数学教案－垂直于弦的直径的教学方案

我相信初中教师都接触过教案，教案在我们教师的教学中非常重要，每一位初中老师都要慎重考虑教案的设计，那么如何写一份初中教案？本站收集整理了一些“数学教案－垂直于弦的直径的教学方案”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

第一课时垂直于弦的直径（一）

教学目标：

(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；

(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；

(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．

教学重点、难点：

重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．

难点：垂径定理的证明．

教学学习活动设计：

（一）实验活动，提出问题：

1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．

（二）垂径定理及证明：

已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．

求证：AE=EB，=，=．

证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．因此，AE=BE，=，=．从而得到圆的一条重要性质．

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

组织学生剖析垂径定理的条件和结论：

CD为⊙O的直径，CD⊥ABAE=EB，=，=.

为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.

（三）应用和训练

例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．

分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．

解：连结OA，作OE⊥AB于E．

则AE=EB．

∵AB=8cm，∴AE=4cm．

又∵OE=3cm，

在Rt△AOE中，

(cm)．

∴⊙O的半径为5cm．

说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r=h+d；r2=d2+(a/2)2

例2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）

说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．

练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流．

指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

（四）小节与反思

教师组织学生进行：

知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．

方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．

（五）作业

教材P84中11、12、13．

第二课时垂直于弦的直径（二）

教学目标：

（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；

（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力．促进学生创造思维水平的发展和提高

（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系．

教学重点、难点：

重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法．

难点：垂径定理的推论1．

学习活动设计：

(一)分解定理（对定理的剖析）

1、复习提问：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.

2、剖析：

（教师指导）

(二)新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导）

，，……（包括原定理，一共有10种）

(三)探究新问题，归纳新结论：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

（4）圆的两条平行线所夹的弧相等.

(四)巩固练习：

练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?

（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件．）

练习2、按图填空：在⊙O中，

（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；

（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则则________，________，________；

（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；

（4）若=，MN为直径，则________，________，________．

（此题目的：巩固定理和推论）

（五）应用、反思

例、四等分．

（A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）

教材P80中的第3题图，是典型的错误作.

此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解．培养学生的思维能力．

（六）小结：

知识：垂径定理的两个推论．

能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图．

（七）作业：教材P84中14题．

第三课时垂径定理及推论在解题中的应用

教学目的：

⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.

⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.

⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想

教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用

教学难点：如何进行辅助线的添加

教学内容：

(一)复习

1．垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴直线过圆心；⑵垂直于弦；⑶平分弦；⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.

2．应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）

涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r=h+d;r2=d2+(a/2)2

3．常添加的辅助线：（学生归纳）

⑴作弦心距；⑵作半径.------构造直角三角形

4．可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.

(二)应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）

例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米)．

说明：①对学生进行爱国主义的教育；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题．

例2、已知：⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8.求：AB与CD间的距离.（让学生画图）

解：分两种情况：

（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧

过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，

又∵AB∥CD，∴EF⊥CD．（作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）

由EF过圆心O，EF⊥AB，AB=6，得AE=3，

在Rt△OEA中，由勾股定理，得

，∴

同理可得：OF=3

∴EF=OE+OF=4+3=7．

（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧

同（1）的方法可得：OE=4，OF=3．

∴．

说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力．

例3、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB，AB=24，OC=15.求：BC的长.

解：（略，过O作OE⊥AE于E，过B作BF⊥OC于F，连结OB.BC=）

说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.

（三）应用训练：

P8l中1题．

在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后．截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．

学生分析，教师适当点拨．

分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决．

（四）小结：

1.垂径定理及其推论的应用注意指明条件.

2.应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.

(五)作业：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题．

探究活动

如图，直线MN与⊙O交于点A、B，CD是⊙O的直径，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.

（1）线段AE、BF之间存在怎样的关系？线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系？并说明理由.

（2）当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.

（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足）

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经典初中教案垂直于弦的直径

第一课时（一）

教学目标：

(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；

(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；

(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．

教学重点、难点：

重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．

难点：垂径定理的证明．

教学学习活动设计：

（一）实验活动，提出问题：

1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．

（二）垂径定理及证明：

已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．

求证：AE=EB，=，=．

证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．因此，AE=BE，=，=．从而得到圆的一条重要性质．

垂径定理：平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

组织学生剖析垂径定理的条件和结论：

CD为⊙O的直径，CD⊥ABAE=EB，=，=.

为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.

（三）应用和训练

例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．

分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．

解：连结OA，作OE⊥AB于E．

则AE=EB．

∵AB=8cm，∴AE=4cm．

又∵OE=3cm，

在Rt△AOE中，

(cm)．

∴⊙O的半径为5cm．

说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r=h+d；r2=d2+(a/2)2

例2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）

说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．

练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流．

指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

（四）小节与反思

教师组织学生进行：

知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．

方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．

（五）作业

教材P84中11、12、13．

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垂直于弦的直径初中教案精选

第一课时（一）

教学目标：

(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；

(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；

(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．

教学重点、难点：

重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．

难点：垂径定理的证明．

教学学习活动设计：

（一）实验活动，提出问题：

1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．

（二）垂径定理及证明：

已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．

求证：AE=EB，=，=．

证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．因此，AE=BE，=，=．从而得到圆的一条重要性质．

垂径定理：平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

组织学生剖析垂径定理的条件和结论：

CD为⊙O的直径，CD⊥ABAE=EB，=，=.

为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.

（三）应用和训练

例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．

分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．

解：连结OA，作OE⊥AB于E．

则AE=EB．

∵AB=8cm，∴AE=4cm．

又∵OE=3cm，

在Rt△AOE中，

(cm)．

∴⊙O的半径为5cm．

说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r=h+d；r2=d2+(a/2)2

例2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）

说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．

练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流．

指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

（四）小节与反思

教师组织学生进行：

知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．

方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．

（五）作业

教材P84中11、12、13．

第二课时（二）

教学目标：

（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；

（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力．促进学生创造思维水平的发展和提高

（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系．

教学重点、难点：

重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法．

难点：垂径定理的推论1．

学习活动设计：

(一)分解定理（对定理的剖析）

1、复习提问：定理：平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.

2、剖析：

（教师指导）

(二)新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导）

，，……（包括原定理，一共有10种）

(三)探究新问题，归纳新结论：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

（4）圆的两条平行线所夹的弧相等.

(四)巩固练习：

练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?

（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件．）

练习2、按图填空：在⊙O中，

（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；

（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则则________，________，________；

（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；

（4）若=，MN为直径，则________，________，________．

（此题目的：巩固定理和推论）

（五）应用、反思

例、四等分．

（A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）

教材P80中的第3题图，是典型的错误作.

此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解．培养学生的思维能力．

（六）小结：

知识：垂径定理的两个推论．

能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图．

（七）作业：教材P84中14题．

第三课时垂径定理及推论在解题中的应用

教学目的：

⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.

⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.

⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想

教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用

教学难点：如何进行辅助线的添加

教学内容：

(一)复习

1．垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴直线过圆心；⑵垂直于弦；⑶平分弦；⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.

2．应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）

涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r=h+d;r2=d2+(a/2)2

3．常添加的辅助线：（学生归纳）

⑴作弦心距；⑵作半径.------构造直角三角形

4．可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.

(二)应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）

例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米)．

说明：①对学生进行爱国主义的教育；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题．

例2、已知：⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8.求：AB与CD间的距离.（让学生画图）

解：分两种情况：

（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧

过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，

又∵AB∥CD，∴EF⊥CD．（作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）

由EF过圆心O，EF⊥AB，AB=6，得AE=3，

在Rt△OEA中，由勾股定理，得

，∴

同理可得：OF=3

∴EF=OE+OF=4+3=7．

（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧

同（1）的方法可得：OE=4，OF=3．

∴．

说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力．

例3、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB，AB=24，OC=15.求：BC的长.

解：（略，过O作OE⊥AE于E，过B作BF⊥OC于F，连结OB.BC=）

说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.

（三）应用训练：

P8l中1题．

在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后．截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．

学生分析，教师适当点拨．

分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决．

（四）小结：

1.垂径定理及其推论的应用注意指明条件.

2.应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.

(五)作业：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题．

探究活动

如图，直线MN与⊙O交于点A、B，CD是⊙O的直径，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.

（1）线段AE、BF之间存在怎样的关系？线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系？并说明理由.

（2）当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.

（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足）

数学教案－的教学方案

第二节平面直角坐标系

一：教学目标

1：认识并能画出平面直角坐标系；能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。

2：经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识、合作交流意识。

二：教学重点

能画出平面直角坐标系；会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。

三：教学难点

能能建立平面直角坐标系；求出点的坐标，由点的位置写出它的坐标。

四：教学时间

三课时

五：教学过程

第一课时

一）引入新课

1：要在平面内确定一个地点的位置需要几个数据？

2：练习如图你能确定各个景点的位置吗？“大成殿”在“中心广场”西、南各多少个格？“碑林”在“中心广场”东、北各多少个格？

二）新课

1：我们可以以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴，分别取向右和向上的方向为数轴的正方向，一个方格的边长看做一个单位长度，你能表示出“碑林”的位置吗？“大成殿”的位置吗？（学生回答，老师小结）

2：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。（通常两条数轴成水平位置与铅直位置，取向上或向右为正方向，水平位置的数轴叫横轴，铅直位置的数轴叫纵轴，它们的公共原点叫直角坐标系的原点。）

3：两条坐标轴把平面分成四部分：右上部分叫第一象限，其它三部分按逆时针方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。

4：怎样求平面内点的坐标？

对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫该点的横坐标、纵坐标。

例1写出多边形ABCDEF各顶点的坐标

y

AB

FOCx

ED

5：想一想

（1）点A与B的纵坐标相同，线段AB的位置有什么特点？

（2）线段DB的位置有什么特点？

（3）坐标轴上点的坐标有什么特点？

6：练习P131做一做

三：小结（1）怎样画平面直角坐标系？

（2）怎样求平面内点的坐标？

（4）知道点的坐标怎样描出点？

四：作业P132

第二课时

一：复习

1）怎样画平面直角坐标系？

（学生练习画平面直角坐标系）

（2）怎样求平面内点的坐标？

y

A

BC

Ox

已知等边三角形的边长为2cm，求出各顶点的坐标？

（3）道点的坐标怎样描出点？

二：新课

例在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接起来。

（1）（-6，5），（-10，3），（-9，3），（-3，3），（-2，3），（-6，5）

（2）-9，3），（-9，0），（-3，0），（-3，3）

（3）（3.5,9）,(2,7),（3，7），（4，7），（5，7），（3.5，9）

（4）（3，7），（1，5），（2，5），（5，5），（6，5），（4，7）

（5）（2，5），（0，3），（3，3），（3，0），（4，0），（4，3），（7，3），（5，5）

观察所得的图形，你觉得它像什么？

y

Ox

三：练习P134做一做

四：作业P135习题5.4（1、2）

第三课时

一；新课引入与复习

1）怎样画平面直角坐标系？画平面直角坐标系时应注意些什么？

2）怎样求平面内点的坐标？（对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫该点的横坐标、纵坐标。）

二：新课

例3如图，矩形ABCD的长与宽分别是6，4。建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。

y

BA

解：如图：以点C为坐标原点，分别以CD、CB所在

直线为x轴y轴，建立直角坐标系。此时C(0,0)

O

CDx

由CD长为6，CB长为4，可得D，B，A的坐标分别为D（6，0），B（0，4），A（，4）

思考：（还可以建立直角坐标系吗？与同学交流）

例4对于边长为4的正三角形ABC，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。

A

BC

三：小结建立适当的直角坐标系，求的坐标要注意以下几点？

1）要找出坐标原点。

2）要说明横轴与纵轴的位置。

3）要求出必要的线段的长度。

四：练习P161（议一议）与随堂练习

P162习题的第一题

五：作业P162习题的第二题

六：课外练习P162（试一试）

鱼的变化第二课时

一：复习点的坐标的特征

1）关于横轴对称的两点横坐标相等，纵坐标相反

2）关于纵轴对称的两点纵坐标相等，横坐标相反

3）关于原点对称的两点横坐标相反，纵坐标相反

二：看图确定点的坐标

1）左右两幅图关于Y轴对称，已知A（1，3）B（-3，-1），试确定点C，D的坐标？

AC

BD

2）左右两幅图关于Y轴对称，已知A（-3，2）B（-3，1），试确定点C，D的坐标？

y

AD

BC

x

三；练习

1）P142做一做

2）P143随堂练习

四：小结P143议一议

五：作业P144习题（做在书上）

第五章回顾与思考

一：学生看书回答问题

1）在平面内，确定点的位置一般需要几个数据？举例说明。

2）在直角坐标系中，如何确定给定点的坐标？举例说明。

3）在直角坐标系中，横、纵坐标系轴上点的坐标各有什么特点？举例说明。

4）在直角坐标系中，将图形沿坐标轴方向平移，变化前后的对应点的坐标有什么异同？举例说明。

5）在直角坐标系中，将图形上各点的横坐标或纵坐标加上一个数（或乘-1），变化前后的图形有什么关系？举例说明。

二：练习

P145复习题A组

三：小结点的坐标•一：点P（a,b)到X轴的距离是︱b︱，到Y轴的距离是︱a︱,到原点的距离是√a2+b2•二：对称性1）关于X轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反。•2）关于Y轴对称的两点横坐标互为相反，纵坐标相等。•3）关于原点轴对称的两点横坐标互为相反，纵坐标互为相反。•三：平行1）两点的横坐标相等，纵坐标不相等，则这两点所在的直线与Y轴平行，与X轴垂直。2）两点的横坐标不相等，纵坐标相等，则这两点所在的直线与X轴平行，与Y轴垂直。举例•1）点P（-3，4）与X轴对称的点的坐标为。与Y轴对称的点的坐标为。与原点轴对称的点的坐标为。•2）点A（6，-3）到X轴的距离为，•到Y轴的距离为，到原点轴的距离为•3）点A（a,-4)与B(2,b)所在的直线与X轴平行，则a,b.所在的直线与Y轴平行，则a,b.•4)点A（a,b)在第一、三象限的角平分线上，则a、b的关系是。在第二、四象限的角平分线上，则a、b的关系是。练习•1）点P（4，-3）与X轴对称的点的坐标为。与Y轴对称的点的坐标为。与原点轴对称的点的坐标为。•2）点A（-2，-3）到X轴的距离为，•到Y轴的距离为，到原点轴的距离为•3）点A（a-1,-4)与B(2,b+3)所在的直线与X轴平行，则a,b.所在的直线与Y轴平行，则a,b.•4)点A（-a,b)在第一、三象限的角平分线上，则a、b的关系是。在第二、四象限的角平分线上，则a、b的关系是点的平移练习•一：1）点P（-2，3）沿X轴的方向向右平移四个单位长度得到的点的坐标为。•2）点P（-2，3）沿X轴的方向向左平移四个单位长度得到的点的坐标为。•3）点P（-2，3）沿Y轴的方向向上平移四个单位长度得到的点的坐标为。•4）点P（-2，3）沿Y轴的方向向下平移四个单位长度得到的点的坐标为。•5）点P（-2，3）沿X轴的方向先向右平移四个单位长度再沿Y轴的方向向下平移三个单位长度得到的点的坐标为。•6）点P（-2，3）沿X轴的方向先向左平移二个单位长度再沿Y轴的方向向下平移三个单位长度得到的点的坐标为。•5）点P（-2，3）沿Y轴的方向先向上平移四个单位长度再沿X轴的方向向右平移三个单位长度得到的点的坐标为。•6）点P（-2，3）沿Y轴的方向先向下平移二个单位长度再••••沿X轴的方向向左平移三个单位长度得到的点的坐标为。•二1）把点P（3，-2）沿X轴方向向平移个单位得到点A（5，-2）•2）把点P（3，-2）沿X轴方向向平移个单位得到点A（0，-2）•3）把点P（3，-2）沿Y轴方向向平移个单位得到点A（3，2）•4）把点P（3，-2）沿Y轴方向向平移个单位得到点A（3，1）点的坐标练习•1）点P（3，-4）沿X轴的方向向右平移四个单位长度得到的点的坐标为。•2）点P（-2，5）沿X轴的方向向左平移四个单位长度得到的点的坐标为。•3）点P（0，-3）沿Y轴的方向向上平移四个单位长度得到的点的坐标为。•4）点P（-1，-3）沿Y轴的方向向下平移四个单位长度得到的点的坐标为。•5）点P（4，-2）沿X轴的方向先向右平移四个单位长度再沿Y轴的方向向下平移三个单位长度得到的点的坐标为。•6）点P（-2，0）沿X轴的方向先向左平移二个单位长度再沿Y轴的方向向下平移三个单位长度得到的点的坐标为。•7）点P（-1，3）沿Y轴的方向先向上平移四个单位长度再沿X轴的方向向右平移三个单位长度得到的点的坐标为。•8）点P（-2，1.5）沿Y轴的方向先向下平移二个单位长度再沿X轴的方向向左平移三个单位长度得到的点的坐标为。•••9）把点P（-2，-2）沿X轴方向向平移个单位得到点A（5，-2）•10）把点P（3，2）沿X轴方向向平移个单位得到点A（0，-2）•12）把点P（3，-2）沿Y轴方向向平移个单位得到点A（3，2）•13）把点P（-3，-4）沿Y轴方向向平移个单位得到点A（3，1）•14）点P（4，-2）与X轴对称的点的坐标为。与Y轴对称的点的坐标为。与原点轴对称的点的坐标为。•15）点A（-4，-1）到X轴的距离为，•到Y轴的距离为，到原点轴的距离为•16）点A（a,3)与B(-2,b)所在的直线与X轴平行，则a,b.所在的直线与Y轴平行，则a,b.•17)点A（a,b)在第一、三象限的角平分线上，则a、b的关系是。在第二、四象限的角平分线上，则a、b的关系是。•18）点P（-2，-3）与X轴对称的点的坐标为。与Y轴对称的点的坐标为。与原点轴对称的点的坐标为。•19）点A（5，-2）到X轴的距离为，•到Y轴的距离为，到原点轴的距离为•20）点A（a+1,-4)与B(2,b+3)所在的直线与X轴平行，则a,b.所在的直线与Y轴平行，则a,b.•21)点A（a,-b）在第一、三象限的角平分线上，则a、b的••••关系是。在第二、四象限的角平分线上，则a、b的关系是•22）X轴上的坐标为0，Y轴上的坐标为0。•23）点P（a,b)若a=0,则点P在，若b=0则点P在。若ab=o,则点P在。

数学教案－菱形的教学方案

教学建议

知识结构

重难点分析

本节的重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

本节的难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。

教法建议

根据本节内容的特点和与平行四边形的关系，建议教师在教学过程中注意以下问题：

1.菱形的知识，学生在小学时接触过一些，可由小学学过的知识作为引入。

2.菱形在现实中的实例较多，在讲解菱形的性质和判定时，教师可自行准备或由学生准备一些生活实例来进行判别应用了哪些性质和判定，既增加了学生的参与感又巩固了所学的知识．

3.如果条件允许，教师在讲授这节内容前，可指导学生按照教材148页图4-33所示，制作一个平行四边形作为教学过程中的道具，既增强了学生的动手能力和参与感，有在教学中有切实的体例，使学生对知识的掌握更轻松些．

4.在对性质的讲解中，教师可将学生分成若干组，每个学生分别对事先准备后的图形进行边、角、对角线的测量，然后在组内进行整理、归纳．

5.由于菱形和菱形的性质定理证明比较简单，教师可引导学生分析思路，由学生来进行具体的证明．

6.在菱形性质应用讲解中，为便于理解掌握，教师要注意题目的层次安排。

一、教学目标

1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．

2．掌握菱形的性质．

3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．

4．通过教具的演示培养学生的学习兴趣．

5．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．

6．通过菱形性质的学习，体会菱形的图形美．

二、教法设计

观察分析讨论相结合的方法

三、重点难点疑点及解决办法

1．教学重点：菱形的性质定理．

2．教学难点：把菱形的性质和直角三角形的知识综合应用．

3．疑点：菱形与矩形的性质的区别．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

教具（做一个短边可以运动的平行四边形）、投影仪和胶片，常用画图工具

六、师生互动活动设计

教师演示教具、创设情境，引入新课，学生观察讨论；学生分析论证方法，教师适时点拨

七、教学步骤

【复习提问】

1．什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？

2．矩形中对角线与大边的夹角为，求小边所对的两条对角线的夹角．

3．矩形的一个角的平分线把较长的边分成、，求矩形的周长．

【引入新课】

我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，这时可将事先按课本中图4－38做成的一个短边也可以活动的教具进行演示，如图，改变平行四边形的边，使之一组邻进相等，引出菱形概念．

【讲解新课】

1．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

讲解这个定义时，要抓住概念的本质，应突出两条：

（1）强调菱形是平行四边形．

（2）一组邻边相等．

2．菱形的性质：

教师强调，菱形既然是特殊的平行四边形，因此它就具有平行四边形的一切性质，此外由于它比平行四边形多了“一组邻边相等”的条件，和矩形类似，也比平行四边形增加了一些特殊性质．

下面研究菱形的性质：

师：同学们根据菱形的定义结合图形猜一下菱形有什么性质（让学生们讨论，并引导学生分别从边、角、对角线三个方面分析）．

生：因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以根据平行四边形对边相等的性质可以得到．

菱形性质定理1：菱形的四条边都相等．

由菱形的四条边都相等，根据平行四边形对角线互相平分，可以得到

菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角．

引导学生完成定理的规范证明．

师：观察右图，菱形被对角线分成的四个直角三角形有什么关系？

生：全等．

师：它们的底和高和两条对角线有什么关系？

生：分别是两条对角线的一半．

师：如果设菱形的两条对角线分别为、，则菱形的面积是什么？

生：

教师指出当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积．

例2已知：如右图，是△的角平分线，交于，交于．

求证：四边形是菱形．

（引导学生用菱形定义来判定．）

例3已知菱形的边长为，，对角线，相交于点，如右图，求这个菱形的对角线长和面积．

（1）按教材的方法求面积．

（2）还可以引导学生求出△一边上的高，即菱形的高，然后用平行四边形的面积公式计算菱形的面积．

【总结、扩展】

1．小结：（打出投影）（图4）

（1）菱形、平行四边形、四边形的从属关系：

（2）菱形性质：图5

①具有平行四边形的所有性质．

②特有性质：四条边相等；对角线互相垂直，且平分每一组对角．

八、布置作业

教材P158中6、7、8，P196中10

九、板书设计

标题

菱形定义……

菱形性质例2……小结：

性质定理1：……例3…………

性质定理2：……

十、随堂练习

教材P151中1、2、3

补充

1．菱形的两条对角线长分别是3和4，则周长和面积分别是___________、___________．

2．菱形周长为80，一对角线为20，则相邻两角的度数为___________、____________．

数学教案－线的垂直平分线

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

本节内容的重点是线段垂直平分线定理及其逆定理.定理反映了线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的依据；逆定理反映了线段垂直平分线的判定，是证明某点在某条直线上及一条直线是已知线段的垂直平分线的依据.

本节内容的难点是定理及逆定理的关系.垂直平分线定理和其逆定理，题设与结论正好相反.学生在应用它们的时候，容易混淆，帮助学生认识定理及其逆定理的区别，这是本节的难点.

2、教法建议

本节课教学模式主要采用“学生主体性学习”的教学模式.提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳.教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人.具体说明如下：

（1）参与探索发现，领略知识形成过程

学生前面，学习过线段垂直平分线的概念，这样由复习概念入手，顺其自然提出问题：在垂直平分线上任取一点P，它到线段两端的距离有何关系？学生会很容易得出“相等”.然后学生完成证明，找一名学生的证明过程，进行投影总结.最后，由学生将上述问题，用文字的形式进行归纳，即得线段垂直平分线定理.这样让学生亲自动手实践，积极参与发现，激发了学生的认识冲突，使学生克服思维和探求的惰性，获得锻炼机会，对定理的产生过程，真正做到心领神会.

（2）采用“类比”的学习方法，获取逆定理

线段垂直平分线的定理及逆定理的证明都比较简单，学生学习一般没有什么困难，这一节的难点仍然的定理及逆定理的关系，为了很好的突破这一难点，教学时采用与角的平分线的性质定理和逆定理对照，类比的方法进行教学，使学生进一步认识这两个定理的区别和联系.

(3)通过问题的解决，让学生学会从不同角度分析问题、解决问题；让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题、提出问题的创造性能力.

教学目标：

1、知识目标：

（1）掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理；

（2）能运用它们证明两条线段相等或两条直线互相垂直；

2、能力目标：

（1）通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力；

（2）提高综合运用知识的能力.

3、情感目标：

（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；；

（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.

教学重点：线段垂直平分线定理及其逆定理

教学难点：定理及逆定理的关系

教学用具：直尺，微机

教学方法：以学生为主体的讨论探索法

教学过程：

1、新课背景知识复习

（1）线段垂直平分线的概念

（2）问题：（投影显示）

如图，CD是线段AB的垂直平分线，P为CD上任意一点，PA、PB有何关系？为什么？

整个过程，由学生完成.找一名学生代表回答上述问题并

投影显示学生的证明过程.

2、定理的获得

让学生用文字语言将上述问题表述出来.

定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.

强调说明：线段垂直平分线性质定理是证明线段相等的一条依据，在计算、作图中也有重要作用.

学生根据上述学习，提出自己的问题（待定）

学习完一个重要知识点，给学生留有一定的时间和机会，提出问题，然后大家共同分析讨论.

3、逆定理的获得

类比角平分线逆定理获得的过程，让学生讲解下一环节所要学习研究的内容.

这一过程，完全由学生自己通过小组的形式，代表到台前讲解.

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

强调说明：定理与逆定理的联系与区别

相同点：结构相同、证明方法相同

不同点：用途不同，定理是用来证线段相等

4、定理与逆定理的应用

（1）讲解例1（投影例1）

例1如图，△ABC中，∠C＝，∠A＝，AB的在垂线交AC于D，交AB于E

求证：AC＝3CD

证明：∵DE垂直平分AB

∴AD＝BD

∴∠1＝∠A＝

∵

∴∠2＝

∴CD＝BD

∴CD＝AD

∴AD＝2CD

即AC＝3CD

讲解例2（投影例2）

例2：在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂直线与AC所在直线相交所得的锐角为，求底角B的大小.

（学生思考、分析、讨论，教师巡视，适当参与讨论）

解：（1）当AB的中垂线MN与AC相交时，如图（1），

∵∠ADE＝，∠AED＝

∴∠A＝－∠AED＝－＝

∵AB＝AC∴∠B＝∠C

∴∠B＝

（2）当的中垂线与的延长线相交时，如图（2）

∵∠ADE＝，∠AED＝

∴∠BAE＝－∠AED＝－＝

∵AB＝AC∴∠B＝∠C

∴∠B＝

例3（1）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝，求∠NMB的大小

（2）如果将（1）中∠A的度数改为，其余条件不变，再求∠NMB的大小

（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.

（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改

解：（1）∵AB＝AC

∴∠B＝∠ACB

∴∠B＝

∵∠BNM＝

∴

（2）如图，同（1）同理求得

（3）如图，∠NMB的大小为∠A的一半

5、课堂小结：

(1)线段垂直平分线性质定理和逆定理

(2)在应用时，易忽略直接应用，往往又重新证三角形的全等，使计算或证明复杂化.

6、布置作业：

书面作业P119＃2、3

思考题：已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高

求证：AD垂直平分EF

证明：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC

∴DE=DF

∴D在线段EF的垂直平分线上

在Rt△ADE和Rt△ADF中

∴Rt△ADE≌Rt△ADF

∴AE＝AF

∴A点也在线段EF的垂直平分线上

∵两点确定一条直线

∴直线AD就是线段EF的垂直平分线

板书设计：

数学教案－圆心角弧弦弦心距之间的关系初中教案精选

第一课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）

教学目标：

（1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用；

（2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力；

（3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲．

教学重点、难点：

重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论．

难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养．

教学活动设计

教学内容设计

（一）圆的对称性和旋转不变性

学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性.

引出圆心角和弦心距的概念：

圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．

弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

（二）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性.

定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．

（三）剖析定理得出推论

问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.（学生分小组讨论、交流）

举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但ABCD，.（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.）

问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？（学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论.

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（推论包含了定理，它是定理的拓展）

（四）应用、巩固和反思

例1、如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD.

解（略，教材87页）

例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？

（让学生自主思考，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题）

练习：（教材88页练习）

1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：．

（1）如果AB＝CD，那么______，______，______；

（2）如果OE＝OG，那么______，______，______；

（3）如果=，那么______，______，______；

（4）如果∠AOB＝∠COD，那么______，______，______．

（目的：巩固基础知识）

2、（教材88页练习3题，略．定理的简单应用）

（五）小结：学生自己归纳，老师指导．

知识：①圆的对称性和旋转不变性；②圆心角、弧、弦、弦心距之间关系，它反映出在圆中相等量的灵活转换．

能力和方法：①增加了证明角相等、线段相等以及弧相等的新方法；②实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力．

（六）作业：教材P99中1（1）、2、3．

第二课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）

教学目标：

（1）理解1°弧的概念，能熟练地应用本节知识进行有关计算；

（2）进一步培养学生自学能力，应用能力和计算能力；

（3）通过例题向学生渗透数形结合能力．

教学重点、难点：

重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系的应用．

难点：理解1°弧的概念．

教学活动设计：

（一）阅读理解

学生独立阅读P89中，1°的弧的概念，使学生从感性的认识到理性的认识．

理解：

（1）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．

（2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．

（3）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．

（二）概念巩固

1、判断题：

（1）等弧的度数相等（）；

（2）圆心角相等所对应的弧相等（）；

（3）两条弧的长度相等，则这两条弧所对应的圆心角相等（）

2、解得题：

（1）度数是5°的圆心角所对的弧的度数是多少?为什么?

（2）5°的圆心角对着多少度的弧？5°的弧对着多少度的圆心角?

（3）n°的圆心角对着多少度的弧?n°的弧对着多少度的圆心角?

（三）疑难解得

对于①弧相等；②弧的长度相等；③弧的度数相等；④圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．学生在学习中有疑难的老师要及时解得．

特别是对于“圆心角的度数和它们对的弧的度数相等”，一定让学生弄清楚这里说的相等指的是“角与弧的度数”相等，而不是“角与弧”相等，因为角与弧是两个不同的概念，不能比较和度量．

（四）应用、归纳、反思

例1、如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，求AB的长．

学生自主分析，写出解题过程，交流指导．

解：（参看教材P89）

注意：学生往往重视计算结果，而忽略推理和解题步骤的严密性，教师要特别关注和指导．

反思：向学生渗透数形结合的重要的数学思想．所谓数形结合思想就是数与形互相转化，图形带有直观性，数则有精确性，两者有机地结合起来才能较好地完成这个例题．

例2、如图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，=40°，求∠BOD的度数．

题目从“分析——解得”让学生积极主动进行，此时教师只需强调解题要规范，书写要准确即可．

（解答参考教材P90）

题目拓展：

1、已知：如上图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，求证：＝．

2、已知：如上图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦＝，求证：CE∥AB．

目的：是培养学生发散思维能力，由学生自己分析证明思路，引导学生思考出不同的方法，最后交流、概括、归纳方法．

（五）小节（略）

（六）作业：教材P100中4、5题．

探究活动

我们已经研究过：已知点O是∠BPD的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，则AB=CD；现在，若⊙O与∠EPF的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，请你结合图形，添加一个适当的条件，使OP为∠BPD的平分线.

解（略）

①AB=CD；

②=．（等等）

数学教案－分式的乘除法的教学方案

一、教学过程

【复习提问】

1．分式的基本性质？

2．分式的变号法则？

【新课】

数学小笑话：（配上漫画插图幻灯片）

从前有个不学无术的富家子弟，有一次，父母出远门去办事，把他交给厨师照看，厨师问他：“我每天三餐每顿给你做两个馒头，够吗？”他哭丧着脸说：“不够，不够！”厨师又问：“那我就一天给你吃六个，怎么样？”他马上欣喜地说：“够了！够了！”

问：这个富家子弟为什么会犯这样的错误？

分数约分的方法及依据是什么？

1．提出课题：分式可不可以约分？根据什么？怎样约分？约到何时为止？

学生分组讨论，最终达成共识．

2．教师小结：

（1）约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

（2）分式约分的依据：分式的基本性质．

（3）分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．

（4）最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．

3．例题与练习：

例1约分：

（1）；

请学生观察思考：①有没有公因式？②公因式是什么？

解：．

小结：①分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分．②分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边．

（2）；

请学生分析如何约分．

解：．

小结：①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．②注意对分子、分母符号的处理．

（3）；

解：原式．

（4）；

解：原式

．

（5）；

解：原式．

例2化简求值：

．其中，．

分析：约分是实现化简分式的一种手段，通过约分可把分式化成最简，而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件．

解：原式．

当，时．

．

二、随堂练习

教材P65练习1、2．

三、总结、扩展

1．约分的依据是分式的基本性质．

2．若分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母和系数约去它们的最大公约数．

3．若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分．

四、布置作业

教材P73中2、3．

补充思考讨论题：

1．将下列各式约分：

（1）；（2）；

（3）

2．已知，则

五、板书设计

数学教案－分式的加减法的教学方案

教学目标：

(1)理解通分的意义，理解最简公分母的意义；

(2)掌握分式的通分法则，能熟练掌握通分运算。

教学重点：分式通分的理解和掌握。

教学难点：分式通分中最简公分母的确定。

教学工具：投影仪

教学方法：启发式、讨论式

教学过程：

（一）引入

（1）如何计算：

由此让学生复习分数通分的意义、通分的根据、通分的法则以及最简公分母的概念。

（2）如何计算：

（3）何计算：

引导学生思考，猜想如何求解？

(二)新课

1、类比分数的通分得到分式的通分：

把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．

注意：通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等。

2．通分的依据：分式的基本性质．

3．通分的关键：确定几个分式的最简公分母．

通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，这样的公分母叫做最简公分母．

根据分式通分和最简公分母的定义，将分式，，通分：

最简公分母为：，然后根据分式的基本性质，分别对原来的各分式的分子和分母乘一个适当的整式，使各分式的分母都化为。通分如下：

通过本例使学生对于分式的通分大致过程和思路有所了解。让学生归纳通分的思路过程。

例1通分：

（1），，；

分析：让学生找分式的公分母，可设问“分母的系数各不相同如何解决？”，依据分数的通分找最小公倍数。

解：∵最简公分母是12xy2，

小结：各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数．

解：∵最简公分母是10a2b2c2，

由学生归纳最简公分母的思路。

分式通分中求最简公分母概括为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母为底的幂的因式都要取；（3）相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。

例2通分：

设问：对于分母为多项式的分式通分如何找最简公分母？

前面讲的是单项式，对于多项式首先应该对多项式因式分解，确定各分母所含的因子然后再确定最简公分母。

解：∵最简公分母是2x(x+1)(x-1)，

小结：当分母是多项式时，应先分解因式．

解：

将分母分解因式：x2-4＝(x+2)(x-2)．4-2x＝-2(x-2)．

∴最简公分母为2(x+2)(x-2)．

由学生归纳一般分式通分：

通分的关键是确定几个分式的最简公分母，其步骤如下：

1.将各个分式的分母分解因式；

2.取各分母系数的最小公倍数；

3.凡出现的字母或含有字母的因式为底的幂的因式都要取；

4.相同字母或含字母的因式的幂的因式取指数最大的；

5.将上述取得的式子都乘起来，就得到了最简公分母；

6.原来各分式的分子和分母同乘一个适当的整式，使各分式的分母都化为最简公分母。

练习：教材P.79中1、2、3．

(三)课堂小结

1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．

2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．

3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．

六、作业

教材P.85中1、2．

七、板书设计

数学教案－有理数的乘法的教学方案

教学目标

1.理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则中的符号法则和绝对值运算法则，并初步理解有理数乘法法则的合理性；

2.能根据有理数乘法法则熟练地进行有理数乘法运算，使学生掌握多个有理数相乘的积的符号法则；

3．三个或三个以上不等于0的有理数相乘时，能正确应用乘法交换律、结合律、分配律简化运算过程；

4．通过有理数乘法法则及运算律在乘法运算中的运用，培养学生的运算能力；

5．本节课通过行程问题说明有理数的乘法法则的合理性，让学生感知到数学知识来源于生活，并应用于生活。

教学建议

(一)重点、难点分析

本节的教学重点是能够熟练进行有理数的乘法运算。依据有理数的乘法法则和运算律灵活进行有理数乘法运算是进一步学习除法运算和乘方运算的基础。有理数的乘法运算和加法运算一样，都包括符号判定与绝对值运算两个步骤。因数不包含0的乘法运算中积的符号取决于因数中所含负号的个数。当负号的个数为奇数时，积的符号为负号；当负号的个数为偶数时，积的符号为正数。积的绝对值是各个因数的绝对值的积。运用乘法交换律恰当的结合因数可以简化运算过程。

本节的难点是对有理数的乘法法则的理解。有理数的乘法法则中的“同号得正，异号得负”只是针对两个因数相乘的情况而言的。乘法法则给出了判定积的符号和积的绝对值的方法。即两个因数符号相同，积的符号是正号；两个因数符号不同，积的符号是负号。积的绝对值是这两个因数的绝对值的积。

（二）知识结构

（三）教法建议

1．有理数乘法法则，实际上是一种规定。行程问题是为了了解这种规定的合理性。

2．两数相乘时，确定符号的依据是“同号得正，异号得负”．绝对值相乘也就是小学学过的算术乘法．

3．基础较差的同学，要注意乘法求积的符号法则与加法求和的符号法则的区别。

4．几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么，至少有一个因数为0．

5．小学学过的乘法交换律、结合律、分配律对有理数乘法仍适用，需注意的是这里的字母a、b、c既可以是正有理数、0，也可以是负有理数。

6．如果因数是带分数，一般要将它化为假分数，以便于约分。

教学设计示例

有理数的乘法(第一课时)

教学目标

1．使学生在了解有理数的乘法意义基础上，理解有理数乘法法则，并初步理解有理数乘法法则的合理性；

2．通过有理数的乘法运算，培养学生的运算能力；

3．通过教材给出的行程问题，认识数学来源于实践并反作用于实践。

教学重点和难点

重点：依据有理数的乘法法则，熟练进行有理数的乘法运算；

难点：有理数乘法法则的理解．

课堂教学过程设计

一、从学生原有认知结构提出问题

1．计算(-2)+(-2)+(-2)．

2．有理数包括哪些数？小学学习四则运算是在有理数的什么范围中进行的？(非负数)

3．有理数加减运算中，关键问题是什么？和小学运算中最主要的不同点是什么？(符号问题)

4．根据有理数加减运算中引出的新问题主要是负数加减，运算的关键是确定符号问题，你能不能猜出在有理数乘法以及以后学习的除法中将引出的新内容以及关键问题是什么？(负数问题，符号的确定)

二、师生共同研究有理数乘法法则

问题1水库的水位每小时上升3厘米，2小时上升了多少厘米？

解：3×2＝6（厘米）①

答：上升了6厘米．

问题2水库的水位平均每小时下降3厘米，2小时上升多少厘米？

解：－3×2＝－6（厘米）②

答：上升-6厘米(即下降6厘米)．

引导学生比较①，②得出：

把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数．

这是一条很重要的结论，应用此结论，3×(-2)=？(-3)×(-2)=？(学生答)

把3×(-2)和①式对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“-2”，所得的积应是原来的积“6”的相反数“-6”，即3×(-2)=-6．

把(-3)×(-2)和②式对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“-2”，所得的积应是原来的积“-6”的相反数“6”，即(-3)×(-2)=6．

此外，(-3)×0=0．

综合上面各种情况，引导学生自己归纳出有理数乘法的法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

任何数同0相乘，都得0．

继而教师强调指出：

“同号得正”中正数乘以正数得正数就是小学学习的乘法，有理数中特别注意“负负得正”和“异号得负”．

用有理数乘法法则与小学学习的乘法相比，由于介入了负数，使乘法较小学当然复杂多了，但并不难，关键仍然是乘法的符号法则：“同号得正，异号得负”，符号一旦确定，就归结为小学的乘法了．

因此，在进行有理数乘法时，需要时时强调：先定符号后定值．

三、运用举例，变式练习

例1计算：

例2某一物体温度每小时上升a度，现在温度是0度．

(1)t小时后温度是多少？

(2)当a，t分别是下列各数时的结果：

①a=3，t=2；②a=-3，t=2；

②a=3，t=-2；④a=-3，t=-2；

教师引导学生检验一下(2)中各结果是否合乎实际．

课堂练习

1．口答：

(1)6×(-9)；(2)(-6)×(-9)；(3)(-6)×9；(4)(-6)×1；

(5)(-6)×(-1)；(6)6×(-1)；(7)(-6)×0；(8)0×(-6)；

2．口答：

(1)1×(-5)；(2)(-1)×(-5)；(3)+(-5)；

(4)-(-5)；(5)1×a；(6)(-1)×a．

这一组题做完后让学生自己总结：一个数乘以1都等于它本身；一个数乘以-1都等于它的相反数．+(-5)可以看成是1×(-5)，-(-5)可以看成是(-1)×(-5)．同时教师强调指出，a可以是正数，也可以是负数或0；-a未必是负数，也可以是正数或0．

3．当a，b是下列各数值时，填写空格中计算的积与和：

4．填空：

(1)1×(-6)=______；(2)1+(-6)=_______；

(3)(-1)×6=________；(4)(-1)+6=______；

(5)(-1)×(-6)=______；(6)(-1)+(-6)=_____；

(9)|-7|×|-3|=_______；(10)(-7)×(-3)=______.

5．判断下列方程的解是正数还是负数或0：

(1)4x=-16；(2)-3x=18；(3)-9x=-36；(4)-5x=0．

四、小结

今天主要学习了有理数乘法法则，大家要牢记，两个负数相乘得正数，简单地说：“负负得正”．

五、作业

1．计算：

(1)(-16)×15；(2)(-9)×(-14)；(3)(-36)×(-1)；

(4)100×(-0.001)；(5)-4.8×(-1.25)；(6)-4.5×(-0.32)．

2．计算：

3．填空(用“＞”或“＜”号连接)：

(1)如果a＜0，b＜0，那么ab________0；

(2)如果a＜0，b＜0，那么ab_______0；

(3)如果a＞0时，那么a____________2a；

(4)如果a＜0时，那么a__________2a．

探究活动

问题:桌上放7只茶杯，杯口全部朝上，每次翻转其中的4只，能否经过若干次翻转，把它们翻成杯口全部朝下？

答案:“±1”将告诉你：不管你翻转多少次，总是无法使这7只杯口全部朝下．道理很简单，用“+1”表示杯口朝上，“-1”表示杯口朝下，问题就变成：“把7个+1每次改变其中4个的符号，若干次后能否都变成-1？”考虑这7个数的乘积，由于每次都改变4个数的符号，所以它们的乘积永远不变(为+1)．而7个杯口全部朝下时，7个数的乘积等于-1，这是不可能的．

道理竟是如此简单，证明竟是如此巧妙，这要归功于“±1”语言．

数学教案－角的平分线的教学方案

3．9角的平分线

教学目标

1．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用．

2．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题．

3．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。

教学重点和难点

角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．

性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．

教学过程设计

一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明

1，复习引入课题．

（1）提问关于直角三角形全等的判定定理．

（2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角

平分线OC．

2．画图探索角平分线的性质并证明之．

（1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一

点P，并分别作出表示Ｐ点到∠AOB两边的距离的线段

PD，PE．

（2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理．

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