教学目标
1.通过教学使学生理解等比数列的概念,推导并掌握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想,培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考,实事求是的精神,及严谨的科学态度.
教学重点,难点
重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.
教学用具
投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讨论、谈话法.
教学过程
一、提出问题
给出以下几组数列,将它们分类,说出分类标准.(幻灯片)
①-2,1,4,7,10,13,16,19,…
②8,16,32,64,128,256,…
③1,1,1,1,1,1,1,…
④243,81,27,9,3,1,,,…
⑤31,29,27,25,23,21,19,…
⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…
⑧0,0,0,0,0,0,0,…
由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列,也可能分为等差、等比两类),统一一种分法,其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨,得出定义后再考察③是否为等比数列).
二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性,教师指出实际生活中也有许多类似的例子,如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫,再假设开始有一个变形虫,经过一个单位时间它分裂为两个变形虫,经过两个单位时间就有了四个变形虫,…,一直进行下去,记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性,这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.(这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)
等比数列(板书)
1.等比数列的定义(板书)
根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系,尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美,多数情况下,有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义,标注出重点词语.
请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比,并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列,教师再追问,还有没有其他的例子,让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式,学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列,让学生讨论后得出结论:当时,数列既是等差又是等比数列,当时,它只是等差数列,而不是等比数列.教师追问理由,引出对等比数列的认识:
2.对定义的认识(板书)
(1)等比数列的首项不为0;
(2)等比数列的每一项都不为0,即;
问题:一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件?
(3)公比不为0.
用数学式子表示等比数列的定义.
是等比数列①.在这个式子的写法上可能会有一些争议,如写成,可让学生研究行不行,好不好;接下来再问,能否改写为是等比数列?为什么不能?
式子给出了数列第项与第项的数量关系,但能否确定一个等比数列?(不能)确定一个等比数列需要几个条件?当给定了首项及公比后,如何求任意一项的值?所以要研究通项公式.
3.等比数列的通项公式(板书)
问题:用和表示第项.
①不完全归纳法
.
②叠乘法
,…,,这个式子相乘得,所以.
(板书)(1)等比数列的通项公式
得出通项公式后,让学生思考如何认识通项公式.
(板书)(2)对公式的认识
由学生来说,最后归结:
①函数观点;
②方程思想(因在等差数列中已有认识,此处再复习巩固而已).
这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量,知三求一,这是公式最简单的应用,请学生举例(应能编出四类问题).解题格式是什么?(不仅要会解题,还要注意规范表述的训练)
如果增加一个条件,就多知道了一个量,这是公式的更高层次的应用,下节课再研究.同学可以试着编几道题.
三、小结
1.本节课研究了等比数列的概念,得到了通项公式;
2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比;
3.用方程的思想认识通项公式,并加以应用.
四、作业(略)
五、板书设计
三.等比数列
1.等比数列的定义
2.对定义的认识
3.等比数列的通项公式
(1)公式
(2)对公式的认识
教学目标:
1.理解次方根和次根式的概念及其性质,能根据性质进行简单的根式计算.
2.通过对根式的学习,使学生能进一步认清各种运算间的联系,提高归纳,概括的能力.
3.通过对根式的化简,使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想.
教学重点难点:
重点是次方根的概念及其取值规律.
难点是次方根的概念及其运算根据的研究.
教学用具:投影仪
教学方法:启发探索式.
教学过程:
一.复习引入
今天我们将学习新的一节指数.指数与其说它是一个概念,不如说它是一种重要的运算,且这种运算在初中曾经学习过,今天只不过把它进一步向前发展.
下面从我们熟悉的指数的复习开始.能举一个具体的指数运算的例子吗?
以为例,是指数运算要求学生指明各部分的名称,其中2称为底数,4为指数,称为幂.
教师还可引导学生回顾指数运算的由来,是从乘方而来,因此最初指数只能是正整数,同时引出正整数指数幂的定义..然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义,分别写出及,同时追问这里的由来.最后将三条放在一起,用投影仪打出整数指数幂的概念
2.5指数(板书)
1.关于整数指数幂的复习
(1)概念
既然是一种运算,除了定义之外,自然要给出它的运算规律,再来回顾一下关于整数指数幂的运算性质.可以找一个学生说出相应的运算性质,教师用投影仪依次打出:
(2)运算性质:;;.
复习后直接提出新课题,今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围.在刚才的复习我们已经看到当指数在整数范围内时,运算最多也就是与分式有关,如果指数推广到分指数会与什么有关呢?应与根式有关.初中时虽然也学过一点根式,但不够用,因此有必要先从根式说起.
2.根式(板书)
我们知道根式来源于开方,开方是乘方的逆运算,所以谈根式还是先从大家熟悉的乘方说起.
如
如果给出了4和2进行运算,那就是乘方运算.如果是知道了16和2,求4即,求?
问题也就是:谁的平方是16,大家都能回答是4和-4,这就是开方运算,且4和-4有个名字叫16的平方根.
再如
知3和8,问题就是谁的立方是8?这就是开方运算,大家也知道结果为2,同时指出2叫做8的立方根.
(根据情况教师可再适当举几个例子,如,要求学生用语言描述式子的含义,I再说出结果分别为和-2,同时指出它们分别称为9的四次方根和-8的立方根)
在以上几个式子会解释的基础上,提出即一个数的次方等于,求这个数,即开次方,那么这个数叫做的次方根.
(1)次方根的定义:如果一个数的次方等于(,那么这个数叫做的次方根.
(板书)
对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示,请同学们试试看.
由学生翻译为:若(,则叫做的次方根.(把它补在定义的后面)
翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底,如结论中的的次方根就没有用符号表示,原因是什么?(如果学生不知从何入手,可引导学生回到刚才的几个例子,在符号表示上存在的问题,并一起研究解决的办法)最终把问题引向对的次方根的取值规律的研究.
(2)的次方根的取值规律:(板书)
先让学生看到的次方根的个数是由的奇偶性决定的,所以应对分奇偶情况讨论
当为奇数时,再问学生的次方根是个什么样的数,与谁有关,再提出对的正负的讨论,从而明确分类讨论的标准,按的正负分为三种情况.
Ⅰ当为奇数时
,的次方根为一个正数;
,的次方根为一个负数;
,的次方根为零.(板书)
当奇数情况讨论完之后,再用几个具体例子辅助说明为偶数时的结论,再由学生总结归纳
Ⅱ当为偶数时
,的次方根为两个互为相反数的数;
,的次方根不存在;
,的次方根为零.
对于这个规律的总结,还可以先看的正负,再分的奇偶,换个角度加深理解.
有了这个规律之后,就可以用准确的数学符号去描述次方根了.
(3)的次方根的符号表示(板书)
可由学生试说一说,若学生说不好,教师可与学生一起总结,当为奇数时,由于无论为何值,次方根都只有一个值,可用统一的符号表示,此时要求学生解释符号的含义:为正数,则为一个确定的正数,为负数,则为一个确定的负数,为零,则为零.
当为偶数时,为正数时,有两个值,而只能表示其中一个且应表示是正的,另一个应与它互为相反数,故只需在前面放一个负号,写成,其含义为为偶数时,正数的次方根有两个分别为和.
为了加深对符号的认识,还可以提出这样的问题:一定表示一个正数吗?中的一定是正数或非负数吗?让学生来回答,在回答中进一步认清符号的含义,再从另一个角度进行总结.对于符号,当为偶数是,它有意义的条件是;当为奇数时,它有意义的条件时.
把称为根式,其中为根指数,叫做被开方数.(板书)
(4)根式运算的依据(板书)
由于是个数值,数值自然要进行运算,运算就要有根据,因此下面有必要进一步研究根式运算的依据.但我们并不过分展开,只研究一些最基本的最简单的依据.
如应该得什么?有学生讲出理由,根据次方根的定义,可得Ⅰ=.(板书)
再问:应该得什么?也得吗?
若学生想不清楚,可用具体例子提示学生,如吗?吗?让学生能发现结果与有关,从而得到Ⅱ=.(板书)
为进一步熟悉这个运算依据,下面通过练习来体会一下.
三.巩固练习
例1.求值
(1).(2).
(3).(4).
(5).(
要求学生口答,并说出简要步骤.
四.小结
1.次方根与次根式的概念
2.二者的区别
3.运算依据
五.作业略
六.板书设计
2.5指数(2)取值规律(4)运算依据
1.复习
2.根式(3)符号表示例1
(1)定义
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