高中教案下学期>>4.3--精选版

任意角的三角函数

教学目标：

1．通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值．

2．掌握已知角终边上一点坐标，求四个三角函数值．（即给角求值问题）

教学重点：

任意角的三角函数的定义．

教学难点：

任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示．

教学用具：

直尺、圆规、投影仪．

教学步骤：

1．设置情境

角的范围已经推广，那么对任一角是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题．

2．探索研究

（1）复习回忆锐角三角函数

我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值，定义了角的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示．

（2）任意角的三角函数定义

如图1，设是任意角，的终边上任意一点的坐标是，当角在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为，则．

定义：①比值叫做的正弦，记作，即．

②比值叫做的余弦，记作，即．

图1

③比值叫做的正切，记作，即．

同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件

提问：对于确定的角，这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否有关呢？

利用三角形相似的知识，可以得出对于角，这三个比值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．

请同学们观察当时，的终边在轴上，此时终边上任一点的横坐标都等于0，所以无意义，除此之外，对于确定的角，上面三个比值都是惟一确定的．把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义．

④比值叫做的余切，记作，则．

⑤比值叫做的正割，记作，则．

⑥比值叫做的余割，记作，则．

可以看出：当时，的终边在轴上，这时的纵坐标都等于0，所以与的值不存在，当时，的值不存在，除此之外，对于确定的角，比值，，分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数．

（3）三角函数是以实数为自变量的函数

对于确定的角，如图2所示，，，分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数．

即：实数→角（其弧度数等于这个实数）→三角函数值（实数）

（4）三角函数的一种几何表示

利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图3．

图3

设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角的终边（当为第一、四象限时）或其反向延长线（当为第二、三象限时）相交于，当角的终边不在坐标轴上时，我们把，都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：

这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线．当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．

（5）例题讲评

【例1】已知角的终边经过，求的六个三角函数值（如图4）．

解：∵

∴

提问：若将改为，如何求的六个三角函数值呢？（分，两种情形讨论）

【例2】求下列各角的六个三角函数值

（1）；（2）；（3）．

解：（1）∵当时，，

∴，，

不存在，，不存在

（2）∵当时，，

∴，

不存在

不存在

（3）当时，，

∴

不存在不存在

【例3】作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1）；（2）．

解：，的正弦线，余弦线，正切线分别为．

【例4】求证：当为锐角时，．

证明：如右图，作单位圆，当时作出正弦线和正切线，连

∵

∴

∴

利用三角函数线还可以得出如下结论

的充要条件是为第一象限角．

的充要条件是为第三象限角．

练习（学生板演，利用投影仪）

（1）角的终边在直线上，求的六个三角函数值．

（2）角的终边经过点，求，，，的值．

（3）说明的理由．．

解答：

（1）先确定终边位置

①如在第一象限，在其上任取一点，，则

，

②如在第三象限，在终边上任取一点，则

，

（2）若，不妨令，则在第二角限

∴

（3）在终边上任取一点，因为与终边相同，故也为角终边上一点，所以成立．

说明：以后会知道，求三角函数值的方法有多种途径．用定义求角的三角函数值，是基本方法之一．当角终边不确定时，要首先确定终边位置，然后再在终边上取一个点来计算函数值．

3．反馈训练

（1）若角终边上有一点，则下列函数值不存在的是（）．

A．B．C．D．

（2）函数的定义域是（）．

A．B．

C．D．

（3）若，都有意义，则．

（4）若角的终边过点，且，则．

参考答案：（1）D；（2）B；（3）或8，说明点在半径为的圆上；（4）－6．

4．本课小结

利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角顶点和始边要按既定的位置设置．角的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是很容易．

分类讨论（角位置）是三角函数求值过程中，使用频率非常高的一个数学思想，而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴．

课时作业：

1．已知角的终边经过下列各点，求角的六个三角函数值．

（1）（2）

2．计算

（1）

（2）

（3）

（4）

3．化简jK251.CoM

（1）

（2）

（3）

（4）

参考答案：

1．（1），，

，，

，

（2），，

，，

，

2．（1）－2；（2）8；（3）－1；（4）

3．（1）0；（2）；（3）；（4）

下学期>>4.3任意角的三角函数

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（第一课时）

一．教学目标

1．理解并掌握实数与向量的积的意义．

2．理解两个向量共线的充要条件，能根据条件判断两个向量是否共线；

3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.

二．教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件；

教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量共线的充要条件；

三．教学具准备

直尺、投影仪．

四．教学过程

1．设置情境

我们知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现，如力与加速度的关系f=ma，位移与速度的关系s=vt．这些公式都是实数与向量间的关系．

师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，（已知向量已作在投影片上），并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？

生：的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同，的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反．

师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积（一））

2．探索研究

师：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？可结合教材思考．

生：我想这样规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量．

师：想法很好．不过我们要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行．

实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：

（1）

（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，

下面我们讨论作为数乘向量的基本运算律：

师：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）

生：，

师：设、为任意向量，，为任意实数，则有：

（1）（2）（3）

通常将（1）称为结合律，（2）（3）称为分配律，有时为了区别，也把（2）叫第一分配律，（3）叫第二分配律．

请看例题

【例1】计算：（1），（2）．

（3）

解：（1）原式

（2）原式

（3）原式．

下面我们研究共线向量与实乘向量的关系．

师：请同学们观察，，有什么关系．

生：因为，所以、是共线向量．

师：若、是共线向量，能否得出？为什么，可得出吗？为什么？

生：可以！因为、共线，它们的方向相同或相反．

师：由此可得向量共线的充要条件．向量与非零向量共线的充分必要条件是有且仅有一个实数，使得

此即教材中的定理．

对此定理的证明，是两层来说明的．

其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中的第（2）条知与共线，即与共线．

其二，若与共线，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使．

【例2】如图：已知，，试判断与是否共线．

解：∵

∴与共线．

练习（投影仪）

设、是两个不共线向量，已，，若、、三点共线，求的值．

参考答案

∵、、三点共线．

∴、共线存在实数，使

即

∴，

3．练习反馈（投影仪）

（1）若为的对角线交点，，，则等于（）

A．B．C．D．

（2）在△中，点、、分别是边、、的中点，那么．

（3）如图所示，在平行四边形中，是中点，点是上一点，求证、、三点共线．

参考答案：

（1）B；（2）；

（3）设，则又，∴∴、、共线．

4．总结提炼

（1）与的积还是向量，与是共线的．

（2）一维空间向量的基本定理的内容和证明思路，也是应用该定理解决问题的思路．该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题．

（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项．

五．板书设计

1．实数与向量的积定义

2．运算律

①

②

③

3．向量共线定理

例1

2

演练反馈

总结提炼

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4．6两角和与差的正弦、余弦、正切（第二课时）

（一）教学具准备

投影仪

（二）教学目标

1．掌握利用得到的两角和与差的正弦公式．

2．运用公式进行三角式的求值、化简及证明．

（三）教学过程

1．已知两角，我们可以利用的三角函数去计算复合角的余弦，那么，我们能否用的三角函数去表达复合角的正弦呢？本节课将研究这一问题．

2．探索研究

（1）请一位同学在黑板上写出，的展开式．

．

由于公式中的是任意实数，故我们对实施特值代换后并不影响等号成立，为此我们曾令，得到，

两个熟悉的诱导公式，请同学们尝试一下，能否在中对选取特殊实数代换，使诱变成呢？或者说能否把改成用余弦函数来表示呢？请同学回答．

生：可以，因为

该同学的思路非常科学，这样就把新问题问题化归为老问题：．

事实上：（视“”为）

这样，我们便得到公式．

简化为．

由于公式中的仍然是一切实数，请同学们再想一下，如何获得的展开式呢？请同学回答．

生：只要在公式中用代替，就可得到：

即

师：由此得到两个公式：

对于公式还可以这样来推导：

说明：

（1）上述四个公式，虽然形式、结构不同，但它们本质是相同的，因为它们同出一脉：

这样我们只要牢固掌握“中心”公式的由来及表达方式，就掌握了其他三个公式了．这要作为一种数学思想、一个数学方法来仔细加以体会．

（2）、是用的单角函数表达复合角的正、余弦．反之，我们不得不注意，作为公式的逆用，我们也可以用复合角的三角函数来表达单角三角函数．诸如：，，及四种表达式，实质上是方程思想的体现：

由得：

①

由得

②

由，得：

③

由得：

④

等式①、②、③、④在求值、证明恒等式中无疑作用是十分重大的．

（2）例题分析

【例1】不查表，求，的值．

解：

说明：我们也可以用系统来做：

【例2】已知，，，，求，．

分析：观察公式和本题的条件，必须先算出，

解：由，得

又由，得

∴

【例3】不查表求值：

（1）；

（2）．

解：（1）

（2）

练习（投影）

（1），，则．

（2）在△中，若，则△是___________．

参考答案：

（1）∴

∴

（2）由，

∴

∴，为钝角，即△是钝角三角形．

【例4】求证：．

分析：我们从角入手来分析，易见左边有复角（即两角和与差）右边全是单角，所以思路明确，就是要把复角变单角．

证明：

左边

右∴原式成立

如果我们本着逆用公式来看待本题，那么还可这样想：

由

令，则

①

至于

我们可这样分析：

∵

令得

同理

∴①可进一步改写为：

∴……②

又∵

……③

由②、③得

本题还可以从函数名称来分析，左边是正、余弦函数，右边是正切函数，故可考虑从右边入手用化弦法，请同学们自己把上面过程反过来，从右边推出左边．

【例5】求证：

师：本题我们可以从角的形式来分析，左边是单角，右边是复角，如果从右边证左边则要把复角变单角（即利用和角公式）；如果从左边证右边则须配一个角，所以本题起码有两种证法．

证法1：右边

左边

∴原式成立

师：另一种证法根据刚才的分析要配出角，怎样配？大家仔细观察证法一就不难发现了．

证法2：（学生板书）

左边

右边∴原式成立

3．演练反馈（投影）

（1）化简

（2）已知，则的值（）

A．不确定，可在［0、1］内取值B．不确定，可在［－1、1］中取值

C．确定，等于1D．确定，等于1或－1

参考答案：

（1）原式

（2）C

4．总结提炼

（1）利用“拆角”“凑角”变换是进行三角函数式求值、证明、化简的常用技巧，如：，，．在三角形中，，等变换技巧，同学们应十分熟悉．

（2）本节课的例5，代表着一类重要题型，同学们要学习它的凑角方法，一般地，其中．

（3）在恒等式中，实施特值代换，是一类重要的数学方法——母函数法，这种方法在数学的其他学科中，均有用武之地。它反映的是特殊与一般的辨证统一关系．

（四）板书设计

课题：两角和与差的正弦

1．公式推导

①

＝……

得到公式………

把公式中换成得公式………

2．公式的结构特点

用单角函数表示复角函数

右边中两个积的函数名称不同

……运算符号同左边括号

中的运算符号一致（区别于、）

3．折、凑角技巧

例1

例2

例3

例4

例5

演练反馈

总结提炼

下学期

一．教学目标

1．理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量；

2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；

3．了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义，并会判断向量的平行、相等、共线；

4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生进行唯物辩证思想.

二．教学具准备

直尺、投影仪．

三．教学过程

1．设置情境

师：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？

生：不能，因为没有给定发射的方向．

师：现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？

生：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向．

师：对！力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．数学中用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量．在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向．

（1）意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等

（2）向量的表示方法：

①几何表示法：点和射线

有向线段——具有一定方向的线段

有向线段的三要素：起点、方向、长度

符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段记作（注意起讫）．

②字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字）

例用1cm表示5nmail（海里）

（3）模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。

记作：||，模是可以比较大小的

注意：①数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2．探索研究（学生自学概念）

（1）介绍向量的一些概念

师：长度为零的向量叫什么向量？如何表示？长度为1的向量叫做什么向量？是不是只有一个？（学生看书回答）

生：长度为零的向量叫做零向量，表示为：0；长度等于1的向量叫做单位向量，有许多个，每个方向都有一个．

师：满足什么条件的两个向量是相等向量？符号如何表示？单位向量是相等向量吗？

生：如果两个向量大小相等且方向相同，那么这两个向量叫做相等向量，a=b单位向量不一定是相等向量，单位向量的方向不一定相同．

师：有一组向量，它们的方向相同或相反，那么这组向量有什么关系？

生：平行．

师：对！我们把方向相同或相反的两个向量叫做平行向量，符号如何表示？如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？

生：是平行向量，a//b，各向量的终点都在同一条直线上．

师：对！由此，我们把平行向量又叫做共线向量．

（2）例题分析

【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案

（1）平行向量的方向一定相同？

（2）不相等的向量一定不平行.

（3）与零向量相等的向量是什么向量？

（4）与任何向量都平行的向量是什么向量？

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

（6）两个非零向量相等的充要条件是什么？

（7）共线向量一定在同一直线上吗？

解：（1）根据定义：平行向量可以方向相反，故命题（1）为假；

（2）平行向量没有长、短要求，故命题（2）为假；

（3）只有零向量；

（4）零向量；

（5）平行向量；

（6）模相等且方向相同；

（7）不一定，只要它能被平移成共线就行．

说明：零向量是向量，只不过它的起、终点重合．依定义、其长度为零．

【例2】如图，设是正六边形的中心，分别写出图中与向量、，相等的向量．

解：

练习：（投影）在上题中

变式一，与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二，是否存在与向量长度相等，方向相反的向量？（存在）

变式三，与向量共线的向量有哪些？（有、和）

3．演练反馈（投影）

（1）下列各量中是向量的是（）

A．动能B．重量C．质量D．长度

（2）等腰梯形中，对角线与相交于点，点、分别在两腰、上，过且，则下列等式正确的是（）

A．B．C．D．

（3）物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量

参考答案：（1）B；（2）D；（3）相等，相反

4．总结提炼

（1）描述一个向量有两个指标：模、方向．

（2）平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否真的不在一条直线上无关．

（3）向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性．

四．板书设计

向量

1．向量的定义

2．表示法6．例题

3．零向量和单位向量7．演练反馈

4．平行向量（共线向量）8．总结提炼

5．相等向量

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