知识结构:
重点与难点分析:
本节内容的重点是定理.本定理是证明两条线段相等的重要定理,它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,此定理为证明线段相等提供了又一种方法,这是本节的重点.推论1、2提供证明等边三角形的方法,推论3是直角三角形的一条重要性质,在直角三角形中找边和角的等量关系经常用到此推论.
本节内容的难点是性质与判定的区别。等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理,题设与结论正好相反.学生在应用它们的时候,经常混淆,帮助学生认识判定与性质的区别,这是本节的难点.另外本节的文字叙述题也是难点之一,和上节结合让学生逐步掌握解题的思路方法.由于知识点的增加,题目的复杂程度也提高,一定要学生真正理解定理和推论,才能在解题时从条件得到用哪个定理及如何用.
教法建议:
本节课教学方法主要是“以学生为主体的讨论探索法”。在数学教学中要避免过多告诉学生现成结论。提倡教师鼓励学生讨论解决问题的方法,引导他们探索数学的内在规律。具体说明如下:
(1)参与探索发现,领略知识形成过程
学生学习过互逆命题和互逆定理的概念,首先提出问题:等腰三角形性质定理的逆命题的什么?找一名学生口述完了,接下来问:此命题是否为真命?等同学们证明完了,找一名学生代表发言.最后找一名学生用文字口述定理的内容。这样很自然就得到了定理.这样让学生亲自动手实践,积极参与发现,满打满算了学生的认识冲突,使学生克服思维和探求的惰性,获得锻炼机会,对定理的产生过程,真正做到心领神会。
(2)采用“类比”的学习方法,获取知识。
由性质定理的学习,我们得到了几个推论,自然想到:根据定理,我们能得到哪些特殊的结论或者说哪些推论呢?这里先让学生发表意见,然后大家共同分析讨论,把一些有价值的、甚至就是教材中的推论板书出来。如果学生提到的不完整,教师可以做适当的点拨引导。
(3)总结,形成知识结构
为了使学生对本节课有一个完整的认识,便于今后的应用,教师提出如下问题,让学生思考回答:(1)怎样判定一个三角形是等腰三角形?有哪些定理依据?(2)怎样判定一个三角形是等边三角形?
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知识结构
重点与难点分析:
本节内容的重点是及其推论。等腰三角形两底角相等(等边对等角)是证明同一三角形中两角相等的重要依据;而在推论中提到的等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线三线合一这条重要性质也是证明两线段相等,两个角相等及两直线互相垂直的重要依据。为证明线段相等,角相等或垂直平提供了方法,在选择时注意灵活运用。
本节内容的难点是文字题的证明。对文字题的证明,首先分析出命题的题设和结论,结合题意画出草图形,然后根据图形写出已知、求证,做到不重不漏,从而转化为一般证明题。这些环节是学生感到困难的。
教法建议:
数学教学的核心是学生的“再创造”.根据这一指导思想,本节课教学可通过精心设置的一个个问题链,激发学生的求知欲,最终在老师的指导下发现问题、解决问题.为了充分调动学生的积极性,使学生变被动学习为主动学习,本课教学拟用启发式问题教学法.具体说明如下:
(1)发现问题
本节课开始,先投影显示图形及问题,让学生观察并发现结论。提出问题让学生思考,创设问题情境,激发学生学习的欲望和要求.
(2)解决问题
对所得到的结论通过教师启发,让学生完成证明.指导学生归纳总结,从而顺其自然得到本节课的一个定理及其两个推论.多让学生亲自实践,参与探索发现,领略知识形成过程,这是课堂教学的基本思想和教学理念.
(3)加深理解
学生学习的过程是对知识的消化和理解的过程,通过例题的解决,提高和完善对定理及其推论理解。这一过程采用讲练结合、适时点拨的教学方法,把学生的注意力紧紧吸引在解决问题身上,让学生的思维活动在老师的引导下层层展开,让学生大胆参与课堂教学,使他们“听”有所“思”、“练”有所“获”,使传授知识与培养能力融为一体。一.教学目标:
1.掌握定理的证明及这个定理的两个推论;
2.会运用证明线段相等;
3.使学生掌握一般文字题的证明;
4.通过文字题的证明,提高学生几何三种语言的互译能力;
5.逐步培养学生逻辑思维能力及分析实际问题解决问题的能力;
6.渗透对称的数学思想,培养学生数学应用的观点;
二.教学重点:及其推论
三.教学难点:文字题的证明
四.教学用具:直尺,微机
五.教学方法:问题探究法
六.教学过程:
1、性质定理的发现与证明
(1)投影显示:
一般学生都能发现等腰三角形的两个底角相等(若有其它发现也要给予肯定),
(2)提醒学生:凭观察作出的判断准确吗?怎样证明你的判断?
师生讨论后,确定用全等三角形证明,学生亲自动手作出证明.证明略.
教师指出:定理提示了三角形边与角的转化关系,由两边相等转化为两角相等,这是今后证明两角相等常用的依据,其功效不亚于利用全等三角形证明两角相等.
2、推论1的发现与证明
投影显示:
由学生观察发现,等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.
启发学生自己归纳得出:顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
学生口述证明过程.
教师指出:等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线、底边上的高这“三线合一”的性质有多重功能,可以证明两线段相等,两个角相等以及两条直线的互相垂直,也可证线段成角的倍分问题。
3、推论2的发现与证明
投影显示:
一般学生都能发现等边三角形的三个内角都为.然后启发学生与等腰三角形的“三线合一”作类比,自己得出等边三角形的“三线合一”.
4、定理及其推论的应用
解:(1)(2)另外两内角分别为:(3)
小结:渗透分类思想,培养思维的严密性.
例2、已知:如图,点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE
求证:BD=CE
证明:作AF⊥BC,,垂足为F,则AF⊥DE
∵AB=AC,AD=AE(已知)
AF⊥BC,AF⊥DE(辅助线作法)
∴BF=CF,DF=EF(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)
∴BD=CE
强调说明:等腰三角形中的“三线合一”常常作为解决等腰三角形问题的辅助线,添加辅助线时,有时作顶角的平分线,有时作底边中线,有时作底边的高,有时作哪条线都可以,有时却不能,还要根据实际情况来定.
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知识结构
重点与难点分析:
本节内容的重点是及其推论。等腰三角形两底角相等(等边对等角)是证明同一三角形中两角相等的重要依据;而在推论中提到的等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线三线合一这条重要性质也是证明两线段相等,两个角相等及两直线互相垂直的重要依据。为证明线段相等,角相等或垂直平提供了方法,在选择时注意灵活运用。
本节内容的难点是文字题的证明。对文字题的证明,首先分析出命题的题设和结论,结合题意画出草图形,然后根据图形写出已知、求证,做到不重不漏,从而转化为一般证明题。这些环节是学生感到困难的。
教法建议:
数学教学的核心是学生的“再创造”.根据这一指导思想,本节课教学可通过精心设置的一个个问题链,激发学生的求知欲,最终在老师的指导下发现问题、解决问题.为了充分调动学生的积极性,使学生变被动学习为主动学习,本课教学拟用启发式问题教学法.具体说明如下:
(1)发现问题
本节课开始,先投影显示图形及问题,让学生观察并发现结论。提出问题让学生思考,创设问题情境,激发学生学习的欲望和要求.
(2)解决问题
对所得到的结论通过教师启发,让学生完成证明.指导学生归纳总结,从而顺其自然得到本节课的一个定理及其两个推论.多让学生亲自实践,参与探索发现,领略知识形成过程,这是课堂教学的基本思想和教学理念.
(3)加深理解
学生学习的过程是对知识的消化和理解的过程,通过例题的解决,提高和完善对定理及其推论理解。这一过程采用讲练结合、适时点拨的教学方法,把学生的注意力紧紧吸引在解决问题身上,让学生的思维活动在老师的引导下层层展开,让中国学习联盟胆参与课堂教学,使他们“听”有所“思”、“练”有所“获”,使传授知识与培养能力融为一体。一.教学目标:
1.掌握定理的证明及这个定理的两个推论;
2.会运用证明线段相等;
3.使学生掌握一般文字题的证明;
4.通过文字题的证明,提高学生几何三种语言的互译能力;
5.逐步培养学生逻辑思维能力及分析实际问题解决问题的能力;
6.渗透对称的数学思想,培养学生数学应用的观点;
二.教学重点:及其推论
三.教学难点:文字题的证明
四.教学用具:直尺,微机
五.教学方法:问题探究法
六.教学过程:
1、性质定理的发现与证明
(1)投影显示:
一般学生都能发现等腰三角形的两个底角相等(若有其它发现也要给予肯定),
(2)提醒学生:凭观察作出的判断准确吗?怎样证明你的判断?
师生讨论后,确定用全等三角形证明,学生亲自动手作出证明.证明略.
教师指出:定理提示了三角形边与角的转化关系,由两边相等转化为两角相等,这是今后证明两角相等常用的依据,其功效不亚于利用全等三角形证明两角相等.
2、推论1的发现与证明
投影显示:
由学生观察发现,等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.
启发学生自己归纳得出:顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
学生口述证明过程.
教师指出:等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线、底边上的高这“三线合一”的性质有多重功能,可以证明两线段相等,两个角相等以及两条直线的互相垂直,也可证线段成角的倍分问题。
3、推论2的发现与证明
投影显示:
一般学生都能发现等边三角形的三个内角都为.然后启发学生与等腰三角形的“三线合一”作类比,自己得出等边三角形的“三线合一”.
4、定理及其推论的应用
解:(1)(2)另外两内角分别为:(3)
小结:渗透分类思想,培养思维的严密性.
例2、已知:如图,点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE
求证:BD=CE
证明:作AF⊥BC,,垂足为F,则AF⊥DE
∵AB=AC,AD=AE(已知)
AF⊥BC,AF⊥DE(辅助线作法)
∴BF=CF,DF=EF(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)
∴BD=CE
强调说明:等腰三角形中的“三线合一”常常作为解决等腰三角形问题的辅助线,添加辅助线时,有时作顶角的平分线,有时作底边中线,有时作底边的高,有时作哪条线都可以,有时却不能,还要根据实际情况来定.
例3、已知:如图,D是等边△ABC内一点,DB=DA,BP=AB,DBP=DBC
求证:P=
证明:连结OC
在△BPD和△BCD中
在△ADC和△BCD中
因此,P=
例4求证:等腰三角形两腰上中线的交点到底边两端点的距离相等
已知:如图,AB=AC,BD、CE分别为AC边、AB边的中线,它们相交于F点
求证:BF=CF
证明:∵BD、CE是△ABC的两条中线,AB=AC
∴AD=AE,BE=CD
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE
∴1=2
在△BEF和△CED中
∴△BEF≌△CED
∴BF=FC
设想:例1到例4,由易到难地安排学生对新授内容的练习和巩固.在以上教学中,特别注意“一般解题方法”的运用.
在四个例题的教学中,充分发挥学生与学生之间的互补性,从而提高认识,完善认知结构,使课堂成为学生发挥想象力和创造性的“学堂”
5、反馈练习:
出示图形及题目:
将实际问题数学化,培养学生应用能力。
6、课堂小结:
教师引导学生小结
(1)、
(2)、等边三角形的性质
(3)、文字证明题的书写步骤
7、布置作业:
a、书面作业P96#1、2
b、上交作业P96#4、7、8
c、思考题:
已知:如图:在△ABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,∠AEF=∠AFE.
求证:EF⊥BC
证明:作BC边上的高AM,M为垂足
∵AM⊥BC
∴∠BAM=∠CAM
又∵∠BAC为△AEF的外角
∴∠BAC=∠E+∠EFA
即∠BAM+∠CAM=∠E=∠EFA
∵∠AEF=∠AFE
∴∠CAM=∠E
∴EF∥AM
∵AM⊥BC
∴EF⊥BC
七.板书设计:
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