不等式x＋3＜6，除了上面提到的，－4，－2.5，0，2.9是它的解外，还有没有其它的解？若有，解的个数是多少？它们的分布是有什么规律？
(启发学生利用试验的方法，结合数轴直观研究．具体作法是，在数轴上将是x＋3＜6的解的数值－4，－2.5，0，2.9用实心圆点画出，将不是x＋3＜6的解的数值3.5，4，3用空心圆圈画出，好像是“挖去了”一样．如下图所示)
然后，启发学生，通过观察这些点在数轴上的分布情况，可看出寻求不等式x＋3＜6的解的关键值是“3”，用小于3的任何数替代x，不等式x＋3＜6均成立；用大于或等于3的任何数替代x，不等式x＋3＜6均不成立．即能使不等式x＋3＜6成立的未知数x的值是小于3的所有数，用不等式表示为x＜3．把能够使不等式x＋3＜6成立的所有x值的集合叫做不等式x＋3＜6的解的集合．简称不等式x＋3＜6的解集，记作x＜3．
最后，请学生总结出不等式的解集及解不等式的概念．(若学生总结有困难，教师可作适当的启发、补充)
一般地说，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合．简称为这个不等式的解集．
不等式一般有无限多个解．
求不等式的解集的过程，叫做解不等式．
3．启发学生如何在数轴上表示不等式的解集
我们知道解不等式不能只求个别解，而应求它的解集．一般而言，不等式的解集不是由一个数或几个数组成的，而是由无限多个数组成的，如x＜3．那么如何在数轴上直观地表示不等式x＋3＜6的解集x＜3呢？(先让学生想一想，然后请一名学生到黑板上试着用数轴表示一下，其余同学在下面自行完成，教师巡视，并针对黑板上板演的结果做讲解)
在数轴上表示3的点的左边部分，表示解集x＜3．如下图所示．
由于x=3不是不等式x＋3＜6的解，所以其中表示3的点用空心圆圈标出来．(表示挖去x=3这个点)
记号“≥”读作大于或等于，既不小于；记号“≤”读作小于或等于，即不大于．
例如不等式x＋5≥3的解集是x≥－2(想一想，为什么？并请一名学生回答)在数轴上表示如下图．
即用数轴上表示－2的点和它的右边部分表示出来．由于解中包含X=－2，故其中表示－2的点用实心圆点表示．
此处，教师应强调，这里特别要注意区别是用空心圆圈“°”还是用实心圆点“”，是左边部分，还是右边部分．
三、应用举例，变式练习
例1在数轴上表示下列不等式的解集：
(4)1≤x≤4；(5)－2＜x≤3；(6)－2≤x＜3．
解：(1)，(2)，(3)略．
(4)在数轴上表示1≤x≤4，如下图
(5)在数轴上表示－2＜x≤3，如下图
(6)在数轴上表示－2≤x＜3，如下图
(此题在讲解时，教师要着重强调：注意所给题目中的解集是否包含分界点，是左边部分还是右边部分．本题应分别让6名学生板演，其余学生自行完成，教师巡视,遇到问题，及时纠正)
例2用不等式表示下列数量关系，再用数轴表示出来：
(1)x小于－1；(2)x不小于－1；
(3)a是正数；(4)b是非负数．
解：(1)x小于－1表示为x＜－1；(用数轴表示略)
(2)x不小于－1表示为x≥－1；(用数轴表示略)
(3)a是正数表示为a＞0；(用数轴表示略)
(4)b是非负数表示为b≥0．(用数轴表示略)
(以上各小题分别请四名学生回答，教师板书，最后，请学生在笔记本上画数轴表示)
例3用不等式的解集表示出下列各数轴所表示的数的范围．(投影，请学生口答，教师板演)
解：(1)x＜2；(2)x≥－1.5；(3)－2≤x＜1．
(本题从另一侧面来揭示不等式的解集与数轴上表示数的范围的一种对应关系，从而进一步加深学生对不等式解集的理解，以使学生进一步领会到数形结合的方法具有形象，直观，易于说明问题的优点)
练习(1)用简明语言叙述下列不等式表示什么数：①x＞0；②x＜0；③x＞－1；④x≤－1．
(2)在数轴上表示下列不等式的解集：
①x＞3；②x≥－1；③x≤－1.5；
(3)*观察不等式x－4＜0的解集是什么？用不等式和数轴分别表示出来.它的正数解是什么？自然数解是什么？(*表示选作题)
四、师生共同小结
针对本节课所学内容，请学生回答以下问题：
1．如何区别不等式的解，不等式的解集及解不等式这几个概念？
2．找出一元一次方程与不等式在“解”，“求解”等概念上的异同点．
3．记号“≥”、“≤”各表示什么含义？
4．在数轴上表示不等式解集时应注意什么？
结合学生的回答，教师再强调指出，不等式的解、不等式的解集及解不等式这三者的定义是区别它们的唯一标准；在数轴上表示不等式解集时，需特别注意解的范围的分界点，以便在数轴上正确使用空心圆圈“°”和实心圆点“”．
五、作业
1．不等式x＋3≤6的解集是什么？
2．在数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x≤1；(2)x≥0；(3)－1＜x≤5；
3．求不等式x＋2＜5的正整数解．vv
3.4等式的基本性质的教学方案
一、教学目标
1、知识目标：
（1）通过天平实验让学生探索等式具有的性质并予以归纳。
（2）能利用等式的性质解一元一次方程。
2、能力目标：通过实验培养学生探索能力、观察能力、归纳能力和应用新知的能力
。3、情感目标：通过实验操作增强合作交流的意识。
二、教材分析：
1、地位与作用：在掌握了一元一次方程的概念及其初步应用后，需要解决的是一元一次方程的解法，借助于等式的性质来解一元一次方程。为下几节的学习铺平道路.首先通过天平的实验操作,使学生学会观察、尝试分析、归纳等式的性质。然后，利用等式的基本性质解一元一次方程。通过解方程的学习提高了学生观察问题、解决问题的能力.
2、重点：利用等式的性质解方程。
3、难点：对等式的性质的理解及应用。
三、教学准备：天平，砝码．
四、教学过程：
动（一）：温故知新：实验一：天平一边放重３００克的一本书，另一边放５０克的砝码多少各个才能使天平保持平衡？准备天平，让学生边做边观察边思考
活动（二）：提出问题、解决问题：问题一：你能解决这个问题吗？在天平平衡后，两边分别同时放上两个砝码，天平还能保持平衡吗？试一试。问题二：如果把天平看成等式，你能得到什么规律，试一试用文字语言叙述后再用字母表示先合作、交流，后找多名学生归纳规律，在学生都理解后教师出示：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。设x=y,则：x+c=y+cx-c=y-c(c为一个代数式)问题三：如果天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，那么天平还保持平衡吗？你能得到什么规律？并用字母表示。小组进行实验，总结规律。等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。设x=y,则：cx=cyx/c=y/c(c为一个不为零的数)
活动（三）拓展运用：例1解下列方程：（1）x+2=5（2）3=x-5第一题教师领学生完成，给出解方程的完整步骤，逐步培养学生推理能力。第二题学生口答，教师板书，锻炼学生组织语言能力。例2解下列方程：（1）-3x=15（2）-n/3-2=10学生独立完成（两生黑板练习），后两生给与评价。
活动（四）：议一议：通过对以上两个方程的求解，请你思考一下，用什么方法可以知道你的解对不对？合作交流并回答
活动（五）：练一练：课本随堂练习。
活动（六）：小结反思：通过上面的学习，你有什么收获？另外你有什么感触？活动（七）：布置作业：必做题推荐作业：
数学教案－等式它的性质初中教案精选
教学设计示例
一、素质教育目标
（一）知识起学点
1．理解：等式的意义，并能举出有关等式的例子．
2．掌握：关于等式变形的两条性质，并能语言叙述．
3．应用：会用等式的两条性质将等式变形，并能对变形说明理由．
（二）能力训练点
通过等式的两条性质的教学，培养学生由等式走向新等式的解题思想，即为以后方程的同解变形打下基础．
（三）德育渗透点
从特殊到一般的思维方法．
（四）美育渗透点
等式的两条性质体现了数学的对称美．
二、学法引导
1．教学方法：采取引导发现法，创设合理的问题情境，激发学生思维的积极性，充分展现学生的主体作用．
2．学生学法：演示实验→等式性质→巩固练习．
三、重点、难点、疑点及解决办法
1．重点：等式概念的认识理解，等式性质的归纳．
2．难点：利用等式的两条性质变形等式．
3．疑点：（1）等式性质2中，关于除数不为零的理解．
（2）利用性质变形时，对“等式两边”的理解．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片、简单实物．
六、师生互动活动设计
师生共同做演示实验，得出等式性质，教师出示巩固性练习，学生以多种形式完成．
七、教学步骤
（－）创设情境，复习导入
教师在上课开始时，给出如下的数学关系
（出示投影1）
；；
；；
；
师提出问题：观察上面式子表示了什么关系？由学生回答“相等关系”后引出等式的概念和等式的含义，分清等式的左边和右边．
教师和学生一起完成一个演示实验：
两只手中各拿4支粉笔，现在我们再分别从粉笔盒里拿出两支，放入相应手中，问两只手中粉笔个数的关系？如果我们将开始手中的粉笔各放回两支怎样呢？既扩大到原来的2倍，或缩小到原来的2倍，结果还是相等．
（二）探索新知，讲授新课
教师引导学生，把上面实验抽象为一个数学问题．
即：4＝4．
提出问题：由上面两组等式变形，我们可以得出关于等式变形什么结论？把上面式中2，改3或－5行吗？
学生活动：让全体学生参与讨论，启发学生怎样用精炼的语言叙述，或分组推荐代表回答．
师总结等式的性质：
由前两式总结：1．等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个等整式，所得结果仍是等式．
由后两式总结：2．等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为零），所得结果仍是等式．
提出问题：①4＝4两边都加上整式如：两边都加上结果还是等式吗？
②第二结论中所说除数可以是零吗？
学生活动：学生回答问题后，教师对上面结论加以补充说明．
教师归纳：以上两个规律，就是我们今天学习的“等式性质”
【教法说明】通过以上两条性质的总结，教师应强调以下四点：
①等式的性质1是加法和减法运算，等式的性质2是乘法或除法运算．
②等式的两边都参与运算，并且是同一种运算．
③加（或减）、乘以（或除以）的是同一个数．
④零不能做除数或分母．
（三）尝试反馈，巩固练习
【教法说明】由于这组题是例题的巩固，因此可以由学生讨论分组，以竞赛形式回答以增加课堂上的参与意识．
（出示投影2）
1．判断：已知等式，下列等式是否成立？
①；②；③；④．
2．若，请同学们根据等式性质编出三个等式并说出你的编写根据．
【教法说明】这组题是对等式性质的辨析，教学时应多让学生思考，并能说出依据．
（出示投影3）
1．从能不能得到呢？为什么？
2．从能不能得到呢？为什么？
3．从能不能得到呢？为什么？
4．从能不能得到呢？为什么？
学生活动：分组抢答．
【教法说明】从以上题目可知，根据等式的性质，从已知等式出发通过变形可得出新的等式．
（出示投影4）
例用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式
1．如果，那么；
2．如果，那么；
3．如果，那么．
【教法说明】分析：
1题从已知的一边入手，怎样变形就得到呢？（原等式两边都减去5）根据___________________________________________？
2题观察等式的右边怎样由变形成5（两边加上），即原来两边都加上，根据等式性质1．
3题观察等式左边怎样由变形为，即等式两边都除以0.2，根据等式性质2．
巩固练习：（出示投影5）
练习：用适当数填空，并且说出根据等式的哪条性质及怎样变形的？
1．如果，那么；
2．如果，那么；
3．如果，那么；
4．如果，那么；
5．如果，那么．
学生活动：分组讨论回答．
【教法说明】这一段是学生尝试利用等式性质对等式变形的练习过程，因此可采用小组竞赛、抢答等灵活的课堂训练形式．
师提出问题：上面问题同学们解答的非常好，下面请大家考虑一个问题，每个同学编一道和上面填空题类似的题目，交给同桌同学解答，并请对方谈谈所编题目是否符合标准．
【教法说明】上面问题教师应指导学生编题、解答，最后应用由学生代表性地评比一下，以培养学生灵活性、多角度思考数学问题的方法．
（四）变式训练，培养能力
我们通过学习等式的性质，不难发现可以利用等式的性质解决方程的求解问题（也就是可以求方程未知数的值）．
（出示投影6）
利用等式的性质解方程：
（1）；（2）；
解：等式两边都乘以2解：等式两边都加上7得
得
等式的两边都除以5
得．
【教法说明】上面题目可启发学生思考如何应用等式性质求方程中未知数的值，由学生思考后教师引导作答写出以上过程
（出示投影7）
已知：、都是数，利用等式性质将下列各小题中的等式进行变形，然后填空．
（1）如果，那么
这就是说，如果两个数的和为零，那么这两个数___________．
（2）如果，那么．
这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数__________．
【教法说明】这是利用等式变形来认识相反数、倒数问题，解题时注意“互为”问题的有关概念语言．
（五）归纳小结
师：我们今天学习了等式的概念和等式的性质，通过学习我们应该清楚：
1．能根据等式的性质，把已知等式通过变形得到一个新等式，问题的关键在于怎样从新等式出发考虑用什么性质变形，这要靠大家的观察分析能力．
2．我们今天学习的等式的性质，是将来解方程的依据．
八、随堂练习
1．填空题
（1）将等式的两边都__________得到，这是根据等式性质______．
（2）将等式的两边都乘以____________、或除以___________得到，这是根据等式性质____________；
（3）将等式的两边都____________得到，这是根据等式性质_____________；
（4）将等式的两边都__________得到，这是根据等式性质________．
2．用适当的整式填空，使所得结果仍是等式
（1）如果，那么；
（2）如果，那么；
（3）如果，那么；
（4）如果，那么；
（5）如果，那么．
3．判断下列变形是否正确
（1）由得到．（）
（2）由得到．（）
（3）由得到．（）
（4）由得到．（）
（5）由得到．（）
（6）由得到．（）
九、布置作业
1．课本第186页习题4.1A组，4.（6）（7）（8）；
2．课本第187页B组3．
十、板书设计
十一、参考答案
1．（1）加3，1；（2）2，，2；（3）减去，1；（4）除以，2．
2．（1）2；（2）－3；（3）；（4）；（5），3．
3．√√×××√
作业答案
4．（6）；（7）；（8）；
B组3．①，零；②，是1．
分式的基本性质
第一课时
（一）教学过程
【复习提问】
1．分式的定义？
2．分数的基本性质？有什么用途？
【新课】
1．类比分数的基本性质，由学生小结出：
分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：
，
（其中是不等于零的整式．）
2．加深对分式基本性质的理解：
例1下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）；
由学生口述分析，并反问：为什么？
解：∵
∴．
（2）；
学生口答，教师设疑：为什么题目未给的条件？（引导学生学会分析题目中的隐含条件．）
解：∵
∴．
（3）
学生口答．
解：∵，
∴．
例2填空：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据．
例3不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．
（1）；
分析学生讨论：①怎样才能不改变公式的值？②怎样把分子分母中各项系数都化为整数？
解：．
（2）．
解：．
例4判断取何值时，等式成立？
学生分组讨论后得出结果：
∴．
（二）随堂练习
1．当为何值时，与的值相等（）
A．B．C．D．
2．若分式有意义，则，满足条件为（）
A．B．C．D．以上答案都不对
3．下列各式不正确的是（）
A．B．
C．D．
4．若把分式的和都扩大两倍，则分式的值
A．扩大两倍B．不变
C．缩小两倍D．缩小四倍
（三）总结、扩展
1．．
2．性质中的可代表任何非零整式．
3．注意挖掘题目中的隐含条件．
4．利用将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理提供了便利条件．
（四）布置作业
教材P61中2、3；P62中B组的1
（五）板书设计
