第一册函数的概念【荐】

教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．

教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的要素；

（3）会求一些简单函数的定义域和值域；

教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；

教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；

教学过程：

一、引入课题

1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题

备用实例：

我国2003年4月份非典疫情统计：

日期

22

23

24

25

26

27

28

29

30

新增确诊病例数

106

105

89

103

113

126

98

152

101

3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．

二、新课教学

（一）函数的有关概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．

记作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．

注意：

1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．

2．构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

3．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示．

4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论

（由学生完成，师生共同分析讲评）

（二）典型例题

1．求函数定义域

课本P20例1

解：（略）

说明：

1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；

2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；

3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

巩固练习：课本P22第1题

2．判断两个函数是否为同一函数

课本P21例2

解：（略）

说明：

1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

巩固练习：

1课本P22第2题

2判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

（1）f(x)=(x－1)0；g(x)=1

（2）f(x)=x；g(x)=

（3）f(x)=x2；f(x)=(x+1)2

（4）f(x)=|x|；g(x)=

（三）课堂练习

求下列函数的定义域

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

三、归纳小结，强化思想

从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。

四、作业布置

课本P28习题1．2（A组）第1—7题（B组）第1题

jk251.coM小编推荐

第一册三角函数

第四章三角函数

第一教时山西联盛中学张廷生

教材：角的概念的推广

目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

过程：一、提出课题：“三角函数”

回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广

1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”

2．讲解：“旋转”形成角（P4）

突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”

“始边”往往合于轴正半轴

3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角或可以简记成

4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1°角有正负之分如：a=210°b=-150°g=-660°

2°角可以任意大

实例：体操动作：旋转2周（360°×2=720°）3周（360°×3=1080°）

3°还有零角一条射线，没有旋转

三、关于“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

例如：30°390°-330°是第Ⅰ象限角300°-60°是第Ⅳ象限角

585°1180°是第Ⅲ象限角-2000°是第Ⅱ象限角等

四、关于终边相同的角

1．观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同

2．终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和

390°=30°+360°

-330°=30°-360°30°=30°+0×360°

1470°=30°+4×360°

-1770°=30°-5×360°

3．所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合

即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和

4．例一（P5略）

五、小结：1°角的概念的推广

用“旋转”定义角角的范围的扩大

2°“象限角”与“终边相同的角”

六、作业：P7练习1、2、3、4

习题1.41

第一册数列

3.1.1数列教学目标1．理解数列概念，了解数列和函数之间的关系2．了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式4．提高观察、抽象的能力．教学重点1．理解数列概念；2．用通项公式写出数列的任意一项．教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式．教学方法发现式教学法教具准备投影片l张(内容见下页)教学过程（1）复习回顾师：在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义．生：(齐声回答函数定义)．师：函数定义(板书)如果A、B都是非空擞集，那么A到B的映射就叫做A到B的函数，记作：，其中（Ⅱ）讲授新课师：在学习第二章的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子。（放投影片）4，5，6，7，8，9，10.①②1，0.1，0.01，0.001，0.0001….③1，1.4，1.41，1.41，4，….④-1，1，-1，1，-1，1，….⑤2，2，2，2，2，师：观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）生：归纳、总结上述例子共同特点：1．均是一列数；2．有一定次序师：引出数列及有关定义一、定义1．数列：按一定次序排列的一列数叫做数列；2．项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）。第2项，…，第n项…。如：上述例子均是数列，其中例①：“4”是这个数列的第1项（或首项）“9”是这个数列的第6项。3．数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项生：综合上述例子，理解数列及项定义如：例②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等。师：下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项↓↓↓↓↓序号12345师：看来，这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项生：结合上述其他例子，练习找其对应关系如：数列①：=n+3(1≤n≤7)数列③：≥1）数列⑤：n≥1）4．通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。师：从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式。师：对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象。看来，数列也可根据其通项公式来函出其对应图象，下面同学们练习画数列①②的图象。生：根据扭注通项公式画出数列①，②的图象，并总结其特点。图3—1特点：它们都是一群弧立的点5．有穷数列：项数有限的数列6．无穷数列：项数无限的数列二、例题讲解例1：根据下面数列的通项公式，写出前5项：（1）师：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项。解：（1）(2)例2：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2）（3）分析：（1）项1=2×1-13=2×2-15=2×3-17=2×4-1↓↓↓↓序号1234∴；（2）序号：1234↓↓↓↓项分母：2=1+13=2+14=3+15=4+1↓↓↓↓项分子：22-132-142-152-1∴；（3）序号‖‖‖‖∴（Ⅲ）课堂练习生：思考课本P112练习1，2，3，4师：[提问]练习3，4，并根据学生回答评析生：板演练习1，2（Ⅳ）课时小结师：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。（V）课后作业一、课本P114习题3.11，2二、1．预习内容：课本P112～P13预习提纲：①什么叫数列的递推公式？②递推公式与通项公式有什么异同点？板书设计课题一、定义1．数列2．项3．一般形式4．通项公式5．有穷数列6．无穷数列二、例题讲解例1例2函数定义教学后记§3.1.2数列教学目标1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项3．培养学生推理能力．教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点理解递推公式与通项公式的关系教学方法启发引导法教具准备投影片1张(内容见下页)教学过程(I)复习回顾师：上节课我们学习了数列及有关定义，下面先来回顾一下上节课所学的主要内容．师：[提问]上节课我们学习了哪些主要内容？生：[回答]数列、项、表示形式、通项公式、数列分类等等．(Ⅱ)讲授新课师：我们所学知识都来源于实践，最后还要应用于生活。用其来解决一些实际问题．下面同学们来看此图：钢管堆放示意图(投影片)．生：观察图片，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：14＝1+3第2层钢管数为5；即：25＝2+3第3层钢管数为6；即：36＝3+3第4层钢管数为7；即：47＝4+3第5层钢管数为8；即：58＝5+3第6层钢管数为9；即：69＝6+3第7层钢管数为10；即：710＝7+3若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）师：同学们运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数。这会给我们的统计与计算带来很多方便。师：同学们再来看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律2，建立模型二）生：自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即依此类推：（2≤n≤7）师：对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。一、定义：递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。说明：递推公式也是给出数列的一种方法。二、例题讲解例1：已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项。分析：题中已给出的第1项即递推公式：解：据题意可知：例2：已知数列中，≥3）试写出数列的前4项解：由已知得（Ⅲ）课堂练习生：课本P113练习1，2，3（书面练习）（板演练习1.写出下面各数列的前4项，根据前4项写出该数列的一个通项公式。（1）≥2）（2）≥3）师：给出答案，结合学生所做进行评析。（Ⅳ）课时小结师：这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解。注意它与通项公式的区别在于：1．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系。2．对于通项公式，只要将公式中的n依次取胜，2，3…即可得到相应的项。而递推公式则要已知首项（或前n项），才可求得其他的项。（V）课后作业一、课本P114习题3.13，4二、1．预习内容：课本P114—P1163．预习提纲：①什么是等差数列？②等差数列通项公式的求法？板书设计课题一、定义1．递推公式：三、例题讲解例1例2小结：通项公式与递推公式区别教学后记

高中教案函数概念教案 精选版

各位领导老师大家好，今天我说课的内容是函数的近代定义也就是函数的第一课时内容。

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。

2、教学目标及确立的依据：

教学目标：

（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。

（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。

（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

教学目标确立的依据：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。

3、教学重点难点及确立的依据：

教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。

教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。

重点难点确立的依据：

映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。

二、教材的处理：

将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。

三、教学方法和学法

教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。

依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。

学法：四、教学程序

一、课程导入

通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。

例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？

二.新课讲授：

（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：A→B，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。

（2）巩固练习课本52页第八题。

此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。

例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：A→B记为y=f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈A}叫做函数的值域。

并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。

再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：

2.函数是非空数集到非空数集的映射。

3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。

4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。

5.集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。

6.“f：A→B”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。

三.讲解例题

例1.问y=1（x∈A）是不是函数？

解：y=1可以化为y=0+1

画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。

[注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。

四.课时小结：

1.映射的定义。

2.函数的近代定义。

3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。

4.函数近代定义的五大注意点。

五.课后作业及板书设计

书本P51习题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。

预习函数三要素的定义域，并能求简单函数的定义域。

函数（一）

一、映射：2.函数近代定义：例题练习

二、函数的定义[注]1—5

1.函数传统定义三、作业：

一次函数【荐】

一、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx（k为常数，k≠0）

二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b（k为任意不为零的实数b取任何实数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点p（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=o时，直线通过原点o（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限

四、确定一次函数的表达式：

已知点a（x1，y1）；b（x2，y2），请确定过点a、b的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点p（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量s。g=s-ft。

六、常用公式：（不全，希望有人补充）

1.求函数图像的k值：（y1-y2）/（x1-x2）

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2（注：根号下（x1-x2）与（y1-y2）的平方和）

函数性质的运用分析【荐】

一、相关背景介绍建构主义理论告诉我们，学习是学生在原有认知经验基础上主动建构新知识的过程。这一建构过程实际上需要学生将原有知识与新知识（包括思想、观点、方法）进行有效组合与沟通。而学生知识、方法的迁移，水平、能力的提高均依赖于这个过程。从这个意义上说，数学学习实际上是指学生对数学现象的领悟和实质理解。抽象函数这部分内容，体现了数学的高度抽象性和简洁性，近几年高考几乎每年都有类似的题目。由于它的提干都是由抽象的数学符号给出，因此它对学生阅读理解数学语言和符号的能力要求很高。对学生的思维能力是一个大的挑战。二、本节课教学目标1、知识与技能①使学生深刻理解函数的奇偶性、周期性、对称性等性质。掌握代数变换的方法。②学会阅读理解数学语言和符号，会综合运用函数性质解题。2、过程与方法通过让学生经历阅读、理解、探索求解的过程，渗透化归转化的思想、数形结合的思想。寻求合理、有效的途径，解决数学问题。3、情感、态度、价值观使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神。4、重点：综合运用函数性质解题难点：对文字语言、符号语言、图形语言三种语言的理解和相互转换。三、设计理念1、首先通过复习函数的性质导入，训练学生对数学的文字语言、符号语言和图形语言这三种语言的相互转换2、例1的设计的意图是：加深学生对函数概念、性质的理解。教学生学会阅读、理解数学语言、符号；学会文字语言、图形语言、符号语言的相互转化。通过一题多解、一题多思，渗透化归转化和数形结合的思想，以及代数变换的方法，培养他们的思维能力。课堂形式是：分组讨论。3、例2的设计主要让学生独立思考解答探求多种解法，思考、交流、表达，体现学生主体参与合作学习。要求学生综合运用函数性质解题，提高他们抽象思维能力，问题延伸思考，主要针对较好学生，让他们课后继续钻研，提高分析问题、解决问题能力，也体现了分层教学的思想。四、下面是课堂实录《函数性质的运用》师：前面我们已经分别复习了函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性等。今天我们学习函数性质的综合运用。请先思考回答以下问题：①若函数f（x）是奇函数，如何用符号表示？用图形表示？②若给出图形请用文字语言叙述它的对称性，用符号如何表示？③若f（x+2）=f（x），你能有何结论？如何用文字语言叙述，用符号表示？生1：①f（-x）=-f（x）生2：②函数f（x）关于x=1对称，即f（1+x）=f（1-x）生3：③f（x）是周期函数，周期为T=2，示意图：师：由f（x+2）=-f（x）你能说出什么信息？生：f（x）的周期是T=4师：为什么？能否用图象解释？生：将式中的x用x+2来替代，得到：f（x+4）=-f（x+2）又因为-f（x+2）=f（x），所以f（x+4）=f（x）即：T=4但是不太用图像来解释师：提示：从图示看出f（x+4）=f（x）的周期为4。总结：通过对函数的奇偶性、对称性、周期性等性质的复习，我们要熟悉数学的文字语言，符号语言，图形语言三种语言的转换。好，下面我们来看例1例1：设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）=?生1：利用周期性由f（x+2）=-f（x）可得到f（x+4）=f（x）所以f（7.5）=f(8-0.5)=f(-0.5)=-0.5生2：直接利用f（x+2）=-f（x）f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f[-f(3.5)]=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-0.5师：还有其他方法吗？f（x）是奇函数且f（x+2）=-f（x），除了能说出周期T=4外，还能说出哪些信息？（师提示）生：f（x+2）=-f（x）=f（-x）而f（x+2）=f（-x）得到f（x）关于直线x=1对称师：很好，你能否根据函数的对称性、周期性及奇偶性，画出它的图象？从而利用图象来解题呢？生：从图中可以看出f（7.5）=f(-0.5)=-0.5师：我们在解题的过程中，应善于利用数形结合的思想方法，有时能收到意想不到的效果的。师总结：方法一：主要要求对符号的深刻理解及获取信息方法二：利用f（x+2）=-f（x），通过转化达到解题的目的，渗透了转化的思想方法三：利用函数的几何性质，通过作图，利用数形结合的思想来解题。下面我们来将这道题目进行变化：变化1：已知条件不变，问题变为当x∈[-1，0]时，求f（x）的解析式生1：设x∈[-1，0]则-x∈[0，1]∴f（-x）=-x，又∵f（-x）=-f（x）∴f（x）=x∴当x∈[-1，0]时，f（x）=x师：能否总结一下解题步骤？生2：小结：首先要“问啥设啥”，不要把变量设错了区间；第二，把变量转化到已知区间上去最后，再利用函数的奇偶性、周期性求出f（x）的解析式。变化2：当-1≤x≤1时，f（x）的解析式生：由已知和变化1可知当-1≤x≤1时，f（x）=x变化3：当x∈[3，5]时，求f（x）的解析式生：设x∈[3，5]，则x-4∈[-1，1]∴f（x-4）=x-4∵T=4∴f（x）=x-4变化4：当x∈[1，3]时，求f（x）的解析式生：设x∈[1，3]，则x-2∈[-1，1]∴f（x-2）=x-2∵T=4∴f（x-2）=f（x+4-2）=f（x+2）=-f（x）∴-f（x）=x-2∴f（x）=2-x师：小结：上面这四个变化训练要求我们要掌握代数变换这种数学方法，体会化归转化的思想在解题过程中的运用。例2：定义在（-∞，+∞）上的偶函数y=f（x）满足关系f（x+2）=-f（x）且f（x）在区间[-2，0]上是增函数，那么以下结论正确的有①y=f（x）是周期函数②y=f（x）的图象关于直线x=2对称③y=f（x）在区间[2，4]上是减函数④f（）=f（）生1：①f（x）是周期函数，T=4师：②分析：要证明直线x=2是y=f（x）图象的对称轴，只需要证明什么关系式成立？生：只需证f（2-x）=f（2+x）或证f（-x）=f（4+x）或证f（x）=f（4-x）师：那我们选择证第三个等式f（x）=f（4-x）成立生：∵f（x）的周期T=4，且f（x）是偶函数∴f（4-x）=f（-x）=f（x）即f（x）=f（4-x）∴y=f（x）图象的对称轴x=2③：生1：有已知在区间[-2，0]上，y=f（x）是增函数，由于y=f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，那么在[0，2]上y=f（x）是减函数，又由于y=f（x）图象关于直线x=2对称，所以y=f（x）在区间[2，4]上是增函数所以结论错误生2：也可以借助于图象（示意图）证明③是错误的④：生3：由于f（x）在区间[0，2]上是递减的∴f（）>f（）∴结论错误师：请同学们课后对问题进行延伸思考：通过以上两个例题，我们发现这样一个结论：如果f（x）具备奇偶性，同时f（x）的图象还关于某条直线对称，则f（x）是周期函数，你认为这个结论成立吗？请证明。课堂总结：（师生共同完成）要求对函数性质有深刻的理解及三种数学语言的理解转化掌握代表变换的方法，体会数形结合、化归思想在解题过程中的应用进一步培养学生的抽象思维能力课堂检测：已知定义在R上的周期函数y=f（x），周期T=4，若y=f（x）的图象关于直线x=2成轴对称图形求证：y=f（x）是偶函数五、课后反思这节课的教学环节，设计比较合理。特别是课前的复习导入，加强学生对数学的文字语言、符号语言、图形语言三种语言理解和相互转换，为突破本节课的难点做了有益的铺垫。例1的三种解法和四种变化，从不同的角度和方面加深了学生对函数有关概念性质的理解，对数学语言阅读能力的培养，同时对提高他们的抽象思维能力是极有好处的学生课堂上的反映热烈，积极参与，回答问题踊跃。特别是一些平时成绩偏下的学生也积极发言，很想表现自己，渴望得到来势和同学的认可。看来，如果平时也经常关注这部分学生，多给他们成功的机会，调动他们参与课堂的积极性，那么他们一定回愿意学，乐于学，学好的从课堂小测反馈的情况看，有少数学生对这部分内容的掌握还有困难，不会阅读，理解数学符号，因此运用起来感到比较困难，无从下手解题，因此对这部分学生还得加强课后的辅导督促其落实课堂上程序基本上是老师设计安排好的，没有让学生发现问题、提出问题，从而解决问题，这对培养学生的创新意识和能力是有碍的，这也是本人感到困惑的地方，在高三的复习时间紧迫的情况下，在课堂上，如何既让学生有一定的时间体会探索，发散思维，甚至充分暴露思维的错误，又能按时完成课时进度，落实各个知识点，不影响应试考试的成绩。这实在是太难了啊！

函数的图象

一、教学目的

1．使学生进一步理解自变量的取值范围和函数值的意义．

2．使学生会用描点法画出简单函数的图象．

二、教学重点、难点

重点：1．理解与认识函数图象的意义．

2．培养学生的看图、识图能力．

难点：在画图的三个步骤的列表中，如何恰当地选取自变量与函数的对应值问题．

三、教学过程

复习提问

1．函数有哪三种表示法？(答：解析法、列表法、图象法．)

2．结合函数y=x的图象，说明什么是函数的图象？

3．说出下列各点所在象限或坐标轴：

新课

1．画函数图象的方法是描点法．其步骤：

(1)列表．要注意适当选取自变量与函数的对应值．什么叫“适当”？——这就要求能选取表现函数图象特征的几个关键点．比如画函数y=3x的图象，其关键点是原点(0，0)，只要再选取另一个点如M(3，9)就可以了．

一般地，我们把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，这就要把自变量与函数的对应值列出表来．

(2)描点．我们把表中给出的有序实数对，看作点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点．

(3)用光滑曲线连线．根据函数解析式比如y=3x，我们把所描的两个点(0，0)，(3，9)连成直线．

一般地，根据函数解析式，我们列表、描点是有限的几个，只需在平面直角坐标系中，把这有限的几个点连成表示函数的曲线(或直线)．

2．讲解画函数图象的三个步骤和例．画出函数y=x+0.5的图象．

小结

本节课的重点是让学生根据函数解析式画函数图象的三个步骤，自己动手画图．

练习：①选用课本练习(前一节已作：列表、描点，本节要求连线)

②补充题：画出函数y=5x－2的图象．

作业：选用课本习题．

四、教学注意问题

1．注意渗透数形结合思想．通过研究函数的图象，对图象所表示的一个变量随另一个变量的变化而变化就更有形象而直观的认识．把函数的解析式、列表、图象三者结合起来，更有利于认识函数的本质特征．

2．注意充分调动学生自己动手画图的积极性．

3．认识到由于计算器和计算机的普及化，代替了手工绘图功能．故在教学中要倾向培养学生看图、识图的能力．

函数的应用举例

教学目标

1.能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简单的实际问题．

(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义．

(2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题．

(3)能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题．

2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．

3.通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．

教学建议

教材分析

（1）本小节内容是全章知识的综合应用．这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本小节的重点，根据实际问题建立数学模型是本小节的难点．

（2）在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识．

教法建议

（1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．

（2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．

（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．在选题时应以以上几方面问题为主．

教学设计示例

函数初步应用

教学目标

1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关知识解决某些简单的实际问题．

2.通过对实际问题的研究，培养学生分析问题，解决问题的能力

3.通过把实际问题向数学问题的转化，渗透数学建模的思想，提高学生用数学的意识，及学习数学的兴趣．

教学重点，难点

重点是应用问题的阅读分析和解决．

难点是根据实际问题建立相应的数学模型

教学方法

师生互动式

教学用具

投影仪

教学过程

一.提出问题

数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．

问题一：如图，△是边长为2的正三角形，这个三角形在直线的左方被截得图形的面积为，求函数的解析式及定义域．(板书)

(作为应用问题由于学生是初次研究，所以可先选择以数学知识为背景的应用题，让学生研究)

首先由学生自己阅读题目，教师可利用计算机让直线运动起来，观察三角形的变化，由学生提出研究方法．由学生说出由于图形的不同计算方法也不同，应分类讨论．分界点应在，再由另一个学生说出面积的计算方法．

当时，，(采用直接计算的方法)

当时，

．(板书)

(计算第二段时，可以再画一个相应的图形，如图)

综上，有，

此时可以问学生这是什么函数?定义域应怎样计算?让学生明确是分段函数的前提条件下，求出定义域为．(板书)

问题解决后可由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤(1)阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题．

下面我们一起看第二个问题

问题二：某工厂制定了从1999年底开始到2005年底期间的生产总值持续增长的两个三年计划，预计生产总值年平均增长率为，则第二个三年计划生产总值与第一个三年计划生产总值相比，增长率为多少?(投影仪打出)

首先让学生搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题，所以问题转化为已知年增长率为，分别求两个三年计划的总产值．

设1999年总产值为，第一步让学生依次说出2000年到2005年的年总产值，它们分别为：

2000年2003年

2001年2004年

2002年2005年(板书)

第二步再让学生分别算出第一个三年总产值和第二个三年总产值

=++

=．

=++

=．(板书)

第三步计算增长率．

．(板书)

计算后教师可以让学生总结一下关于增长率问题的研究应注意的问题．最后教师再指出关于增长率的问题经常构建的数学模型为，其中为基数，为增长率，为时间．所以经常会用到指数函数有关知识加以解决．

总结后再提出最后一个问题

问题三：一商场批发某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法，试验表明，礼品价格为1元时，销售量可增加10%，且在一定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%．设未赠送礼品时的销售量为件．

(1)写出礼品价值为元时，所获利润(元)关于的函数关系式;

(2)请你设计礼品价值，以使商场获得最大利润．(为节省时间，应用题都可以用投影仪打出)

题目出来后要求学生认真读题，找出关键量．再引导学生找出与利润相关的量．包括销售量，每件的利润及礼品价值等．让学生思考后，列出销售量的式子．再找学生说出每件商品的利润的表达式，完成第一问的列式计算．

解：．(板书)

完成第一问后让学生观察解析式的特点，提出如何求这个函数的最大值(此出最值问题是学生比较陌生的，方法也是学生不熟悉的)所以学生遇到思维障碍，教师可适当提示，如可以先具体计算几个值看一看能否发现规律，若看不出规律，能否把具体计算改进一下，再计算中能体现它是最大?也就是让学生意识到应用最大值的概念来解决问题．最终将问题概括为两个不等式的求解即

(2)若使利润最大应满足

同时成立即解得

当或时，有最大值．

由于这是实际应用问题，在答案的选择上应考虑价值为9元的礼品赠送，可获的最大利润．

三．小结

通过以上三个应用问题的研究，要学生了解解决应用问题的具体步骤及相应的注意事项．

四．作业略

五．板书设计

2．9函数初步应用

问题一：

解：

问题二

分析

问题三

分析

小结：

关于一次函数的高中教案推荐

一、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx（k为常数，k≠0）

二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b（k为任意不为零的实数b取任何实数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点p（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=o时，直线通过原点o（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点a（x1，y1）；b（x2，y2），请确定过点a、b的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点p（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量s。g=s-ft。

六、常用公式：（不全，希望有人补充）

1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2（注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）

本文网址：//m.jk251.com/jiaoan/4437.html