一元二次方程的根的判别式的教学方案

初中教师经常会接触到教案的撰写，教案可以围绕我们学校的各方面来写，可以通过编写教案认识自己教学的优点和不足。你是否在烦恼初中教案怎么写呢？本站收集了《一元二次方程的根的判别式的教学方案》，供您参考。

1.知识结构：

2.重点、难点分析

（1）本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也可以利用它进一步学习函数的有关内容，所以，它是本节课的重点.

（2）本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为.因为，所以方程右边的符号就由来确定，而方程左边的不可能是一个负数，因此，把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法，对于分类讨论学生感觉到较难，老师应该讲明分类的基本思想。

3.教法建议：

（1）引入要自然、合理

新课引入前，作一个铺垫：前面我们讲了一元二次方程的解法，我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后，就可以解任何一个一元二次方程，但是，存在这样一个问题，并不是所有的一元二次方程都有解，我们可以通过把解求出来，来解方程，也可以通过判定方程无解，来解方程，这样我们就面临着一个问题，什么时候方程有解？什么时候方程无解？我们不解方程能不能判定根的情况？那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然，也显露了本节课的重点.

（2）利用多媒体进行教学

本节是根的判别式结论的推导，比较抽象，为了便于学生理解，使用所提供的动画，有助于学生对所讲内容的理解，调动学生主动思维的积极性，活跃课堂气氛，提高学习效率.

（3）本节在推导根的判别式的结论时，利用了分类的思想，对于学生这是一个难点，一定给学生讲清楚分类的依据，分类的基本思想，使学生对所得结论深信不疑.

一、教学目标

1.理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；

2.通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力；

3．通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会转化和分类的思想方法.

二、重点·难点及解决办法

1．教学重点：会用判别式判定根的情况。

2．教学难点：一元二次方程根的三种情况的推导.

3．解决办法：（1）求判别式时，应先将方程化为一般形式，确定a、b、c。（2）利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况（共四种）；方程有两个实数根，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根。

三、教学步骤

（一）教学过程

1．复习提问

（1）平方根的性质是什么？

（2）解下列方程：①；②；③。

问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。

2．任何一个一元二次方程用配方法将其变形为，因此对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。

（1）当时，方程有两个不相等的实数根。

即

（2）当时，方程有两个相等的实数根，即。

（3）当时，方程没有实数根。

教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？

答：。

3．①定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。

②一元二次方程。

当时，有两个不相等的实数根；

当时，有两个相等的实数根；

当时，没有实数根。

反之亦然。

注意以下几个问题：

（1）这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。

（2）当，说“方程没有实数根”比较好。有时，也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。

4．例题讲解

例1不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）；（2）；（3）。

解：（1）

∴原方程有两个不相等的实数根。

（2）原方程可变形为

。

，

∴原方程有两个相等的实数根。

（3）原方程可变形为

。

∴原方程没有实数根。

学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的（2）计算的值；（3）判别根的情况。

强调两点：（1）只要能判别值的符号就行，具体数值不必计算出。（2）判别根据的情况，不必求出方程的根。

练习：不解方程，判别下列方程的情况：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）

学生板演、笔答、评价。

（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设，判别方程根的情况，由此判别原方程根的情况。

例2不解方程，判别方程的根的情况。

解：。

又∵不论k取何实数，，

∴原方程有两个实数根。

教师板书，引导学生回答。此题是含有字母系数的一元二次方程。注意字母的取值范围，从而确定的取值。

练习：不解方程，判别下列方程根的情况。

（1）；

（2）；

（3）。

学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨。

（3）解：

∵不论m取何值，，即。

∴方程无实数解。

由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值。

（二）总结、扩展

1．判别式的意义及一元二次方程根的情况。

（1）定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。

（2）一元二次方程。

当时，有两个不相等的实数根；

当时，有两个相等的实数根；

当时，没有实数根。反之亦然。

2．通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。

四、布置作业

教材P27A1～4。

5．不解方程，判断下x的方程的根的情况

（1）

（2）

五、板书设计

jK251.COm精选阅读

一元二次方程的根的判别式初中教案精选

1.知识结构：

2.重点、难点分析

（1）本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也可以利用它进一步学习函数的有关内容，所以，它是本节课的重点.

（2）本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为.因为，所以方程右边的符号就由来确定，而方程左边的不可能是一个负数，因此，把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法，对于分类讨论学生感觉到较难，老师应该讲明分类的基本思想。

3.教法建议：

（1）引入要自然、合理

新课引入前，作一个铺垫：前面我们讲了一元二次方程的解法，我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后，就可以解任何一个一元二次方程，但是，存在这样一个问题，并不是所有的一元二次方程都有解，我们可以通过把解求出来，来解方程，也可以通过判定方程无解，来解方程，这样我们就面临着一个问题，什么时候方程有解？什么时候方程无解？我们不解方程能不能判定根的情况？那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然，也显露了本节课的重点.

（2）利用多媒体进行教学

本节是根的判别式结论的推导，比较抽象，为了便于学生理解，使用所提供的动画，有助于学生对所讲内容的理解，调动学生主动思维的积极性，活跃课堂气氛，提高学习效率.

（3）本节在推导根的判别式的结论时，利用了分类的思想，对于学生这是一个难点，一定给学生讲清楚分类的依据，分类的基本思想，使学生对所得结论深信不疑.

一、教学目标

1.理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；

2.通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力；

3．通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会转化和分类的思想方法.

二、重点·难点及解决办法

1．教学重点：会用判别式判定根的情况。

2．教学难点：一元二次方程根的三种情况的推导.

3．解决办法：（1）求判别式时，应先将方程化为一般形式，确定a、b、c。（2）利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况（共四种）；方程有两个实数根，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根。

三、教学步骤

（一）教学过程

1．复习提问

（1）平方根的性质是什么？

（2）解下列方程：①；②；③。

问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。

2．任何一个一元二次方程用配方法将其变形为，因此对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。

（1）当时，方程有两个不相等的实数根。

即

（2）当时，方程有两个相等的实数根，即。

（3）当时，方程没有实数根。

教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？

答：。

3．①定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。

②一元二次方程。

当时，有两个不相等的实数根；

当时，有两个相等的实数根；

当时，没有实数根。

反之亦然。

注意以下几个问题：

（1）这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。

（2）当，说“方程没有实数根”比较好。有时，也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。

4．例题讲解

例1不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）；（2）；（3）。

解：（1）

∴原方程有两个不相等的实数根。

（2）原方程可变形为

。

，

∴原方程有两个相等的实数根。

（3）原方程可变形为

。

∴原方程没有实数根。

学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的（2）计算的值；（3）判别根的情况。

强调两点：（1）只要能判别值的符号就行，具体数值不必计算出。（2）判别根据的情况，不必求出方程的根。

练习：不解方程，判别下列方程的情况：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）

学生板演、笔答、评价。

（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设，判别方程根的情况，由此判别原方程根的情况。

例2不解方程，判别方程的根的情况。

解：。

又∵不论k取何实数，，

∴原方程有两个实数根。

教师板书，引导学生回答。此题是含有字母系数的一元二次方程。注意字母的取值范围，从而确定的取值。

练习：不解方程，判别下列方程根的情况。

（1）；

（2）；

（3）。

学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨。

（3）解：

∵不论m取何值，，即。

∴方程无实数解。

由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值。

（二）总结、扩展

1．判别式的意义及一元二次方程根的情况。

（1）定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。

（2）一元二次方程。

当时，有两个不相等的实数根；

当时，有两个相等的实数根；

当时，没有实数根。反之亦然。

2．通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。

四、布置作业

教材P27A1～4。

5．不解方程，判断下x的方程的根的情况

（1）

（2）

五、板书设计

数学教案－一元二次方程的根的判别式

1.知识结构：

2.重点、难点分析

（1）本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也可以利用它进一步学习函数的有关内容，所以，它是本节课的重点.

（2）本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为.因为，所以方程右边的符号就由来确定，而方程左边的不可能是一个负数，因此，把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法，对于分类讨论学生感觉到较难，老师应该讲明分类的基本思想。

3.教法建议：

（1）引入要自然、合理

新课引入前，作一个铺垫：前面我们讲了一元二次方程的解法，我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后，就可以解任何一个一元二次方程，但是，存在这样一个问题，并不是所有的一元二次方程都有解，我们可以通过把解求出来，来解方程，也可以通过判定方程无解，来解方程，这样我们就面临着一个问题，什么时候方程有解？什么时候方程无解？我们不解方程能不能判定根的情况？那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然，也显露了本节课的重点.

（2）利用多媒体进行教学

本节是根的判别式结论的推导，比较抽象，为了便于学生理解，使用所提供的动画，有助于学生对所讲内容的理解，调动学生主动思维的积极性，活跃课堂气氛，提高学习效率.

（3）本节在推导根的判别式的结论时，利用了分类的思想，对于学生这是一个难点，一定给学生讲清楚分类的依据，分类的基本思想，使学生对所得结论深信不疑.

一、教学目标

1.理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；

2.通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力；

3．通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会转化和分类的思想方法.

二、重点难点及解决办法

1．教学重点：会用判别式判定根的情况。

2．教学难点：一元二次方程根的三种情况的推导.

3．解决办法：（1）求判别式时，应先将方程化为一般形式，确定a、b、c。（2）利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况（共四种）；方程有两个实数根，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根。

三、教学步骤

（一）教学过程

1．复习提问

（1）平方根的性质是什么？

（2）解下列方程：①；②；③。

问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。

2．任何一个一元二次方程用配方法将其变形为，因此对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。

（1）当时，方程有两个不相等的实数根。

即

（2）当时，方程有两个相等的实数根，即。

（3）当时，方程没有实数根。

教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？

答：。

3．①定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。

②一元二次方程。

当时，有两个不相等的实数根；

当时，有两个相等的实数根；

当时，没有实数根。

反之亦然。

注意以下几个问题：

（1）这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。

（2）当，说“方程没有实数根”比较好。有时，也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。

4．例题讲解

例1不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）；（2）；（3）。

解：（1）

∴原方程有两个不相等的实数根。

（2）原方程可变形为

。

，

∴原方程有两个相等的实数根。

（3）原方程可变形为

。

∴原方程没有实数根。

学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的（2）计算的值；（3）判别根的情况。

强调两点：（1）只要能判别值的符号就行，具体数值不必计算出。（2）判别根据的情况，不必求出方程的根。

练习：不解方程，判别下列方程的情况：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）

学生板演、笔答、评价。

（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设，判别方程根的情况，由此判别原方程根的情况。

例2不解方程，判别方程的根的情况。

解：。

又∵不论k取何实数，，

∴原方程有两个实数根。

教师板书，引导学生回答。此题是含有字母系数的一元二次方程。注意字母的取值范围，从而确定的取值。

练习：不解方程，判别下列方程根的情况。

（1）；

（2）；

（3）。

学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨。

（3）解：

∵不论m取何值，，即。

∴方程无实数解。

由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值。

（二）总结、扩展

1．判别式的意义及一元二次方程根的情况。

（1）定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。

（2）一元二次方程。

当时，有两个不相等的实数根；

当时，有两个相等的实数根；

当时，没有实数根。反之亦然。

2．通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。

四、布置作业

教材P27A1～4。

5．不解方程，判断下x的方程的根的情况

（1）

（2）

五、板书设计

经典初中教案一元二次方程的根的判别式

1.知识结构：

2.重点、难点分析

（1）本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也可以利用它进一步学习函数的有关内容，所以，它是本节课的重点.

（2）本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为.因为，所以方程右边的符号就由来确定，而方程左边的不可能是一个负数，因此，把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法，对于分类讨论学生感觉到较难，老师应该讲明分类的基本思想。

3.教法建议：

（1）引入要自然、合理

新课引入前，作一个铺垫：前面我们讲了一元二次方程的解法，我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后，就可以解任何一个一元二次方程，但是，存在这样一个问题，并不是所有的一元二次方程都有解，我们可以通过把解求出来，来解方程，也可以通过判定方程无解，来解方程，这样我们就面临着一个问题，什么时候方程有解？什么时候方程无解？我们不解方程能不能判定根的情况？那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然，也显露了本节课的重点.

（2）利用多媒体进行教学

本节是根的判别式结论的推导，比较抽象，为了便于学生理解，使用所提供的动画，有助于学生对所讲内容的理解，调动学生主动思维的积极性，活跃课堂气氛，提高学习效率.

（3）本节在推导根的判别式的结论时，利用了分类的思想，对于学生这是一个难点，一定给学生讲清楚分类的依据，分类的基本思想，使学生对所得结论深信不疑.

一、教学目标

1.理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；

2.通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力；

3．通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会转化和分类的思想方法.

二、重点·难点及解决办法

1．教学重点：会用判别式判定根的情况。

2．教学难点：一元二次方程根的三种情况的推导.

3．解决办法：（1）求判别式时，应先将方程化为一般形式，确定a、b、c。（2）利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况（共四种）；方程有两个实数根，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根。

三、教学步骤

（一）教学过程

1．复习提问

（1）平方根的性质是什么？

（2）解下列方程：①；②；③。

问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。

2．任何一个一元二次方程用配方法将其变形为，因此对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。

（1）当时，方程有两个不相等的实数根。

即

（2）当时，方程有两个相等的实数根，即。

（3）当时，方程没有实数根。

教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？

答：。

3．①定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。

②一元二次方程。

当时，有两个不相等的实数根；

当时，有两个相等的实数根；

当时，没有实数根。

反之亦然。

注意以下几个问题：

（1）这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。

（2）当，说“方程没有实数根”比较好。有时，也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。

4．例题讲解

例1不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）；（2）；（3）。

解：（1）

∴原方程有两个不相等的实数根。

（2）原方程可变形为

。

，

∴原方程有两个相等的实数根。

第12页

一元二次方程

教学目标：（1）理解一元二次方程的概念

（2）掌握一元二次方程的一般形式，会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

（2）会用因式分解法解一元二次方程

教学重点：一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式

教学难点：因式分解法解一元二次方程

教学过程：

（一）创设情景，引入新课

实际例子引入：列出的方程分别为X-7x+8=0,(X-7)(X+1)=89,X+8X-9=0

由学生说出这几个方程的共同特征，从而引出一元二次方程的概念。

（二）新授

1：一元二次方程的概念。（一个未知数、最高次2次、等式两边都是整式）

练习

2：一元二次方程的一般形式（形如aX+bX+c=0)

任一个一元二次方程都可以转化成一般形式，注意二次项系数不为零

3：讲解例子

4：利用因式分解法解一元二次方程

5：讲解例子

6：一般步骤

练习

（三）小结

（四）布置作业

板书设计

一元二次方程相关教学方案

教学目标

1．了解整式方程和的概念；

2．知道的一般形式，会把化成一般形式。

3．通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点和难点：

重点：的概念和它的一般形式。

难点：对的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。

教学建议：

1．教材分析：

1）知识结构：本小节首先通过实例引出的概念，介绍了的一般形式以及中各项的名称。

2）重点、难点分析

理解的定义：

是的重要组成部分。方程，只有当时，才叫做。如果且，它就是了。解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：

（1）的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合的定义。

（2）条件是用“关于的”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。如“关于的”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。

（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是，解题时就会有不同的结果。

教学目的

1.了解整式方程和的概念；

2.知道的一般形式，会把化成一般形式。

3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学难点和难点:

重点:

1．的有关概念

2．会把化成一般形式

难点:的含义.

教学过程设计

一、引入新课

引例：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪?

分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。

2.这个问题用什么数学方法解决?(间接计算即列方程解应用题。

3．让学生自己列出方程(x（x十5）＝150)

深入引导：方程x(x十5)＝150有人会解吗?你能叫出这个方程的名字吗？

二、新课

1．从上面的引例我们有这样一个感觉：在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题，但有些方程我们解不了，但必须想办法解出来。事实上初中代数研究的主要对象是方程。这部分内容从初一一直贯穿到初三。到目前为止我们对方程研究的还很不够，从今天起我们就开始研究这样一类方程--------一元一二次方程(板书课题)

2．什么是—元二次方程呢？现在我们来观察上面这个方程：它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程，就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说首先必须是一个整式方程，但是一个整式方程未必就是一个、这还取决于未知数的最高次数是几。如果方程未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做．(板书的定义)

3．强化的概念

下列方程都是整式方程吗?其中哪些是一元一次方程?哪些是?

(1)3x十2＝5x—3：(2)x2＝4

(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；(4)(x—1)(x—2)＝x2十8

从以上4例让学生明白判断一个方程是否是不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。

4.概念的延伸

提问：很多吗?你有办法一下写出所有的吗?

引导学生回顾的定义，分析项的情况，启发学生运用字母，找到的一般形式

ax2+bx+c=0(a≠0)

1）．提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。

2）．讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称．

3）．强调：的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。

强化概念（课本P6）

1．说出下列的二次项系数、一次项系数、常数项：

（1）x2十3x十2＝O（2）x2—3x十4＝0；(3)3x2-5＝0

（4）4x2十3x—2＝0；(5)3x2—5＝0；(6)6x2—x=0。

2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：

(1)6x2＝3-7x；(3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2

课堂小节

(1)本节课主要介绍了一类很重要的方程—一（如果方程未知数的最高次数为2，这样的整式方程叫做一元一二次方程）；

(2)要知道的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)并且注意的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中二次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在。特别注意的是“＝”的右边必须整理成0；

(3)要很熟练地说出随便一个中一二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数．

课外作业：略

一元二次方程的解法的教学方案

教学目标

1．初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程；

2．初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程；

3．掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程；

4．会用因式分解法解某些一元二次方程。

5．通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。

教学重点和难点

重点：一元二次方程的四种解法。

难点：选择恰当的方法解一元二次方程。

教学建议：

一、教材分析：

1．知识结构：

2．重点、难点分析

（1）熟练掌握开平方法解一元二次方程

用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。

如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。

（2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：

1）把方程化为一般形式，并做到、、之间没有公因数，且二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。

2）把一元二次方程的各项系数、、代入公式时，注意它们的符号。

3）当时，才能求出方程的两根。

（3）抓住方程特点，选用因式分解法解一元二次方程

如果一个一元二次方程的一边是零，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法求解。这时只要使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到两个根就是一元二次方程的解。

我们共学习了四种解一元二次方程的方法：直接开平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程时，要认真观察方程的特征，选用适当的方法求解。

二、教法建议

1．教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

2.注意培养应用意识．教学中应不失时机地使学生认识到数学源于实践并反作用于实践．

教学设计示例

教学目标

1.使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0，c≠0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;

2.在理解的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”；

3.在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。

教学重点和难点

重点：掌握用配方法解一元二次方程。

难点：凑配成完全平方的方法与技巧。

教学过程设计

一复习

1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a≠0)

2.不完全一元二次方程的哪几种形式?

(答：只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))

3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0(a≠0)和ax2+c=0(a≠0),我们已经学会了它们的解法。

特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。

例解方程：(x-3)2=4(让学生说出过程)。

解：方程两边开方，得x-3=±2，移项，得x=3±2。

所以x1=5,x2=1.(并代回原方程检验，是不是根)

4.其实(x-3)2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。(把这个展开过程写在黑板上)

(x-3)2=4,①

x2-6x+9=4,②

x2-6x+5=0.③

二新课

1.逆向思维

我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m)2=n的形式。这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m)2。

2.通过观察，发现规律

问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)2。(添一项+1)

即(x2+2x+1)=(x+1)2.

练习，填空：

x2+4x+()=(x+)2;y2+6y+()=(y+)2.

算理x2+4x=2x·2，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添3的平方。

总结规律：对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。即.+()④

(让学生对④式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的2倍，恰是左边的一次

项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项)

项固练习(填空配方)

总之，左边的常数项是一次项系数一半的平方。

问：如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么取?算理是什么?

巩固练习(填空配方)

x2-bx+()=(x-)2;x2-(m+n)x+()=(x-)2.

一元二次方程的根与系数的关系的教学方案

一、教学目标

1．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；

2．通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；

3．通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

教学重点和难点：

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：根与系数的关系及其推导。

2．教学难点：正确理解根与系数的关系。

3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。

4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件和。

三、教学步骤

（一）教学过程

1．复习提问

（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。

（2）解方程①，②。

观察、思考两根和、两根积与系数的关系。

在教师的引导和点拨下，由沉重得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？

2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。

设是方程的两个根。

∴

∴

以上一名学生板书，其他学生在练习本上推导。

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）

结论1．如果的两个根是，那么。

如果把方程变形为。

我们就可把它写成

。

的形式，其中。从而得出：

结论2．如果方程的两个根是，那么。

结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便。

练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）

此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系。

3．一元二次方程根与系数关系的应用。

（1）验根。（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。

①；②；③；

④；⑤。

验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成一般形式，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意中的负号。

（2）已知方程一根，求另一根。

例：已知方程的根是2，求它的另一根及k的值。

解法1：设方程的另一根为，那么。

∴

又∵。

答：方程的另一根是，k的值是－7。

此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较。

方法（二）∵2是方程的根，

∴

∴原方程可变为

解此方程。

方法（三）∵2是方程的根，

∴

答：方程的另一根是，k的值是－7。

学生进行比较，方法（二）不如方法（一）和（三）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值。

练习：教材P32中2。

学习笔答、板书，评价，体会。

（二）总结、扩展

（12）一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。

2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力

3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。

四、布置作业

教材P32中1P33中A1。

五、板书设计

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