数学教案－分式方程的应用
时间：2022-01-30 分式方程的应用 小学数学教案优秀范文解方程列分式方程解应用题
教学目标
1.使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；
2.通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。
教学重点和难点
重点：列分式方程解应用题.
难点：根据题意，找出等量关系，正确列出方程.
教学过程设计
一、复习
例解方程：
(1)2x++3=1;(2)15x=2×15x+12;
(3)2(1x+1x+3)+x－2x+3=1.
解(1)方程两边都乘以x(3+3),去分母，得
2(x+3)+x2=x2+3x,即2x－3x=－6
所以x=6.
检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.
(2)方程两边都乘以x(x+12)，约去分母，得
15(x+12)=30x.
解这个整式方程，得
x=12.
检验：当x=12时,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根.
(3)整理，得
2x+2x+3+x－2x+3=1,即2x+2+x－2x+3=1,
即2x++3=1.
方程两边都乘以x(x+3)，去分母，得
2(x+3)+x2=x(x+3),
即2x+6+x2=x2+3x,
亦即2x－3x=－6.
解这个整式方程，得x=6.
检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.
二、新课
例1一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?
请同学根据题意，找出题目中的等量关系.
答：骑车行进路程=队伍行进路程=15(千米)；
骑车的速度=步行速度的2倍；
骑车所用的时间=步行的时间－0.5小时.
请同学依据上述等量关系列出方程.
答案：
方法1设这名学生骑车追上队伍需x小时，依题意列方程为
15x=2×15x+12.
方法2设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意列方程为
15x－152x=12.
解由方法1所列出的方程，已在复习中解出，下面解由方法2所列出的方程.
方程两边都乘以2x，去分母，得
30－15=x，
所以x=15.
检验：当x=15时，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合题意.
所以骑车追上队伍所用的时间为15千米30千米／时=12小时.
答：骑车追上队伍所用的时间为30分钟.
指出：在例1中我们运用了两个关系式，即时间=距离速度，速度=距离时间.
如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量，那么按
速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程.
例2某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天?
分析；这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为s，工作所用时间设为t，工作效率设为m，三个量之间的关系是
s=mt,或t=sm，或m=st.
请同学根据题中的等量关系列出方程.
答案：
方法1工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，那么乙单独完成工程所需的天数就是(x+3)天，设工程总量为1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3.依题意，列方程为
2(1x+1x3)+x2－+3=1.
指出：工作效率的意义是单位时间完成的工作量.
方法2设规定日期为x天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程
2x++3=1.
方法3根据等量关系，总工作量—甲的工作量=乙的工作量，设规定日期为x天，则可列方程
1－2x=2x+3+x－2x+3.
用方法1～方法3所列出的方程，我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了.重点是找等量关系列方程.
三、课堂练习
1.甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.
2.A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.
答案：
1.甲每小时加工15个零件，乙每小时加工20个零件.
2.大，小汽车的速度分别为18千米／时和45千米／时.
四、小结
1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根.一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意.原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.
2.列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数.但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数.在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷.例如在课堂练习中的第2题，若题目的条件不变，把问题改为求大、小两辆汽车从A地到达B地各用的时间，如果设直接未知数，即设，小汽车从A地到B地需用时间为x小时，则大汽车从A地到B地需(x+5－12)小时，依题意，列方程
135x+5－12：135x=2：5.
解这个分式方程，运算较繁琐.如果设间接未知数，即设速度为未知数，先求出大、小两辆汽车的速度，再分别求出它们从A地到B地的时间，运算就简便多了.
五、作业
1.填空：
(1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；
(2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______;
(3)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.
2.列方程解应用题.
(1)某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?
(2)某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?
(3)已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
(4)A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知两车的速度之比是5：2，求两辆汽车各自的速度.
答案：
1.(1)mnm+n;(2)ma－b－ma;(3)maa+b.
2.(1)第二次加工时，每小时加工125个零件.
(2)步行40千米所用的时间为404=10(时).答步行40千米用了10小时.
(3)江水的流速为4千米／时.
课堂教学设计说明
1.教学设计中，对于例1，引导学生依据题意，找到三个等量关系，并用两种不同的方法列出方程；对于例2，引导学生依据题意，用三种不同的方法列出方程.这种安排，意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题，激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯.这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间.
2.教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用.例1是行程问题，其中距离是已知量，求速度(或时间)；例2是工程问题，其中工作总量为已知量，求完成工作量的时间(或工作效率).这些都是运用列分式方程求解的典型问题.教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系，以及列方程求解的思路，以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答，求解的思路是什么.学生完成课堂练习和作业，则是识别问题类型，能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系，探求解题思路.
3.通过列分式方程解应用题数学，渗透了方程的思想方法，从中使学生认识到方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器.方程的思想方法可以用“以假当真”和“弄假成真”两句话形容.如何通过设直接未知数或间接未知数的方法，假设所求的量为x，这时就把它作为一个实实在在的量.通过找等量关系列方程，此时是把已知量与假设的未知量平等看待，这就是“以假当真”.通过解方程求得问题的解，原先假设的未知量x就变成了确定的量，这就是“弄假成真”.
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数学教案－可化为一元一次方程的分式方程相关教学方案
一、教学目标
1．使学生理解分式方程的意义．
2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．
3．了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法．
4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．
5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．
二、教学重点和难点
1．教学重点：
(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．
(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．
2．教学难点：理解解分式方程时产生增根的原因．
三、教学方法
启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．
四、教学手段
演示法和同学练习相结合，以练习为主．
五、教学过程
(一)复习及引入新课
1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？
答：含有未知数的等式叫做方程．
使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
2．
解：(1)当时，
左边=，
右边=0，
∴左边=右边，
∴
(2)
(3)
3、在本章开始我们曾提出一个问题，经过分析得到问题的量为两个分式：，根据量间的关系列出方程：
这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．
(二)新课
板书课题：
板书：分式方程的定义．
分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．
练习：判断下列各式哪个是分式方程．（投影）
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)
在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程．
1、如何求解方程？
先由同学讨论如何解这个方程．
在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．如何去掉？方程两边同乘最简公分母.
解：两边同乘以最简公分母x(x-6)得
90(x-6)=60x解这个整式方程得x=18.
如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解．
检验：把x=18代入原方程
,
左边=右边
∴x=18是原方程的解．
2、如何解方程?
此题可由学生讨论解决.
解：方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得整式方程x+1=2
解整式方程，得x=1.
x=1时原方程的解是否正确？
检验：将x=1代入原方程，可知x=1使分式方程两边的分式分母均为零，这两个分式没意义，因此x=1不是原分式方程的解.
∴原方程无解．
讨论：1、2两题都是方程两边同除最简公分母将分式方程转化为整式方程，为什么2求出的x=1不是原方程的解，而我们又得到了x=1呢？
分析：方程同解原理2指出：方程的两边都乘以不等于零的同一个数，所得的方程与原方程同解．
在解1中，方程两边都乘以x(x-6)，接着求出x=18，而当x=18时，2(x+5)=216，所以相当于方程两边都乘以16(≠0)，因此所得的整式方程与原方程同解．
在解2中，方程两边都乘以(x+1)(x-1)，接着求出x=1，相当于方程两边都乘以零，结果使原方程无意义，这样得到的整式方程与原方程不同解．
像这样，在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根．
注意：由分式方程转化为一元一次方程过程中，要去分母就必须同乘一个整式，但整式可能为零，不能满足方程变换同解的原则，就使得分式方程可能产生增根，因此解分式方程后就必须检验．
由此可以想到，只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母)，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该式的值为零，则是原方程的增根．如能保证求解过程正确，则这种验根方法比较简便．
例1、解方程
对于例题给学生示范做题的格式、步骤.（投影显示步骤格式）
解：方程两边同乘x(x-2)，约去分母，得
5(x-2)=7x解这个整式方程，得
x=5．
检验：把x=-5代入最简公分母
x(x-2)=35≠0，
∴x=-5是原方程的解．
例2、解方程
解：方程两边同乘最简公分母(x-2)，约去分母，得
1=x-1-3(x-2)．（-3这项不要忘乘）
解这个整式方程，得
x=2．
检验：当x=2时，代入最简公分母(x-2)=0，
∴x=2是增根，
∴原方程无解．
注意：要求学生一定要严格按解题格式步骤完成.
(三)总结
解分式方程的一般步骤：
1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．
2．解这个整式方程．
3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
(四)练习
教材P．98中1由学生在黑板上写，教师订正．
六、作业
教材P．101中1．
七、板书设计
可化为一元一次方程的分式方程
一、教学目标
1．使学生理解分式方程的意义．
2．使学生掌握的一般解法．
3．了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法．
4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．
5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．
二、教学重点和难点
1．教学重点：
(1)的解法．
(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．
2．教学难点：理解解分式方程时产生增根的原因．
三、教学方法
启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．
四、教学手段
演示法和同学练习相结合，以练习为主．
五、教学过程
(一)复习及引入新课
1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？
答：含有未知数的等式叫做方程．
使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
2．
解：(1)当时，
左边=，
右边=0，
∴左边=右边，
∴
(2)
(3)
3、在本章开始我们曾提出一个问题，经过分析得到问题的量为两个分式：，根据量间的关系列出方程：
这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．
(二)新课
板书课题：
板书：分式方程的定义．
分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．
练习：判断下列各式哪个是分式方程．（投影）
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)
在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程．
1、如何求解方程？
先由同学讨论如何解这个方程．
在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．如何去掉？方程两边同乘最简公分母.
解：两边同乘以最简公分母x(x-6)得
90(x-6)=60x解这个整式方程得x=18.
如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解．
检验：把x=18代入原方程
,
左边=右边
∴x=18是原方程的解．
2、如何解方程?
此题可由学生讨论解决.
解：方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得整式方程x+1=2
解整式方程，得x=1.
x=1时原方程的解是否正确？
检验：将x=1代入原方程，可知x=1使分式方程两边的分式分母均为零，这两个分式没意义，因此x=1不是原分式方程的解.
∴原方程无解．
讨论：1、2两题都是方程两边同除最简公分母将分式方程转化为整式方程，为什么2求出的x=1不是原方程的解，而我们又得到了x=1呢？
分析：方程同解原理2指出：方程的两边都乘以不等于零的同一个数，所得的方程与原方程同解．
在解1中，方程两边都乘以x(x-6)，接着求出x=18，而当x=18时，2(x+5)=216，所以相当于方程两边都乘以16(≠0)，因此所得的整式方程与原方程同解．
在解2中，方程两边都乘以(x+1)(x-1)，接着求出x=1，相当于方程两边都乘以零，结果使原方程无意义，这样得到的整式方程与原方程不同解．
像这样，在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根．
注意：由分式方程转化为一元一次方程过程中，要去分母就必须同乘一个整式，但整式可能为零，不能满足方程变换同解的原则，就使得分式方程可能产生增根，因此解分式方程后就必须检验．
由此可以想到，只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母)，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该式的值为零，则是原方程的增根．如能保证求解过程正确，则这种验根方法比较简便．
例1、解方程
对于例题给学生示范做题的格式、步骤.（投影显示步骤格式）
解：方程两边同乘x(x-2)，约去分母，得
5(x-2)=7x解这个整式方程，得
x=5．
检验：把x=-5代入最简公分母
x(x-2)=35≠0，
∴x=-5是原方程的解．
例2、解方程
解：方程两边同乘最简公分母(x-2)，约去分母，得
1=x-1-3(x-2)．（-3这项不要忘乘）
解这个整式方程，得
x=2．
检验：当x=2时，代入最简公分母(x-2)=0，
∴x=2是增根，
∴原方程无解．
注意：要求学生一定要严格按解题格式步骤完成.
(三)总结
解分式方程的一般步骤：
1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．
2．解这个整式方程．
3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
(四)练习
教材P．98中1由学生在黑板上写，教师订正．
六、作业
教材P．101中1．
七、板书设计
可化为一元二次方程的分式方程
一、教学目标
1．使学生掌握的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根.
2．通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；
3．通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点.
二、重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点：的解法．
2．教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验．
3．教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性．
4．解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解．（2）无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤．（3）方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0.
三、教学步骤
（一）教学过程
1．复习提问
（1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么？
（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方法是什么？
（3）解方程，并由此方程说明解方程过程中产生增根的原因.
通过（1）、（2）、（3）的准备，可直接点出本节的内容：的解法相同.
在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量.
在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力.
2．例题讲解
例1解方程.
分析对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程中，发现问题并及时纠正.
解：两边都乘以，得
去括号，得
整理，得
解这个方程，得
检验：把代入，所以是原方程的根.
∴原方程的根是.
虽然，此种类型的方程在初二上学期已学习过，但由于相隔时间比较长，所以有一些学
生容易犯的类型错误应加以强调，如在第一步中．需强调方程两边同时乘以最简公分母．另
外，在把分式方程转化为整式方程后，所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由于是解
分式方程，所以在下结论时，应强调取一即可，这一点，教师应给以强调．
例2解方程
分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是
正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按的降幂排列，所
以将方程的分母作一转化，化为按字母终X进行降暴排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母．
解：方程两边都乘以，约去分母，得
整理后，得
解这个方程，得
检验：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把
代入它等于0，所以是增根．
∴原方程的根是
师生共同解决例1、例2后，教师引导学生与已学过的知识进行比较．
例3解方程.
分析：此题也可像前面例l、例2一样通过去分母解决，学生可以试，但由于转化后为一元四次方程，解起来难度很大，因此应寻求简便方式，通过引导学生仔细观察发现，方程中含有未知数的部分和互为倒数，由此可设，则可通过换元法来解题，通过求出y后，再求原方程的未知数的值．
解：设，那么，于是原方程变形为
两边都乘以y，得
解得
.
当时，，去分母，得
解得；
当时，，去分母整理，得
，
检验：把分别代入原方程的分母，各分母均不等于0.
∴原方程的根是
，.
此题在解题过程中，经过两次“转化”，所以在检验中，把所得的未知数的值代入原方程中的分母进行检验.
巩固练习：教材P49中1、2引导学笔答.
（二）总结、扩展
对于小结，教师应引导学生做出.
本节内容的小结应从所学习的知识内容、所学知识采用了什么数学思想及教学方法两方面进行.
本节我们通过类比的方法，在已有的解可化为一元一次方程的分式方程的基础上，学习了的解法，在具体方程的解法上，适用了“转化”与“换元”的基本数学思想与基本数学方法.
此小结的目的，使学生能利用“类比”的方法，使学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握.
四、布置作业
1．教材P50中A1、2、3.
2．教材P51中B1、2
五、板书设计
探究活动1
解方程：
分析：若去分母，则会变为高次方程，这样解起来，比较繁，注意到分母中都有，可用换元法降次
设，则原方程变为
∴
∴或无解
∴
经检验：是原方程的解
探究活动2
有农药一桶，倒出8升后，用水补满，然后又倒出4升，再用水补满，此时农药与水的比为18：7，求桶的容积．
解：设桶的容积为升，第一次用水补满后，浓度为，第二次倒出的农药数为4．升，两次共倒出的农药总量（8＋4·）占原来农药，故
整理，
（舍去）
答：桶的容积为40升．
经典初中教案可化为一元二次方程的分式方程
一、教学目标
1．使学生掌握的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根.
2．通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；
3．通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点.
二、重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点：的解法．
2．教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验．
3．教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性．
4．解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解．（2）无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤．（3）方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0.
三、教学步骤
（一）教学过程
1．复习提问
（1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么？
（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方法是什么？
（3）解方程，并由此方程说明解方程过程中产生增根的原因.
通过（1）、（2）、（3）的准备，可直接点出本节的内容：的解法相同.
在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量.
在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力.
2．例题讲解
例1解方程.
分析对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程中，发现问题并及时纠正.
解：两边都乘以，得
去括号，得
整理，得
解这个方程，得
检验：把代入，所以是原方程的根.
∴原方程的根是.
虽然，此种类型的方程在初二上学期已学习过，但由于相隔时间比较长，所以有一些学
生容易犯的类型错误应加以强调，如在第一步中．需强调方程两边同时乘以最简公分母．另
外，在把分式方程转化为整式方程后，所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由于是解
分式方程，所以在下结论时，应强调取一即可，这一点，教师应给以强调．
例2解方程
分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是
正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按的降幂排列，所
以将方程的分母作一转化，化为按字母终X进行降暴排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母．
解：方程两边都乘以，约去分母，得
整理后，得
解这个方程，得
检验：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把
代入它等于0，所以是增根．
∴原方程的根是
师生共同解决例1、例2后，教师引导学生与已学过的知识进行比较．
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可化为一元一次方程的分式方程初中教案精选
一、教学目标
1．使学生理解分式方程的意义．
2．使学生掌握的一般解法．
3．了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法．
4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．
5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．
二、教学重点和难点
1．教学重点：
(1)的解法．
(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．
2．教学难点：理解解分式方程时产生增根的原因．
三、教学方法
启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．
四、教学手段
演示法和同学练习相结合，以练习为主．
五、教学过程
(一)复习及引入新课
1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？
答：含有未知数的等式叫做方程．
使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
2．
解：(1)当时，
左边=，
右边=0，
∴左边=右边，
∴
(2)
(3)
3、在本章开始我们曾提出一个问题，经过分析得到问题的量为两个分式：，根据量间的关系列出方程：
这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．
(二)新课
板书课题：
板书：分式方程的定义．
分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．
练习：判断下列各式哪个是分式方程．（投影）
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)
在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程．
1、如何求解方程？
先由同学讨论如何解这个方程．
在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．如何去掉？方程两边同乘最简公分母.
解：两边同乘以最简公分母x(x-6)得
90(x-6)=60x解这个整式方程得x=18.
如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解．
检验：把x=18代入原方程
,
左边=右边
∴x=18是原方程的解．
2、如何解方程?
此题可由学生讨论解决.
解：方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得整式方程x+1=2
解整式方程，得x=1.
x=1时原方程的解是否正确？
检验：将x=1代入原方程，可知x=1使分式方程两边的分式分母均为零，这两个分式没意义，因此x=1不是原分式方程的解.
∴原方程无解．
讨论：1、2两题都是方程两边同除最简公分母将分式方程转化为整式方程，为什么2求出的x=1不是原方程的解，而我们又得到了x=1呢？
分析：方程同解原理2指出：方程的两边都乘以不等于零的同一个数，所得的方程与原方程同解．
在解1中，方程两边都乘以x(x-6)，接着求出x=18，而当x=18时，2(x+5)=216，所以相当于方程两边都乘以16(≠0)，因此所得的整式方程与原方程同解．
在解2中，方程两边都乘以(x+1)(x-1)，接着求出x=1，相当于方程两边都乘以零，结果使原方程无意义，这样得到的整式方程与原方程不同解．
像这样，在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根．
注意：由分式方程转化为一元一次方程过程中，要去分母就必须同乘一个整式，但整式可能为零，不能满足方程变换同解的原则，就使得分式方程可能产生增根，因此解分式方程后就必须检验．
由此可以想到，只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母)，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该式的值为零，则是原方程的增根．如能保证求解过程正确，则这种验根方法比较简便．
例1、解方程
对于例题给学生示范做题的格式、步骤.（投影显示步骤格式）
解：方程两边同乘x(x-2)，约去分母，得
5(x-2)=7x解这个整式方程，得
x=5．
检验：把x=-5代入最简公分母
x(x-2)=35≠0，
∴x=-5是原方程的解．
例2、解方程
解：方程两边同乘最简公分母(x-2)，约去分母，得
1=x-1-3(x-2)．（-3这项不要忘乘）
解这个整式方程，得
x=2．
检验：当x=2时，代入最简公分母(x-2)=0，
∴x=2是增根，
∴原方程无解．
注意：要求学生一定要严格按解题格式步骤完成.
(三)总结
解分式方程的一般步骤：
1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．
2．解这个整式方程．
3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
(四)练习
教材P．98中1由学生在黑板上写，教师订正．
六、作业
教材P．101中1．
七、板书设计
数学教案－方程它的解
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．通过本节知识的学习，使学生清楚了解方程、方程的解的概念，以及解方程的含义．
2．让学生学会根据条件列出方程．
（二）能力训练点
1．通过例2的教学，培养学生解决数学问题的思想方法和综合分析问题的思维能力．
2．通过例3方程的解的检验问题培养学生准确解题的能力及数学问题的严密性．
（三）德育渗透点
从已知到未知，从特殊到一般的认识问题的方法．
（四）美育渗透点
通过本节课的学习，学生会进一步体会到概念中语言的准确美与简洁美．
二、学法引导
1．教学方法：以尝试指导为主、练习巩固为辅，体现学生的主体活动，增强课堂上民主意识的体现．
2．学生学法：识记→练习
三、重点、难点、疑点及解决办法
1．重点：使学生了解方程的有关概念，会检验方程的解，并能根据求某数的简单条件，列出某数为未知数的一元方程（仅限于一次，二次）．
2．难点：列关于某数的简单方程．
3．疑点：关于方程解的理解．
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片．
六、师生互动活动设计
教师出示探索性练习题，学生讨论解答，得出有关概念，教师出示巩固性练习题，学生以多种形式完成．
七、教学步骤
（－）创设情境，复习导入
师：我们上一节共同学习了等式和等式的性质，我们知道了用“等号”表示相等关系的式子叫做等式．下面请同学们思考如下问题：
（出示投影1）或电脑显示如下
1．如果，那么，为什么？（根据什么等式性质）
2．如果，那么，根据等式什么性质？
3．如果，那么，根据等式什么性质？
4．如果，那么，根据等式什么性质？
师：同学们对这组问题回答的非常准确，条理清楚．说明我们掌握新知识，学习新方法的劲头很足，望同学们发扬．
（二）探索新知，讲授新课
师：请同学们观察上面题中等式：
；
；
；
．
这些等式中，象－3，6，2，－1，3，－7，5，8这些数都是已知的，我们把这些数叫做已知数．
再观察式中的也表示一个数，不难发现它相当于一个问号“？”，在研究它之前是未知的，像这样的数叫做未知数，像这样的式子，我们已经知道它是等式，因此方程就是含有未知数的等式．
师提出问题：
（1）请同学们把这个结果代入方程中，看一看会有什么结果？当学生能够回答出时方程左右两边相等这一结果后，引出概念：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，只有一个未知数的方程的解也叫方程的根．
（2）再观察到的变形过程
a被减数等于差加上减数．
得，
即．
再据一个因数等于积除以另一个因数，得，即．
（说明是小学解法）
e两边都加上7，得，,
即．
两僆都除以5，得，
．
提出问题：上面两种变形最终我们求出了什么？
两种方法所得结果一样吗？
【教法说明】通过上面提问由学生展开讨论，教师归纳上面过程实质上就是求方程解的过程．
师：求得方程解的过程，叫做解方程．
如：求得方程的解的两种方法，都可以叫解方程．
（三）尝试反馈，巩固练习
师提出问题：现在请同学们分组讨论，由各组派代表回答，如何判断一个式子是方程？
学活动：分组讨论，准备派代表回答，回答结果：（1）含有未知数，（2）等式．
（出示投影2）
例1判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数，如果不是，说明为什么？
①；②；③；④．
【教法说明】例1教学应注意，方程必须是含有未知数的等式．未知数的系数是1，可以省写．这个1，也是已知数，已知数包括它的符号．
巩固练习：
（出示投影3）
判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明为什么？
①；②；③；④．
【教法说明】这组可采用分组抢答形式，用竞赛加分的办法完成以增加学生学习的积极性，如：分成四组，班长记分，教师主持．
师提出问题：如果设某数为，请大家把下面的句子用方程的形式表示出来，看谁做得快．
（出示投影4）
（1）某数的与1的和是2；
（2）某数的4倍等于某数的3倍与7的差；
（3）某数与8的差的等于0．
学生活动：学生动笔动脑分析得出方程，由一个学生写在黑板上，如：
（1）；（4）；（3）．
【教法说明】为了使学生掌握，③小题应提醒学生注意运算的顺序，必要时加上括号．另外有时得出方程可有形式上的区别．
师提出问题：请同学们选择适当的未知数，列出例2中的方程：
（出示投影5）
例2根据下列条件列出方程：
（1）某数比它的大；
（2）某数比它的2倍小3；
（3）某数的一半比某数的3倍大4；
（4）某数比它的平方小42．
学生活动：要求学生独立完成上面的题目，完成后与小组同学讨论，对比，分组说出所列方程中，形式不一样地方．
【教法说明】教师可布置学生自编两个题目，留给同桌同学列方程，找代表说一说题目和方程．
（四）变式训练，培养能力
（出示投影6）
1．下列各式是不是方程，如果是，指出它的未知数是什么？
①；②；③；④；⑥；
⑦；⑧；⑨；⑩．
【教法说明】这组题用小组竞赛的形式完成，优胜组负责编一个这样的题目，点其他组任一同学解答，答对者给以掌声鼓励．
（出示投影7）
2．请同学们用两种方法，求出下面方程的解．
①；②；③；④．
【教法说明】这组题由学生在练习本上演练，教师指定学生口述，征求全体同学意见．
（出示投影8）
3．请同学们选用适当的未知数，写一个方程使方程的解是下面的数：
（1）1；（2）－2；（3）0；（4）2．
学生活动：分组编写，互相交换，观察所作方程的特征，互相交流经验、方法，增强协作意识．
【教法说明】这组题难度较大，教师在学生编题时要注意后进生的动态，多启发他们动脑筋，开发数学的逆向思维．
（五）归纳小结
师：本课内容与前两节内容的联系，可以用下图表示：
也就是说，方程是含有未知数的等式，可以用等式的性质来解方程．
八、随堂练习
1．选择题
（1）下列各式中是方程的是（）
A．B．C．D．
（2）下列说法正确的是（）
A．方程中未知数的值就是方程的解
B．方程的解也是方程的根
C．是方程的解
D．是方程的解
2．根据条件列出方程
（1）某数的一半比这个数小2；
（2）某数的绝对值比这个数的10%多10．
3．检验是否是方程的解．
九、布置作业
思考题：怎样检验某个数是某方程的解，讨论后每位同学交一份作业纸．
十、板书设计
十一、随堂练习答案
1．DD
2．设某数为（1）；（2）．
3．略
答：将某数代入方程，比较左右两边是否相等，即可知某数是否是方程的解
数学教案－分式的乘除法的教学方案
一、教学过程
【复习提问】
1．分式的基本性质？
2．分式的变号法则？
【新课】
数学小笑话：（配上漫画插图幻灯片）
从前有个不学无术的富家子弟，有一次，父母出远门去办事，把他交给厨师照看，厨师问他：“我每天三餐每顿给你做两个馒头，够吗？”他哭丧着脸说：“不够，不够！”厨师又问：“那我就一天给你吃六个，怎么样？”他马上欣喜地说：“够了！够了！”
问：这个富家子弟为什么会犯这样的错误？
分数约分的方法及依据是什么？
1．提出课题：分式可不可以约分？根据什么？怎样约分？约到何时为止？
学生分组讨论，最终达成共识．
2．教师小结：
（1）约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
（2）分式约分的依据：分式的基本性质．
（3）分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．
（4）最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．
3．例题与练习：
例1约分：
（1）；
请学生观察思考：①有没有公因式？②公因式是什么？
解：．
小结：①分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分．②分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边．
（2）；
请学生分析如何约分．
解：．
小结：①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．②注意对分子、分母符号的处理．
（3）；
解：原式．
（4）；
解：原式
．
（5）；
解：原式．
例2化简求值：
．其中，．
分析：约分是实现化简分式的一种手段，通过约分可把分式化成最简，而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件．
解：原式．
当，时．
．
二、随堂练习
教材P65练习1、2．
三、总结、扩展
1．约分的依据是分式的基本性质．
2．若分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母和系数约去它们的最大公约数．
3．若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分．
四、布置作业
教材P73中2、3．
补充思考讨论题：
1．将下列各式约分：
（1）；（2）；
（3）
2．已知，则
五、板书设计
数学教案－分式的基本性质教案模板
第一课时
（一）教学过程
【复习提问】
1．分式的定义？
2．分数的基本性质？有什么用途？
【新课】
1．类比分数的基本性质，由学生小结出分式的基本性质：
分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：
，
（其中是不等于零的整式．）
2．加深对分式基本性质的理解：
例1下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）；
由学生口述分析，并反问：为什么？
解：∵
∴．
（2）；
学生口答，教师设疑：为什么题目未给的条件？（引导学生学会分析题目中的隐含条件．）
解：∵
∴．
（3）
学生口答．
解：∵，
∴．
例2填空：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据．
例3不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．
（1）；
分析学生讨论：①怎样才能不改变公式的值？②怎样把分子分母中各项系数都化为整数？
解：．
（2）．
解：．
例4判断取何值时，等式成立？
学生分组讨论后得出结果：
∴．
（二）随堂练习
1．当为何值时，与的值相等（）
A．B．C．D．
2．若分式有意义，则，满足条件为（）
A．B．C．D．以上答案都不对
3．下列各式不正确的是（）
A．B．
C．D．
4．若把分式的和都扩大两倍，则分式的值
A．扩大两倍B．不变
C．缩小两倍D．缩小四倍
（三）总结、扩展
1．分式的基本性质．
2．性质中的可代表任何非零整式．
3．注意挖掘题目中的隐含条件．
4．利用分式的基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理提供了便利条件．
（四）布置作业
教材P61中2、3；P62中B组的1
（五）板书设计
