九年级切线的判定导学案
时间：2022-02-05 七年级语文导学案 切线的判定和性质学习目标：1、理解切线的判定定理并会运用定理解决简单的问题．
2、培养学生观察、分析、归纳等解决数学问题的能力；
学习重、难点：定理的理解及实际运用
学习过程：
一、创设情境引入新课
1、你知道下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星，是沿什么方向飞出的吗？
2、温故知新
（1）直线与圆的位置关系有种，分别是：
（2）判断直线与圆的位置关系的方法：
(3)你有哪些判断直线与圆相切的方法？
二、独立自学发现新知
自学教材97页，并完成下列问题中的“做一做”、“想一想”。
三、合作互学探索新知
做一做已知圆⊙o和⊙o上一点a，你能不能过点a作出圆的切线？如何作？有什么依据？你有什么新的发现？
想一想（1）这条直线必须同时满足个条件：,才是圆的切线。
（2）只满足一个条件可以吗？举例说明。
（3）用符号语言描述为：
考一考(1)判断下列说法是否正确
与圆有公共点的直线是圆的切线.（）
经过圆的半径外端的直线是圆的切线.（）
垂直于圆的半径的直线是圆的切线.（）
经过半径的端点且与半径垂直的直线是圆的切线.（）
到圆心距离等于半径的直线是圆的切线.（）
(2)回答创设情境中的问题。
理一理判断直线与圆相切有哪些方法？
四、精讲导学理解新知
例如图，直线ab经过⊙o上的点c，并且oa=ob，ca=cb，求证：直线ab是⊙o的切线。
变式如图，已知oa=ob，∠a=300，以点o为圆心、oa为半径作⊙o。试判断直线ab是⊙o的位置关系，并说明理由。
想一想例题与变式有那些共同点和不同点?（从已知条件和证明方法比较）
理一理证明直线是圆的切线时常添加辅助线有：
五、展示竞学深化新知
如图，四边形abcd内接于⊙o，bd是⊙o的直径，ae⊥cd，垂足为e，da平分∠bde。
平分∠bde，
（1）判断ae与⊙o的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠dbc=30°，de=1cm，求bd的长。
六、小结评学升华新知
一个定理
两种常见辅助线
三种方法
七、检测固学运用新知
1、如图：ab为⊙o的直径，圆周角∠bac=50°，当∠acd=时，cd为⊙o的切线．
2、在rt△abc中,∠b=90°,∠bac的平分线交bc于d,以d为圆心,db长为半径作⊙d。试说明:ac是⊙d的切线．
3、已知：如图，在中，，以为直径的⊙o交于点，过点作于点．求证：是⊙o的切线。
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七年级语文导学案
课题：幼时记趣
课标要求:
1.了解作者童年生活的乐趣,这种乐趣体现了作者的纯真的童心和视小为大、想象奇特的童趣。
2.认识观察与想象、联想的关系.
3.要求学生借助注释和词典及老师的适当点拨,读懂这篇文言文。
教材简析：
这是作者追记童年生活的一篇极有情趣的散文.文章围绕“记趣”这一中心，选取三个典型事例进行记叙.
教学建议:语气
1.本文是学生初中阶段语文课上学的第一篇文言文,应引导学生对照注释,查阅有关工具书,读准字音,初步读懂文章,并指导学生正确朗读课文,做到停顿正确,不读破句子,注意语调、语气.
2.要求学生重点识记文中常见的文言实词和虚词的意义和用法,如文中的明察秋毫、故、私、拟、强、怡然称快、神游、庞然大物、拔山倒树、方、之、以、或、其、盖等。
3.注意讲清课文的省略句：如“群鹤舞（于）空”“使（之）与台齐”“驱之（于）别院”等；固定句式:“作……观”“以……为……”“……为所……”等.
4.要求学生用现代汉语正确翻译全文。
5.在读懂文章的基础上，要求学生对文章的内容进行概括.文章写了什么样的童年生活?“物外之趣”有哪几件?
6.补充一篇课外文言文。
7.研究“物外之趣”
怎么会产生“物外之趣”的?
“物外之趣”反映了作者什么样的童心、童趣?
说说你童年的一些趣事,以此来拓展课文内容,加强口头表达训练。
课堂展示:
1.预习一测1.2
2.试总结文中“之”“其”虚词的用法及含义.
3.课内一练2.3（见79页）
4.用现代汉语说出下列句子的意思.（见79页）
5.“观文如鹤”这种现象能存在吗?应怎样解释这种现象呢?（从而引出“心之所向”,观察、想象、联想的关系）
6.在文中找出你认为有趣的地方,并说说“趣”在哪里?本文写了几件趣事?（并由此导出文章结构形式）
7.发掘潜力（见80页）
8.童年时美好的,冰心老人赞其为“真中的梦,梦中的真,是回忆时含泪的微笑。”现请你调动自己的积累,以童年为话题,说一句很美的话.例：童年是记忆天幕上永远善良的星星;童年是妈妈的摇车,不停的摇啊摇;童年是一支自己射出很远飞逝不见的箭。
9.补充课外文言文《滥竽充数》（见81页）
10.我来说自己的童年、童年里那有趣的故事。
学生小结其收获:
教学后记:
七年级生物下人的由来导学案
导学2第二节人的生殖
【学习目标】
1．概述男性和女性生殖系统的结构，说出它们的功能。
2．描述受精过程以及胚胎发育过程。
3．运用观察的方法，识别有关的插图和模型。
4．与父母交流自己对生育和养育的认识，增进敬爱父母的情感。
【学习重、难点】
1.男性和女性生殖系统的结构及功能.
2.受精过程以及胚胎发育过程.
3.识别有关的插图和模型.
【学习过程】
自主学习
任务一：
观察图片iv-3到iv-6并阅读p8内容，完成下列问题：
1、在课本上分别标出图iv-4iv-6中各生殖器官的名称。
2、男性生殖系统中，产生生殖细胞的器官是，输送生殖细胞的器官是。
3、女性生殖系统中，产生生殖细胞的是，输送生殖细胞的器官是。
4、子宫是的场所。
任务二：
阅读课文并观察图iv-7，找出以下问题的答案。
5、受精是指和相结合的过程
6、受精卵形成的部位是。
7、受精卵不断进行，逐渐发育成，缓慢地移动到子宫中，最终植入，这是怀孕的开始。
任务三：
阅读p10及p9上边小字内容，完成下列问题：
8、胚泡在子宫内继续发育，逐渐发育成胚胎，并于怀孕周左右发育成。
9、胎儿生活在子宫内半透明的液体——中，通过和
从母体获得和；胎儿每时每刻产生的等废物，也是通过经母体排出。
10、胎儿与母体进行物质交换的器官是。
任务四：
阅读课文p11~12观察图iv-10，完成下列问题：
11、分娩是指。
12、从受精卵形成到胎儿成熟，大约要经过天大约周。
13、正常情况下，分娩时，婴儿的先产出。在产出前，胎儿的正常体位是向下。
二、合作探究
怀孕的妇女可以说是一切生理活动都是进行两个人的，所以十分辛苦，分娩的过程更是一个十分痛苦的过程，甚至个别情况下还有生命危险。父母把子女养育成人更是不容易，我们应该怎样铭记这份父母恩，如何回报父母呢？
三、系统总结
男性→↘
受精卵→
女性→↗
四、生活链接
胎儿的血型与母体可以不相同，在一般情况下不发生血液凝集是因为母体与胎儿的血液不直接相通。
五、反馈检测
14、一个人的生命是从开始的。
15、睾丸的功能是产生和分泌；卵巢的功能是产生
和分泌。
16、子宫是的场所。
17、受精卵的形成是在中，到达子宫中时已经发育成，最终植入，完成受孕。
18、从月末开始，胚胎呈现出人形，从这时起到出生的胚胎，叫。
19、想一想，胚胎发育初期所需的营养物质是由提供的？
切线的判定性质的教学方案
（一）
教学目标：
1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；
2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．
教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；
教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．
教学过程设计
（一）复习、发现问题
1．直线与圆的三种位置关系
在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
２、观察、提出问题、分析发现（教师引导）
图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?
如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．
发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．
（二）切线的判定定理：
1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2、对定理的理解：
引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．
图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．
（三）切线的判定方法
教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．
（四）应用定理，强化训练'
例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．
求证：直线AB是⊙O的切线．
分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
证明：连结0C
∵0A＝0B，CA＝CB，”
∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线．
∴AB⊥OC．
直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线．
练习1判断下列命题是否正确．
(1)经过半径外端的直线是圆的切线．
(2)垂直于半径的直线是圆的切线．
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线．
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切．
采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由，
练习P106，1、2
目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）
（五）小结
1、知识：切线的判定定理．着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可．
2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：
(1)根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．
(3)根据切线的判定定理来判定．
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一．
3、能力：初步会应用切线的判定定理．
（六）作业P115中2、4、5；P117中B组1．
（二）
教学目标：
1、使学生理解切线的性质定理及推论；
2、通过对圆的切线位置关系的观察，培养学生能从几何图形的直观位置归纳出几何性质的能力；
教学重点：切线的性质定理和推论1、推论2．
教学难点：利用“反证法”来证明切线的性质定理．
教学设计：
（一）基本性质
1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）
2、归纳：（引导学生完成）
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
猜想：圆的切线垂直于经过切点的半径．
引导学生应用“反证法”证明．分三步：
(1)假设切线AT不垂直于过切点的半径OA，
(2)同时作一条AT的垂线OM．通过证明得到矛盾，OM＜OA这条半径．则有直线和圆的位置关系中的数量关系，得AT和⊙O相交与题设相矛盾．
(3)承认所要的结论AT⊥AO．
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
指出：定理中题设和结论中涉及到的三个要点：切线、切点、垂直．
引导学生发现：
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心．
引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论问的关系，总结出如下结论：
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．
(1)垂直于切线；
(2)过切点；
(3)过圆心．
(二)归纳切线的性质
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）
（三）应用举例，强化训练．
例1、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．
求证：AC平分∠DAB．
引导学生分析：条件CD是⊙O的切线，可得什么结论；由AD⊥CD，又可得什么．
证明：连结OC．
∴AC平分∠DAB．
例2、求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。
已知：AB、CD是⊙O的两条切线，E、F为切点,且AB∥CD
求证：连结E、F的线段是直径。
证明：连结EO并延长
∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD．
∵CD是⊙O切线，F为切点，∴OE必过切点F
∴EF为⊙O直径
强化训练：P109，1
3、求证：经过直径两端点的切线互相平行。
已知：AB为⊙O直径，MN、CD为⊙O切线，切点为A、B
求证：MN∥CD
证明：∵MN切⊙O于A，AB为⊙O直径
∴MN⊥AB
∵CD切⊙O于B，B为半径外端
∴CD⊥AB，
∴MN∥CD．
（四）小结
1、知识：切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）
2、能力和方法：
凡是题目中给出切线的切点，往往“连结”过切点的半径．从而运用切线的性质定理，产生垂直的位置关系．
（五）作业教材P109练习2；教材P116中7．
（三）
教学目标：
1、使学生学能灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；
2、掌握运用切线的性质和切线的判定的有关问题中辅助线引法的基本规律；
3、通过对切线的综合型例题分析和论证，激发学生的思维．
教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用．
教学难点：综合型例题分析和论证的思维过程．
教学设计：
（一）复习与归纳
1、切线的判定
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2、切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）
(二)灵活应用
例1（P108例3）、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．
证明：连结OD．
∵OA=OD，∴∠1=∠2，
∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4
∴∠3=∠4
在△OBC和△ODC中，
OB=OD，∠3=∠4，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC．
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°．
∴DC是⊙O的切线．
例2（P110例4）、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切．
证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为F．
∵AB与小圆O切于点点E，∴OE⊥AB．
又∵AB=CD，
∴OF=OE，又OF⊥CD，
∴CD与小圆O相切．
学生归纳：（1）证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径．）；
（2）“连结”过切点的半径，产生垂直的位置关系．
例3、已知：AB是半⊙O直径，CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点
求证：CE=CF
证明：连结OE
∵BE=BO∴∠3=∠B
∵CE切⊙O于E
∴OE⊥CE∠2+∠3=90°
∵CD⊥AB∴∠4+∠B=90°
∴∠2=∠4
∵∠1=∠4∴∠1=∠2
∴CE=CF
以上例题让学生自主分析、论证，教师指导书写规范，观察学生推理的严密性和学生共同存在的问题，及时解决．
巩固练习：P111练习1、2．
（三）小结：
1、知识：（指导学生归纳）切线的判定方法和切线的性质
2、能力：①灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；②作辅助线的能力和技巧．
（四）作业：教材P115，1（1）、2、3．
探究活动
问题：（北京西城区，2002）已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C．
(1)当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；
(2)当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线(不写做法，保留作固痕迹)，设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；
猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请对称的猜想加以证明．
解：(1)测量结果：
(2)图2中的测量结果：
图3中的测量结果：
猜想：
证明：
解：(1)测量结果：∠CDP=45°．
(2)图2中的测量结果：∠CDP=45°．
图3中的测量结果：∠CDP=45°．
猜想：∠CDP=45°，不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化．
证明：连结OC．
∵PC切⊙O于点C，
∴PC⊥OC，
∴∠1+∠CPO=90°，
∵PC平分∠APC，
∴∠2=1/2∠CPO．
∵OA=OC
∴∠A=∠3．
∴∠1=∠A+∠3，
∴∠A=1/2∠1．
∴∠CDP=∠A+∠2=1/2（∠1+∠CPO）=45°．
∴猜想正确．
经典初中教案切线的判定性质
（一）
教学目标：
1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；
2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．
教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；
教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．
教学过程设计
（一）复习、发现问题
1．直线与圆的三种位置关系
在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
２、观察、提出问题、分析发现（教师引导）
图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?
如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．
发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．
（二）切线的判定定理：
1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2、对定理的理解：
引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．
图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．
（三）切线的判定方法
教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．
（四）应用定理，强化训练'
例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．
求证：直线AB是⊙O的切线．
分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
证明：连结0C
∵0A＝0B，CA＝CB，”
∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线．
∴AB⊥OC．
直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线．
练习1判断下列命题是否正确．
(1)经过半径外端的直线是圆的切线．
(2)垂直于半径的直线是圆的切线．
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线．
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切．
采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由，
练习P106，1、2
目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）
（五）小结
1、知识：切线的判定定理．着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可．
2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：
(1)根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．
(3)根据切线的判定定理来判定．
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一．
3、能力：初步会应用切线的判定定理．
（六）作业P115中2、4、5；P117中B组1．
（二）
教学目标：
1、使学生理解切线的性质定理及推论；
2、通过对圆的切线位置关系的观察，培养学生能从几何图形的直观位置归纳出几何性质的能力；
教学重点：切线的性质定理和推论1、推论2．
教学难点：利用“反证法”来证明切线的性质定理．
教学设计：
（一）基本性质
1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）
2、归纳：（引导学生完成）
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
猜想：圆的切线垂直于经过切点的半径．
引导学生应用“反证法”证明．分三步：
(1)假设切线AT不垂直于过切点的半径OA，
(2)同时作一条AT的垂线OM．通过证明得到矛盾，OM＜OA这条半径．则有直线和圆的位置关系中的数量关系，得AT和⊙O相交与题设相矛盾．
(3)承认所要的结论AT⊥AO．
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
指出：定理中题设和结论中涉及到的三个要点：切线、切点、垂直．
引导学生发现：
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心．
引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论问的关系，总结出如下结论：
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．
(1)垂直于切线；
(2)过切点；
(3)过圆心．
(二)归纳切线的性质
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）
（三）应用举例，强化训练．
例1、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．
求证：AC平分∠DAB．
引导学生分析：条件CD是⊙O的切线，可得什么结论；由AD⊥CD，又可得什么．
证明：连结OC．
∴AC平分∠DAB．
例2、求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。
已知：AB、CD是⊙O的两条切线，E、F为切点,且AB∥CD
求证：连结E、F的线段是直径。
证明：连结EO并延长
∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD．
∵CD是⊙O切线，F为切点，∴OE必过切点F
∴EF为⊙O直径
强化训练：P109，1
3、求证：经过直径两端点的切线互相平行。
已知：AB为⊙O直径，MN、CD为⊙O切线，切点为A、B
求证：MN∥CD
证明：∵MN切⊙O于A，AB为⊙O直径
∴MN⊥AB
∵CD切⊙O于B，B为半径外端
∴CD⊥AB，
∴MN∥CD．
（四）小结
1、知识：切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）
2、能力和方法：
凡是题目中给出切线的切点，往往“连结”过切点的半径．从而运用切线的性质定理，产生垂直的位置关系．
（五）作业教材P109练习2；教材P116中7．
（三）
教学目标：
1、使学生学能灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；
2、掌握运用切线的性质和切线的判定的有关问题中辅助线引法的基本规律；
3、通过对切线的综合型例题分析和论证，激发学生的思维．
教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用．
教学难点：综合型例题分析和论证的思维过程．
教学设计：
（一）复习与归纳
1、切线的判定
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2、切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）
(二)灵活应用
例1（P108例3）、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．
证明：连结OD．
∵OA=OD，∴∠1=∠2，
∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4
∴∠3=∠4
在△OBC和△ODC中，
OB=OD，∠3=∠4，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC．
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°．
∴DC是⊙O的切线．
例2（P110例4）、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切．
证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为F．
∵AB与小圆O切于点点E，∴OE⊥AB．
又∵AB=CD，
∴OF=OE，又OF⊥CD，
∴CD与小圆O相切．
学生归纳：（1）证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径．）；
（2）“连结”过切点的半径，产生垂直的位置关系．
例3、已知：AB是半⊙O直径，CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点
求证：CE=CF
证明：连结OE
∵BE=BO∴∠3=∠B
∵CE切⊙O于E
∴OE⊥CE∠2+∠3=90°
∵CD⊥AB∴∠4+∠B=90°
∴∠2=∠4
∵∠1=∠4∴∠1=∠2
∴CE=CF
以上例题让学生自主分析、论证，教师指导书写规范，观察学生推理的严密性和学生共同存在的问题，及时解决．
巩固练习：P111练习1、2．
（三）小结：
1、知识：（指导学生归纳）切线的判定方法和切线的性质
2、能力：①灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；②作辅助线的能力和技巧．
（四）作业：教材P115，1（1）、2、3．
探究活动
问题：（北京西城区，2002）已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C．
(1)当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；
(2)当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线(不写做法，保留作固痕迹)，设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；
猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请对称的猜想加以证明．
解：(1)测量结果：
(2)图2中的测量结果：
图3中的测量结果：
猜想：
证明：
解：(1)测量结果：∠CDP=45°．
(2)图2中的测量结果：∠CDP=45°．
图3中的测量结果：∠CDP=45°．
猜想：∠CDP=45°，不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化．
证明：连结OC．
∵PC切⊙O于点C，
∴PC⊥OC，
∴∠1+∠CPO=90°，
∵PC平分∠APC，
∴∠2=1/2∠CPO．
∵OA=OC
∴∠A=∠3．
∴∠1=∠A+∠3，
∴∠A=1/2∠1．
∴∠CDP=∠A+∠2=1/2（∠1+∠CPO）=45°．
∴猜想正确．
数学教案－切线的判定性质教案模板
切线的判定和性质（一）
教学目标：
1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；
2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．
教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；
教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．
教学过程设计
（一）复习、发现问题
1．直线与圆的三种位置关系
在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
２、观察、提出问题、分析发现（教师引导）
图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?
如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．
发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．
（二）切线的判定定理：
1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2、对定理的理解：
引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．
图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．
（三）切线的判定方法
教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．
（四）应用定理，强化训练
例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．
求证：直线AB是⊙O的切线．
分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
证明：连结0C
∵0A＝0B，CA＝CB，”
∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线．
∴AB⊥OC．
直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线．
练习1判断下列命题是否正确．
(1)经过半径外端的直线是圆的切线．
(2)垂直于半径的直线是圆的切线．
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线．
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切．
采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由，
练习P106，1、2
目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）
（五）小结
1、知识：切线的判定定理．着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可．
2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：
(1)根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．
(3)根据切线的判定定理来判定．
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一．
3、能力：初步会应用切线的判定定理．
（六）作业P115中2、4、5；P117中B组1．
切线的判定和性质（二）
教学目标：
1、使学生理解切线的性质定理及推论；
2、通过对圆的切线位置关系的观察，培养学生能从几何图形的直观位置归纳出几何性质的能力；
教学重点：切线的性质定理和推论1、推论2．
教学难点：利用“反证法”来证明切线的性质定理．
教学设计：
（一）基本性质
1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）
2、归纳：（引导学生完成）
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
猜想：圆的切线垂直于经过切点的半径．
引导学生应用“反证法”证明．分三步：
(1)假设切线AT不垂直于过切点的半径OA，
(2)同时作一条AT的垂线OM．通过证明得到矛盾，OM＜OA这条半径．则有直线和圆的位置关系中的数量关系，得AT和⊙O相交与题设相矛盾．
(3)承认所要的结论AT⊥AO．
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
指出：定理中题设和结论中涉及到的三个要点：切线、切点、垂直．
引导学生发现：
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心．
引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论问的关系，总结出如下结论：
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．
(1)垂直于切线；
(2)过切点；
(3)过圆心．
(二)归纳切线的性质
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）
（三）应用举例，强化训练．
例1、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．
求证：AC平分∠DAB．
引导学生分析：条件CD是⊙O的切线，可得什么结论；由AD⊥CD，又可得什么．
证明：连结OC．
∴AC平分∠DAB．
例2、求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。
已知：AB、CD是⊙O的两条切线，E、F为切点,且AB∥CD
求证：连结E、F的线段是直径。
证明：连结EO并延长
∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD．
∵CD是⊙O切线，F为切点，∴OE必过切点F
∴EF为⊙O直径
强化训练：P109，1
3、求证：经过直径两端点的切线互相平行。
已知：AB为⊙O直径，MN、CD为⊙O切线，切点为A、B
求证：MN∥CD
证明：∵MN切⊙O于A，AB为⊙O直径
∴MN⊥AB
∵CD切⊙O于B，B为半径外端
∴CD⊥AB，
∴MN∥CD．
（四）小结
1、知识：切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）
2、能力和方法：
凡是题目中给出切线的切点，往往“连结”过切点的半径．从而运用切线的性质定理，产生垂直的位置关系．
（五）作业教材P109练习2；教材P116中7．
切线的判定和性质（三）
教学目标：
1、使学生学能灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；
2、掌握运用切线的性质和切线的判定的有关问题中辅助线引法的基本规律；
3、通过对切线的综合型例题分析和论证，激发学生的思维．
教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用．
教学难点：综合型例题分析和论证的思维过程．
教学设计：
（一）复习与归纳
1、切线的判定
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2、切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）
(二)灵活应用
例1（P108例3）、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．
证明：连结OD．
∵OA=OD，∴∠1=∠2，
∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4
∴∠3=∠4
在△OBC和△ODC中，
OB=OD，∠3=∠4，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC．
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°．
∴DC是⊙O的切线．
例2（P110例4）、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切．
证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为F．
∵AB与小圆O切于点点E，∴OE⊥AB．
又∵AB=CD，
∴OF=OE，又OF⊥CD，
∴CD与小圆O相切．
学生归纳：（1）证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径．）；
（2）“连结”过切点的半径，产生垂直的位置关系．
例3、已知：AB是半⊙O直径，CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点
求证：CE=CF
证明：连结OE
∵BE=BO∴∠3=∠B
∵CE切⊙O于E
∴OE⊥CE∠2+∠3=90°
∵CD⊥AB∴∠4+∠B=90°
∴∠2=∠4
∵∠1=∠4∴∠1=∠2
∴CE=CF
以上例题让学生自主分析、论证，教师指导书写规范，观察学生推理的严密性和学生共同存在的问题，及时解决．
巩固练习：P111练习1、2．
（三）小结：
1、知识：（指导学生归纳）切线的判定方法和切线的性质
2、能力：①灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；②作辅助线的能力和技巧．
（四）作业：教材P115，1（1）、2、3．
探究活动
问题：（北京西城区，2002）已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C．
(1)当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；
(2)当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线(不写做法，保留作固痕迹)，设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；
猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请对称的猜想加以证明．
解：(1)测量结果：
(2)图2中的测量结果：
图3中的测量结果：
猜想：
证明：
解：(1)测量结果：∠CDP=45°．
(2)图2中的测量结果：∠CDP=45°．
图3中的测量结果：∠CDP=45°．
猜想：∠CDP=45°，不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化．
证明：连结OC．
∵PC切⊙O于点C，
∴PC⊥OC，
∴∠1+∠CPO=90°，
∵PC平分∠APC，
∴∠2=1/2∠CPO．
∵OA=OC
∴∠A=∠3．
∴∠1=∠A+∠3，
∴∠A=1/2∠1．
∴∠CDP=∠A+∠2=1/2（∠1+∠CPO）=45°．
∴猜想正确．
切线的判定性质相关教学方案
（一）
教学目标：
1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；
2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．
教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；
教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．
教学过程设计
（一）复习、发现问题
1．直线与圆的三种位置关系
在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
２、观察、提出问题、分析发现（教师引导）
图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?
如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．
发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．
（二）切线的判定定理：
1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2、对定理的理解：
引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．
图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．
（三）切线的判定方法
教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．
（四）应用定理，强化训练'
例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．
求证：直线AB是⊙O的切线．
分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
证明：连结0C
∵0A＝0B，CA＝CB，”
∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线．
∴AB⊥OC．
直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线．
练习1判断下列命题是否正确．
(1)经过半径外端的直线是圆的切线．
(2)垂直于半径的直线是圆的切线．
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线．
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切．
采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由，
练习P106，1、2
目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）
（五）小结
1、知识：切线的判定定理．着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可．
2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：
(1)根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．
(3)根据切线的判定定理来判定．
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一．
3、能力：初步会应用切线的判定定理．
（六）作业P115中2、4、5；P117中B组1．
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经典初中教案九年级上二次函数应用导学案
《二次函数应用》导学案
学习目标
1．掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题
2．将实际问题转化为数学问题，并运用二次函数的知识解决实际问题。
学习重点和难点
运用二次函数的知识解决实际问题
课前准备：
学习过程：
一、自主尝试
1.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）
a．b．c．d．
2．九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的线路为抛物线，建立如图的平面直角坐标系，设篮球出手后离地的水平距离为xm，高度为ym，求y关于x的函数解析式。
二、互动探究
例1如图，某喷灌设备的喷头b高出地面1.2m，如果喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与高度y(m)之间的关系为二次函数y=a(x-4)2+2.
求：（1）二次函数的解析式
（2）水流落地点d与喷头底部a的距离（精确到0.1）
例2：某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m.
（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？
练习：
1.小明是学校田径队的运动员，根据测试资料分析，他掷铅球的出手高度为2米，如果出手后铅球在空中飞行的水平距离与高度之间的关系式为，那么小明掷铅球的出手点与铅球落地点之间的水平距离大约是多少？
2.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度om为12米.现以o点为原点，om所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点m及抛物线顶点p的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”ad-dc-cb，使c、d点在抛物线上，a、b点在地面om上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
三、反馈检测：评价手册
四、课外作业：同步练习