教学目标
1.使学生进一步理解最简二次根式的概念;
2.较熟练地掌握把一个式子化为最简二次根式的方法.
教学重点和难点
重点:较熟练地把二次根式化为最简二次根式.
难点:把被开方数是多项式和分式的二次根式化为最简二次根式.
教学过程设计
一、复习
1.把下列各式化为最简二次根式:
请说出第(3),(4)题的解题过程.
答:第(3)题的被开方数是一个多项式,先把它分解因式,再运用积的算术平方根的性质,把根号中的平方式及平方数开出来,运算结果应化为最简二次根式.
理化.
二、新课
例1把下列各式化成最简二次根式:
请说出各题的特点和解题思路.
答:(1)题的被开方数及(2)题的被开方数的分子是多项式,应化成因式积的形式,可以先分解因式,再化简.
(3)题的被开方数的分母是两个数的平方差,先利用平方差公式把它化为乘积形式,再根据商的算术平方根和积的算术平方根的性质及分母有理化的方法,使运算结果为最简二次根式.
例2计算:
分析:依据二次根式的乘除法的法则进行计算,最后要把计算结果化成最简二次根式.
三、课堂练习
1.选择题:
(1)下列二次根式中,最简二次根式是[]
(2)下列二次根式中,最简二次根式是[]
(3)下列二次根式中,最简二次根式是[]
(4)下列二次根式中,最简二次根式是[]
(5)下列二次根式中,最简二次根式是[]
(7)下列化简中,正确的是[]
(8)下列化简中,错误的是[]
2.把下列各式化为最简二次根式:
3.计算:
答案:
四、小结
1.把一个式子化为最简二次根式时,如果被开方数是多项式,应把它化成积的形式,一般可考虑先分解因式,然后再化简.
2.如果一个式子的被开方数的分母是一个多项式,而这个多项式又不能分解因式(如课堂练习2(2)),在分母有理化时,把分子分母同乘以这个多项式.
3.二次根式的乘除法运算,运算结果一定要化为最简二次根式.
五、作业
1.把下列各式化成最简二次根式:
2.计算:
答案:
课堂教学设计说明
最简二次根式教学分二课时进行.教学设计中首先安排讨论二次根式的被开方数是单项式以及被开方数的分母是单项式的情况,然后再讨论被开方数是多项式和分母是多项式的情况.通过5个例题及课堂练习,最后达到使学生比较深刻地理解最简二次根式的概念,达到熟练地掌握把二次根式化为最简二次根式的教学目标.
的是引导学生能把一个式子化简为最简二次根式应用于有关计算问题中去,把最简二次根式和已学过的二次根式的乘除运算进行联系,促使学生把单个概念和方法纳入认知系统中,启发学生认识到二次根式的乘除运算与最简二次根式是密切关联的.
教学建议
知识结构
重难点分析
本节的重点是的化简.本章自始至终围绕着二次根式的化简与计算进行,而的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质,还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识,在应用中常常需要对字母进行分类讨论.
本节的难点是正确理解与应用公式
.
这个公式的表达形式对学生来说,比较生疏,而实际运用时,则要牵涉到对字母取值范围的讨论,学生往往容易出现错误.
教法建议
1.性质的引入方法很多,以下2种比较常用:
(1)设计问题引导启发:由设计的问题
1)、、各等于什么?
2)、、各等于什么?
启发、引导学生猜想出
(2)从算术平方根的意义引入.
2.性质的巩固有两个方面需要注意:
(1)注意与性质进行对比,可出几道类型不同的题进行比较;
(2)学生初次接触这种形式的表示方式,在教学时要注意细分层次加以巩固,如单个数字,单个字母,单项式,可进行因式分解的多项式,等等.
(第1课时)
一、教学目标
1.掌握二次根式的性质
2.能够利用二次根式的性质化简二次根式
3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法
二、教学设计
对比、归纳、总结
三、重点和难点
1.重点:理解并掌握二次根式的性质
2.难点:理解式子中的可以取任意实数,并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
复习对比,归纳整理,应用提高,以学生活动为主
七、教学过程
一、导入新课
我们知道,式子()表示非负数的算术平方根.
问:式子的意义是什么?被开方数中的表示的是什么数?
答:式子表示非负数的算术平方根,即,且,从而可以取任意实数.
二、新课
计算下列各题,并回答以下问题:
(1);(2);(3);
(4);(5);(6)
(7);(8)
1.各小题中被开方数的幂的底数都是什么数?
2.各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系?
3.用字母表示被开方数的幂的底数,将有怎样的结论?并用语言叙述你的结论.
答:
(1);(2);(3);
(4);(5);(6)
(7);(8).
1.(1),(2),(3)各题中的被开方数的幂的底数都是正数;(4),(5),(6),(7)各题中的被开方数的幂的底数都是负数;(8)题被开方数的幂的底数是0.
2.(1),(2),(3),(8)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等;(4),(5),(6),(7)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数.
3.用字母表示(1),(2),(3),(8)各题中被开方数的幂的底数,有
(),
用字母表示(4),(5),(6),(7)各题中被开方数的幂的底数,有
().
一个非负数的平方的算术平方根,等于这个非负数本身;一个负数的平方的算术平方根,等于这个负数的相反数.
问:请把上述讨论结论,用一个式子表示.(注意表示条件和结论)
答:
请同学回忆实数的绝对值的代数意义,它和上述二次根式的性质有什么联系?
答:
填空:
1.当_________时,;
2.当时,,当时,;
3.若,则________;
4.当时,.
答:
1.当时,;
2.当时,,
当时,;
3.若,则;
4.当时,.
例1化简().
分析:可以利用积的算术平方根的性质及二次根式的性质化简.
解,因为,所以,所以
.
指出:在化简和运算过程中,把先写成,再根据已知条件中的取值范围,确定其结果.
例2化简().
分析:根据二次根式的性质,当时,.
解.
例3化简:(1)();(2)().
分析:根据二次根式的性质,当时,.
解(1).
(2).
注意:(1)题中的被开方数,因为,所以.
(2)题中的被开方数,因为,所以.
这里的取值范围,在已知条件中没有直接给出,但可以由已知条件分析而得出.
例4化简.
分析:根据二次根式的性质,有
.
所以要比较与3及1与的大小以确定及的符号,然后再进行化简.
解因为,,所以
,.
所以
.
三、课堂练习
1.求下列各式的值:
(1);(2).
2.化简:
(1);(2);
(3)();(4)().
3.化简:
(1);(2);
(3);(4);
(5);(6)().
答案:
1.(1)0.1;(2).
2.(1);(2);(3);(4).
3.(1)4;(2)1.5;(3)0.09;(4)-1;(5)4;(6)-1.
四、小结
1.二次根式的意义是,所以,因此,其中可以取任意实数.
2.化简形如的二次根式,首先可把写成的形式,再根据已知条件中字母的取值范围,确定其结果.
3.在化简中,注意运用题设中的隐含条件,如二次根式有意义的条件是被开方,这是隐含条件.
五、作业
1.化简:
(1);(2);
(3)();(4)();
(5);(6)(,);
(7)().
2.化简:
(1);
(2)();
(3)(,).
答案:
1.(1)-30;(2);(3);
(4);(5);(6);(7).
2.(1)2;(2)0;(3).
一、教学目标
1.掌握二次根式的混合运算.
2.掌握混合运算的应用.
3.通过二次根式的混合运算,培养学生的运算能力.
4.通过混合运算知识拓展,培养学生的探索精神
二、教学设计
小结、归纳、提高
三、重点、难点解决办法
1.教学重点:二次根式的混合运算.
2.教学难点:混合运算的应用.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
复习小结,归纳整理,应用提高,以学生活动为主
七、教学过程
【例题】
例1化简:
(1);(2).
解:(1)
.
(2)
.
说明:在计算过程中要注意各个式子的特点,能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的,又要善于在规则允许的情况下可变换相邻项的位置,如,结果为-1,继续运算易出现符号上的差错,而把先变为,这样则为1,继续运算可避免错误.
例2解下列方程(组):
(1)
(2)
(3)
解:(1)
.
(2)①×,得
③
②×,得
④
③-④,得
把代入①,得
解得.
∴是原方程组的解.
(3)由②,得
③
①×,得
④
③-④,得
把代入①,得
.
∴是原方程组的解.
例3已知,,求的值.
解:.
.
,,
∴.
例4已知,,求的值.
解:,.
.
(二)随堂练习
1.教材中P206中8.
2.解不等式:.
解:
∴.
3.已知,,求的值.
解:3.,或.
.
∴
.
4.已知,,求:的值.
解4.
.
5.已知,求的值.
解5..
.
6.不求方根的值比较与的大小.
解6.∵
∴
∴
(三)总结、扩展
根据已知条件,求一个代数的值,要注意条件或代数式的化简,有时条件和要求的代数式都需要化简,当把条件化简后,代数式的化简要朝着条件化简的结果去化简.
(四)布置作业
教材中P207B组1、3和补充作业.
补充作业:
1.已知,求的值.
2.已知,,求的值.
(五)板书设计
标题
1.例题……3.例题……
2.练习题4.练习题
八、背景知识与课外阅读
二次根式的混和运算方法和顺序
1.方法(1)应用二次根式乘法、除法和加减法运算法则.
(2)在实数范围内运算律仍适用.
(3)二次根式的乘法,与多项式的乘法相类似,遇运用多项式乘法公式时,也可以运用乘法公式.
2.顺序先乘方、后乘除,最后加减,有括号的先算括号内的数.
一、教学目标
1.掌握二次根式的性质
2.能够利用二次根式的性质化简二次根式
3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法
二、教学设计
对比、归纳、总结
三、重点和难点
1.重点:理解并掌握二次根式的性质
2.难点:理解式子中的可以取任意实数,并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
复习对比,归纳整理,应用提高,以学生活动为主
七、教学步骤
(一)教学过程
【复习引入】
1.求值、、、…
求值、、、…
结论:当时,;
当时,.
2.求值、…
结论:当时,式子有意义,,对于,不能为负数.
3.求值、…
结论:当时,.
问:若根号内这个式子中的底数,根式还有意义吗?其值等于什么?
例如,,其中-2与2互为相反数;,其中-3与3互为相反数;,其中与互为相反数.
【讲解新课】
提出问题:等于什么?引导学生讨论、猜测、联想,得到结论:
教师可结合学生的具体情况,将上面公式用最简练的语句表达,并反复提问中差学生,加深其印象,进一步提问:若时,能否等于,以增强学生的辨别能力,加强学生对公式的理解和记忆.
例1化简:
(1);(2).
解:(略).
注:可看作,把先写为;
可看作,把先写为.
例2化简:.
分析:底数是非负数还是负数将直接影响结果,这时要注意条件,由条件,可得.
∴.
解:(略).
例3化简下列各式:
(1)();(2)();
(3)();(4)().
解:(1)∵
∴.
∴
.
(2)∵
∴,即.
∴
.
(3)∵
∴,即.
∴
.
(4)∵,
∵,即.
∴.
注:要从条件出发,判断根号下面式子的底数是非负数还是负数,再根据公式计算出结果,因此在解题过程中,也是先写出条件,后进行变形,判断底数的正、负.
在写解题步骤上,尽量完整,以减少失误,并训练学生的逻辑思维能力.
(二)随堂练习
1.求值:
(1);(2);(3)();
(4);(5).
解:(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
注:,学生易与相混淆.
2.化简:
(1);(2);(3);
(4)();(5)().
解:(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(三)总结、扩展
对公式,一定要在理解在基础上牢固掌握,要准确地运用公式进行二次根式的化简,关键是对根号内式子的底数的判断.
(四)布置作业
教材P213中1(2)、(3);2(1)、(2).
(五)板书设计
标题
1.复习题4.练习题
2.公式
3.例题
教学建议
知识结构:
重点难点分析:
是商的二次根式的性质及利用性质进行二次根式的化简与运算,利用分母有理化化简.商的算术平方根的性质是本节的主线,学生掌握性质在二次根使得化简和运算的运用是关键,从化简与运算由引出初中重要的内容之一分母有理化,分母有理化的理解决定了最简二次根式化简的掌握.
教学难点是二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.二次根式的除法与乘法既有联系又有区别,强调根式除法结果的一般形式,避免分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性大,要让学生首先理解分母有理化的意义及计算结果形式.
教法建议:
1.本节内容是在有积的二次根式性质的基础后学习,因此可以采取学生自主探索学习的模式,通过前一节的复习,让学生通过具体实例再结合积的性质,对比、归纳得到商的二次根式的性质.教师在此过程中给与适当的指导,提出问题让学生有一定的探索方向.
2.本节内容可以分为三课时,第一课时讨论商的算术平方根的性质,并运用这一性质化简较简单的二次根式(被开方数的分母可以开得尽方的二次根式);第二课时讨论二次根式的除法法则,并运用这一法则进行简单的二次根式的除法运算以及二次根式的乘除混合运算,这一课时运算结果不包括根号出现内出现分式或分数的情况;第三课时讨论分母有理化的概念及方法,并进行二次根式的乘除法运算,把运算结果分母有理化.这样安排使内容由浅入深,各部分相互联系,因此及彼,层层展开.
3.引导学生思考“想一想”中的内容,培养学生思维的深刻性,教师组织学生思考、讨论过程中,鼓励学生大胆猜想,积极探索,运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法激发学生创造性的思维.
教学设计示例
一、教学目标
1.掌握商的算术平方根的性质,能利用性质进行二次根式的化简与运算;
2.会进行简单的二次根式的除法运算;
3.使学生掌握分母有理化概念,并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算问题;
4.培养学生利用二次根式的除法公式进行化简与计算的能力;
5.通过二次根式公式的引入过程,渗透从特殊到一般的归纳方法,提高学生的归纳总结能力;
6.通过分母有理化的教学,渗透数学的简洁性.
二、教学重点和难点
1.重点:会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简,会进行简单的二次根式的除法运算,还要使学生掌握二次根式的除法采用分母有理化的方法进行.
2.难点:二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.
三、教学方法
从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法,在学习了二次根式乘法的基础上本小节
内容可引导学生自学,进行总结对比.
四、教学手段
利用投影仪.
五、教学过程
(一)引入新课
学生回忆及得算数平方根和性质:(a≥0,b≥0)是用什么样的方法引出的?(上述积的算术平方根的性质是由具体例子引出的.)
学生观察下面的例子,并计算:
由学生总结上面两个式的关系得:
类似地,每个同学再举一个例子,然后由这些特殊的例子,得出:
(二)新课
商的算术平方根.
一般地,有(a≥0,b>0)
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
让学生讨论这个式子成立的条件是什么?a≥0,b>0,对于为什么b>0,要使学生通过讨论明确,因为b=0时分母为0,没有意义.
引导学生从运算顺序看,等号左边是将非负数a除以正数b求商,再开方求商的算术平方根,等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根,然后再求两个算术平方根的商,根据商的算术平方根的性质可以进行简单的二次根式的化简与运算.
例1化简:
(1);(2);(3);
解∶(1)
(2)
(3)
说明:如果被开方数是带分数,在运算时,一般先化成假分数;本节根号下的字母均为正数.
例2化简:
(1);(2);
解:(1)
(2)
让学生观察例题中分母的特点,然后提出,的问题怎样解决?
再总结:这一小节开始讲的二次根式的化简,只限于所得结果的式子中分母可以完全开的尽方的情况,的问题,我们将在今后的学习中解决.
学生讨论本节课所学内容,并进行小结.
(三)小结
1.商的算术平方根的性质.(注意公式成立的条件)
2.会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简.
(四)练习
1.化简:
(1);(2);(3).
2.化简:
(1);(2);(3)
六、作业
教材P.183习题11.3;A组1.
七、板书设计
教学目的
1.使学生掌握最简二次根式的定义,并会应用此定义判断一个根式是否为最简二次根式;
2.会运用积和商的算术平方根的性质,把一个二次根式化为最简二次根式。
教学重点
最简二次根式的定义。
教学难点
一个二次根式化成最简二次根式的方法。
教学过程
一、复习引入
1.把下列各根式化简,并说出化简的根据:
2.引导学生观察考虑:
化简前后的根式,被开方数有什么不同?
化简前的被开方数有分数,分式;化简后的被开方数都是整数或整式,且被开方数中开得尽方的因数或因式,被移到根号外。
3.启发学生回答:
二次根式,请同学们考虑一下被开方数符合什么条件的二次根式叫做最简二次根式?
二、讲解新课
1.总结学生回答的内容后,给出最简二次根式定义:
满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式:
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
最简二次根式定义中第(1)条说明被开方数不含有分母;分母是1的例外。第(2)条说明被开方数中每个因式的指数小于2;特别注意被开方数应化为因式连乘积的形式。
2.练习:
下列各根式是否为最简二次根式,不是最简二次根式的说明原因:
3.例题:
例1把下列各式化成最简二次根式:
例2把下列各式化成最简二次根式:
4.总结
把二次根式化成最简二次根式的根据是什么?应用了什么方法?
当被开方数为整数或整式时,把被开方数进行因数或因式分解,根据积的算术平方根的性质,把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。
当被开方数是分数或分式时,根据分式的基本性质和商的算术平方根的性质化去分母。
此方法是先根据分式的基本性质把被开方数的分母化成能开得尽方的因式,然后分子、分母再分别化简。
三、巩固练习
1.把下列各式化成最简二次根式:
2.判断下列各根式,哪些是最简二次根式?哪些不是最简二次根式?如果不是,把它化成最简二次根式。
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