一、教学目标
1.了解推理、证明的格式,理解判定定理的证法.
2.掌握平行线的第二个判定定理,会用判定公理及定理进行简单的推理论证.
3.通过第二个判定定理的推导,培养学生分析问题、进行推理的能力.
4.使学生了解知识来源于实践,又服务于实践,只有学好文化知识,才有解决实际问题的本领,从而对学生进行学习目的的教育.
二、学法引导
1.教师教法:启发式引导发现法.
2.学生学法:积极参与、主动发现、发展思维.
三、重点难点及解决办法
(一)重点
判定定理的推导和例题的解答.
(二)难点
使用符号语言进行推理.
(三)解决办法
1.通过教师正确引导,学生积极思维,发现定理,解决重点.
2.通过教师指导,学生自行完成推理过程,解决难点及疑点.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
三角板、投影仪、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.通过设计练习,复习基础,创造情境,引入新课.
2.通过教师指导,学生探索新知,练习巩固,完成新授.
3.通过学生自己总结完成小结.
七、教学步骤
(一)明确目标
掌握平行线的第二个定理的推理,并能运用其进行简单的证明,培养学生的逻辑思维能力.
(二)整体感知
以情境创设,设计悬念,引出课题,以引导学生的思维,发现新知,以变式训练巩固新知.
(三)教学过程
创设情境,复习引入
师:上节课我们学习了平行线的判定公理和一种判定方法,根据所学看下面的问题(出示投影).1.如图1所示,直线、被直线所截,如果,那么,为什么?
2.如图2,如果,那么,为什么?
图2
3.如图3,直线、被直线所截.(1)如果,那么,为什么?
(2)如果,那么,为什么?
4.如图4,一个弯形管道的拐角,,这时管道、平行吗?
图4
学生活动:学生口答第1、2题.
师:你能说出有什么条件,就可以判定两条直线平行呢?
学生活动:由第l、2题,学生思考分析,只要有同位角相等或内错角相等,就可以判定两条直线平行.
教师将第3题图形画在黑板上.
学生活动:学生口答理由,同角的补角相等.
师:要求学生写出符号推理过程,并板书.
[板书]∵(已知),
(邻补角定义),
∴(同角的补角相等).
(以备后面推导判定定理使用.)
【教法说明】本节课是前一节课的继续,是在前一节课的基础上进行学习的,所以通过第1、2两题复习上节课所学平行线判定的两个方法,使学生明确,只要有同位角相等或内错角相等,就可以判定两条直线平行.第3题是为推导本节到定定理做铺垫,即如果同旁内角互补,则可以推出同位角相等,也可以推出内错角相等,为定理的推理论证,分散了难点.
师:第4题是一个实际问题,题目中已知的两个角是什么位置关系角?
学生活动:同分内角.
师:它们有什么关系.
学生活动:互补.
师:这个问题就是知道同分内角互补了,那么两条直线是不是平行的呢?这就是这节课我们要研究的问题.
[板书]2.5平行线的判定(2)
师:请同学们看复习提问中的第3题,我们知道了与互补,那么,由此你还可以推出什么?根据什么?
学生活动:学生思考、回答,还可以推出,这个推理的全过程就是:
∵(已知),(邻补角定义),
∴(同角的补角相等).
∴(同位角相等,两直线平行.)(教师再加上这一步即可).
由此你能得到什么结论?
学生活动:学生思索后回答出,两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行(学生语言不规范,注意纠正).
师:也就是说,我们又得到了一种平行线的判定方法,我们把它简单说成:
[板书]同旁内角互补,两直线平行.
【教法说明】由于复习引入第3题为定理的推导做好了铺垫,所以学生并不难接受推理过程,放手由学生总结出判定方法,注意培养学生的归纳总结能力,另外在叙述判定方法时,训练学生用准确、规范的几何语言.
师:请同学们思考,刚才我们由同旁内角互补,推导两条直线平行,除了上面的推理过程,有没有其他途径?怎样写推理格式?
学生活动:学生思考,对照复习提问第3题的第2问很快地找到另一种途径,并在练习本上写出推理格式,找一个学生在原来黑板上的板书基础上完成.
【教法说明】通过使用不同种方法的推理,不仅开拓学生思维,同时也能够让学生尽可能地使用推理,从而使学生掌握推理格式的书写.
尝试反过,巩固练习
师:有了这种判定方法,我们就可以由同旁内角互补,直接判定两条直线平行了,让我们回到复习提问的第4题,管道、平行吗?为什么?
学生活动:平行,因为同旁内角互补,两直线平行.
【教法说明】不仅解决了前面遗留的问题,同时巩固了所学新知识.
师:下面我们一起应用这种判定方法再来研究一些题目(出示投影).
练习:
1.如图1,量得,,可以判定,它的根据是什么?
图2
2.如图2,已知,与互补,可以判定哪两条直线平行?与哪个角互补,可以判定直线?
【教法说明】这组练习进一步对判定方法加以巩固,第2题的第2问是根据给出的结果,找它成立的条件,是执果索因,学生应该没有什么困难,教师不必多讲,但要注意第2问中出现答与互补这类错误时,要结合图形让学生弄清是哪两条直线被哪两条直线所截.
例题讲解
师:我们学习了三种平行线的判定方法,在具体题目中如何选择应用它们来解决问题呢?下面我们看例题(出示投影).
例两条直线垂直于同一条直线,这两条直线平行吗?为什么?
师:这个题目相当于文字题,解答时应根据题意画出图形(如图3),同时为了叙述方便,还要在图形上标出需要的字母或符号.
学生活动:学生分析题意,按所说画出相应的图形.
师:我们要判定两条直线是否平行,应先想什么?可以讨论.
学生活动:讨论后答出,先想学过哪些判定平行线的方法.
师:再看已知条件与哪一种方法的条件相同或有关,思考时注意图形,按老师所标直角符号,回答问题.
学生活动:学生认真观察,积极思考后,踊跃回答.
教师给出规范的板书,答:垂直于同一条直线的两条直线平行.
理由:如图3,,.
∵,(已知),
∴(垂直的定义).
∴(同位角相等,两直线平行).
师:这是两步推理,两个“∵”之间省略的一个“∴”,是什么内容?
学生活动:∵(已证).
【教法说明】教师在讲解时,注意后发学生,引导学生形成正确的思维,从而学会分析问题,提高解题能力.
师:想一想,能不能利用内错角相等,或者同旁内角互补,来说明呢?图形中的符号怎样改动?模仿例题说出理由
学生活动:学生思考,并在练习本上写出理由,请两名同学到黑板上去做,形成板书:
理由:如图4,,.
∵,(已知),∴(垂直的定义).
∴(内错角相等,两直线平行).
理由:如图5,,.
∵,(已知),
∴(垂直的定义).
∴(同旁内角互补,两直线平行).
【教法说明】一题多解既巩固所学知识,同时培养了学生的发散思维,提高了学生的解题能力.
变式训练,培养能力
练习(出示投影):
1.如图6,木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线,这两条垂线平行吗?为什么?
2.如图7,如何判断这块玻璃板的上下两边平行?
图7
学生活动:学生思考,给出第1题的答案为两条垂线平行.因为画出的两条线都垂直于工件边缘,也就是说,相交成直角,根据同位角相等(或内错角相等或同旁内角互补),两直线平行;对于第2题需要添出截线,然后有三种方法来判断.
【教法说明】这两个题目都是实际问题,培养学生应用所学知识解决实际问题的能力尤其是第2题,我们判定两条直线是否平行,必须根据被第三条直线截出的三种位置的关系角的大小来判定,通过此题,让学生进一步理解平行线的三种判定方法及应用.
(四)总结、扩展
师:我们学习了几种判定两条直线平行的方法.
学生活动:学生自己总结归纳完成下表.
判定
文字叙述
符号语言
图形
第一种
同位角相等,两直线平行
∵(已知),
∴().
第二种
内错角相等,两直线平行
∵(已知),
∴().
第三种
同旁内角互补,两直线平行
∵(已知,)∴().
八、布置作业
课本第97~98页A组第6(3)、7、8题.
作业答案
6.(3)可判定.根据同旁内角互补,两直线平行.
7.(1)同位角相等,两直线平行.
(2)内错角相等,两直线平行.
(3)同旁内角互补,两直线平行.
8.(1)同位角相等,两直线平行.
(2)内错角相等,两直线平行.
(3)内错角相等,两直线平行.
(4)内错角相等,两直线平行.
(5)同旁内角互补,两直线平行.
教学建议
1、教材分析
(1)知识结构
平行线的性质:
(2)重点、难点分析
本节内容的重点是平行线的性质.教材上明确给出了“两直线平行,同位角相等”推出“两直线平行,内错角相等”的证明过程.而且直接运用了“∵”、“∴”的推理形式,为学生创设了一个学习推理的环境,对逻辑推理能力是一个渗透.因此,这一节课有着承上启下的作用,比较重要.学生对推理证明的过程,开始可能只是模仿,但在逐渐地接触过程中,能最终理解证明的步骤和方法,并能完成有两步推理证明的填空.
本节内容的难点是理解平行线的性质与判定的区别,并能在推理中正确地应用它们.由于学生还没学习过命题的概念和命题的组成,不知道判定和性质的本质区别和联系是什么,用的时候容易出错.在教学中,可让学生通过应用和讨论体会到,如果已知角的关系,推出两直线平行,就是平行线的判定;反之,如果由两直线平行,得出角的关系,就是平行线的性质.
2、教法建议
由上面的重点、难点分析可知,这节课也是对前面所学知识的复习和应用.要有一定的综合性,推理能力也有较大的提高.知识多,也有了一些难度.但考虑到学生刚接触几何,进度不可过快,尽量多创造一些学习、应用定理、公理的机会,帮助学生理解平行线的判定与性质.
(1)讲授新课
首先,提出本节课的研究问题:如果两直线平行,同位角、内错角、同旁内角有什么关系吗?探究实验活动还是从画平行线开始,得出两直线平行,同位角相等后,再推导证明出其它的两个性质.教师可以用“∵”、“∴”的推理证明形式板书证明过程,学生在理解推理证明的过程中,欣赏到数学的严谨的美.
(2)综合应用
理解平行线的判定和性质区别,并能在推理过程中正确地应用它们成为了教学难点.老师可以设计一些有两步推理的证明题,让学生填充理由.在应用知识的过程中,组织学生进行讨论,结合题目的已知和结论,让学生自己总结出判定和性质的区别,只有自己构造起的知识,才能真正地被灵活应用.
(3)适当总结
几何的学习,既可以培养学生的逻辑思维能力,,也可以培养学生分析问题,解决问题的能力.对于好的学生,可以引导他们总结如何学好几何.注意文字语言,图形语言,符号语言间的相互转化.对简单的题目,能做到想得明白,写得清楚,书写逐渐规范.
教学目标:
1.使学生理解平行线的性质,能初步运用平行线的性质进行有关计算.
2.通过本节课的教学,培养学生的概括能力和“观察-猜想-证明”的科学探索方法,培养学生的辩证思维能力和逻辑思维能力.
3.培养学生的主体意识,向学生渗透讨论的数学思想,培养学生思维的灵活性和广阔性.
教学重点:平行线性质的研究和发现过程是本节课的重点.
教学难点:正确区分平行线的性质和判定是本节课的难点.
教学方法:开放式
教学过程:
一、复习
1.请同学们先复习一下前面所学过的平行线的判定方法,并说出它们的已知和结论分别是什么?
2、把这三句话已知和结论颠倒一下,可得到怎样的语句?它们正确吗?
3、是不是原本正确的话,颠倒一下前后顺序,得到新的一句话,是否一定正确?试举例说明。
如、“若a=b,则a2=b2”是正确的,但“若a2=b2,则a=b”是错误的。又如“对顶角相等”是正确的。但“相等的角是对顶角”则是错误的。因此,原本正确的话将它倒过来说后,它不一定正确,此时它的正确与否要通过证明。
二、新课
1、我们先看刚才得到的第一句话“两直线平行,同位角相等”。先在请同学们画两条平行线,然后画几条直线和平行线相交,用量角器测量一下,它们产生的几组同位角是否相等?
上一节课,我们学习的是“同位角相等,两直线平行”,此时,两直线是否平行是未知的,要我们通过同位角是否相等来判定,即是用来判定两条直线是否平行的,故我们称之为“两直线平行的判定公理”。而这句话,是“两直线平行,同位角相等”是已知“平行”从而得到“同位角相等”,因为平行是作为已知条件,因此,我们把这句话称为“平行线的性质公理”,即:两条平行线被第三条线所截,同位角相等。简单说成:两直线平行,同位角相等。
2、现在我们来用这个性质公理,来证明另两句话的正确性。
想想看,“两直线平行,内错角相等”这句话有哪些已知条件,由哪些图形组成?
已知:如图,直线a∥b
求证:(1)∠1=∠4;(2)∠1+∠2=180°
证明:∵a∥b(已知)
∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等)
又∵∠3=∠4(对顶角相等)
∴∠1=∠4
(2)∵a∥b(已知)
∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等)
又∵∠2+∠3=180°(邻补角的定义)
∴∠1+∠2=180°
思考:如何用(1)来证明(2)?
例1、如图,是梯形有上底的一部分,已经量得∠1=115°,∠D=100°,梯形另外两个角各是多少度?
解:∵梯形上下底互相平行
∴∠A与∠B互补,∠D与∠C互补
∴∠B=180°-115°=65°
∠C-180°-100°=80°
答:梯形的另外两个角分别是65,80°
练习:P791、2、3
小结:平行性质与判定的区别
作业:P879、10
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