教学设计示例
教学目标
1.使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤;并会列出一元一次方程解简单的应用题;
2.培养学生观察能力,提高他们分析问题和解决问题的能力;
3.使学生初步养成正确思考问题的良好习惯.
教学重点和难点
一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤.
课堂教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
在小学算术中,我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识,那么,一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢?若能解决,怎样解?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较,它有什么优越性呢?
为了回答上述这几个问题,我们来看下面这个例题.
例1某数的3倍减2等于某数与4的和,求某数.
(首先,用算术方法解,由学生回答,教师板书)
解法1:(4+2)÷(3-1)=3.
答:某数为3.
(其次,用代数方法来解,教师引导,学生口述完成)
解法2:设某数为x,则有3x-2=x+4.
解之,得x=3.
答:某数为3.
纵观例1的这两种解法,很明显,算术方法不易思考,而应用设未知数,列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法,有一种化难为易之感,这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一.
我们知道方程是一个含有未知数的等式,而等式表示了一个相等关系.因此对于任何一个应用题中提供的条件,应首先从中找出一个相等关系,然后再将这个相等关系表示成方程.
本节课,我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤.
二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤
例2某面粉仓库存放的面粉运出15%后,还剩余42500千克,这个仓库原来有多少面粉?
师生共同分析:
1.本题中给出的已知量和未知量各是什么?
2.已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系?(原来重量-运出重量=剩余重量)
3.若设原来面粉有x千克,则运出面粉可表示为多少千克?利用上述相等关系,如何布列方程?
上述分析过程可列表如下:
解:设原来有x千克面粉,那么运出了15%x千克,由题意,得
x-15%x=42500,
所以x=50000.
答:原来有50000千克面粉.
此时,让学生讨论:本题的相等关系除了上述表达形式以外,是否还有其他表达形式?若有,是什么?
(还有,原来重量=运出重量+剩余重量;原来重量-剩余重量=运出重量)
教师应指出:(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”,虽形式上不同,但实质是一样的,可以任意选择其中的一个相等关系来列方程;
(2)例2的解方程过程较为简捷,同学应注意模仿.
依据例2的分析与解答过程,首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤;然后,采取提问的方式,进行反馈;最后,根据学生总结的情况,教师总结如下:
(1)仔细审题,透彻理解题意.即弄清已知量、未知量及其相互关系,并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数;
(2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.(这是关键一步);
(3)根据相等关系,正确列出方程.即所列的方程应满足两边的量要相等;方程两边的代数式的单位要相同;题中条件应充分利用,不能漏也不能将一个条件重复利用等;
(4)求出所列方程的解;
(5)检验后明确地、完整地写出答案.这里要求的检验应是,检验所求出的解既能使方程成立,又能使应用题有意义.
例3(投影)初一2班第一小组同学去苹果园参加劳动,休息时工人师傅摘苹果分给同学,若每人3个还剩余9个;若每人5个还有一个人分4个,试问第一小组有多少学生,共摘了多少个苹果?
(仿照例2的分析方法分析本题,如学生在某处感到困难,教师应做适当点拨.解答过程请一名学生板演,教师巡视,及时纠正学生在书写本题时可能出现的各种错误.并严格规范书写格式)
解:设第一小组有x个学生,依题意,得
3x+9=5x-(5-4),
解这个方程:2x=10,
所以x=5.
其苹果数为3×5+9=24.
答:第一小组有5名同学,共摘苹果24个.
学生板演后,引导学生探讨此题是否可有其他解法,并列出方程.
(设第一小组共摘了x个苹果,则依题意,得)
三、课堂练习
1.买4本练习本与3支铅笔一共用了1.24元,已知铅笔每支0.12元,问练习本每本多少元?
2.我国城乡居民1988年末的储蓄存款达到3802亿元,比1978年末的储蓄存款的18倍还多4亿元.求1978年末的储蓄存款.
3.某工厂女工人占全厂总人数的35%,男工比女工多252人,求全厂总人数.
四、师生共同小结
首先,让学生回答如下问题:
1.本节课学习了哪些内容?
2.列一元一次方程解应用题的方法和步骤是什么?
3.在运用上述方法和步骤时应注意什么?
依据学生的回答情况,教师总结如下:
(1)代数方法的基本步骤是:全面掌握题意;恰当选择变数;找出相等关系;布列方程求解;检验书写答案.其中第三步是关键;
(2)以上步骤同学应在理解的基础上记忆.
五、作业
1.买3千克苹果,付出10元,找回3角4分.问每千克苹果多少钱?
2.用76厘米长的铁丝做一个长方形的教具,要使宽是16厘米,那么长是多少厘米?
3.某厂去年10月份生产电视机2050台,这比前年10月产量的2倍还多150台.这家工厂前年10月生产电视机多少台?
4.大箱子装有洗衣粉36千克,把大箱子里的洗衣粉分装在4个同样大小的小箱里,装满后还剩余2千克洗衣粉.求每个小箱子里装有洗衣粉多少千克?
5.把1400奖金分给22名得奖者,一等奖每人200元,二等奖每人50元.求得到一等奖与二等奖的人数
一、教学目标
1.使学生理解分式方程的意义.
2.使学生掌握的一般解法.
3.了解解分式方程时可能产生增根的原因,并掌握解分式方程的验很方法.
4.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.
5.通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.
二、教学重点和难点
1.教学重点:
(1)的解法.
(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想.
2.教学难点:理解解分式方程时产生增根的原因.
三、教学方法
启发式设问和同学讨论相结合,使同学在讨论中解决问题,掌握分式方程解法.
四、教学手段
演示法和同学练习相结合,以练习为主.
五、教学过程
(一)复习及引入新课
1.提问:什么叫方程?什么叫方程的解?
答:含有未知数的等式叫做方程.
使方程两边相等的未知数的值,叫做方程的解.
2.
解:(1)当时,
左边=,
右边=0,
∴左边=右边,
∴
(2)
(3)
3、在本章开始我们曾提出一个问题,经过分析得到问题的量为两个分式:,根据量间的关系列出方程:
这个方程和我们以前所见过的方程不同,它的主要特点是:分母中含有未知数,这种方程就是我们今天要研究的分式方程.
(二)新课
板书课题:
板书:分式方程的定义.
分母里含有未知数的方程叫分式方程.以前学过的方程都是整式方程.
练习:判断下列各式哪个是分式方程.(投影)
(1);(2);(3);
(4);(5)
在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程,(3)是分式,(4)(5)是分式方程.
1、如何求解方程?
先由同学讨论如何解这个方程.
在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.如何去掉?方程两边同乘最简公分母.
解:两边同乘以最简公分母x(x-6)得
90(x-6)=60x解这个整式方程得x=18.
如果我们想检验一下这种方法,就需要检验一下所求出的数是不是方程的解.
检验:把x=18代入原方程
,
左边=右边
∴x=18是原方程的解.
2、如何解方程?
此题可由学生讨论解决.
解:方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得整式方程x+1=2
解整式方程,得x=1.
x=1时原方程的解是否正确?
检验:将x=1代入原方程,可知x=1使分式方程两边的分式分母均为零,这两个分式没意义,因此x=1不是原分式方程的解.
∴原方程无解.
讨论:1、2两题都是方程两边同除最简公分母将分式方程转化为整式方程,为什么2求出的x=1不是原方程的解,而我们又得到了x=1呢?
分析:方程同解原理2指出:方程的两边都乘以不等于零的同一个数,所得的方程与原方程同解.
在解1中,方程两边都乘以x(x-6),接着求出x=18,而当x=18时,2(x+5)=216,所以相当于方程两边都乘以16(≠0),因此所得的整式方程与原方程同解.
在解2中,方程两边都乘以(x+1)(x-1),接着求出x=1,相当于方程两边都乘以零,结果使原方程无意义,这样得到的整式方程与原方程不同解.
像这样,在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根.
注意:由分式方程转化为一元一次方程过程中,要去分母就必须同乘一个整式,但整式可能为零,不能满足方程变换同解的原则,就使得分式方程可能产生增根,因此解分式方程后就必须检验.
由此可以想到,只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母),若该式的值不等于零,则是原方程的根;若该式的值为零,则是原方程的增根.如能保证求解过程正确,则这种验根方法比较简便.
例1、解方程
对于例题给学生示范做题的格式、步骤.(投影显示步骤格式)
解:方程两边同乘x(x-2),约去分母,得
5(x-2)=7x解这个整式方程,得
x=5.
检验:把x=-5代入最简公分母
x(x-2)=35≠0,
∴x=-5是原方程的解.
例2、解方程
解:方程两边同乘最简公分母(x-2),约去分母,得
1=x-1-3(x-2).(-3这项不要忘乘)
解这个整式方程,得
x=2.
检验:当x=2时,代入最简公分母(x-2)=0,
∴x=2是增根,
∴原方程无解.
注意:要求学生一定要严格按解题格式步骤完成.
(三)总结
解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去.
(四)练习
教材P.98中1由学生在黑板上写,教师订正.
六、作业
教材P.101中1.
七、板书设计
一、教学目标
1.使学生理解分式方程的意义.
2.使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法.
3.了解解分式方程时可能产生增根的原因,并掌握解分式方程的验很方法.
4.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.
5.通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.
二、教学重点和难点
1.教学重点:
(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法.
(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想.
2.教学难点:理解解分式方程时产生增根的原因.
三、教学方法
启发式设问和同学讨论相结合,使同学在讨论中解决问题,掌握分式方程解法.
四、教学手段
演示法和同学练习相结合,以练习为主.
五、教学过程
(一)复习及引入新课
1.提问:什么叫方程?什么叫方程的解?
答:含有未知数的等式叫做方程.
使方程两边相等的未知数的值,叫做方程的解.
2.
解:(1)当时,
左边=,
右边=0,
∴左边=右边,
∴
(2)
(3)
3、在本章开始我们曾提出一个问题,经过分析得到问题的量为两个分式:,根据量间的关系列出方程:
这个方程和我们以前所见过的方程不同,它的主要特点是:分母中含有未知数,这种方程就是我们今天要研究的分式方程.
(二)新课
板书课题:
板书:分式方程的定义.
分母里含有未知数的方程叫分式方程.以前学过的方程都是整式方程.
练习:判断下列各式哪个是分式方程.(投影)
(1);(2);(3);
(4);(5)
在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程,(3)是分式,(4)(5)是分式方程.
1、如何求解方程?
先由同学讨论如何解这个方程.
在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.如何去掉?方程两边同乘最简公分母.
解:两边同乘以最简公分母x(x-6)得
90(x-6)=60x解这个整式方程得x=18.
如果我们想检验一下这种方法,就需要检验一下所求出的数是不是方程的解.
检验:把x=18代入原方程
,
左边=右边
∴x=18是原方程的解.
2、如何解方程?
此题可由学生讨论解决.
解:方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得整式方程x+1=2
解整式方程,得x=1.
x=1时原方程的解是否正确?
检验:将x=1代入原方程,可知x=1使分式方程两边的分式分母均为零,这两个分式没意义,因此x=1不是原分式方程的解.
∴原方程无解.
讨论:1、2两题都是方程两边同除最简公分母将分式方程转化为整式方程,为什么2求出的x=1不是原方程的解,而我们又得到了x=1呢?
分析:方程同解原理2指出:方程的两边都乘以不等于零的同一个数,所得的方程与原方程同解.
在解1中,方程两边都乘以x(x-6),接着求出x=18,而当x=18时,2(x+5)=216,所以相当于方程两边都乘以16(≠0),因此所得的整式方程与原方程同解.
在解2中,方程两边都乘以(x+1)(x-1),接着求出x=1,相当于方程两边都乘以零,结果使原方程无意义,这样得到的整式方程与原方程不同解.
像这样,在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根.
注意:由分式方程转化为一元一次方程过程中,要去分母就必须同乘一个整式,但整式可能为零,不能满足方程变换同解的原则,就使得分式方程可能产生增根,因此解分式方程后就必须检验.
由此可以想到,只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母),若该式的值不等于零,则是原方程的根;若该式的值为零,则是原方程的增根.如能保证求解过程正确,则这种验根方法比较简便.
例1、解方程
对于例题给学生示范做题的格式、步骤.(投影显示步骤格式)
解:方程两边同乘x(x-2),约去分母,得
5(x-2)=7x解这个整式方程,得
x=5.
检验:把x=-5代入最简公分母
x(x-2)=35≠0,
∴x=-5是原方程的解.
例2、解方程
解:方程两边同乘最简公分母(x-2),约去分母,得
1=x-1-3(x-2).(-3这项不要忘乘)
解这个整式方程,得
x=2.
检验:当x=2时,代入最简公分母(x-2)=0,
∴x=2是增根,
∴原方程无解.
注意:要求学生一定要严格按解题格式步骤完成.
(三)总结
解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去.
(四)练习
教材P.98中1由学生在黑板上写,教师订正.
六、作业
教材P.101中1.
七、板书设计
教学目标
1.使学生正确认识含有字母系数的一元一次方程.
2.使学生掌握含有字母系数的一元一次方程的解法.
3.使学生会进行简单的公式变形.
4.培养学生由特殊到一般、由一般到特殊的逻辑思维能力.5.通过公式变形例题,培养学生解决实际问题的能力,激发学生的求知欲望和学习兴趣.
教学重点:
(1)含有字母系数的一元一次方程的解法.
(2)公式变形.
教学难点:
(1)对字母函数的理解,并能准确区分字母系数与数字系数的区别与联系.
(2)在公式中会准确区分未知数与字母系数,并进行正确的公式变形.
教学方法
启发式教学和讨论式教学相结合
教学手段
多媒体
教学过程
(一)复习提问
提出问题:
1.什么是一元一次方程?
在学生答的基础上强调:(1)“一元”——一个未知数;“一次”——未知数的次数是1.
2.解一元一次方程的步骤是什么?
答:(1)去分母、去括号.
(2)移项——未知项移到等号一边常数项移到等号另一边.
注意:移项要变号.
(3)合并同类项——提未知数.
(4)未知项系数化为1——方程两边同除以未知项系数,从而解得方程.
(二)引入新课
提出问题:一个数的a倍(a≠0)等于b,求这个数.
引导学生列出方程:ax=b(a≠0).
让学生讨论:
(1)这个方程中的未知数是什么?已知数是什么?(a、b是已知数,x是未知数)
(2)这个方程是不是一元一次方程?它与我们以前所见过的一元一次方程有什么区别与联系?(这个方程满足一元一次方程的定义,所以它是一元一次方程.)
强调指出:ax=b(a≠0)这个一元一次方程与我们以前所见过的一元一次方程最大的区别在于已知数是a、b(字母).a是x的系数,b是常数项.
(三)新课
1.含有字母系数的一元一次方程的定义
ax=b(a≠0)中对于未知数x来说a是x的系数,叫做字母系数,字母b是常数项,这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程,今天我们就主要研究这样的方程.
2.含有字母系数的一元一次方程的解法
教师提问:ax=b(a≠0)是一元一次方程,而a、b是已知数,就可以当成数看,就像解一般的一元一次方程一样,如下解出方程:
ax=b(a≠0).
由学生讨论这个解法的思路对不对,解的过程对不对?
在学生讨论的基础上,教师归纳总结出含有字母函数的一元一次方程和过去学过的一元一次方程的解法的区别和联系.
含有字母系数的一元一次方程的解法和学过的含有数字系数的一元一次方程的解法相同.(即仍需要采用去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等步骤.)
特别注意:用含有字母的式子去乘或者除方程的两边,这个式子的值不能为零.
3.讲解例题
例1解方程ax+b2=bx+a2(a≠b).
解:移项,得ax-bx=a2-b2,
合并同类项,得(a-b)x=a2-b2.
∵a≠b,∴a-b≠0.
x=a+b.
注意:
1.在没有特别说明的情况下,一般x、y、z表示未知数,a、b、c表示已知数.
2.在未知项系数化为1这一步是最易出错的一步,一定要说明未知项系数(式)不为零之后才可以方程两边同除以未知项系数(式).
3.方程的解是分式形式时,一般要化成最简分式或整式.
第12页
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