一、教学目标
1.使学生掌握的解法,能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解,并会验根.
2.通过本节课的教学,向学生渗透“转化”的数学思想方法;
3.通过本节的教学,继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点.
二、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点:的解法.
2.教学难点:解分式方程,学生不容易理解为什么必须进行检验.
3.教学疑点:学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析,进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性.
4.解决办法:(l)分式方程的解法顺序是:先特殊、后一般,即能用换元法的方程应尽量用换元法解.(2)无论用去分母法解,还是换元法解分式方程,都必须进行验根,验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤.(3)方程的增根具备两个特点,①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0.
三、教学步骤
(一)教学过程
1.复习提问
(1)什么叫做分式方程?解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么?
(2)解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验?检验的方法是什么?
(3)解方程,并由此方程说明解方程过程中产生增根的原因.
通过(1)、(2)、(3)的准备,可直接点出本节的内容:的解法相同.
在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后,让全体学生对照前面复习过的分式方程的解,来进一步加深对“类比”法的理解,以便学生全面地参与到教学活动中去,全面提高教学质量.
在前面的基础上,为了加深学生对新知识的理解,教师与学生共同分析解决例题,以提高学生分析问题和解决问题的能力.
2.例题讲解
例1解方程.
分析对于此方程的解法,不是教师讲如何如何解,而是让学生对已有知识的回忆,使用原来的方法,去通过试的手段来解决,在学生叙述过程中,发现问题并及时纠正.
解:两边都乘以,得
去括号,得
整理,得
解这个方程,得
检验:把代入,所以是原方程的根.
∴原方程的根是.
虽然,此种类型的方程在初二上学期已学习过,但由于相隔时间比较长,所以有一些学
生容易犯的类型错误应加以强调,如在第一步中.需强调方程两边同时乘以最简公分母.另
外,在把分式方程转化为整式方程后,所得的一元二次方程有两个相等的实数根,由于是解
分式方程,所以在下结论时,应强调取一即可,这一点,教师应给以强调.
例2解方程
分析:解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程,而转化为整式方程的关键是
正确地确定出方程中各分母的最简公分母,由于此方程中的分母并非均按的降幂排列,所
以将方程的分母作一转化,化为按字母终X进行降暴排列,并对可进行分解的分母进行分解,从而确定出最简公分母.
解:方程两边都乘以,约去分母,得
整理后,得
解这个方程,得
检验:把代入,它不等于0,所以是原方程的根,把
代入它等于0,所以是增根.
∴原方程的根是
师生共同解决例1、例2后,教师引导学生与已学过的知识进行比较.
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一、教学目标
1.使学生理解分式方程的意义.
2.使学生掌握的一般解法.
3.了解解分式方程时可能产生增根的原因,并掌握解分式方程的验很方法.
4.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.
5.通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.
二、教学重点和难点
1.教学重点:
(1)的解法.
(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想.
2.教学难点:理解解分式方程时产生增根的原因.
三、教学方法
启发式设问和同学讨论相结合,使同学在讨论中解决问题,掌握分式方程解法.
四、教学手段
演示法和同学练习相结合,以练习为主.
五、教学过程
(一)复习及引入新课
1.提问:什么叫方程?什么叫方程的解?
答:含有未知数的等式叫做方程.
使方程两边相等的未知数的值,叫做方程的解.
2.
解:(1)当时,
左边=,
右边=0,
∴左边=右边,
∴
(2)
(3)
3、在本章开始我们曾提出一个问题,经过分析得到问题的量为两个分式:,根据量间的关系列出方程:
这个方程和我们以前所见过的方程不同,它的主要特点是:分母中含有未知数,这种方程就是我们今天要研究的分式方程.
(二)新课
板书课题:
板书:分式方程的定义.
分母里含有未知数的方程叫分式方程.以前学过的方程都是整式方程.
练习:判断下列各式哪个是分式方程.(投影)
(1);(2);(3);
(4);(5)
在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程,(3)是分式,(4)(5)是分式方程.
1、如何求解方程?
先由同学讨论如何解这个方程.
在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.如何去掉?方程两边同乘最简公分母.
解:两边同乘以最简公分母x(x-6)得
90(x-6)=60x解这个整式方程得x=18.
如果我们想检验一下这种方法,就需要检验一下所求出的数是不是方程的解.
检验:把x=18代入原方程
,
左边=右边
∴x=18是原方程的解.
2、如何解方程?
此题可由学生讨论解决.
解:方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得整式方程x+1=2
解整式方程,得x=1.
x=1时原方程的解是否正确?
检验:将x=1代入原方程,可知x=1使分式方程两边的分式分母均为零,这两个分式没意义,因此x=1不是原分式方程的解.
∴原方程无解.
讨论:1、2两题都是方程两边同除最简公分母将分式方程转化为整式方程,为什么2求出的x=1不是原方程的解,而我们又得到了x=1呢?
分析:方程同解原理2指出:方程的两边都乘以不等于零的同一个数,所得的方程与原方程同解.
在解1中,方程两边都乘以x(x-6),接着求出x=18,而当x=18时,2(x+5)=216,所以相当于方程两边都乘以16(≠0),因此所得的整式方程与原方程同解.
在解2中,方程两边都乘以(x+1)(x-1),接着求出x=1,相当于方程两边都乘以零,结果使原方程无意义,这样得到的整式方程与原方程不同解.
像这样,在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根.
注意:由分式方程转化为一元一次方程过程中,要去分母就必须同乘一个整式,但整式可能为零,不能满足方程变换同解的原则,就使得分式方程可能产生增根,因此解分式方程后就必须检验.
由此可以想到,只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母),若该式的值不等于零,则是原方程的根;若该式的值为零,则是原方程的增根.如能保证求解过程正确,则这种验根方法比较简便.
例1、解方程
对于例题给学生示范做题的格式、步骤.(投影显示步骤格式)
解:方程两边同乘x(x-2),约去分母,得
5(x-2)=7x解这个整式方程,得
x=5.
检验:把x=-5代入最简公分母
x(x-2)=35≠0,
∴x=-5是原方程的解.
例2、解方程
解:方程两边同乘最简公分母(x-2),约去分母,得
1=x-1-3(x-2).(-3这项不要忘乘)
解这个整式方程,得
x=2.
检验:当x=2时,代入最简公分母(x-2)=0,
∴x=2是增根,
∴原方程无解.
注意:要求学生一定要严格按解题格式步骤完成.
(三)总结
解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去.
(四)练习
教材P.98中1由学生在黑板上写,教师订正.
六、作业
教材P.101中1.
七、板书设计
一、教学目标
1.使学生理解分式方程的意义.
2.使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法.
3.了解解分式方程时可能产生增根的原因,并掌握解分式方程的验很方法.
4.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.
5.通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.
二、教学重点和难点
1.教学重点:
(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法.
(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想.
2.教学难点:理解解分式方程时产生增根的原因.
三、教学方法
启发式设问和同学讨论相结合,使同学在讨论中解决问题,掌握分式方程解法.
四、教学手段
演示法和同学练习相结合,以练习为主.
五、教学过程
(一)复习及引入新课
1.提问:什么叫方程?什么叫方程的解?
答:含有未知数的等式叫做方程.
使方程两边相等的未知数的值,叫做方程的解.
2.
解:(1)当时,
左边=,
右边=0,
∴左边=右边,
∴
(2)
(3)
3、在本章开始我们曾提出一个问题,经过分析得到问题的量为两个分式:,根据量间的关系列出方程:
这个方程和我们以前所见过的方程不同,它的主要特点是:分母中含有未知数,这种方程就是我们今天要研究的分式方程.
(二)新课
板书课题:
板书:分式方程的定义.
分母里含有未知数的方程叫分式方程.以前学过的方程都是整式方程.
练习:判断下列各式哪个是分式方程.(投影)
(1);(2);(3);
(4);(5)
在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程,(3)是分式,(4)(5)是分式方程.
1、如何求解方程?
先由同学讨论如何解这个方程.
在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.如何去掉?方程两边同乘最简公分母.
解:两边同乘以最简公分母x(x-6)得
90(x-6)=60x解这个整式方程得x=18.
如果我们想检验一下这种方法,就需要检验一下所求出的数是不是方程的解.
检验:把x=18代入原方程
,
左边=右边
∴x=18是原方程的解.
2、如何解方程?
此题可由学生讨论解决.
解:方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得整式方程x+1=2
解整式方程,得x=1.
x=1时原方程的解是否正确?
检验:将x=1代入原方程,可知x=1使分式方程两边的分式分母均为零,这两个分式没意义,因此x=1不是原分式方程的解.
∴原方程无解.
讨论:1、2两题都是方程两边同除最简公分母将分式方程转化为整式方程,为什么2求出的x=1不是原方程的解,而我们又得到了x=1呢?
分析:方程同解原理2指出:方程的两边都乘以不等于零的同一个数,所得的方程与原方程同解.
在解1中,方程两边都乘以x(x-6),接着求出x=18,而当x=18时,2(x+5)=216,所以相当于方程两边都乘以16(≠0),因此所得的整式方程与原方程同解.
在解2中,方程两边都乘以(x+1)(x-1),接着求出x=1,相当于方程两边都乘以零,结果使原方程无意义,这样得到的整式方程与原方程不同解.
像这样,在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根.
注意:由分式方程转化为一元一次方程过程中,要去分母就必须同乘一个整式,但整式可能为零,不能满足方程变换同解的原则,就使得分式方程可能产生增根,因此解分式方程后就必须检验.
由此可以想到,只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母),若该式的值不等于零,则是原方程的根;若该式的值为零,则是原方程的增根.如能保证求解过程正确,则这种验根方法比较简便.
例1、解方程
对于例题给学生示范做题的格式、步骤.(投影显示步骤格式)
解:方程两边同乘x(x-2),约去分母,得
5(x-2)=7x解这个整式方程,得
x=5.
检验:把x=-5代入最简公分母
x(x-2)=35≠0,
∴x=-5是原方程的解.
例2、解方程
解:方程两边同乘最简公分母(x-2),约去分母,得
1=x-1-3(x-2).(-3这项不要忘乘)
解这个整式方程,得
x=2.
检验:当x=2时,代入最简公分母(x-2)=0,
∴x=2是增根,
∴原方程无解.
注意:要求学生一定要严格按解题格式步骤完成.
(三)总结
解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去.
(四)练习
教材P.98中1由学生在黑板上写,教师订正.
六、作业
教材P.101中1.
七、板书设计
教学目标:(1)理解一元二次方程的概念
(2)掌握一元二次方程的一般形式,会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
(2)会用因式分解法解一元二次方程
教学重点:一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式
教学难点:因式分解法解一元二次方程
教学过程:
(一)创设情景,引入新课
实际例子引入:列出的方程分别为X-7x+8=0,(X-7)(X+1)=89,X+8X-9=0
由学生说出这几个方程的共同特征,从而引出一元二次方程的概念。
(二)新授
1:一元二次方程的概念。(一个未知数、最高次2次、等式两边都是整式)
练习
2:一元二次方程的一般形式(形如aX+bX+c=0)
任一个一元二次方程都可以转化成一般形式,注意二次项系数不为零
3:讲解例子
4:利用因式分解法解一元二次方程
5:讲解例子
6:一般步骤
练习
(三)小结
(四)布置作业
板书设计
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