下学期
时间：2022-01-11 中班保育教师下学期个人工作计划 大学教师学期总结一．教学目标
1．理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量；
2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；
3．了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义，并会判断向量的平行、相等、共线；
4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生进行唯物辩证思想.
二．教学具准备
直尺、投影仪．
三．教学过程
1．设置情境
师：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？
生：不能，因为没有给定发射的方向．
师：现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
生：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向．
师：对！力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．数学中用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量．在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向．
（1）意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等
（2）向量的表示方法：
①几何表示法：点和射线
有向线段——具有一定方向的线段
有向线段的三要素：起点、方向、长度
符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段记作（注意起讫）．
②字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字）
例用1cm表示5nmail（海里）
（3）模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。
记作：||，模是可以比较大小的
注意：①数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2．探索研究（学生自学概念）
（1）介绍向量的一些概念
师：长度为零的向量叫什么向量？如何表示？长度为1的向量叫做什么向量？是不是只有一个？（学生看书回答）
生：长度为零的向量叫做零向量，表示为：0；长度等于1的向量叫做单位向量，有许多个，每个方向都有一个．
师：满足什么条件的两个向量是相等向量？符号如何表示？单位向量是相等向量吗？
生：如果两个向量大小相等且方向相同，那么这两个向量叫做相等向量，a=b单位向量不一定是相等向量，单位向量的方向不一定相同．
师：有一组向量，它们的方向相同或相反，那么这组向量有什么关系？
生：平行．
师：对！我们把方向相同或相反的两个向量叫做平行向量，符号如何表示？如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
生：是平行向量，a//b，各向量的终点都在同一条直线上．
师：对！由此，我们把平行向量又叫做共线向量．
（2）例题分析
【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案
（1）平行向量的方向一定相同？
（2）不相等的向量一定不平行.
（3）与零向量相等的向量是什么向量？
（4）与任何向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的充要条件是什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
解：（1）根据定义：平行向量可以方向相反，故命题（1）为假；
（2）平行向量没有长、短要求，故命题（2）为假；
（3）只有零向量；
（4）零向量；
（5）平行向量；
（6）模相等且方向相同；
（7）不一定，只要它能被平移成共线就行．
说明：零向量是向量，只不过它的起、终点重合．依定义、其长度为零．
【例2】如图，设是正六边形的中心，分别写出图中与向量、，相等的向量．
解：
练习：（投影）在上题中
变式一，与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二，是否存在与向量长度相等，方向相反的向量？（存在）
变式三，与向量共线的向量有哪些？（有、和）
3．演练反馈（投影）
（1）下列各量中是向量的是（）
A．动能B．重量C．质量D．长度
（2）等腰梯形中，对角线与相交于点，点、分别在两腰、上，过且，则下列等式正确的是（）
A．B．C．D．
（3）物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量
参考答案：（1）B；（2）D；（3）相等，相反
4．总结提炼
（1）描述一个向量有两个指标：模、方向．
（2）平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否真的不在一条直线上无关．
（3）向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性．
四．板书设计
向量
1．向量的定义
2．表示法6．例题
3．零向量和单位向量7．演练反馈
4．平行向量（共线向量）8．总结提炼
5．相等向量
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4．6两角和与差的正弦、余弦、正切（第一课时）
（一）教具准备
直尺、圆规、投影仪
（二）教学目标
1．掌握公式的推导，并能用赋值法，求出公式．
2．应用公式，求三角函数值．
（三）教学过程
1．设置情境
上一单元我们学习了同一个角的三角函数的性质以及各三角函数之间的相互关系．本节开始讨论两个角的三角函数，已知任意角的三角函数值，如何求出，或的三角函数值，这一节课我们将研究、．
2．探索研究
（1）公式、推导．
请大家考虑，如果已知、，怎样求出？
是否成立．
生：不成立，，等式就不成立．
师：很好，把写成是想应用乘法对加法的分配律，可是是角的余弦值，并不是“”乘以，不能应用分配律．
事实上如果都是锐角，那么总有．
考虑两组数据
①，这时，而
②，这时，而
从这组数据我们发现不能由、直接得出．师：如果我们再算出，，试试看能否找到什么关系．
生：①，，，，
而
②，，，，
而
由（1）、（2）可得出，
师：这位同学用具体的例子得到的一个关系式：
只有通过严格的理论证明才行．下面给出证明：为了证明它，首先给出两点间的距离，图1(也可以利用多媒体课件演示)．考虑坐标平面内的任意两点，过点分别作轴的垂线，，与轴交于点，；同理，
那么，，由勾股定理，由此得到平面内两点间的距离公式
师：（可以用课件演示）如右图2，在直角坐标系内作单位圆，并作出角、与请同学们把坐标系中，，，各点的坐标用三角函数表示出来．
生：，，，
师：线段与有什么关系？为什么？
生：因为△≌△，所以．
师：请同学们用两点间的距离公式把表示出来并加以整理．
展开并整理，得
所以（记为）
这个公式对任意的，均成立，如果我们把公式中的都换成，又会得到什么？
生：
即
（记为）
（2）例题分析
【例1】不查表，求及的值．
因为题目要求不查表，所以要想办法用特殊角计算，为此化成，化成，请同学们自己利用公式计算．
注：拆角方法并不惟一．事实上，如果求出，那么，再者，也可写成，甚至等均可以．
【例2】已知，，，，求的值．
分析：观察公式要算应先求出，．
解：由，得
又由，得
【例3】不查表，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）
（2）
（3）
【例4】证明公式：
（1）；（2）
证明：（1）利用可得
∴
（2）因为上式中为任意角，故可将换成，就得
即
练习（投影、学生板演）
（1）
（2）已知，，求
解答：
（1）逆用公式
（2）凑角：∵，∴，故
．
说明：请同学们很好体会一下，上述凑角的必然性和技巧性，并能主动尝试训练，以求熟练。
3．演练反馈
（1）的值是（）
A．B．C．D．
（2）等于（）
A．0B．C．D．2
（3）已知锐角满足，，则为（）
A．B．C．或D．，
参考答案：（1）B；（2）B；（3）A．
4．总结提炼
（1）牢记公式“”结构，不符合条件的要能通过诱导公式进行变形，使之符合公式结构，即创造条件用公式．
（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系，如已知角、的值，求，应视、分别为已知角，为未知角，并实现“”与“”及“”之间的沟通：．
（3）利用特值代换证明，，体会的强大功能．
（四）板书设计
1．平面内两点间距离公式
2．两角和余弦公式及推导
例1
例2
例3
例4
练习反馈
总结提炼
下学期【精】
正弦、余弦的诱导公式教学设计示例（一）
教学目标：
1．掌握诱导公式及其推演时过程．
2．会应用诱导公式，进行简单的求值或化简．
教学重点：
理解并掌握诱导公式．
教学难点：
运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式．
教学用具：
三角板、圆规、投影仪．
教学过程：
1．设置情境
我们已经学过了诱导公式一：，，，（），有了它就可以把任一角的三角函数求值问题，转化为～间角的三角函数值问题．那么能否再把～间的角的三角函数求值，继续化为我们熟悉的～间的角的三角函数求值问题呢？如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以化归为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到最终解决，本课就来讨论这一问题．
2．探索研究
（1）出示下列投影内容
设，对于任意一个到的角，以下四种情形中有且仅有一种成立．
首先讨论，其次讨论，以及的三角函数值与的三角函数值之间的关系，为了使讨论更具一般性，这里假定为任意角．
（2）学习诱导公式二、三的推导过程．
已知任意角的终边与单位圆相交于点，请同学们思考回答点关于轴、轴、原点对称的三个点的坐标间的关系．
点关于轴对称点，关于轴对称点，关于原点对称点（可利用演示课件）．
图1由于角的终边与单位圆交于，则的终边就是角终边的反向延长线，角的终边与单位圆的交点为，则是与关于对称的点．所以，又因单位圆半径，由正弦函数、余弦函数定义，可得
于是得到一组公式（公式二）
我们再来研究角与的三角函数值之间的关系，如图2，利用单位圆作出任意角与单位圆相交于点，角的终边与单位圆相交于点，这两个角的终边关于轴对称，所以
∵
∴
于是又得到一组公式（公式三）
【例1】求下列三角函数值：
（1）（2）；
（3）；（4）．
解：（1）
（2）
（3）
（4）
【例2】化简：
解：∵
∴原式
（3）推导诱导公式四、五
请同学们思考如何利用已学过的诱导公式推导，与的三角函值之间的关系？由诱导公式我们可以得到
：
由此可得公式四、五
公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式．概括如下：，，，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
【例3】求下列各三角函数：
（1）；（2）．
解：（1）
（2）
．
观察以上的解题过程，请同学们总结，利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤．
学生回答后老师总结得出，在求任意角的三角函数值时一般可按以下步骤：
运用诱导公式解题的本质是多次运用“化归”思想方法，化负角为正角，化到的角为到间的角，再求值的过程．
3．演练反馈（投影仪）
（1）已知，求的值
（2）已知，求的值
（3）已知，求的值
参考答案：
（1）若为Ⅳ象限角，则
若为Ⅰ象限角，则
（2）
（3）∵
∴
4．本课小结
（1）求任意角的三角函数式的一般程序：负（角）变正（角）→大（角）变小（角）→（一直）变到～之间（能查表）．
（2）变角是有一定技巧的，如可写成，也可以写成不同表达方法，决定着使用不同的诱导公式．
（3）凑角方法也体现出很大技巧。如，已知角“”，求未知角“”，可把改写成．
课时作业：
1．已知，是第四象限角，则的值是（）
A．B．C．D．
2．下列公式正确的是（）
A．B．
C．D．
3．的成立条件是（）
A．为不等于的任意角B．锐角
C．D．，且
4．在中，下列各表达式为常数的是（）
A．B．
C．D．
5．化简
（1）
（2）
6．证明恒等式
参考答案：
1．A；2．D；3．D；4．C；5．（1）0，（2）；
6．左
右