解二元一次方程组（一）的教学方案
时间：2022-01-17 二元一次方程组 一次方程组的应用教学目标：1.能熟练地用代入消元法解简单的二元一次方程组2.从解方程的过程中体会转化的思想方法教学重点：用代入消元法解二元一次方程组教学难点：用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数教学过程：一、情境创设根据篮球比赛规则；赢一场得2分，平一场得1分，在某次中学篮球联赛中，某球队赛了12场，赢了x场，输了y场，共各20分.可以得出方程组：x+y=122x+y=20（学生思考，列出方程）二、新课讲授如何解上面的二元一次方程组呢？x+y=12①2x+y=20②(学生主动探索，尝试，体会消元的方法)解：由①得：y=12-x③将③代入②得：2x+12x-x=20解这个二元一次方程，得x=8将x=8代入③，得y=4所以原方程组的解是x=8y=4注：①二元一次方程组的解是一对数值，而不是一个单纯的x值或y值.②算出结果后要做心算检验，以养成习惯问题：（引导思维拓展）①你是如何解方程组的？②每一步的依据是什么？③还有其它的方法吗？（能否通过消去x解方程？）代入消元法：将方程组的一个方程中的某个未知数据用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法，称为代入消元法，简称代入法.（学生归纳、总结、并理解）点评：用代入消元法解二元一次方程组方法不唯一，比如：上题中也可以用y来表示x，通过消去x来解方程.即：由①得：x=12-y……③，将③代入②得……即使用x来表示y，方法也不是唯一的，可以由①得y=12-x，也可以由②得y=20-2x……三、例题教学：解方程组x+3y=03x+2y=92(板书示范，学生思考回答)步骤1．用一个未知数表示另一个未知数；2．将表示后的未知数代入方程；3．解此方程4．求方程组的一对解.四、学生练习p1101、2、3（学生板演）五、拓展延伸1．解方程组3x=1-2y3x+4y=-7（整体代入法）2．已知x+y=k2x+3y=k六、课时小结：1.用代入法解二元一次方程组的步骤？2.任意一个二元一次方程都能用代入消元法解吗？举例说明.七、作业p1121、（1）（4）2、3、
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用代入法解二元一次方程组教案模板
教学建议
一、重点、难点分析
本节的教学重点是使学生学会用代入法．教学难点在于灵活运用代入法，这要通过一定数量的练习来解决；另一个难点在于用代入法求出一个未知数的值后，不知道应把它代入哪一个方程求另一个未知数的值比较简便．
解二元一次方程组的关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．
二、知识结构
三、教法建议
1．关于检验方程组的解的问题．教材指出：“检验时，需将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是不是相等．”教学时要强调“原方程组”和“每一个”这两点．检验的作用，一是使学生进一步明确代入法是求方程组的解的一种基本方法，通过代入消元的确可以求得方程组的解二是进一步巩固二元一次方程组的解的概念，强调
这一对数值才是原方程组的解，并且它们必须使两个方程左、右两边的值都相等；三是因为我们没有用方程组的同解原理而是用代换（等式的传递）来解方程组的，所以有必要检验求出来的这一对数值是不是原方程组的解；四是为了杜绝变形和计算时发生的错误．检验可以口算或在草稿纸上演算，教科书中没有写出．
2．教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性．
3．教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难，逐步加深．随着例题由简到繁，由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易．这样不仅可以求解迅速，而且可以减少错误．
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．掌握的步骤．
2．熟练运用代入法解简单的二元一次方程组．
（二）能力训练点
1．培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较简单的方程进行变形．
2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯．
（三）德育渗透点
消元，化未知为已知的数学思想．
（四）美育渗透点
通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美．
二、学法引导
1．教学方法：引导发现法、练习法，尝试指导法．
2．学生学法：在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法．
三、重点、难点、疑点及解决办法
（－）重点
使学生会．
（二）难点
灵活运用代入法的技巧．
（三）疑点
如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．
（四）解决办法
一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形：
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
电脑或投影仪、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．教师设问怎样用一个未知量表示另一个未知量，并比较哪种表示形式更简单，如等．
2．通过课本中香蕉、苹果的应用问题，引导学生列出一元一次方程或二元一次方程组，并通过比较、尝试，探索出化二元为一元的解方程组的方法．
3．再通过比较、尝试，探索出选一个系数较简单的方程变形，通过代入法求方程组解的办法更简便，并寻找出求解的规律．
七、教学步骤
（－）明确目标
本节课我们将学习用代入法求二元一次方程组的解．
（二）整体感知
从复习用一个未知量表达另一个未知量的方法，从而导入运用代入法化二元为一元方程的求解过程，即利用代入消元法求二元一次方程组的解的办法．
（三）教学步骤
1．创设情境，复习导入
（1）已知方程，先用含的代数式表示，再用含的代数式表示．并比较哪一种形式比较简单．
（2）选择题：
二元一次方程组的解是
A．B．C．D．
【教法说明】第（1）题为打下基础；第（2）题既复习了上节课的重点，又成为导入新课的材料．
通过上节课的学习，我们会检验一对数值是否为某个二元一次方程组的解．那么，已知一个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？这节课我们就来学习．
这样导入，可以激发学生的求知欲．
2．探索新知，讲授新课
香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？
学生活动：分别列出一元一次方程和二元一次方程组，两个学生板演．
设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，根据题意，得
设买了香蕉千克，买了苹果千克，得
上面的一元一次方程我们会解，能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢，由方程①可以得到③，把方程②中的转换成，也就是把方程③代入方程②，就可以得到．这样，我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程，由这个方程就可以求出了．
解：由①得：③
把③代入②，得：
∴
把代入③，得：
∴
【教法说明】解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，向学生展示了知识的发生过程，这对于学生知识的形成十分重要．
上面解二元一次方程组的方法，就是代入消元法．你能简单说说的基本思路吗？
学生活动：小组讨论，选代表发言，教师进行指导．纠正后归纳：设法消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．
例1解方程组
（1）观察上面的方程组，应该如何消元？（把①代入②）
（2）把①代入②后可消掉，得到关于的一元一次方程，求出．
（3）求出后代入哪个方程中求比较简单？（①）
学生活动：依次回答问题后，教师板书
解：把①代入②，得
∴
把代入①，得
∴
如何检验得到的结果是否正确？
学生活动：口答检验．
教师：要把所得结果分别代入原方程组的每一个方程中．
【教法说明】给出例1后提出的三个问题，恰好是学生的思维过程，明确了解题思路；教师板演例1，规范了解二元一次方程组的解题格式；通过检验，可使学生养成严谨认真的学习习惯．
例2解方程组
要把某个方程化成如例1中方程①的形式后，代入另一个方程中才能消元．方程②中的系数是1，比较简单．因此，可以先将方程②变形，用含的代数式表示，再代入方程①求解．
学生活动：尝试完成例2．
教师巡视指导，发现并纠正学生的问题，把书写过程规范化．
解：由②，得③
把③代入①，得
∴
∴
把代入③，得
∴
∴
检验后，师生共同讨论：
（1）由②得到③后，再代入②可以吗？（不可以）为什么？（得到的是恒等式，不能求解）
（2）把代入①或②可以求出吗？（可以）代入③有什么好处？（运算简便）
学生活动：根据例1、例2的解题过程，尝试总结的一般步骤，讨论后选代表发言．之后，看课本第12页，用几个字概括每个步骤．
教师板书：
（1）变形（）
（2）代入消元（）
（3）解一元一次方程得（）
（4）把代入求解
练习：P131．（1）（2）；P142．（1）（2）．
3．变式训练，培养能力
①由可以得到用表示．
②在中，当时，；当时，，则；．
③选择：若是方程组的解，则（）
A．B．C．D．
（四）总结、扩展
1．解二元一次方程组的思想：．
2．的步骤．
3．的技巧：①变形的技巧②代入的技巧．
通过这节课的学习，我们要熟练运，并能检验结果是否正确．
八、布置作业
（一）必做题：P151．（2）（4），2．（1）（2）（3）（4）．
（二）选做题：P15B组1．
参考答案
（一）1．（2）（4）
2．（1）（2）（3）（4）
（二），
由一个二元一次方程一个二元二次方程组成的方程组的教学方案
第一课时
一、教学目标
1．使学生知道二元二次方程的概念、二元二次方程组的概念；
2．使学生掌握由代入法解.
3.通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力；
4.通过二元二次方程组解法的剖析，对学生进行事物间可以相互转化的辨证唯物主义思想的教育；
5.通过方程组的学习，渗透方程组解的对称美.
二、重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，会用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组.
2．教学难点：理解解二元二次方程组的基本思想.
3．教学疑点：关于学生对二元二次方程组概念的理解.由于教材中关于二元二次方程组的概念的给出，是通过具体实例的形象定义，因此，部分学生可能认为只有由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的或由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，其实不然.关于这一点，可利用课后辅导向学生做一简单的说明.
4．解决办法：关键是消元，化二元为一元，本节主要是用代入消元.
三、教学过程
1．复习提问
（1）举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组？
（2）解二元一次方程组的基本思路是什么？
（3）解二元一次方程组有哪几种方法？
问题1、2的设计是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.
2．新课讲解
我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.
关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了解，并且能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容.
（1）二元二次方程及二元二次方程组
观察方程，此方程的特点：①含有两个未知数；②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2.
定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.
二元二次方程的一般形式是：（a、b、c不同时为零）.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项.
定义②：由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.例如：
都是二元二次方程组.
（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.
我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解.
解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.
对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法.
例1解方程组
分析：由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过②得再代入①可以求出的值，从而得到方程组的解.
解：由②，得
把③代入①，整理，得
解这个方程，得
.
把代入③，得；
把代入③，得.
所以原方程的解是
说明：本题在师生共同分析后，让学生独立完成，教师指导学生解题过程.
巩固练习：教材P571、2
四、总结、扩展
关于本节的小结，教师引导学生共同总结.
本节课我们学习了二元二次方程、二元二次方程组的定义及常见的二元二次方程组的两种类型，理解了解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，使之转化为二元一次方程或一元一次方程；对于一个二元一次方程组和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般采用代入消元法解.
学生学完了用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组后，教师和学生可以共同总结这种类型方程组的解题步骤：
1．将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知数表示的代数式.
2．将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程或一元一次方程.
3．解一元二次方程或一元一次方程.
4．将所求的值代入由1所得的式子求出另一未知数.
5．写出方程组的解.
五、布置作业
教材P581，2.
六、板书设计
数学教案－用代入法解二元一次方程组的教学方案
教学建议
一、重点、难点分析
本节的教学重点是使学生学会用代入法．教学难点在于灵活运用代入法，这要通过一定数量的练习来解决；另一个难点在于用代入法求出一个未知数的值后，不知道应把它代入哪一个方程求另一个未知数的值比较简便．
解二元一次方程组的关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．
二、知识结构
三、教法建议
1．关于检验方程组的解的问题．教材指出：“检验时，需将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是不是相等．”教学时要强调“原方程组”和“每一个”这两点．检验的作用，一是使学生进一步明确代入法是求方程组的解的一种基本方法，通过代入消元的确可以求得方程组的解二是进一步巩固二元一次方程组的解的概念，强调
这一对数值才是原方程组的解，并且它们必须使两个方程左、右两边的值都相等；三是因为我们没有用方程组的同解原理而是用代换（等式的传递）来解方程组的，所以有必要检验求出来的这一对数值是不是原方程组的解；四是为了杜绝变形和计算时发生的错误．检验可以口算或在草稿纸上演算，教科书中没有写出．
2．教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性．
3．教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难，逐步加深．随着例题由简到繁，由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易．这样不仅可以求解迅速，而且可以减少错误．
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．掌握用代入法解二元一次方程组的步骤．
2．熟练运用代入法解简单的二元一次方程组．
（二）能力训练点
1．培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较简单的方程进行变形．
2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯．
（三）德育渗透点
消元，化未知为已知的数学思想．
（四）美育渗透点
通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美．
二、学法引导
1．教学方法：引导发现法、练习法，尝试指导法．
2．学生学法：在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法．
三、重点、难点、疑点及解决办法
（－）重点
使学生会用代入法解二元一次方程组．
（二）难点
灵活运用代入法的技巧．
（三）疑点
如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．
（四）解决办法
一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形：
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
电脑或投影仪、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．教师设问怎样用一个未知量表示另一个未知量，并比较哪种表示形式更简单，如等．
2．通过课本中香蕉、苹果的应用问题，引导学生列出一元一次方程或二元一次方程组，并通过比较、尝试，探索出化二元为一元的解方程组的方法．
3．再通过比较、尝试，探索出选一个系数较简单的方程变形，通过代入法求方程组解的办法更简便，并寻找出求解的规律．
七、教学步骤
（－）明确目标
本节课我们将学习用代入法求二元一次方程组的解．
（二）整体感知
从复习用一个未知量表达另一个未知量的方法，从而导入运用代入法化二元为一元方程的求解过程，即利用代入消元法求二元一次方程组的解的办法．
（三）教学步骤
1．创设情境，复习导入
（1）已知方程，先用含的代数式表示，再用含的代数式表示．并比较哪一种形式比较简单．
（2）选择题：
二元一次方程组的解是
A．B．C．D．
【教法说明】第（1）题为用代入法解二元一次方程组打下基础；第（2）题既复习了上节课的重点，又成为导入新课的材料．
通过上节课的学习，我们会检验一对数值是否为某个二元一次方程组的解．那么，已知一个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？这节课我们就来学习．
这样导入，可以激发学生的求知欲．
2．探索新知，讲授新课
香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？
学生活动：分别列出一元一次方程和二元一次方程组，两个学生板演．
设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，根据题意，得
设买了香蕉千克，买了苹果千克，得
上面的一元一次方程我们会解，能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢，由方程①可以得到③，把方程②中的转换成，也就是把方程③代入方程②，就可以得到．这样，我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程，由这个方程就可以求出了．
解：由①得：③
把③代入②，得：
∴
把代入③，得：
∴
【教法说明】解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，向学生展示了知识的发生过程，这对于学生知识的形成十分重要．
上面解二元一次方程组的方法，就是代入消元法．你能简单说说用代入法解二元一次方程组的基本思路吗？
学生活动：小组讨论，选代表发言，教师进行指导．纠正后归纳：设法消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．
例1解方程组
（1）观察上面的方程组，应该如何消元？（把①代入②）
（2）把①代入②后可消掉，得到关于的一元一次方程，求出．
（3）求出后代入哪个方程中求比较简单？（①）
学生活动：依次回答问题后，教师板书
解：把①代入②，得
∴
把代入①，得
∴
如何检验得到的结果是否正确？
学生活动：口答检验．
教师：要把所得结果分别代入原方程组的每一个方程中．
【教法说明】给出例1后提出的三个问题，恰好是学生的思维过程，明确了解题思路；教师板演例1，规范了解二元一次方程组的解题格式；通过检验，可使学生养成严谨认真的学习习惯．
例2解方程组
要把某个方程化成如例1中方程①的形式后，代入另一个方程中才能消元．方程②中的系数是1，比较简单．因此，可以先将方程②变形，用含的代数式表示，再代入方程①求解．
学生活动：尝试完成例2．
教师巡视指导，发现并纠正学生的问题，把书写过程规范化．
解：由②，得③
把③代入①，得
∴
∴
把代入③，得
∴
∴
检验后，师生共同讨论：
（1）由②得到③后，再代入②可以吗？（不可以）为什么？（得到的是恒等式，不能求解）
（2）把代入①或②可以求出吗？（可以）代入③有什么好处？（运算简便）
学生活动：根据例1、例2的解题过程，尝试总结用代入法解二元一次方程组的一般步骤，讨论后选代表发言．之后，看课本第12页，用几个字概括每个步骤．
教师板书：
（1）变形（）
（2）代入消元（）
（3）解一元一次方程得（）
（4）把代入求解
练习：P131．（1）（2）；P142．（1）（2）．
3．变式训练，培养能力
①由可以得到用表示．
②在中，当时，；当时，，则；．
③选择：若是方程组的解，则（）
A．B．C．D．
（四）总结、扩展
1．解二元一次方程组的思想：
2．用代入法解二元一次方程组的步骤．
3．用代入法解二元一次方程组的技巧：①变形的技巧②代入的技巧．
通过这节课的学习，我们要熟练运用代入法解二元一次方程组，并能检验结果是否正确．
八、布置作业
（一）必做题：P151．（2）（4），2．（1）（2）（3）（4）．
（二）选做题：P15B组1．
参考答案
（一）1．（2）（4）
2．（1）（2）（3）（4）
（二），
经典初中教案用加减法解二元一次方程组
教学建议
1．教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：本小节的重点是使学生学会.这也是一种全新的知识，与在一元一次方程两边都加上、减去同一个数或同一个整式，或者都乘以、除以同一个非零数的情况是不一样的，但运用这项知识（这里也表现为一种方法），有时可以简捷地求出二元一次方程组的解，因此学生同样会表现出一种极大的兴趣.必须充分利用学生学会这种方法的积极性.加减（消元）法是解二元一次方程组的基本方法之一，因此要让学生学会，并能灵活运用.这种方法同样是解三元一次方程组和某些二元二次方程组的基本方法，在教学中必须引起足够重视.
难点：灵活运用加减法的技巧，以便将方程变形为比较简单和计算比较简便，这也要通过一定数量的练习来解决.
2．教法建议
（1）本节是通过一个引例，介绍了加减法解方程组的基本思想和解题过程.教学时，要引导学生观察这个方程组中未知数系数的特点.通过观察让学生说出，在两个方程中y的系数互为相反数或在两个方程中x的系数相等，让学生自己动脑想一想，怎么消元比较简便，然后引出加减消元法.
（2）讲完加减法后，课本通过三个例题加以巩固，这三个例题是由浅入深的，讲解时也要先让学生观察每个方程组未知数系数的特点，然后让学生说出每个方程组的解法，例题1老师自己板书，剩下的两个例题让学生上黑板板书，然后老师点评.
（3）讲解完本节后，教师应引导学生比较代入法与加减法这两种方法，这两种方法虽有不同，但实质都是消元，即通过消去一个未知数，把“二元”转化为“一元”.也就是说：
这时学生对解题方法比较熟悉，但还没有上升到理论的高度，这时教师应及时点拨、渗透化归转化的思想，并指出这是具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法.
教学设计示例
（第一课时）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．使学生掌握的步骤．
2．能运．
（二）能力训练点
1．培养学生分析问题、解决问题的能力．
2．训练学生的运算技巧．
（三）德育渗透点
消元，化未知为已知的转化思想．
（四）美育渗透点
渗透化归的数学美．
二、学法引导
1．教学方法：谈话法、讨论法．
2．学生学法：观察各未知量前面系数的特征，只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值后即可利用加减法进行消元，同时在运算中注意归纳解题的技巧和解题的方法．
三、重点、难点、疑点及解决办法
（－）重点
使学生学会．
（二）难点
灵活运用加减消元法的技巧．
（三）疑点
如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．
（四）解决办法
只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值即可利用加减法进行消元．
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
投影仪、胶片．
六、师生互动活动设计
1．教师通过复习上节课代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入除了消元法还有其他方法吗？从而导入新课即加减法解二元一次方程组．
2．通过引例进一步让学生探究是用代入法还是用加减法解方程组更简单，让学生进一步明确用加减法解题的优越性．
3．通过反复的训练、归纳、再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论．
七、教学步骤
（－）明确目标
本节课通过复习代入法从而引入另一种消元的办法，即加减法解二元一次方程组．
（二）整体感知
加减法解二元一次方程组的关键在于将相同字母的系数化为绝对值相等的值，即可使用加减法消元．故在教学中应反复教会学生观察并抓住解题的特征及办法从而方便解题．
（三）教学过程
1．创设情境，复习导入
（1）用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？
（2）用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确．
学生活动：口答第（1）题，在练习本上完成第（2）题，一个同学说出结果．
上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解．对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容．
【教法说明】由练习导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，教学过程中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的特点选取适当的方法解题．
2．探索新知，讲授新课
第（2）题的两个方程中，未知数的系数有什么特点？（互为相反数）根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．
解：①＋②，得
把代入①，得
∴
∴
学生活动：比较用这种方法得到的、值是否与用代入法得到的相同．（相同）
上面方程组的两个方程中，因为的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了．观察一下，的系数有何特点？（相等）方程①和方程②经过怎样的变化可以消去？（相减）
学生活动：观察、思考，尝试用①－②消元，解方程组，比较结果是否与用①＋②得到的结果相同．（相同）
我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解．像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法，简称“加减法”．
提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单？（加减法）
②在什么条件下可以用加减法进行消元？（某一个未知数的系数相等或互为相反数）
③什么条件下用加法、什么条件下用减法？（某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法）
【教法说明】这几个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性．
例1解方程组
哪个未知数的系数有特点？（的系数相等）把这两个方程怎样变化可以消去？（相减）
学生活动：回答问题后，独立完成例1，一个学生板演．
解：①－②，得
∴
把代入②，得
∴
∴
∴
（1）检验一下，所得结果是否正确？
（2）用②－①可以消掉吗？（可以）是用①－②，还是用②－①计算比较简单？（①－②简单）
（3）把代入①，的值是多少？（），是代入①计算简单还是代入②计算简单？（代入系数较简单的方程）
练习：P23l．（l）（2）（3），分组练习，并把学生的解题过程在投影仪上显示．
小结：的条件是某个未知数的系数绝对值相等．
例2解方程组
（1）上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？（不符合）
（2）如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？（①×2或②×3）
归纳：如果两个方程中，未知数系数的绝对值都不相等，可以在方程两边部乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元．
学生活动：独立解题，并把一名学生解题过程在投影仪上显示．
学生活动：总结的步骤．
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等．
②加减消元．
③解一元一次方程．
④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解．
3．尝试反馈，巩固知识
练习：P231．（4）（5）．
【教法说明】通过练习，使学生熟练地并能在练习中摸索运算技巧，培养能力．
4．变式训练，培养能力
（1）选择：二元一次方程组的解是（）
A．B．C．D．
（2）已知，求、的值．
学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上完成．
【教法说明】第（1）题可以用解方程组的方法得解，也可以把四组值分别代入原方程组中，利用检验的方法解，这道题能训练学生思维的灵活性；第（2）题通过分析，学生可得方程组从而求得、的值．此题可以培养学生分析问题，解决问题的综合能力．
（四）总结、扩展
1．的思想：
2．的条件：某一未知数系数绝对值相等．
3．的步骤：
八、布置作业
（一）必做题：P241．
（二）选做题：P25B组1．
（三）预习：下节课内容．
参考答案
（一）（1）（2）（3）（4）
（二）1．（1）与（4）（2）与（3）
一次方程组的应用
（第二课时）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
会列二元一次方程组解简单的应用题，并能检查所得结果是否正确、合理．
（二）能力训练点
培养学生分析问题、解决问题的能力．
（三）德育渗透点
1．进一步渗透化未知为已知的思想．
2．通过应用题的内容，进行理论联系实际的教育．
（四）美育渗透点
学习列二元一次方程解应用题，通过深入挖掘隐含的条件，渗透解题的简捷性的数学美以及准确的设元，发挥解题的创造性的数学美．
二、学法引导
1．教学方法：观察法、谈话法、尝试指导法．
2．学生学法：通过行程问题中的三个量路程、速度、时间结合题意得出两个正确的相等关系是关键，通过反复训练并思考总结出一般性、规律性的知识．
三、重点·难点·疑点及解决办法
（一）重点难点
根据简单应用题的题意列出二元一次方程组．
（二）疑点
正确找出表示应用题全部含义的两个相等关系，并把它们表示成两个方程．
（三）解决办法
反复读题、审题，提高分析问题及解决问题的能力．
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
投影仪、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．复习列二元一次方程组解应用题的一般步骤，让学生在熟练掌握它的基础上研究新的问题．
2．师生共同探究行程问题中三者的关系，并学会如何通过题意以路程、速度、时间作为等量关系来列二元一次方程组．
七、教学步骤
（一）明确目标
本节课主要学习列二元一次方程组解行程问题的应用题．
（二）整体感知
利用路程、速度、时间的三者关系解关于相遇、追及以及顺、逆流航行的应用题，关键在于寻找以路程或时间为主的等量关系．
（三）教学过程
1．复习提问，导入新课
（1）上节课我们学习了二元一次方程组的应用，列二元一次方程组解应用题的步骤是什么？
（2）列方程组解应用题的关键是哪两步？
学生活动：回答老师提出的问题．
这节课，我们接着学习列二元一次方程组解应用题．
2．探索新知，讲授新课
例3甲、乙二人相距6㎞，二人同时出发，同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇，二人的平均速度各是多少？
提问：（1）题中有几个未知数？分别是什么？
（2）题中的两个相等关系分别是什么？
学生活动：观察、分析后回答．
未知数：甲、乙各自的平均速度
相等关系：（1）同向而行：甲的行程＝乙的行程＋6㎞
（2）相向而行：甲行程＋乙行程＝6㎞
学生活动：设未知数，根据相等关系列出方程组．
解：设甲的平均速度是每小时行㎞，乙的平均速度是每小时行㎞，根据题意，得
解这个方程组，得
答：平均第小时甲行4㎞，乙行2㎞．
注意：检验．
反馈练习：P371，2．
例4甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用3小时45分，求船在静水中的航速及水流速度．
分析：复习船在顺流航行及逆流航行中的速度与船在静水中的速度、水流速度的关系．
顺流航行的船速＝在静水中的船速度＋水流速度
逆流航行的船速＝在静水中的船速度－水流速度
师生共同分析两个相等关系：
（1）顺流航行的速度×3＝60千米
（2）逆流航行的速度×＝60千米
解：设船在静水中的速度为千米/时，水流速度为千米/时．
由题意得
答：略．
练习：P487．
例5某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个市现在的城镇人口与农村人口．
提问：（1）题中的两个未知数分别是什么？
（2）题中的相等关系是什么？
学生活动：回答老师提出的问题．
教师根据学生回答板书．
未知数：城镇人口与农村人口
相等关系：（1）城镇人口＋农村人口＝总人口
（2）城镇人口增加数＋农村人口增加数＝总人口增加数
学生活动：根据分析设未知数、列方程组，一个学生板演．
解：设城镇人口是万，农村人口是万，得
解这个方程组，得
答：城镇人口是14万，农村人口是28万．
注意：②式中的42也可以写成（）．
【教法说明】例3、例4采用了与例1相同的分析方法，这样分析，可以使学生学会列方程组解应用题的分析方法．如果学生的基础较好，也可以采用拟题训练法让学生分析，培养学生的自学能力．
3．变式训练，培养能力
、两地之间的路为20千米，甲从地，乙从地同时出发，相向而行，2小时后在点相遇，相遇后甲原速返回地，乙仍向地前进．甲回到地时，乙离地还有2千米，求甲、乙两人的时速．
学生活动：独立分析、思考、找相等关系，一个学生板演．
解：设甲速为每小时千米，乙速为每小时千米，根据题意，
得：
解得
答：甲速为每小时5.5千米，乙速为每小时4.5千米．
【教法说明】找相等关系时，相向而行的比较简单，为甲、乙二人的行程（20千米），在找同向而行的相等关系时，教师可画出直线型示意图进行分析：
甲、乙二人从点同向而行，甲回到地的时间是2小时，在相同时间内，乙到达点，距地还有2千米，从而可得相等关系：
甲行程－乙行程＝2千米
此题可培养学生分析问题、解决问题的能力．
（四）总结、扩展
这节课我们又学习了二元一次方程组的应用，我们在解题时，一定要认真分析，找准相等关系，列出方程组．
八、布置作业
P39～P404，7，8，9，10，11．
参考答案
略．
九、板书设计
5.5一次方程组的应用（二）
例3
例4
例5
二元一次方程组的解法（代入法）教学评点
一、引入激趣
开始引入了名人迪卡儿的数学思想，学生崇拜名人相信名人于是以名人名言给这节课定了基调，那就是数学与实际有密切的关系以及用方程思想解决实际问题的总方针。结合现实生活中的身边事例篮球赛为引例巧妙引导到新课。其中张老师设计了学生用原来解二元一次方程组的方法解时太麻烦，不好解，产生了困惑，学生自然而然就会想到有没有解决问题的好方法的猜想。这样就让学生产生了认知上的冲突，从而激发了学生的好奇心和求知欲，提高了学生的热情和兴趣，学生就会拼命地去探究科学奥秘。此时张老师抓住时机引导学生要探究好方法首先要有预备知识，抛出一个量来表示另一个量的探究内容。给学生指明了方向，使学生不至于太漫无边际的探究。也为接下来的自学铺平了道路。紧接着出示自学目标和指导。
二、师生活动融为一体民主气氛浓
自学指导学生自主探究，先个人独立思考后合作交流展示汇报。老师巡视，指导学困生，积极组织学生活动并参与其中，及时评价学生，关注每个学生的发展。这个过程学生提高了合作、交流能力，也展示了学生的表现能力，并锻炼了学生归纳总结能力，培养学生会听取别人的意见及看法，并给予承认、表扬和鼓励的情感意识，课堂上的掌声不由自主的响起，提升了个人的思想品质和为人素养，思想性很强，情感意识很浓。
三、技能训练及时跟上
学生一旦获得了探究的新知，马上进行训练和提高，练习中有生趣，有关注学生的严密细致的科学态度，学生练的热情高。其中有一个学生的不同解法，张老师利用的惟妙惟肖，有效地开发和利用了课堂的生成性资源，启迪了学生的智慧，激励了他们的发散思维，培养了他们的创新能力，肯定了学生的一题多解，举一反三的学法，使我们的课堂异彩纷呈。
四、消元思想，代入消元，化归思想，让学生充分体会到化归思想的神奇魅力，从而把数学思想贯穿在教学中，让学生能力得到提高，以后可持续发展自己，一生有用。
总之本节课清晰明了，行如流水，结构严谨，一环扣一环，步步深入。板书设计精细，清晰，具有高度的概括性和逻辑性，学生好记，印象深。学生学习既紧张又活泼，既有常规思维又有创造思维，既学得了知识，又锻炼了各种能力，还随时培养了学生的好习惯。整个课堂始终以学生为主，老师为辅，老师的引导恰如其分，很好的组织了课堂，激发了学生，把时间和空间还给了学生，体现了教育教学的新理念，传播了数学思想和方法，是一堂意味深长的好课，值得研究。不过教学的探究是无止境的，有些地方可以探讨和提升，现在在这里不细说了，以后再个别交流。
