经典初中教案数学教案－二次根式的加减法
时间：2022-01-29 二次根式的加减法 二次根式教案教学建议
本节的重点有两个：
⒈同类二次根式的概念
⒉二次根式加减运算的方法
本节的主要内容是讲解二次根式的加减法，而二次根式的加减法的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．二次根式的加减法运算实质是合并同类二次根式，前提是要充分了解同类二次根式的概念，因此同类二次根式的概念是本节的一个重点．
本节的难点二次根式的加减法运算
二次根式的加减法首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了．整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式的加减在化简之后也是如此，同类二次根式类似同类项．但是学生初次接触二次根式的加减法，在运算过程中容易出现各种各样的错误，因此熟练掌握二次根式的加减法运算是本节的难点．
本节的主要内容是讲解二次根式的加减法，而二次根式的加减法的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．
(1)在知识引入的讲解中，有两种不同的处理方法：一是按照教材中的方法，先给出几个二次根式，把他们都化成最简二次根式，在进行比较或者加减运算，从而引出二次根式的加减法和同类二次根式；二是先复习同类项的概念或进行一两道简单的正式加减的题目，通过类比引出同类二次根式和二次根式的加减法．两种处理方法各有优劣，教师在教学过程中可根据学生的实际情况进行选择，当然也可以把这两种方法综合应用，但有些过繁．
(2)在教材例1的教学中，教师可以根据学生情况进行细分处理，例如分成几个小问题：①把被开方数都是整数的放在一个小题中，②把被开方数都是分数的放在一个小题中，③把被开方数带有简单字母的放在一个小题中，④把字母次数略高于2的放在一个小题中，……使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程，便于学生参与其中，也容易使学生获得成就感．
(3)在组织学生进行二次根式的加减法教学中，同样将例题细分成几个层次进行教学，例如：①不需要化简能直接进行相加减的，②需要化简但被开方数都是简单整数的，③被开方数都是有理数但既有整数又有分数的，④被开方数含有字母的，等等．
(4)在二次根式加减法的组织教学中，虽然教材已经不要求二次根式加减法的法则，但可以组织学生自己总结法则，既有利于学生的参与，又能提高学生的观察、分析和归纳能力．
(5)在二次根式加减法的整个教学环节中，教师都要及时纠正学生的错误认识，比如：①不是最简二次根式就不是同类二次根式，②该化简的没有化简，或化简的不正确，③该合并的没有合并，不该合并的给合并了，或者合并错了，等等类似情况．教师在教学中可以出一些容易出错的题目让学生进行辨别，以利于知识的巩固.
教学设计示例1
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念．
2．能判断二次根式中的同类二次根式．
3．会用同类二次根式进行二次根式的加减．
（二）能力训练点
通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力．
（三）德育渗透点
从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想．
（四）美育渗透点
通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美．
二、学法引导
1．教师教法引导法、比较法、剖析法，在比较和剖析中，不断纠正错误，从而树立牢固的计算方法．
2．学生学法通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法则．
三、重点难点疑点及解决办法
1．教学重点二次根式的加减法运算．
2．教学难点二次根式的化简．
3．疑点及解决办法二次根式的加减法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类二次根式的加减法，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果．
四、课时安排
2课时
五、教具学具准备
投影片
六、师生互动活动设计
1．复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题．
2．教师通过例题的示范让学生了解什么是二次根式的加减法，并引入同类的二次根式的定义．
3．再通过较复杂的二次根式的加减法计算，引导学生小结归纳出二次根式的加减法的法则．
4．通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的实质及解决的方法．
七、教学步骤
（－）明确目标
学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．
（二）整体感知
同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力．
第一课时
（－）教学过程
【复习引入】
什么样的二次根式叫做最简二次根式？（由学生回答）
与的形式与实质是什么？
可以化简为．
继续提问：，可以化简吗？
，可以化简吗？
这就是本节课研究的内容——二次根式的加减法．
【讲解新课】
1．复习整式的加减运算
计算：
（1）；
（2）；
（3）．
小结：整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算．
2．例题
（1）计算．
解：．
（2）计算．
解：．
小结：
（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算．
（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算．
定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
3．例题
例1下列各式中，哪些是同类二次根式？，，，，，，．
解：略．
例2计算．
解：
．
例3计算．
解：
．
二次根式加减法的法则：
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（可对比整式的加减法则）
例4计算：
（1）．
解：
．
（2）．
解：
．
（二）随堂练习
计算：
（1）；
（2）；
（3）．
练习：教材P192中1、2（1）、（2）、（3）、（4）、（5）；教材P193中1、2．
（三）总结、扩展
同类二次根式的定义．
二次根式的加减法与整式的加减法进行比较，强调注意的问题．
（四）布置作业
教材P193中（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）；教材P194中4（1）、（2）、（3）、（4）．
（五）板书设计
标题
1．复习题5．例题（1）、（2）、
2．整式的加减例题（3）、（4）
3．例题（1）、（2）6．练习题
4．同类二次根式7．小结
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二次根式的加减法
（一）教学过程
【复习提问】
1．同类二次根式的定义．
2．二次根式加减法的法则．
3．加减运算中注意的问题．
【例题】
例1判断：
（1）；（）
（2）；（）
（3）；（）
（4）；（）
（5）．（）
（要求学生找出错误的原因，能进行加减运算的，要加以改正．）
例2计算：
（1）．
解：
．
（2）．
解：
．
（3）．
解：
．
（4）．
解：
．
小结：二次根式加减运算的步骤：
（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
（3）合并同类二次根式．
例3当，时，求代数式的值．
解：
．
当时，时，
原式
．
例4已知，求下列各式的近似值（精确到0.01）：
（1）；
（2）．
解：（1）．
当时，
原式．
（2）
．
当时，
原式．
注意：求值时，一般应对代数式先化简，再代入数值．
（二）随堂练习
计算：
（1）；
（2）；
（3）已知，，求式子的近似值（精确到0.01）．
（三）总结、扩展
正确地进行二次根式的加减法运算，需解决好几个环节：去括号，化简二次根式，确定同类二次根式，合并的方法等．
可通过例题加以说明．
练习：教材P191中2（6）、（7），3；P194中7
（四）布置作业
教材P193中3（7）、（8）、（9）、（10）；教材P194中4（5）、（6），5．
（五）板书设计
标题
1．例题2．练习题
例1……3．小结
例2……
例3……
八、背景知识与课外阅读
二次根式的加减法法则与乘除法法则的区别
运算
二次根式乘除法
同类二次根式的加减法
系数
系数相乘除
系数相加减
被开方数
被开方数相乘除
被开方数不变
化简
把最后结果化成最简二次根式
可先化成最简二次根式再运算
数学教案－二次根式的加减法的教学方案
（一）教学过程
【复习提问】
1．同类二次根式的定义．
2．二次根式加减法的法则．
3．加减运算中注意的问题．
【例题】
例1判断：
（1）；（）
（2）；（）
（3）；（）
（4）；（）
（5）．（）
（要求学生找出错误的原因，能进行加减运算的，要加以改正．）
例2计算：
（1）．
解：
．
（2）．
解：
．
（3）．
解：
．
（4）．
解：
．
小结：二次根式加减运算的步骤：
（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
（3）合并同类二次根式．
例3当，时，求代数式的值．
解：
．
当时，时，
原式
．
例4已知，求下列各式的近似值（精确到0.01）：
（1）；
（2）．
解：（1）．
当时，
原式．
（2）
．
当时，
原式．
注意：求值时，一般应对代数式先化简，再代入数值．
（二）随堂练习
计算：
（1）；
（2）；
（3）已知，，求式子的近似值（精确到0.01）．
（三）总结、扩展
正确地进行二次根式的加减法运算，需解决好几个环节：去括号，化简二次根式，确定同类二次根式，合并的方法等．
可通过例题加以说明．
练习：教材P191中2（6）、（7），3；P194中7
（四）布置作业
教材P193中3（7）、（8）、（9）、（10）；教材P194中4（5）、（6），5．
（五）板书设计
标题
1．例题2．练习题
例1……3．小结
例2……
例3……
八、背景知识与课外阅读
二次根式的加减法法则与乘除法法则的区别
运算
二次根式乘除法
同类二次根式的加减法
系数
系数相乘除
系数相加减
被开方数
被开方数相乘除
被开方数不变
化简
把最后结果化成最简二次根式
可先化成最简二次根式再运算
二次根式的加减法教案模板
教学建议
本节的重点有两个：
⒈同类二次根式的概念
⒉二次根式加减运算的方法
本节的主要内容是讲解，而的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．运算实质是合并同类二次根式，前提是要充分了解同类二次根式的概念，因此同类二次根式的概念是本节的一个重点．
本节的难点运算
首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了．整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式的加减在化简之后也是如此，同类二次根式类似同类项．但是学生初次接触，在运算过程中容易出现各种各样的错误，因此熟练掌握运算是本节的难点．
本节的主要内容是讲解，而的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．
(1)在知识引入的讲解中，有两种不同的处理方法：一是按照教材中的方法，先给出几个二次根式，把他们都化成最简二次根式，在进行比较或者加减运算，从而引出和同类二次根式；二是先复习同类项的概念或进行一两道简单的正式加减的题目，通过类比引出同类二次根式和．两种处理方法各有优劣，教师在教学过程中可根据学生的实际情况进行选择，当然也可以把这两种方法综合应用，但有些过繁．
(2)在教材例1的教学中，教师可以根据学生情况进行细分处理，例如分成几个小问题：①把被开方数都是整数的放在一个小题中，②把被开方数都是分数的放在一个小题中，③把被开方数带有简单字母的放在一个小题中，④把字母次数略高于2的放在一个小题中，……使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程，便于学生参与其中，也容易使学生获得成就感．
(3)在组织学生进行教学中，同样将例题细分成几个层次进行教学，例如：①不需要化简能直接进行相加减的，②需要化简但被开方数都是简单整数的，③被开方数都是有理数但既有整数又有分数的，④被开方数含有字母的，等等．
(4)在二次根式加减法的组织教学中，虽然教材已经不要求二次根式加减法的法则，但可以组织学生自己总结法则，既有利于学生的参与，又能提高学生的观察、分析和归纳能力．
(5)在二次根式加减法的整个教学环节中，教师都要及时纠正学生的错误认识，比如：①不是最简二次根式就不是同类二次根式，②该化简的没有化简，或化简的不正确，③该合并的没有合并，不该合并的给合并了，或者合并错了，等等类似情况．教师在教学中可以出一些容易出错的题目让学生进行辨别，以利于知识的巩固.
教学设计示例1
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念．
2．能判断二次根式中的同类二次根式．
3．会用同类二次根式进行二次根式的加减．
（二）能力训练点
通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力．
（三）德育渗透点
从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想．
（四）美育渗透点
通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美．
二、学法引导
1．教师教法引导法、比较法、剖析法，在比较和剖析中，不断纠正错误，从而树立牢固的计算方法．
2．学生学法通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法则．
三、重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点运算．
2．教学难点二次根式的化简．
3．疑点及解决办法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果．
四、课时安排
2课时
五、教具学具准备
投影片
六、师生互动活动设计
1．复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题．
2．教师通过例题的示范让学生了解什么是，并引入同类的二次根式的定义．
3．再通过较复杂的计算，引导学生小结归纳出的法则．
4．通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的实质及解决的方法．
七、教学步骤
（－）明确目标
学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究．
（二）整体感知
同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力．
第一课时
（－）教学过程
【复习引入】
什么样的二次根式叫做最简二次根式？（由学生回答）
与的形式与实质是什么？
可以化简为．
继续提问：，可以化简吗？
，可以化简吗？
这就是本节课研究的内容——．
【讲解新课】
1．复习整式的加减运算
计算：
（1）；
（2）；
（3）．
小结：整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算．
2．例题
（1）计算．
解：．
（2）计算．
解：．
小结：
（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算．
（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算．
定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
3．例题
例1下列各式中，哪些是同类二次根式？，，，，，，．
解：略．
例2计算．
解：
．
例3计算．
解：
．
二次根式加减法的法则：
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（可对比整式的加减法则）
例4计算：
（1）．
解：
．
（2）．
解：
．
（二）随堂练习
计算：
（1）；
（2）；
（3）．
练习：教材P192中1、2（1）、（2）、（3）、（4）、（5）；教材P193中1、2．
（三）总结、扩展
同类二次根式的定义．
与整式的加减法进行比较，强调注意的问题．
（四）布置作业
教材P193中（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）；教材P194中4（1）、（2）、（3）、（4）．
（五）板书设计
标题
1．复习题5．例题（1）、（2）、
2．整式的加减例题（3）、（4）
3．例题（1）、（2）6．练习题
4．同类二次根式7．小结
二次根式的加减法的教学方案
教学建议
本节的重点有两个：
⒈同类二次根式的概念
⒉二次根式加减运算的方法
本节的主要内容是讲解，而的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．运算实质是合并同类二次根式，前提是要充分了解同类二次根式的概念，因此同类二次根式的概念是本节的一个重点．
本节的难点运算
首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了．整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式的加减在化简之后也是如此，同类二次根式类似同类项．但是学生初次接触，在运算过程中容易出现各种各样的错误，因此熟练掌握运算是本节的难点．
本节的主要内容是讲解，而的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．
(1)在知识引入的讲解中，有两种不同的处理方法：一是按照教材中的方法，先给出几个二次根式，把他们都化成最简二次根式，在进行比较或者加减运算，从而引出和同类二次根式；二是先复习同类项的概念或进行一两道简单的正式加减的题目，通过类比引出同类二次根式和．两种处理方法各有优劣，教师在教学过程中可根据学生的实际情况进行选择，当然也可以把这两种方法综合应用，但有些过繁．
(2)在教材例1的教学中，教师可以根据学生情况进行细分处理，例如分成几个小问题：①把被开方数都是整数的放在一个小题中，②把被开方数都是分数的放在一个小题中，③把被开方数带有简单字母的放在一个小题中，④把字母次数略高于2的放在一个小题中，……使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程，便于学生参与其中，也容易使学生获得成就感．
(3)在组织学生进行教学中，同样将例题细分成几个层次进行教学，例如：①不需要化简能直接进行相加减的，②需要化简但被开方数都是简单整数的，③被开方数都是有理数但既有整数又有分数的，④被开方数含有字母的，等等．
(4)在二次根式加减法的组织教学中，虽然教材已经不要求二次根式加减法的法则，但可以组织学生自己总结法则，既有利于学生的参与，又能提高学生的观察、分析和归纳能力．
(5)在二次根式加减法的整个教学环节中，教师都要及时纠正学生的错误认识，比如：①不是最简二次根式就不是同类二次根式，②该化简的没有化简，或化简的不正确，③该合并的没有合并，不该合并的给合并了，或者合并错了，等等类似情况．教师在教学中可以出一些容易出错的题目让学生进行辨别，以利于知识的巩固.
教学设计示例1
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念．
2．能判断二次根式中的同类二次根式．
3．会用同类二次根式进行二次根式的加减．
（二）能力训练点
通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力．
（三）德育渗透点
从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想．
（四）美育渗透点
通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美．
二、学法引导
1．教师教法引导法、比较法、剖析法，在比较和剖析中，不断纠正错误，从而树立牢固的计算方法．
2．学生学法通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法则．
三、重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点运算．
2．教学难点二次根式的化简．
3．疑点及解决办法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果．
四、课时安排
2课时
五、教具学具准备
投影片
六、师生互动活动设计
1．复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题．
2．教师通过例题的示范让学生了解什么是，并引入同类的二次根式的定义．
3．再通过较复杂的计算，引导学生小结归纳出的法则．
4．通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的实质及解决的方法．
七、教学步骤
（－）明确目标
学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究．
（二）整体感知
同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力．
第一课时
（－）教学过程
【复习引入】
什么样的二次根式叫做最简二次根式？（由学生回答）
与的形式与实质是什么？
可以化简为．
继续提问：，可以化简吗？
，可以化简吗？
这就是本节课研究的内容——．
【讲解新课】
1．复习整式的加减运算
计算：
（1）；
（2）；
（3）．
小结：整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算．
2．例题
（1）计算．
解：．
（2）计算．
解：．
小结：
（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算．
（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算．
定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
3．例题
例1下列各式中，哪些是同类二次根式？，，，，，，．
解：略．
例2计算．
解：
．
例3计算．
解：
．
二次根式加减法的法则：
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（可对比整式的加减法则）
例4计算：
（1）．
解：
．
（2）．
解：
．
（二）随堂练习
计算：
（1）；
（2）；
（3）．
练习：教材P192中1、2（1）、（2）、（3）、（4）、（5）；教材P193中1、2．
（三）总结、扩展
同类二次根式的定义．
与整式的加减法进行比较，强调注意的问题．
（四）布置作业
教材P193中（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）；教材P194中4（1）、（2）、（3）、（4）．
（五）板书设计
标题
1．复习题5．例题（1）、（2）、
2．整式的加减例题（3）、（4）
3．例题（1）、（2）6．练习题
4．同类二次根式7．小结
二次根式的加减法相关教学方案
（一）教学过程
【复习提问】
1．同类二次根式的定义．
2．二次根式加减法的法则．
3．加减运算中注意的问题．
【例题】
例1判断：
（1）；（）
（2）；（）
（3）；（）
（4）；（）
（5）．（）
（要求学生找出错误的原因，能进行加减运算的，要加以改正．）
例2计算：
（1）．
解：
．
（2）．
解：
．
（3）．
解：
．
（4）．
解：
．
小结：二次根式加减运算的步骤：
（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
（3）合并同类二次根式．
例3当，时，求代数式的值．
解：
．
当时，时，
原式
．
例4已知，求下列各式的近似值（精确到0.01）：
（1）；
（2）．
解：（1）．
当时，
原式．
（2）
．
当时，
原式．
注意：求值时，一般应对代数式先化简，再代入数值．
（二）随堂练习
计算：
（1）；
（2）；
（3）已知，，求式子的近似值（精确到0.01）．
（三）总结、扩展
正确地进行二次根式的加减法运算，需解决好几个环节：去括号，化简二次根式，确定同类二次根式，合并的方法等．
可通过例题加以说明．
练习：教材P191中2（6）、（7），3；P194中7
（四）布置作业
教材P193中3（7）、（8）、（9）、（10）；教材P194中4（5）、（6），5．
（五）板书设计
标题
1．例题2．练习题
例1……3．小结
例2……
例3……
八、背景知识与课外阅读
二次根式的加减法法则与乘除法法则的区别
运算
二次根式乘除法
同类二次根式的加减法
系数
系数相乘除
系数相加减
被开方数
被开方数相乘除
被开方数不变
化简
把最后结果化成最简二次根式
可先化成最简二次根式再运算
经典初中教案数学教案－最简二次根式
教学目的
1．使学生掌握最简二次根式的定义，并会应用此定义判断一个根式是否为最简二次根式；
2．会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。
教学重点
最简二次根式的定义。
教学难点
一个二次根式化成最简二次根式的方法。
教学过程
一、复习引入
1．把下列各根式化简，并说出化简的根据：
2．引导学生观察考虑：
化简前后的根式，被开方数有什么不同？
化简前的被开方数有分数，分式；化简后的被开方数都是整数或整式，且被开方数中开得尽方的因数或因式，被移到根号外。
3．启发学生回答：
二次根式，请同学们考虑一下被开方数符合什么条件的二次根式叫做最简二次根式？
二、讲解新课
1．总结学生回答的内容后，给出最简二次根式定义：
满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
最简二次根式定义中第(1)条说明被开方数不含有分母；分母是1的例外。第(2)条说明被开方数中每个因式的指数小于2；特别注意被开方数应化为因式连乘积的形式。
2．练习：
下列各根式是否为最简二次根式，不是最简二次根式的说明原因：
3．例题：
例1把下列各式化成最简二次根式：
例2把下列各式化成最简二次根式：
4．总结
把二次根式化成最简二次根式的根据是什么？应用了什么方法？
当被开方数为整数或整式时，把被开方数进行因数或因式分解，根据积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。
当被开方数是分数或分式时，根据分式的基本性质和商的算术平方根的性质化去分母。
此方法是先根据分式的基本性质把被开方数的分母化成能开得尽方的因式，然后分子、分母再分别化简。
三、巩固练习
1．把下列各式化成最简二次根式：
2．判断下列各根式，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？如果不是，把它化成最简二次根式。
数学教案－二次根式
一、教学目标
1．了解二次根式的意义；
2.掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题；
3.掌握二次根式的性质和，并能灵活应用；
4．通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力；
5.通过二次根式性质和的介绍渗透对称性、规律性的数学美.
二、教学重点和难点
重点：(1)二次根的意义；(2)二次根式中字母的取值范围．
难点：确定二次根式中字母的取值范围．
三、教学方法
启发式、讲练结合．
四、教学过程
(一)复习提问
1．什么叫平方根、算术平方根？
2．说出下列各式的意义，并计算：
，，，，，，，
通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念．
观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中，
，，，表示的是算术平方根.
(二)引入新课
我们已遇到的，，，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：
新课：二次根式
定义：式子叫做二次根式.
对于请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：
（1）式子只有在条件a≥0时才叫二次根式，是二次根式吗？呢？
若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.
（2）是二次根式，而，提问学生：2是二次根式吗？显然不是，因此二次
根式指的是某种式子的“外在形态”．请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式．下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答．
例1当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？
分析：，，，、、、四个是二次根式.因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜0），因此，与不是二次根式.
例2x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义？
解：略．
说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子有意义．
例3当字母取何值时，下列各式为二次根式：
（1）(2)(3)(4)
分析：由二次根式的定义，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式．
解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时，是二次根式.
（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0时，是二次根式.
（3），且x≠0，∴x＞0，当x＞0时，是二次根式.
（4），即，故x-2≥0且x-2≠0,∴x＞2.当x＞2时，是二次根式.
例4下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：
（1）；（2）；（3）；（4）
分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，.即：只有在条件a≥0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零．
解：（1）由2a+3≥0，得.
（2）由，得3a-1＞0，解得.
（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是，式子是二次根式.所以所求字母x的取值范围是全体实数．
(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0．
(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)
1．式子叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式．
2．式子中，被开方数(式)必须大于等于零．
(四)练习和作业
练习：
1．判断下列各式是否是二次根式
分析：（2）中，，是二次根式；（5）是二次根式.因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数（如x＜0时，又如当x＜-1时＝，因此（1）（3）（4）不是二次根式，（6）无意义.
2．a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
五、作业
教材p．172习题11．1；a组1；b组1．
六、板书设计
经典初中教案数学教案－二次根式的混合运算
教学建议
知识结构
重难点分析
本节课的重点是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性，提高性综合学习；二次根式的运算和有理化的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力。
本节课的难点是把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。分母有理化，实际上二次根式的除法与混合运算的综合运用。分母有理化的过程，一般地，先确定分母的有理化因式，然后再根据分式的基本性质把分子、分母都乘以这个有理化因式，就可使分母有理化。所以对初学者来说，这一过程容易出现找错有理化因式和计算出错的问题。
教法建议
1.在知识的引入上，可采取复习引入方式，比如复习有理数的混合运算或整式的运算。
2.在二次根式的加减、乘法混合运算中，要注意由浅入深的层次安排，从单项式与多项式相乘、多项式与多项式到乘法公式的应用，逐渐从数过渡到带有字母的式。
3.在有理化因式教学中，要多出几组题目从不同角度要求学生辨别，并及时总结。
学生特点：实验班的A层学生(数学实施分层教学),主动学习积极性高，基础扎实，思维活跃,,并具有一定的独立分析问题,探索问题,归纳概括问题的能力,有较好的思考、质疑的习惯。
教材特点：本节课是在学习了二次根式的三个重要概念（最简二次根式、同类二次根式、分母有理化）和二次根式的有关运算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法）基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。
鉴于学生的特点及教材的特点，本节课主要采用“互动式”的课堂教学模式及“谈话式”的教学方法，以此实现生生互动、师生互动、学生与教材之间的互动。具体说明如下：
（一）在师生互动方面，教师注重问题设计，注重引导、点拨及提高性总结。使学生学中有思、思中有获。如本节课开始，出示书中例题1：
让学生先进行思考，解答。然后同学说出怎样进行二次根式的混合运算。
强调：运算顺序及运算律和有理数相同。
（二）在学生与学生的互动上，教师注重活动设计，使学生学中有乐，乐中悟道。教师设计一组题目，让学生以竞赛的形式解答，然后以记成绩的方法让其它同学说出优点（简便方法及灵活之处）与错误。由于本节课主要以计算为主，对运算法则及规律性的基础知识，学生很容易掌握而且从意识上认为本节课太简单，不会很感兴趣，所以为了提高学生的学习兴趣及更好的抓好基础，提高学生的运算能力，如此这般设计。
（三）在个体与群体的互动方式上，教师注重合作设计，使学生学中有辩，辩中求同。如本节课中对重点问题：“分母有理化”的教学，出示一个题目，让学生思考，找个别学生说出自己的想法，然后其它同学补充完成。
学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动。正是在这一教育思想的指导下，追求学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动。互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振。
对二次根式混合运算新课引入的建议
复习：
1.计算：（1）；（2）.
解：(1)(2)
==
=；=.
2.在整式乘法中，单项式与多项式相乘的法则是什么？多项式与多项式的乘法法则是什么？什么是完全平方式？分别用式子表示出来。
答：单项式与多项式相乘的法则是，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为
m(a+b+c)=ma+mb+mc
多项式与多项式相乘的法则是，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每项，再把所得的积相加。用式子表示为
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,
其中a,b,m,n都是单项式。
完全平方式是
；。
在实数范围内，整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用，运用乘法法则及乘法公式可以进行二次根式的混合运算。引入新课。
对二次根式混合运算学法的建议
在进行二次根式的混合运算时，也有一个与分式运算相比较的问题，有的时候，加上团式分解、约分等技巧，可以大大简化计算过程，这是要灵活运用的．因此，在本节学习时，可以适当结合11．1节的内容，复习一下在实数范围内分解因式的问题，如
这里再顺便提一下，如
这种变形不是原来意义上的因式分解，否则就无法进行到底了．可以说是借助因式分解的方法，或具体说成提出，等等．
一、教学目标
1．掌握二次根式的混合运算．
2．掌握乘法公式在混合运算的应用．
3．通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力．
4．通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望
二、教学设计
小结、归纳、提高
三、重点、难点解决办法
1．教学重点：二次根式的混合运算．
2．教学难点：混合运算的应用．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
1．复习，运算律及乘法分式，引导学生口答，并强调数的运算律在根式运算中的适用，引入例题．
2．通过例题由浅入深，层层深入，既提高学生学习的兴趣又激发学生求知的欲望；从例题的讲解中帮助寻找解题的方法，规律及注意点．
3．通过大量的练习，以期形成自己所掌握的知识．
七、教学步骤
（－）明确目标
前面学过二次根式的加减法的简单运算，但二次根式未必全是加减混合运算，它同样会出现二次根式的加、减、乘、除方等混合运算那么二次根式的混合运算的法则是什么？又将怎样运用它进行化简计算，这就是本节课所要研究的问题—二次根式的混合运算．
（二）整体感知
二次根式的混合运算中，应注意运算的次序．这是进行二次根式混合运算的前提条件；通过适当地复习乘法分式，分母有理化知识，然后再进行二次根式的混合运算的教学工作，将有助于更好地学习它；同样为了更好地理解二次根式的混合运算还可以将它与数的运算律和运算方法进行对比，以帮助学生更好地理解并准确地掌握好该知识，达到事半功倍的作用．
第一课时
（－）教学过程
【复习】
运算律在二次根式混合运算中仍适用．
各种整式乘法的法则．
乘法公式：．
．
提问：加法的交换律、结合律各是怎样的？乘法的交换律、结合律、分配津各是什么？
强调数的运算律在根式运算中仍适用后，可引入例题．
【例题】
例1计算：
（1）；
（2）．
解：略．
注：①加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于学生理解和掌握．②在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，而是先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简．例如，没有对先进行化简的必要，使计算繁琐，而是应先进行乘法运算，通过约分达到化简的目的．
例2计算：
（1）；
（2）；
（3）．
解：略．
注：①由学生观察算式，找出特征：两个数的和与这两个数差的积；两个数的和或差的平方，联想乘法公式，与多项式的乘法相类似，二次根式的和相乘，适用乘法公式时，运用乘法公式．
②复习乘法公式，可选做几个小题．如，等．
例3计算：
（1）；
（2）．
解：略．
③引入有理化因式的概念
例如，与，与．
注：互为有理化因式是指两个代数式，其乘积不再含有二次根式．
可适当再举例说明，如与，与、与，但与就不是互为有理化因式．
（二）随堂练习
计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）；
（9）．
解：（1）．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
（5）
．
（6）
．
（7）．
（8）
．
（9）
．
（三）总结、扩展
对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．
有理化因式的概念需强调乘积的结果不再含有二次根式．
练习：教材P198中1、2；教材P199中3．
（四）布置作业
教材P204中1、2、3．
（五）板书设计
标题
1．复习内容例3……
2．例题3．有理化因式
例1……4．练习题
例2……