简单的线性规划（二）【荐】
时间：2022-01-20 简单的线性规划 简单的磁现象线性规划教学设计方案（二）
教学目标
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．
重点难点
理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．
如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．
教学步骤
【新课引入】
我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．
【线性规划】
先讨论下面的问题
设，式中变量x、y满足下列条件
①
求z的最大值和最小值．
我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上．
作一组和平等的直线
可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足．
即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t最大，以经过点的直线，所对应的t最小，所以
在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．
是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．
线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．
【应用举例】
例1解下列线性规划问题：求的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：先作出可行域，见图中表示的区域，且求得．
作出直线，再将直线平移，当的平行线过B点时，可使达到最小值，当的平行线过C点时，可使达到最大值．
通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．
例2解线性规划问题：求的最大值，使式中的x、y满足约束条件．
解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域．
作出直线将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使达到最大值，解方程组得点B的坐标为（9，2）．
∴
这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数所确定的直线的斜率有关．就这个例子而言，当的斜率为负数时，即时，若（直线的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当时，点C处使z取得最大值（比如：时），若，可请同学思考．
随堂练习
1．求的最小值，使式中的满足约束条件
2．求的最大值，使式中满足约束条件
答案：1．时，．
2．时，．
总结提炼
1．线性规划的概念．
2．线性规划的问题解法．
布置作业
1．求的最大值，使式中的满足条件
2．求的最小值，使满足下列条件
答案：1．
2．在可行域内整点中，点（5，2）使z最小，
探究活动
利润的线性规划［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？
［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．
建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为（0，5），1998年的利润为7万元及1999年的利润为8万元分别对应点（1，7）和（2，8），那么
①若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为13万元．
②若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11万元．
③若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10万元．
④若将过及线段的中点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．
⑤若将过及的重心（注：为3年的年平均利润）的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．
⑥若将过及的重心的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10．667万元．
⑦若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为9万元．
⑧若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为11.5万元.
⑨若将过点且以线段的斜率为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线的方程为；，这样预测2001年的利润为12万元．
⑩若将过且以线段的斜率与线段的斜率的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为12万元．
如此这样，还有其他方案，在此不—一列举．
［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？
（2）第⑦种方案中，的现实意义是什么？
（3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案．如方案⑥中，过的重心，找出以为斜率的直线中与两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线．
（4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？
jk251.cOm扩展阅读
简单的线性规划（一）
教学目标
（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；
（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；
（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
（5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．
教学建议
一、知识结构
教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用．
二、重点、难点分析
本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域．
对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：
（1）二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）．其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线．
（2）二元一次不等式组表示平面区域．在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．
难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．
对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．
对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法．
三、教法建议
（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念
（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论．
（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的．
（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的．
（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维．
（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．
如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可．
（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
线性规划教学设计方案（一）
教学目标
使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域．
重点难点
了解二元一次不等式表示平面区域．
教学过程
【引入新课】
我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？
【二元一次不等式表示的平面区域】
1．先分析一个具体的例子
我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？
在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式，这些点却在l的左下方的平面区域．
由此我们猜想，对直线l右上方的任意点成立；对直线l左下方的任意点成立，下面我们证明这个事实．
在直线上任取一点，过点P作垂直于y轴的直线，在此直线上点P右侧的任意一点，都有∴
于是
所以
因为点，是L上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点，
都成立
同理，对于直线左下方的任意点，
都成立
所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集点．
是直线右上方的平面区域（如图）
类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域．
2．二元一次不等式和表示平面域．
（1）结论：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域．
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．
（2）判断方法：由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点，以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当时，常把原点作为此特殊点．
【应用举例】
例1画出不等式表示的平面区域
解；先画直线（画线虚线）取原点（0，0），代入，
∴∴原点在不等式表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图阴影部分．
例2画出不等式组
表示的平面区域
分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
解：不等式表示直线上及右上方的平面区域，表示直线上及右上方的平面区域，上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．
课堂练习
作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．
（1）（2）（3）
（4）（5）
总结提炼
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
3．二元一次不等式组表示的平面区域．
布置作业
1．不等式表示的区域在的（）．
A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方
2．不等式表示的平面区域是（）．
3．不等式组表示的平面区域是（）．
4．直线右上方的平面区域可用不等式表示．
5．不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．
6．画出表示的区域．
答案：
1．B2．D3．B4．5．（－1，－1）
6．
简单的线性规划（一）【精】
教学目标
（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；
（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；
（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
（5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．
教学建议
一、知识结构
教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用．
二、重点、难点分析
本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域．
对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：
（1）二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）．其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线．
（2）二元一次不等式组表示平面区域．在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．
难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．
对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．
对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法．
三、教法建议
（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念
（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论．
（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的．
（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的．
（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维．
（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．
如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可．
（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
线性规划教学设计方案（一）
教学目标
使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域．
重点难点
了解二元一次不等式表示平面区域．
教学过程
【引入新课】
我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？
【二元一次不等式表示的平面区域】
1．先分析一个具体的例子
我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？
在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式，这些点却在l的左下方的平面区域．
由此我们猜想，对直线l右上方的任意点成立；对直线l左下方的任意点成立，下面我们证明这个事实．
在直线上任取一点，过点P作垂直于y轴的直线，在此直线上点P右侧的任意一点，都有∴
于是
所以
因为点，是L上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点，
都成立
同理，对于直线左下方的任意点，
都成立
所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集点．
是直线右上方的平面区域（如图）
类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域．
2．二元一次不等式和表示平面域．
（1）结论：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域．
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．
（2）判断方法：由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点，以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当时，常把原点作为此特殊点．
【应用举例】
例1画出不等式表示的平面区域
解；先画直线（画线虚线）取原点（0，0），代入，
∴∴原点在不等式表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图阴影部分．
例2画出不等式组
表示的平面区域
分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
解：不等式表示直线上及右上方的平面区域，表示直线上及右上方的平面区域，上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．
课堂练习
作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．
（1）（2）（3）
（4）（5）
总结提炼
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
3．二元一次不等式组表示的平面区域．
布置作业
1．不等式表示的区域在的（）．
A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方
2．不等式表示的平面区域是（）．
3．不等式组表示的平面区域是（）．
4．直线右上方的平面区域可用不等式表示．
5．不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．
6．画出表示的区域．
答案：
1．B2．D3．B4．5．（－1，－1）
6．
简单的线性规划（一）【推荐】
教学目标
（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；
（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；
（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
（5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．
教学建议
一、知识结构
教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用．
二、重点、难点分析
本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域．
对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：
（1）二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）．其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线．
（2）二元一次不等式组表示平面区域．在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．
难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．
对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．
对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法．
三、教法建议
（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念
（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论．
（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的．
（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的．
（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维．
（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．
如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可．
（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
线性规划教学设计方案（一）
教学目标
使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域．
重点难点
了解二元一次不等式表示平面区域．
教学过程
【引入新课】
我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？
【二元一次不等式表示的平面区域】
1．先分析一个具体的例子
我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？
在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式，这些点却在l的左下方的平面区域．
由此我们猜想，对直线l右上方的任意点成立；对直线l左下方的任意点成立，下面我们证明这个事实．
在直线上任取一点，过点P作垂直于y轴的直线，在此直线上点P右侧的任意一点，都有∴
于是
所以
因为点，是L上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点，
都成立
同理，对于直线左下方的任意点，
都成立
所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集点．
是直线右上方的平面区域（如图）
类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域．
2．二元一次不等式和表示平面域．
（1）结论：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域．
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．
（2）判断方法：由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点，以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当时，常把原点作为此特殊点．
【应用举例】
例1画出不等式表示的平面区域
解；先画直线（画线虚线）取原点（0，0），代入，
∴∴原点在不等式表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图阴影部分．
例2画出不等式组
表示的平面区域
分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
解：不等式表示直线上及右上方的平面区域，表示直线上及右上方的平面区域，上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．
课堂练习
作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．
（1）（2）（3）
（4）（5）
总结提炼
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
3．二元一次不等式组表示的平面区域．
布置作业
1．不等式表示的区域在的（）．
A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方
2．不等式表示的平面区域是（）．
3．不等式组表示的平面区域是（）．
4．直线右上方的平面区域可用不等式表示．
5．不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．
6．画出表示的区域．
答案：
1．B2．D3．B4．5．（－1，－1）
6．
简单的线性规划（二）(小编推荐)
线性规划教学设计方案（二）
教学目标
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．
重点难点
理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．
如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．
教学步骤
【新课引入】
我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．
【线性规划】
先讨论下面的问题
设，式中变量x、y满足下列条件
①
求z的最大值和最小值．
我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上．
作一组和平等的直线
可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足．
即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t最大，以经过点的直线，所对应的t最小，所以
在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．
是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．
线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．
【应用举例】
例1解下列线性规划问题：求的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：先作出可行域，见图中表示的区域，且求得．
作出直线，再将直线平移，当的平行线过B点时，可使达到最小值，当的平行线过C点时，可使达到最大值．
通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．
例2解线性规划问题：求的最大值，使式中的x、y满足约束条件．
解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域．
作出直线将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使达到最大值，解方程组得点B的坐标为（9，2）．
∴
这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数所确定的直线的斜率有关．就这个例子而言，当的斜率为负数时，即时，若（直线的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当时，点C处使z取得最大值（比如：时），若，可请同学思考．
随堂练习
1．求的最小值，使式中的满足约束条件
2．求的最大值，使式中满足约束条件
答案：1．时，．
2．时，．
总结提炼
1．线性规划的概念．
2．线性规划的问题解法．
布置作业
1．求的最大值，使式中的满足条件
2．求的最小值，使满足下列条件
答案：1．
2．在可行域内整点中，点（5，2）使z最小，
探究活动
利润的线性规划［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？
［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．
建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为（0，5），1998年的利润为7万元及1999年的利润为8万元分别对应点（1，7）和（2，8），那么
①若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为13万元．
②若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11万元．
③若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10万元．
④若将过及线段的中点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．
⑤若将过及的重心（注：为3年的年平均利润）的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．
⑥若将过及的重心的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10．667万元．
⑦若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为9万元．
⑧若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为11.5万元.
⑨若将过点且以线段的斜率为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线的方程为；，这样预测2001年的利润为12万元．
⑩若将过且以线段的斜率与线段的斜率的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为12万元．
如此这样，还有其他方案，在此不—一列举．
［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？
（2）第⑦种方案中，的现实意义是什么？
（3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案．如方案⑥中，过的重心，找出以为斜率的直线中与两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线．
（4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？
高中教案简单的线性规划（二）(小编推荐)
线性规划教学设计方案（二）
教学目标
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．
重点难点
理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．
如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．
教学步骤
【新课引入】
我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．
【线性规划】
先讨论下面的问题
设，式中变量x、y满足下列条件
①
求z的最大值和最小值．
我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上．
作一组和平等的直线
可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足．
即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t最大，以经过点的直线，所对应的t最小，所以
在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．
是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．
线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．
【应用举例】
例1解下列线性规划问题：求的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：先作出可行域，见图中表示的区域，且求得．
作出直线，再将直线平移，当的平行线过B点时，可使达到最小值，当的平行线过C点时，可使达到最大值．
通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．
例2解线性规划问题：求的最大值，使式中的x、y满足约束条件．
解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域．
作出直线将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使达到最大值，解方程组得点B的坐标为（9，2）．
∴
这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数所确定的直线的斜率有关．就这个例子而言，当的斜率为负数时，即时，若（直线的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当时，点C处使z取得最大值（比如：时），若，可请同学思考．
随堂练习
1．求的最小值，使式中的满足约束条件
2．求的最大值，使式中满足约束条件
答案：1．时，．
2．时，．
总结提炼
1．线性规划的概念．
2．线性规划的问题解法．
布置作业
1．求的最大值，使式中的满足条件
2．求的最小值，使满足下列条件
答案：1．
2．在可行域内整点中，点（5，2）使z最小，
探究活动
利润的线性规划［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？
［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．
建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为（0，5），1998年的利润为7万元及1999年的利润为8万元分别对应点（1，7）和（2，8），那么
①若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为13万元．
②若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11万元．
③若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10万元．
④若将过及线段的中点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．
⑤若将过及的重心（注：为3年的年平均利润）的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．
⑥若将过及的重心的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10．667万元．
⑦若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为9万元．
⑧若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为11.5万元.
⑨若将过点且以线段的斜率为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线的方程为；，这样预测2001年的利润为12万元．
⑩若将过且以线段的斜率与线段的斜率的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为12万元．
如此这样，还有其他方案，在此不—一列举．
［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？
（2）第⑦种方案中，的现实意义是什么？
（3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案．如方案⑥中，过的重心，找出以为斜率的直线中与两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线．
（4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？
关于简单的线性规划（一）的高中教案推荐
教学目标
（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；
（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；
（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
（5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．
教学建议
一、知识结构
教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用．
二、重点、难点分析
本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域．
对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：
（1）二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）．其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线．
（2）二元一次不等式组表示平面区域．在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．
难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．
对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．
对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法．
三、教法建议
（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念
（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论．
（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的．
（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的．
（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维．
（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．
如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可．
（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
线性规划教学设计方案（一）
教学目标
使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域．
重点难点
了解二元一次不等式表示平面区域．
教学过程
【引入新课】
我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？
【二元一次不等式表示的平面区域】
1．先分析一个具体的例子
我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？
在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式，这些点却在l的左下方的平面区域．
由此我们猜想，对直线l右上方的任意点成立；对直线l左下方的任意点成立，下面我们证明这个事实．
在直线上任取一点，过点P作垂直于y轴的直线，在此直线上点P右侧的任意一点，都有∴
于是
所以
因为点，是L上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点，
都成立
同理，对于直线左下方的任意点，
都成立
所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集点．
是直线右上方的平面区域（如图）
类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域．
2．二元一次不等式和表示平面域．
（1）结论：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域．
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．
（2）判断方法：由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点，以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当时，常把原点作为此特殊点．
【应用举例】
例1画出不等式表示的平面区域
解；先画直线（画线虚线）取原点（0，0），代入，
∴∴原点在不等式表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图阴影部分．
例2画出不等式组
表示的平面区域
分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
解：不等式表示直线上及右上方的平面区域，表示直线上及右上方的平面区域，上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．
课堂练习
作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．
（1）（2）（3）
（4）（5）
总结提炼
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
3．二元一次不等式组表示的平面区域．
布置作业
1．不等式表示的区域在的（）．
A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方
2．不等式表示的平面区域是（）．
3．不等式组表示的平面区域是（）．
4．直线右上方的平面区域可用不等式表示．
5．不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．
6．画出表示的区域．
答案：
1．B2．D3．B4．5．（－1，－1）
6．
数学教案－简单的线性规划（一）__万能通用篇
教学目标
（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；
（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；
（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
（5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．
教学建议
一、知识结构
教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用．
二、重点、难点分析
本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域．
对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：
（1）二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）．其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线．
（2）二元一次不等式组表示平面区域．在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．
难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．
对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．
对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法．
三、教法建议
（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念
（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论．
（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的．
（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的．
（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维．
（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．
如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可．
（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
线性规划教学设计方案（一）
教学目标
使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域．
重点难点
了解二元一次不等式表示平面区域．
教学过程
【引入新课】
我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？
【二元一次不等式表示的平面区域】
简单的磁现象【荐】
作者：湖北宜昌开室熊春玲
宜昌市窑湾中学温立虎
（一）教学目的
1．知道磁体有吸铁（镍、钴）性和指向性。
2．知道磁极间的相互作用。
3．知道磁化现象。
（二）教具
各种形状的磁铁，磁针，一小堆大头针，铁屑，铁片，铜片，玻璃片，镍币，铁棒，细线，有关磁性材料的实物，图片等。
（三）课前准备
以上实验器材可布置学生在家里准备，上课前检查准备情况，学生在家里不容易找到的器材如各种磁铁、镍币等，教师加以补充，然后要求学生将实验器材放好，供课堂实验用。
（四）教学过程
1.提问引入新课。
提问：平时摆弄磁铁时观察到磁铁能吸引什么物质？指南针有什么作用？
（吸引铁，指南针可以指南北，帮助人们辨别方向。）
进一步提问引入新课：
磁铁只能吸引铁吗？指南针为什么能指南北呢？这节课我们来研究一些。板书：第一节
2.进行新课
(1)认识永磁体的磁现象
提问：磁铁具有哪些性质？它只能吸铁吗？请同学们自己通过实验进行探索。
学生实验：将课前准备的铁片、钢锯片、镍币、铜片、玻璃片等器材放在桌上摆好，用条形磁铁分别接近它们，观察发生的现象。
提问：磁铁能吸引哪些物质？
（磁铁能吸引铁制物质，能微弱地吸引镍币）
教师指出：磁铁除了能吸引铁、镍外，还能吸引钴，钴是稀有金属，我们平时很少见。由此，我们可以得出下列结论：
板书：一、磁铁能吸引铁、钴、镍等物质，磁铁的这种性质叫做磁性。具有磁性的物质叫做磁体。
提问：磁体各部分吸引铁的能力都一样吗？请同学们自己动手做下列实验。学生实验：把一些大头针平铺在一张白纸上，分别将条形磁体和蹄形磁体平放在大头针上，然后用手轻轻将磁体提起，并轻轻抖动。
提问：观察到什么现象？由此可得出什么结论？
（观察到磁铁两端能吸引较多的大头针，而中部没有吸引大头针，这表明磁铁两端的磁性最强）
教师归纳并板书：二、磁体各部分的磁性强弱不同，磁体上磁性最强的部分叫做磁极，它的位置在磁体的两端。
提问：从上面实验可以看出，磁体有两个磁极，怎样表示这两个磁极呢？请同学们观察下面的实验。
演示实验：先用线将条形磁体悬挂起来，使它自由转动，观察它的静止方位；再支起小磁针，让它在水平方向上自由转动，观察它的静止方位。
提问：条形磁体、小磁针静止时，两个磁极分别指向什么方向？
（都是一端指南，一端指北）
教师指出：可以自由转动的磁体，静止后恒指南北，世界各地都是如此。为了区别这两个磁极，我们就把指南的磁极叫南极，或称S极；另一个指北的磁极叫北极，或称N极。板书：三、磁体上的两个磁极，一个叫南极（S极），一个叫北极（N极）。提问：世界最早的指南工具是什么？它是根据什么原理制成的？
出示司南的挂图和幻灯片，说明世界最早的指南针就是我国战国时代的指南针，叫司南，它是根据磁针静止时总是指南北的原理制成的。
提问：磁体两端的磁性最强，如果把两磁极相互靠近时，会发生什么现象呢？下面请同学们通过实验来研究。
学生实验：把一块条形磁体用线吊起来，用另一块条形磁体的N极先慢慢地接近吊起的N极，再慢慢接近吊起的S极，观察磁极间的相互作用。
学生归纳实验结果后，教师板书：
四、磁极间的相互作用是：同名磁极互相排斥，异名磁极互相吸引。讲述：我们已经认识了磁体的许多磁现象，磁体可分为天然磁体和人造磁体，通常我们看到和使用的磁体都是人造磁体，它们都能长期保持磁性，通称为永磁体。(2)研究磁化现象
提问：人造磁体是根据什么道理制作的？请同学们观察下面的实验：
演示实验：按课本图115那样进行演示实验。边演示边提问：
铁棒原来有没有磁性？（没有）当用磁体慢慢从上部接近铁棒时，观察到什么现象？（观察到铁棒能吸引下面的铁屑）这说明什么？（说明铁棒也获得了磁性）
教师指出：铁和钢都可以用这种方法获得磁性，我们把这种现象叫做磁化现象。板书：五、使原来没有磁性的物体获得磁性的过程叫做磁化。铁和钢制的物体都能被磁化。
重做上面的实验：当铁棒吸引铁屑后，将上部的磁体拿掉。
提问：当磁体拿掉后，铁棒还能吸引下面的铁屑吗？这说明什么？（铁棒不能吸引铁屑，说明铁棒的磁性容易消失）
教师指出：铁棒被磁化后，磁性容易消失，称为软磁体。钢被磁化后，磁性能够长期保持，称为硬磁体或永磁体，钢是制造永磁体的好材料。
提问：除了钢、铁外，还有哪些物质可作磁性材料？它们在现代科技中有哪些应用呢？向学生展示录音带、磁性卡等，介绍这些磁性材料的应用。
3．小结
师生共同小结：这节课学到了什么？
4．练习
有一条形磁体的N、S极的标记模糊不清了，怎样用实验的方法将它的两极判别出来？
5．布置作业
课本上的本章习题第1题。
光的偏振【荐】
教学目标
知识目标
1、知道振动中的偏振现象，了解什么是偏振现象，知道偏振是横波的特点．
2、知道偏振光和自然光的区别，知道偏振光在实际生活中的应用．
能力目标
通过现象和机械波的偏振现象的实验对比，理解光波是横波的实质．
情感目标
培养良好的物理实验习惯，学会用理论指导实践，用实验来验证理论．
知道在学习物理的过程中，做好实验的重要性．
教学建议
在复习前两节内容干涉、衍射的基础上进行小结，让学生了解：光的干涉和衍射说明光具有波动性；说明光是横波．
可以先向学生介绍波的偏振现象，然后演示现象实验，最好由学生自己亲自动手观察偏振光．引导学生分析横波的偏振特性，区别纵波的无偏振特性，再让学生区别偏振光与自然光．并分析讲解偏振光的产生方式，这一部分知识也可以让学生自己学习，查找资料．最后进行总结。
关于演示实验的教学建议
1、可以用激光演示仪和偏振器进行演示．
方法：使激光束的行进方向正对着学生的观察方向，使激光束通过偏振器．转动偏振器的某一个偏振片，用毛玻璃屏接收透过偏振器的光束，可以在屏上看到光的亮度发生周期性的变化；当两个偏振片平行时，透光最强；当两个偏振片垂直时，透光最弱．
2、本实验也可以将偏振片分发到学生手中，要求学生用两个偏振片对着光线来观察现象．
教学设计示例
（－）引入新课
问题：光的干涉和衍射现象表明光是一种波．我们知道波有横波和纵波，那么，光波是横波还是纵波呢？
让学生思考、猜测．
教师让学生观看机械波的偏振实验．
（二）教学过程
1、首先用机械波来说明横波和纵波的主要区别．
我们已经知道绳波是横波，如果在它的传播方向上放上带有狭缝的木板，只要狭缝的方向跟绳的振动方向相同，绳上的横波就可以毫无阻碍地传过去；如果把狭缝的方向旋转90°，绳上的横波就不能通过了，这种现象叫偏振．
横波的振动矢量垂直于波的传播方向振动时，偏于某个特定方向的现象纵波只能沿着波的传播方向振动，所以不可能有偏振．
光是否也会产生偏振呢？
2、演示现象：
自然光：从普通光源直接发生的天然光是无数偏振光的无规则集合，所以直接观察时不能发现光强偏于一定方向．这种沿着各个方向振动的光波的强度都相同的光叫自然光；太阳、电灯等普通光源发出的光，包含着在垂直于传播方向的平面内沿一切方向振动的光，而且沿着各个方向振动的光波强度都相同，这种光都是自然光．
让太阳光或灯光通过一块用晶体薄片作成的偏振片P1，在P1的另一侧观察，可以看到它是透明的．以入射光线为轴旋转偏振片P1，这时看到透射光的强度并不发生变化．
再取一块同样的偏振片P2，放在偏振片P1的后面，通过它去观察从偏振片P1透射过来的光，就会发现，从偏振片P1透射过来的光的强度跟两偏振片P1、P2的相对方向有关．
把晶片P1固定，以入射光线为轴旋转偏振片P2时，从P2透射过来的光的强度发生周期性的变化．
当P1与P2的透振方向平行时，透射光的强度最大，当P1与P2的透振方向垂直时，透射光的强度最弱，几乎等于零．把上述的光现象跟机械波的偏振现象比较，表明光通过偏振片时产生偏振现象，由此确定光波是横波．
要求学生总结上述现象，尝试类比机械波的偏振来解释上面的实验现象？
自然光通过第一个偏振片P1（叫起偏器）后，相当于被一个“狭缝”卡了一下，只有振动方向跟“狭缝”方向平行的光波才能通过．自然光通过偏振片Pl后虽然变成了偏振光，但由于自然光中沿各个方向振动的光波强度都相同，所以不论晶片转到什么方向，都会有相同强度的光透射过来．再通过第二个偏振片P2（叫检偏器）去观察就不同了；不论旋转哪个偏振片，两偏振片透振方向平行时，透射光最强，两偏振片的透振方向垂直时，透射光最弱．
现象并不是罕见的．我们通常看到的绝大部分光，除了从光源直接射过来的，基本上都不是自然光，只是我们的眼睛不能鉴别罢了．如果用偏振片去观察从玻璃或水面上反射的光，旋转偏振片发现透射光的强度也发生周期性的变化，从而知道反射光是偏振光．
3、的应用：
现象在技术中有很多应用．例如拍摄水下的景物或展览橱窗中的陈列品的照片时，由于水面或玻璃会反射出很强的反射光，使得水面下的景物和橱窗中的陈列品看不清楚，摄出的照片也不清楚．如果在照相机镜头上加一个偏振片，使偏振片的透振方向与反射方向垂直，就可以把这些反射光滤掉，而摄得清晰的照片；此外，还有立体电影、消除车灯眩光等等．
探究活动
1、利用偏振镜观察现象．
2、考察在人们的日常生活中的应用．
光的干涉【荐】
教学目标
（一）知识目标
1、知道现象，了解相干条件，知道光的双缝干涉现象是如何产生的以及产生明暗条纹间距与波长的关系；
2、知道薄膜干涉是如何产生的，了解薄膜干涉的现象及技术上的应用。
（二）能力目标
通过观察实验现象，与以前学过的机械波的干涉进行类比，培养学生的自主学习的能力以及对问题的分析、推理能力。
教学建议
是本章的重点之一．讲解前先引导学生回忆机械波的有关内容．
在的教学中，一个值得注意的问题是相干条件的讲述（有关内容可以参见扩展资料）．相对于机械波--比较容易的获得连续振动的波源、满足相干波的条件，两个独立光源发出的光，即使是"频率相同的单色光"(实际上严格的单色光并不存在)，也不能保持恒定的相差．考虑到学生的知识基础和接受水平，讲解中可以不提出相干光的概念，只强调利用"单孔双缝"使得一束光"成了两个振动情况总是相同的波源"，这同机械波中提到的振源的"振动步调相同"的要求是一致的．
做好演示实验．让学生通过观察白光的双缝干涉和单色光的双缝干涉加深知识的理解．
双缝干涉的教学虽不要求定量讨论，但是在讲条纹间距与波长的关系时，要让学生知道公式中每一项的意义，配合彩图让学生将白光、单色图样的特点记住．并要知道不同色光具有不同的频率，光的频率只由光源决定而与介质无关．在狭缝间的距离和狭缝与屏间的距离不变的条件下，单色光产生的干涉条纹间距跟光的波长成正比，这个关系是应该让学生知道的．知道了这一点，学生才能理解不同色光具有不同的频率和波长．
薄膜干涉的教学，可以结合实验、演示来进行，只要求学生初步认识这种现象，不必做进一步的分析．除了肥皂膜的干涉外，两片玻璃之间的空气膜的干涉、浮在水面上的油膜的干涉，都可以让学生观察．如果有牛顿环的实验装置，也可以让学生观察．
关于在技术上的应用，教材中举了用干涉法检查平面和增透膜的例子．对此只要求学生初步了解其原理，可不再补充．
关于演示实验的教学建议
（1）演示实验可以用激光光学演示仪、实验时使激光束的行进方向正对学生的观察方向，用毛玻璃屏接收干涉条纹．让光屏到双缝的距离保持一定（L不变），让光束通过不同间距（d）的双缝，可观察到屏上的条纹间距不同，d大的条纹间距窄，保持d不变，使双缝到屏的距离增大，则条纹间距变宽．
（2）学生实验用双缝干涉仪测光的波长．实验时可以用灯丝为线状的灯泡作光源，在双缝前加一滤光片（红、绿均可），让双缝对准光源且双缝平行于灯丝，这样通过双缝的为单色光．然后调节双缝的卡脚，即可在筒内带有刻波的光屏上得到单色条纹，再从观察到的条纹中选若干条清晰的条纹，从屏上的刻度读出他们的间距之和，求出相邻两条纹的间距：，
由
可以求出
d在双缝上已标出，L从仪器上可得到，为测量到的值，即可求出，本实验除了测波长，还可以让学生用其观察白条纹（不加滤光片，直接观察灯丝发出的光），在屏上可看到彩色条纹
（3）薄膜干涉可采用随堂实验．用生物实验用的盖玻片、酒精灯、食盐．将少许食盐撒在酒精灯的灯芯上点燃，然后将盖玻片置于火焰后方，用眼睛从前面着盖玻片即可看到明、暗相间的条纹
（4）用激光演示仪加牛顿圈配件可以在屏上得到牛顿环
教学设计示例
（－）引入新课
通过机械波的干涉和衍射现象产生的条件和现象引入和衍射
（二）教学过程（需要重点强调的主要知识点）
1、实现新旧知识迁移是掌握双缝干涉的关键
干涉和衍射是波的特有现象，确定某种物理过程是不是波动，就看它有没有干涉现象和衍射现象产生，只有观察到现象和衍射现象，才能确认光具有波动性在学习双缝干涉前，应回顾下列有关机械波的知识：
A、两列波彼此相遇后，仍像相遇以前一样，各自保持原有的波形，继续向前传播；
B、在两列波重叠的区域里，任何一个质点的总位移都等于两列波分别引起的位移矢量和；
C、频率相同的两列波叠加，使某些区域的振动加强，某些区域的振动减弱，并且振动加强和振动减弱的区域互相间隔，这种现象叫波的干涉；
D、要得到稳定的干涉图样，两个波源必须是相干波源
2、掌握了上述波的共同性后，再分析光的特殊性．
由于物质发光的特殊性，任何两个独立的光源发出的光相叠加均不能产生干涉现象怎样才能得到相干光源呢？双缝干涉就是成功的一例．在双缝干涉实验中，光从单缝射到双缝上，形成了两个振动情况总是相同的相干光源，它们在光屏上叠加就出现干涉图样．
上述思维过程，不仅能顺利地掌握双缝干涉，同时为研究薄膜干涉打好了基础
（1）双缝干涉
两个独立的光源发出的光不是相干光，双缝干涉的装置使一束光通过双缝后变为两束相干光，在光屏上相通形成稳定的干涉条纹．
在双缝干涉实验中，光屏上某点到双缝的路程差为半波长的偶数倍时，该点出现亮条纹；光屏上某点到双缝的路程差为半波长的奇数倍时，该点出现暗条纹．
A、对干涉图样的研究可知：相邻两条明条纹（暗条纹）中心距离与屏到双缝的距离L成正比；与双缝间距离d成反比；与照射光的波长成正比．
B、在实验装置不变的情况下化、d不变），由于红光的波长大于紫光的波长，所以红光产生的干涉条纹间距较大，紫光产生的干涉条纹间距较小；初步了解通过双缝干涉测波长的原理．
C、用白光进行干涉实验，各种单色光在光屏中央均为明纹，中央亮纹是各色光复合而成，所以是白色的．各色光由于波长不同，在光屏上产生的其它各级亮纹的位置均不相同，所以其它各级亮纹是彩色的．
（2）薄膜干涉
让一束光经薄膜的两个表面反射后，形成的两束反射光产生的干涉现象叫薄膜干涉．
A、在薄膜干涉中，前、后表面反射光的路程差由膜的厚度决定，所以薄膜干涉中同一明条纹（暗条纹）应出现在膜的厚度相等的地方．由于光波波长极短，所以微薄膜干涉时，介质膜应足够薄，才能观察到干涉条纹．
B、用手紧压两块玻璃板看到彩色条纹，阳光下的肥皂泡和水面飘浮油膜出现彩色等都是薄膜干涉．
C、薄膜于涉在技术上可以检查镜面和精密部件表面形状；精密光学过镜上的增透膜（当增透膜的厚度是入射光在膜中波长的1/4时，透镜上透光损失的能量最小，增强了透镜的透光能力．）
3、光的衍射
光离开直线路径绕到障碍物几何阴影里去的现象叫光的衍射．只有当小孔、单缝或小屏的尺寸小于波长或和波长差不多时，才能观察到明显的衍射现象．
A、白光通过小孔或单缝时，屏上出现的衍射图样中央是白色亮纹，它各级亮纹是彩色的；用单色光进行单缝衍射时，屏上出现明暗相间的衍射条纹．
B、光的衍射现象中出现明暗相间的条纹，实际上是干涉的结果，说明和衍射现象有密切关系．
C、干涉和衍射是波的基本特性，和衍射现象征明了光是一种波．干涉和衍射现象产生的机理不同，产生的图样也有区别．干涉图样的中央亮纹和其它各级亮纹的宽度基本相等，而衍射图样各级亮纹的宽度各不相同，中央亮纹的宽度差不多是其它各级亮纹宽度的两倍．
D、白光干涉、衍射现象中出现的彩色条纹与白光色散的彩色条纹产生的机理不同，前者由光的叠加产生的，后者由光的折射产生的．
探究活动
1、查阅资料：有关的内容
2、实验：观察薄膜干涉和牛顿环
3、了解等厚干涉和等倾干涉．
