二次函数y=ax+bx+c

我相信初中教师都接触过教案，一篇好的教案需要我们精心构思，一份优质的教学方案往往来自教师长时间的经验累积，对于初中教案报的撰写你是否毫无头绪呢？为了帮助大家，下面是由小编为大家整理的二次函数y=ax+bx+c，仅供参考，欢迎大家阅读。

第一课时

教学目标

1．使学生会用描点法画出二次函数与的图象；

2．使学生能结合图象确定抛物线与的对称轴与顶点坐标；

3．通过比较抛物线与同的相互关系，培养学生观察、分析、总结的能力;

4.在本节的教学中，继续向学生进行数形结合、转化的数学思想方法的渗透；

5.通过本节课的教学，培养学生事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点.

教学重点：画出形如与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.

教学难点：理解函数、与及其图象间的相互关系

教学用具：微机

教学方法：探究式、小组合作学习

教学过程

一、复习引入

提问：1．什么是二次函数？

2．我们已研究过了什么样的二次函数？

3．形如的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？

通过这三个问题，进一步复习巩固所学的知识点，同时引出本节课要学习的问题.

从这节课开始，我们就来研究二次函数的图象.（板书课题）

二、新课

复习提问：用描点法画出函数的图象，并根据图象指出：抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标.（插入的图片）

教师可边提问边打开图片，然后可以找学生来指出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标，针对学生的回答情况加以总结，评价.

下面，我们来看一下如何完成下面的例题？

例1在同一平面直角坐标系画出函数、、的图象.（插入课件）

（一）函数对应值表的区别.

列表：

－3

－2

－1

0

1

2

3

10

5

2

1

2

5

10

9

4

1

0

1

4

7

8

3

0

－1

0

3

8

列完表之后，让学生观察上表归纳出，对于与，任意一个的值，解析式的函数值总比的函数值小1，对于同一个值，值总是小1，抛物线上的点向下平行移动一个单位，图象也向下平移一个单位.对于与也这样分析.分析完表后，再让同学们看课件中画出的函数与的图象.

（二）图象的区别.

然后，由学生来观察课件上画出的三条抛物线，让学生思考下列问题：

（1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

（2）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

（3）抛物线，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？

（4）抛物线，与有什么关系？

通过这四个问题，可使学生深入理解这三条抛物线之间的联系与区别，便于学生以后分析问题．

答：形状相同，位置不同．（继续演示课件，来说明学生观察、推理的正确性，激发学生的兴趣）

关于上述回答可继续提问：（可按学生的层次不同来选择问题的深度）

①你所说的形状相同具体是指什么？

答：抛物线的开口方向和开口大小都相同．

②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？

答：因为a的值相同．

通过这一问题，使学生对此类问题形成规律：抛物线的形状相同就说明a的值相同，而a的值相同就可以说抛物线的形状相同．加深学生对系数a的作用的理解．

③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？

先由学生思考，讨论之后，给出答案．

答：若沿y轴平移，这三条抛物线可重合．（演示动画）

④抛物线是由抛物线沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线呢？

答：抛物线是由抛物线沿y轴向上平移1个单位得到的；而抛物线是由抛物线沿y轴向下平移1个单位得到的．

⑤你认为是什么决定了会这样平移？

答：中的的值决定了会这样平移．若，则向上平移，若，则向下平移．

练习一教材P118中1学生独立完成，口答．

下面，我们再来看一类二次函数的图象：（演示动画）

例2在同一平面直角坐标系内画出与的图象．（插入动画）

注意：画这两个图形时，参考前面画图列表时的取值都是关于某一个值对称的，可先让学生猜测画这两个图时的取值各以应什么数为中间点，然后左右能对称．通过这样的训练能帮助学生以后自主考虑问题时怎样找思路列完表之后，与例l一样处理，演示课件直到三条抛物线全画出.画完图之后的观察和分析也可仿照例1完成．

注意：（l）关于抛物线与的对称轴的写法，要加以交待，若曾在讲完13．5后阅读过教科书P．113—115，这个问题就好解决了.若没有读过，可由学生讨论对称轴上点的特征来得到对称轴的表示方法.

（2）这次图象的平移是沿轴进行的，平移的单位和方向是由中的决定的，特别强调二次函数形式的写法是，而不是.

练习二P118中2学生独立完成，口答.

三、本节小结

本节课学习了二次函数与的图象的画法，主要内容如下。

（出示幻灯）填写下表：（可让学生回答）

表一：

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

表二：

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

八、布置作业

教材P124中1（1）、（2）

九、板书设计

13．7二次函数的图象（一）

例1：例2：

小结：小结：

第二课时

一、教学目标

1．使学生会用描点法画出二次函数的图像；

2．使学生知道抛物线的对称轴与顶点坐标；

3．通过本节的学习，继续培养学生的观察、分析、归纳、总结的能力；

4．通过本节的教学，继续向学生进行数形结合的数学思想方法的教育，同时向学生渗透事物间互相联系、以及运动、变化的辩证唯物主义思想；

5．通过本节课的研究，充分理解并认识到二次函数图像可运动变化的和谐美，通过数学思维的审美活动，提高对数学美的追求。

二、教学重点

会画形如的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。

三、教学难点：确定形如的二次函数的顶点坐标和对称轴。

4．解决办法：

四、教具准备

三角板或投影片

1．教师出示投影片，复习。

2．请学生动手画的图像，正好复习图像的画法，完成表格。

3．小结的性质

4．练习

五、教学过程

提问：1．前几节课，我们都学习了形如什么样的二次函数的图像？

答：形如。（板书）

2．这节课我们将来学习一种更复杂的二次函数的图像及其相关问题，你能先猜测一下我们将学习形如什么样的二次函数的问题吗？

由学生参考上面给出的三个类型，较容易得到：讨论形如的二次函数的有关问题．（板书）

一、复习引入

首先，我们先来复习一下前面学习的一些有关知识．（出示幻灯）

请你在同一直角坐标系内，画出函数的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．

这里之所以加上画函数的图像，是为了使最后通过图像的观察能更全面一些，也更直观一些，可以同时给出图像先沿y轴，再沿轴移动的方式，也可以给出图像

先沿轴再沿y轴移动的方式，使这部分知识能更全面，知识与知识之间的联系能更清晰、更具体．

画这三个函数图像，可由学生在同一表中列值，但是要根据各自的不同特点取自变量

的值，以便于学生进行观察．教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板，由一名同

学上黑板完成，其他同学在练习本上完成，待同学们基本做完之后加以总结，然后再找三名

同学，分别指出这三个图像的开口方向、对称轴及顶点坐标，填入事先准备好的表格中．

然后提问：你能否在这个直角坐标系中，再画出函数的图像？

由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图像，学生对画图已经有了一定的经验，

同时可在画这个图时，把这些经验形成规律，便于学生以后应用．

（l）关于列表：主要是合理选值与简化运算的把握，是教学要点．在选值时，首先要考虑的是函数图像的对称性，因此首先要确定中心值，然后再左，右取相同间隔的值；其次，选值时尽量选取整数，便于计算和描点．

在选取的值之后，计算y的值时，考虑到对称性，只需计算中心值一侧的值，另一侧由对称性可直接填入，但一定要保证运算正确．

（2）关于描点：一般可先定顶点（即中心值对应的点，然后利用对称性描出各点，以逐步提高速度．）

（3）关于连线：特别要注意顶点附近的大致走向。最后画的抛物线应平滑，对称，并符合抛物线的特点．

由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值，然后画出它的图像，同样找一名同学板演．

学生画完，教师总结完之后，让学生观察黑板上画出的四条抛物线，提问：

（1）你能否指出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标？

将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

向下

（0，0）

向下

（0，－1）

向下

（－1，0）

向下

（－1，－1）

（2）我们已知抛物线的开口方向是由二次函数中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？

这个问题由于是本节课的重点问题，而且不是很容易说清楚，可由学生进行广泛的讨论，先得出对称员的表示方法，再得出顶点坐标。若学生在讨论时没有头绪，教师可适当引导，让学生把这四个函数都改写成的形式，可得

；

。然后从这四个式子中加以观察，分析，得出结论；（板书）

一般地，抛物线有如下特点：

①时，开口向上；时，开口向下；

②对称轴是直线；

③顶点坐标是。

（3）抛物线有什么关系？

答：形状相同，位置不同。

（4）它们的位置有什么关系？

这个问题可视学生的程度来决定问还是不问，以及回答到什么程度。

根据上节课的学习，学生能想到是平移科来的，可把这四个图像分成以下几个问题来讨论：①抛物线是由抛物线怎样移动得到的？

②抛物线是由抛物线怎样移动得到的？

③抛物线是由抛物线怎样移动得到的？

④抛物线是由抛物线怎样移动得到的？

⑤抛物线是由抛物线怎样移动得到的？

这个问题分两种方式回答：先沿轴，再沿轴移动；或先沿轴，再沿轴移动。

通过这5个问题可使学生由浅入深地得到这四者之间的关系，如图所示：

注意：基本形式中的符号，特别是h。

练习：P120练习口答，及时纠正错误。

（四）总结、扩展

一般的二次函数，都可以变形成的形式，其中：

1．a能决定什么？怎样决定的？

答：a的符号决定抛物线的开口方向；a的绝对值大小抛物线的开口大小。

2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？

六、布置作业

教材P124中1（3）；P124中3（1）、（2）；P125中

七、板书设计

jK251.COm精选阅读

二次函数y=ax+bx+c教案模板

教学目标：

1、使学生进一步理解二次函数的基本性质；

2、渗透解析几何，数形结合，函数等数学思想.培养学生发现问题解决问题，及逻辑思维的能力.

3、使学生参与教学过程，通过主体的积极思维，体验感悟数学.逐步建立数学的观念，培养学生独立地获取知识的能力.

教学重点：初步理解数形结合的数学思想

教学难点：初步理解数形结合的数学思想

教学用具：微机

教学方法：探究式、小组合作学习

教学过程：

例1、已知：抛物线y=x2－（m2－1）x－2m2－2

⑴求证：无论m取什么实数，抛物线与x轴一定有两个交点

⑵m取什么实数时，两交点间距离最短？是多少？

解：

△=(m2－1)2＋4(2m2＋2)

=m4－2m2＋1＋8m2＋8

=m4＋6m2＋9

=(m2＋3)2

m2≥0

∴m2＋3＞0

∴△＞0

∴抛物线与x轴有两个交点

问题：为什么说当△＞0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点.（能否从数和形两方面说明）

设计意图：在课堂上创设让学生说数学的机会，学会合作学习，以达到①经验共享，在思维的碰撞中共同提高.②学会合作，消除个人中心.③发现自我，提高参与度.④弘扬个体的主体性，形成健康，丰富的个性.

数：点在曲线上，点的坐标满足曲线的方程.反之，曲线方程的每一个实数解对应的点都在曲线上.抛物线与x轴的交点，既在抛物线上，又在x轴上.所以交点的坐标既满足抛物线的解析式，也满足x轴的解析式.设交点坐标为（x，y）

∴

这样交点问题就转化成求这个二元二次方程组的解.代入y=0，消去y，转化成ax2+bx+c=0这个一元二次方程求根问题.根据以前学过的知识，当△＞0时，ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.∴y=ax2+bx+c

y=0

有两个不等的实数解

∴抛物线与ｘ轴交于两个不同的点.

形：顶点在ｘ轴上方，且开口向下.或者顶点在ｘ轴下方，且开口向上.

设计意图：渗透解析几何的基本思想

使学生掌握转化思想使学生在解题过程中，感知数学的直观性和形式化这二重性.掌握数形结合，分类讨论的思想方法.逐步学会数学的思维.

转化成代数语言为：

小结：第一种方法，根据解析几何的基本思想.将求曲线的交点问题，转化成求方程组的解的问题.

第二种方法，借助于图象思考问题，比较直观.发现规律后，再用数学的符号语言将其形式化.这既体现了数学中的数形结合的思想方法，也是探索解数学问题的一般方法.

思考：试从数、形两方面说明抛物线与x轴的交点个数与判别式的符号的关系.

设计意图：数学学习是一个再创造的过程，不能等同于数学知识的汇集，而要让学生经历数学知识的创造过程.使主体积极地参与到学习中去.以数学知识为载体，揭示出蕴涵于其中的数学思想方法，逐步形成数学观念.

⑵m取什么实数时,两交点间距离最短?是多少?

解：设二次函数与x轴的两交点为(x1,0)，(x2,0)

解法㈠由⑴可知m为任何实数时,都有△＞0

解①

∴x1＋x2=m2－1

x1·x2=－2(m2＋1)

∴│x2－x1│=

=

=

=

=m2＋3

∴当m=0时,两交点最小距离为3

这里两交点间距离是m的函数

设计意图：培养学生的问题意识.在解题过程中，发现问题，并能运用已有的数学知识，将其一般化，形式化，解决问题，体会数学问题解决的一般方法.培养学生独立地获取数学知识的能力.渗透函数思想

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二次函数y=ax+bx+c的教学方案

第一课时

教学目标

1．使学生会用描点法画出二次函数与的图象；

2．使学生能结合图象确定抛物线与的对称轴与顶点坐标；

3．通过比较抛物线与同的相互关系，培养学生观察、分析、总结的能力;

4.在本节的教学中，继续向学生进行数形结合、转化的数学思想方法的渗透；

5.通过本节课的教学，培养学生事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点.

教学重点：画出形如与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.

教学难点：理解函数、与及其图象间的相互关系

教学用具：微机

教学方法：探究式、小组合作学习

教学过程

一、复习引入

提问：1．什么是二次函数？

2．我们已研究过了什么样的二次函数？

3．形如的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？

通过这三个问题，进一步复习巩固所学的知识点，同时引出本节课要学习的问题.

从这节课开始，我们就来研究二次函数的图象.（板书课题）

二、新课

复习提问：用描点法画出函数的图象，并根据图象指出：抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标.（插入的图片）

教师可边提问边打开图片，然后可以找学生来指出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标，针对学生的回答情况加以总结，评价.

下面，我们来看一下如何完成下面的例题？

例1在同一平面直角坐标系画出函数、、的图象.（插入课件）

（一）函数对应值表的区别.

列表：

－3

－2

－1

0

1

2

3

10

5

2

1

2

5

10

9

4

1

0

1

4

7

8

3

0

－1

0

3

8

列完表之后，让学生观察上表归纳出，对于与，任意一个的值，解析式的函数值总比的函数值小1，对于同一个值，值总是小1，抛物线上的点向下平行移动一个单位，图象也向下平移一个单位.对于与也这样分析.分析完表后，再让同学们看课件中画出的函数与的图象.

（二）图象的区别.

然后，由学生来观察课件上画出的三条抛物线，让学生思考下列问题：

（1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

（2）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

（3）抛物线，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？

（4）抛物线，与有什么关系？

通过这四个问题，可使学生深入理解这三条抛物线之间的联系与区别，便于学生以后分析问题．

答：形状相同，位置不同．（继续演示课件，来说明学生观察、推理的正确性，激发学生的兴趣）

关于上述回答可继续提问：（可按学生的层次不同来选择问题的深度）

①你所说的形状相同具体是指什么？

答：抛物线的开口方向和开口大小都相同．

②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？

答：因为a的值相同．

通过这一问题，使学生对此类问题形成规律：抛物线的形状相同就说明a的值相同，而a的值相同就可以说抛物线的形状相同．加深学生对系数a的作用的理解．

③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？

先由学生思考，讨论之后，给出答案．

答：若沿y轴平移，这三条抛物线可重合．（演示动画）

④抛物线是由抛物线沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线呢？

答：抛物线是由抛物线沿y轴向上平移1个单位得到的；而抛物线是由抛物线沿y轴向下平移1个单位得到的．

⑤你认为是什么决定了会这样平移？

答：中的的值决定了会这样平移．若，则向上平移，若，则向下平移．

练习一教材P118中1学生独立完成，口答．

下面，我们再来看一类二次函数的图象：（演示动画）

例2在同一平面直角坐标系内画出与的图象．（插入动画）

注意：画这两个图形时，参考前面画图列表时的取值都是关于某一个值对称的，可先让学生猜测画这两个图时的取值各以应什么数为中间点，然后左右能对称．通过这样的训练能帮助学生以后自主考虑问题时怎样找思路列完表之后，与例l一样处理，演示课件直到三条抛物线全画出.画完图之后的观察和分析也可仿照例1完成．

注意：（l）关于抛物线与的对称轴的写法，要加以交待，若曾在讲完13．5后阅读过教科书P．113—115，这个问题就好解决了.若没有读过，可由学生讨论对称轴上点的特征来得到对称轴的表示方法.

（2）这次图象的平移是沿轴进行的，平移的单位和方向是由中的决定的，特别强调二次函数形式的写法是，而不是.

练习二P118中2学生独立完成，口答.

三、本节小结

本节课学习了二次函数与的图象的画法，主要内容如下。

（出示幻灯）填写下表：（可让学生回答）

表一：

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

表二：

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

八、布置作业

教材P124中1（1）、（2）

九、板书设计

13．7二次函数的图象（一）

例1：例2：

小结：小结：

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经典初中教案二次函数y=ax+bx+c

教学目标：

1、使学生进一步理解二次函数的基本性质；

2、渗透解析几何，数形结合，函数等数学思想.培养学生发现问题解决问题，及逻辑思维的能力.

3、使学生参与教学过程，通过主体的积极思维，体验感悟数学.逐步建立数学的观念，培养学生独立地获取知识的能力.

教学重点：初步理解数形结合的数学思想

教学难点：初步理解数形结合的数学思想

教学用具：微机

教学方法：探究式、小组合作学习

教学过程：

例1、已知：抛物线y=x2－（m2－1）x－2m2－2

⑴求证：无论m取什么实数，抛物线与x轴一定有两个交点

⑵m取什么实数时，两交点间距离最短？是多少？

解：

△=(m2－1)2＋4(2m2＋2)

=m4－2m2＋1＋8m2＋8

=m4＋6m2＋9

=(m2＋3)2

m2≥0

∴m2＋3＞0

∴△＞0

∴抛物线与x轴有两个交点

问题：为什么说当△＞0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点.（能否从数和形两方面说明）

设计意图：在课堂上创设让学生说数学的机会，学会合作学习，以达到①经验共享，在思维的碰撞中共同提高.②学会合作，消除个人中心.③发现自我，提高参与度.④弘扬个体的主体性，形成健康，丰富的个性.

数：点在曲线上，点的坐标满足曲线的方程.反之，曲线方程的每一个实数解对应的点都在曲线上.抛物线与x轴的交点，既在抛物线上，又在x轴上.所以交点的坐标既满足抛物线的解析式，也满足x轴的解析式.设交点坐标为（x，y）

∴

这样交点问题就转化成求这个二元二次方程组的解.代入y=0，消去y，转化成ax2+bx+c=0这个一元二次方程求根问题.根据以前学过的知识，当△＞0时，ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.∴y=ax2+bx+c

y=0

有两个不等的实数解

∴抛物线与ｘ轴交于两个不同的点.

形：顶点在ｘ轴上方，且开口向下.或者顶点在ｘ轴下方，且开口向上.

设计意图：渗透解析几何的基本思想

使学生掌握转化思想使学生在解题过程中，感知数学的直观性和形式化这二重性.掌握数形结合，分类讨论的思想方法.逐步学会数学的思维.

转化成代数语言为：

小结：第一种方法，根据解析几何的基本思想.将求曲线的交点问题，转化成求方程组的解的问题.

第二种方法，借助于图象思考问题，比较直观.发现规律后，再用数学的符号语言将其形式化.这既体现了数学中的数形结合的思想方法，也是探索解数学问题的一般方法.

思考：试从数、形两方面说明抛物线与x轴的交点个数与判别式的符号的关系.

设计意图：数学学习是一个再创造的过程，不能等同于数学知识的汇集，而要让学生经历数学知识的创造过程.使主体积极地参与到学习中去.以数学知识为载体，揭示出蕴涵于其中的数学思想方法，逐步形成数学观念.

⑵m取什么实数时,两交点间距离最短?是多少?

解：设二次函数与x轴的两交点为(x1,0)，(x2,0)

解法㈠由⑴可知m为任何实数时,都有△＞0

解①

∴x1＋x2=m2－1

x1·x2=－2(m2＋1)

∴│x2－x1│=

=

=

=

=m2＋3

∴当m=0时,两交点最小距离为3

这里两交点间距离是m的函数

设计意图：培养学生的问题意识.在解题过程中，发现问题，并能运用已有的数学知识，将其一般化，形式化，解决问题，体会数学问题解决的一般方法.培养学生独立地获取数学知识的能力.渗透函数思想

问题：观察本题两交点间距离与判别式的值之间有何异同？具有一般的规律吗？如何说明.

设x1、x2为ax2+bx+c=0的两根

可以推出：

还可以理解为顶点到x轴距离最短.

设计意图：在对比、分析中，明确概念，揭示知识间的联系，帮助学生建立良好的认知结构.

小结：观察这道题的结论，我们猜测出规律，将其一般化，推导出这个公式，这是学习数学知识的一般方法.

解法㈡：用十字相乘法或求根公式法求根.

思考：一元二次方程与二次函数的关系.

思考：求m取什么实数时，y=x2－（m2－1）x－2m2－2被直线y=2所截得的线段最短？是多少？

练习：

观察函数的图象，回答：

（1）y>0时，x的取值范围如何？

（2）y=0时，x取什么值？

（1）y

小结：数与形是数学中相互依赖的两个方面.图形比较直观，可以启发思路；而数学的严格证明也是必不可少的.直观性和形式化是数学的两重性.

探究活动

探究问题：

欣欣日用品零售商店，从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞（数量至少为100把），欣欣商店根据销售记录，这批雨伞以零售单价每把为14元出售时，月销售量为100把。如果零售单价每降价0.1元,月销售量就要增加5把.

(1)欣欣日用品零售商店以零售单价14元出售时，一个月的利润为多少元？

(2)欣欣日用品零售商店为了扩大销售记录,现实行降价销售,问分别降价0.2元、0.8元、1.2元、1.6元、2.4元、3元时的利润是多少？

(3)欣欣日用品零售商店实行降价销售后，问降价多少元时利润最大？最大利润为多少元？

(4)现在该公司的批发部为了再次扩大这种雨伞的销售量，给零售商制定如下优惠措施：如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把，其超过100把的部分每把按原价九五折（即百分之95）付费，但零售价每把不能低于10元。欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时，才能使这种雨伞的月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？（销售利润=销售款额—进货款额）

解：（1）（14—8）（元）

（2）638元、728元、748元、792元、792元、750元。

（3）设降价元时利润最大，最大利润为元

=

=

=

∴当时，有最大值

元

（4）设降价元时利润最大，利润为元

（其中）。

化简，得。

，

∴当时，有最大值。

∴。

二次函数y=ax+bx+c初中教案精选

第一课时

教学目标

1．使学生会用描点法画出二次函数与的图象；

2．使学生能结合图象确定抛物线与的对称轴与顶点坐标；

3．通过比较抛物线与同的相互关系，培养学生观察、分析、总结的能力;

4.在本节的教学中，继续向学生进行数形结合、转化的数学思想方法的渗透；

5.通过本节课的教学，培养学生事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点.

教学重点：画出形如与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.

教学难点：理解函数、与及其图象间的相互关系

教学用具：微机

教学方法：探究式、小组合作学习

教学过程

一、复习引入

提问：1．什么是二次函数？

2．我们已研究过了什么样的二次函数？

3．形如的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？

通过这三个问题，进一步复习巩固所学的知识点，同时引出本节课要学习的问题.

从这节课开始，我们就来研究二次函数的图象.（板书课题）

二、新课

复习提问：用描点法画出函数的图象，并根据图象指出：抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标.（插入的图片）

教师可边提问边打开图片，然后可以找学生来指出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标，针对学生的回答情况加以总结，评价.

下面，我们来看一下如何完成下面的例题？

例1在同一平面直角坐标系画出函数、、的图象.（插入课件）

（一）函数对应值表的区别.

列表：

－3

－2

－1

0

1

2

3

10

5

2

1

2

5

10

9

4

1

0

1

4

7

8

3

0

－1

0

3

8

列完表之后，让学生观察上表归纳出，对于与，任意一个的值，解析式的函数值总比的函数值小1，对于同一个值，值总是小1，抛物线上的点向下平行移动一个单位，图象也向下平移一个单位.对于与也这样分析.分析完表后，再让同学们看课件中画出的函数与的图象.

（二）图象的区别.

然后，由学生来观察课件上画出的三条抛物线，让学生思考下列问题：

（1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

（2）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

（3）抛物线，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？

（4）抛物线，与有什么关系？

通过这四个问题，可使学生深入理解这三条抛物线之间的联系与区别，便于学生以后分析问题．

答：形状相同，位置不同．（继续演示课件，来说明学生观察、推理的正确性，激发学生的兴趣）

关于上述回答可继续提问：（可按学生的层次不同来选择问题的深度）

①你所说的形状相同具体是指什么？

答：抛物线的开口方向和开口大小都相同．

②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？

答：因为a的值相同．

通过这一问题，使学生对此类问题形成规律：抛物线的形状相同就说明a的值相同，而a的值相同就可以说抛物线的形状相同．加深学生对系数a的作用的理解．

③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？

先由学生思考，讨论之后，给出答案．

答：若沿y轴平移，这三条抛物线可重合．（演示动画）

④抛物线是由抛物线沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线呢？

答：抛物线是由抛物线沿y轴向上平移1个单位得到的；而抛物线是由抛物线沿y轴向下平移1个单位得到的．

⑤你认为是什么决定了会这样平移？

答：中的的值决定了会这样平移．若，则向上平移，若，则向下平移．

练习一教材P118中1学生独立完成，口答．

下面，我们再来看一类二次函数的图象：（演示动画）

例2在同一平面直角坐标系内画出与的图象．（插入动画）

注意：画这两个图形时，参考前面画图列表时的取值都是关于某一个值对称的，可先让学生猜测画这两个图时的取值各以应什么数为中间点，然后左右能对称．通过这样的训练能帮助学生以后自主考虑问题时怎样找思路列完表之后，与例l一样处理，演示课件直到三条抛物线全画出.画完图之后的观察和分析也可仿照例1完成．

注意：（l）关于抛物线与的对称轴的写法，要加以交待，若曾在讲完13．5后阅读过教科书P．113—115，这个问题就好解决了.若没有读过，可由学生讨论对称轴上点的特征来得到对称轴的表示方法.

（2）这次图象的平移是沿轴进行的，平移的单位和方向是由中的决定的，特别强调二次函数形式的写法是，而不是.

练习二P118中2学生独立完成，口答.

三、本节小结

本节课学习了二次函数与的图象的画法，主要内容如下。

（出示幻灯）填写下表：（可让学生回答）

表一：

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

表二：

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

八、布置作业

教材P124中1（1）、（2）

九、板书设计

13．7二次函数的图象（一）

例1：例2：

小结：小结：

第二课时

一、教学目标

1．使学生会用描点法画出二次函数的图像；

2．使学生知道抛物线的对称轴与顶点坐标；

3．通过本节的学习，继续培养学生的观察、分析、归纳、总结的能力；

4．通过本节的教学，继续向学生进行数形结合的数学思想方法的教育，同时向学生渗透事物间互相联系、以及运动、变化的辩证唯物主义思想；

5．通过本节课的研究，充分理解并认识到二次函数图像可运动变化的和谐美，通过数学思维的审美活动，提高对数学美的追求。

二、教学重点

会画形如的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。

三、教学难点：确定形如的二次函数的顶点坐标和对称轴。

4．解决办法：

四、教具准备

三角板或投影片

1．教师出示投影片，复习。

2．请学生动手画的图像，正好复习图像的画法，完成表格。

3．小结的性质

4．练习

五、教学过程

提问：1．前几节课，我们都学习了形如什么样的二次函数的图像？

答：形如。（板书）

2．这节课我们将来学习一种更复杂的二次函数的图像及其相关问题，你能先猜测一下我们将学习形如什么样的二次函数的问题吗？

由学生参考上面给出的三个类型，较容易得到：讨论形如的二次函数的有关问题．（板书）

一、复习引入

首先，我们先来复习一下前面学习的一些有关知识．（出示幻灯）

请你在同一直角坐标系内，画出函数的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．

这里之所以加上画函数的图像，是为了使最后通过图像的观察能更全面一些，也更直观一些，可以同时给出图像先沿y轴，再沿轴移动的方式，也可以给出图像

先沿轴再沿y轴移动的方式，使这部分知识能更全面，知识与知识之间的联系能更清晰、更具体．

画这三个函数图像，可由学生在同一表中列值，但是要根据各自的不同特点取自变量

的值，以便于学生进行观察．教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板，由一名同

学上黑板完成，其他同学在练习本上完成，待同学们基本做完之后加以总结，然后再找三名

同学，分别指出这三个图像的开口方向、对称轴及顶点坐标，填入事先准备好的表格中．

然后提问：你能否在这个直角坐标系中，再画出函数的图像？

由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图像，学生对画图已经有了一定的经验，

同时可在画这个图时，把这些经验形成规律，便于学生以后应用．

（l）关于列表：主要是合理选值与简化运算的把握，是教学要点．在选值时，首先要考虑的是函数图像的对称性，因此首先要确定中心值，然后再左，右取相同间隔的值；其次，选值时尽量选取整数，便于计算和描点．

在选取的值之后，计算y的值时，考虑到对称性，只需计算中心值一侧的值，另一侧由对称性可直接填入，但一定要保证运算正确．

（2）关于描点：一般可先定顶点（即中心值对应的点，然后利用对称性描出各点，以逐步提高速度．）

（3）关于连线：特别要注意顶点附近的大致走向。最后画的抛物线应平滑，对称，并符合抛物线的特点．

由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值，然后画出它的图像，同样找一名同学板演．

学生画完，教师总结完之后，让学生观察黑板上画出的四条抛物线，提问：

（1）你能否指出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标？

将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

向下

（0，0）

向下

（0，－1）

向下

（－1，0）

向下

（－1，－1）

（2）我们已知抛物线的开口方向是由二次函数中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？

这个问题由于是本节课的重点问题，而且不是很容易说清楚，可由学生进行广泛的讨论，先得出对称员的表示方法，再得出顶点坐标。若学生在讨论时没有头绪，教师可适当引导，让学生把这四个函数都改写成的形式，可得

；

。然后从这四个式子中加以观察，分析，得出结论；（板书）

一般地，抛物线有如下特点：

①时，开口向上；时，开口向下；

②对称轴是直线；

③顶点坐标是。

（3）抛物线有什么关系？

答：形状相同，位置不同。

（4）它们的位置有什么关系？

这个问题可视学生的程度来决定问还是不问，以及回答到什么程度。

根据上节课的学习，学生能想到是平移科来的，可把这四个图像分成以下几个问题来讨论：①抛物线是由抛物线怎样移动得到的？

②抛物线是由抛物线怎样移动得到的？

③抛物线是由抛物线怎样移动得到的？

④抛物线是由抛物线怎样移动得到的？

⑤抛物线是由抛物线怎样移动得到的？

这个问题分两种方式回答：先沿轴，再沿轴移动；或先沿轴，再沿轴移动。

通过这5个问题可使学生由浅入深地得到这四者之间的关系，如图所示：

注意：基本形式中的符号，特别是h。

练习：P120练习口答，及时纠正错误。

（四）总结、扩展

一般的二次函数，都可以变形成的形式，其中：

1．a能决定什么？怎样决定的？

答：a的符号决定抛物线的开口方向；a的绝对值大小抛物线的开口大小。

2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？

六、布置作业

教材P124中1（3）；P124中3（1）、（2）；P125中

七、板书设计

经典初中教案数学教案－二次函数y=ax+bx+c

教学目标：

1、使学生进一步理解二次函数的基本性质；

2、渗透解析几何，数形结合，函数等数学思想.培养学生发现问题解决问题，及逻辑思维的能力.

3、使学生参与教学过程，通过主体的积极思维，体验感悟数学.逐步建立数学的观念，培养学生独立地获取知识的能力.

教学重点：初步理解数形结合的数学思想

教学难点：初步理解数形结合的数学思想

教学用具：微机

教学方法：探究式、小组合作学习

教学过程：

例1、已知：抛物线y=x2－（m2－1）x－2m2－2

⑴求证：无论m取什么实数，抛物线与x轴一定有两个交点

⑵m取什么实数时，两交点间距离最短？是多少？

解：

△=(m2－1)2＋4(2m2＋2)

=m4－2m2＋1＋8m2＋8

=m4＋6m2＋9

=(m2＋3)2

m2≥0

∴m2＋3＞0

∴△＞0

∴抛物线与x轴有两个交点

问题：为什么说当△＞0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点.（能否从数和形两方面说明）

设计意图：在课堂上创设让学生说数学的机会，学会合作学习，以达到①经验共享，在思维的碰撞中共同提高.②学会合作，消除个人中心.③发现自我，提高参与度.④弘扬个体的主体性，形成健康，丰富的个性.

数：点在曲线上，点的坐标满足曲线的方程.反之，曲线方程的每一个实数解对应的点都在曲线上.抛物线与x轴的交点，既在抛物线上，又在x轴上.所以交点的坐标既满足抛物线的解析式，也满足x轴的解析式.设交点坐标为（x，y）

∴

这样交点问题就转化成求这个二元二次方程组的解.代入y=0，消去y，转化成ax2+bx+c=0这个一元二次方程求根问题.根据以前学过的知识，当△＞0时，ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.∴y=ax2+bx+c

y=0

有两个不等的实数解

∴抛物线与ｘ轴交于两个不同的点.

形：顶点在ｘ轴上方，且开口向下.或者顶点在ｘ轴下方，且开口向上.

设计意图：渗透解析几何的基本思想

使学生掌握转化思想使学生在解题过程中，感知数学的直观性和形式化这二重性.掌握数形结合，分类讨论的思想方法.逐步学会数学的思维.

转化成代数语言为：

小结：第一种方法，根据解析几何的基本思想.将求曲线的交点问题，转化成求方程组的解的问题.

第二种方法，借助于图象思考问题，比较直观.发现规律后，再用数学的符号语言将其形式化.这既体现了数学中的数形结合的思想方法，也是探索解数学问题的一般方法.

思考：试从数、形两方面说明抛物线与x轴的交点个数与判别式的符号的关系.

设计意图：数学学习是一个再创造的过程，不能等同于数学知识的汇集，而要让学生经历数学知识的创造过程.使主体积极地参与到学习中去.以数学知识为载体，揭示出蕴涵于其中的数学思想方法，逐步形成数学观念.

⑵m取什么实数时,两交点间距离最短?是多少?

解：设二次函数与x轴的两交点为(x1,0)，(x2,0)

解法㈠由⑴可知m为任何实数时,都有△＞0

解①

∴x1＋x2=m2－1

x1x2=－2(m2＋1)

∴│x2－x1│=

=

=

=

=m2＋3

∴当m=0时,两交点最小距离为3

这里两交点间距离是m的函数

设计意图：培养学生的问题意识.在解题过程中，发现问题，并能运用已有的数学知识，将其一般化，形式化，解决问题，体会数学问题解决的一般方法.培养学生独立地获取数学知识的能力.渗透函数思想

问题：观察本题两交点间距离与判别式的值之间有何异同？具有一般的规律吗？如何说明.

设x1、x2为ax2+bx+c=0的两根

可以推出：

还可以理解为顶点到x轴距离最短.

设计意图：在对比、分析中，明确概念，揭示知识间的联系，帮助学生建立良好的认知结构.

小结：观察这道题的结论，我们猜测出规律，将其一般化，推导出这个公式，这是学习数学知识的一般方法.

解法㈡：用十字相乘法或求根公式法求根.

思考：一元二次方程与二次函数的关系.

思考：求m取什么实数时，y=x2－（m2－1）x－2m2－2被直线y=2所截得的线段最短？是多少？

练习：

观察函数的图象，回答：

（1）y>0时，x的取值范围如何？

（2）y=0时，x取什么值？

（1）y

小结：数与形是数学中相互依赖的两个方面.图形比较直观，可以启发思路；而数学的严格证明也是必不可少的.直观性和形式化是数学的两重性.

探究活动

探究问题：

欣欣日用品零售商店，从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞（数量至少为100把），欣欣商店根据销售记录，这批雨伞以零售单价每把为14元出售时，月销售量为100把。如果零售单价每降价0.1元,月销售量就要增加5把.

(1)欣欣日用品零售商店以零售单价14元出售时，一个月的利润为多少元？

(2)欣欣日用品零售商店为了扩大销售记录,现实行降价销售,问分别降价0.2元、0.8元、1.2元、1.6元、2.4元、3元时的利润是多少？

(3)欣欣日用品零售商店实行降价销售后，问降价多少元时利润最大？最大利润为多少元？

(4)现在该公司的批发部为了再次扩大这种雨伞的销售量，给零售商制定如下优惠措施：如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把，其超过100把的部分每把按原价九五折（即百分之95）付费，但零售价每把不能低于10元。欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时，才能使这种雨伞的月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？（销售利润=销售款额—进货款额）

解：（1）（14—8）（元）

（2）638元、728元、748元、792元、792元、750元。

（3）设降价元时利润最大，最大利润为元

=

=

=

∴当时，有最大值

元

（4）设降价元时利润最大，利润为元

（其中）。

化简，得。

，

∴当时，有最大值。

∴。

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