高中教案下学期
时间：2022-01-11 中班保育教师下学期个人工作计划 高中教师学期总结（一）教学具准备
直尺、投影仪．
（二）教学目标
1．掌握由的变化过程，理解由到的变换步骤．
2．利用平移、伸缩变换方法，作函数图像．
（三）教学过程
1．设置情境
师：上节课，我们学习了如何由的图像通过变换得到和的图像，请同学复述一下变换的具体过程．
生：将的图像通过振幅变换便得到的图像
将的图像通过周期变换就得到的图像
师：今天这节课，我们将继续学习如何由的图像通过变换手段分别得到及的图像，（板书课题：函数和的图像）
2．探索研究
（1）如何由的图像通过变换得到的图像
【例1】画出函数，，，的简图
师：由上一节画余弦函数的图像可知，函数，的图像可以看做把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到．
同学们能否用类比的方法由的图像得到和的图像．
生：从的图像向左平移个单位长度而得到，即的图像得到启发，我们只要把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度，就可以得到的图像，如把正弦曲线上所有的点向右平移个单位长度，就可以得到的图像．
函数，
，
，
在一个周期内的图像如图1所示：（用叠放投影胶片，依次叠放三个函数图像）
师：我们已经学过并且知道与图像是一种左、右平移关系，从例1中你能得到与的图像之间的联系吗？
生：函数，（其中）的图像可以看做把的图像上所有的点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到的，这种变换叫做平移变换．
（2）如何由的图像通过变换得到的图像
【例2】画出函数，的简图．
解：函数的周期，我们先画出它的长度为一个周期的闭区间上的简图．
列表
0
0
3
0
－3
0
描点，连线得图2
利用函数的周期性，我们可以把它在上的简图向左、右分别扩展，从而得到它的简图．（用依次叠放投影片的方法投影展示上图）
师：函数，的图像，可以看作用下面的方法得到：先将上所有的点向左平移个单位长度，得到函数，的图像；再把后者所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数，的图像；再把所得到图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），从而得到函数，的图像．
师：我们已经知道函数与是一种延轴方向上的伸缩变换，从例2中你能得到与的图像之间的联系吗？
生：函数，（其中，）的图像，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍（横坐标不变）．
我们小结一下上述步骤如下：
师：其步骤流程图如下：
这一过程体现了由简单到复杂，特殊到一般的化归思想．
函数，（其中，）的简图，可以用类似方法画出．
（3）、、的物理意义
当函数，（其中，）表示一个振动量时，就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅．
往复振动一次所需要的时间，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数称为振动的频率．
称为相位；时的相位称为初相．
3．演练反馈（投影）
（1）要得到函数图像，只需将的图像（）
A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移
（2）函数的一个周期内图像如图3．
则的表达式
A．
B．
C．
D．
（3）把函数的图像向左平移个单位，再把图像上各点的横坐标压缩为原来的，所得的解析式为_________．
参考答案：
（1）C．把右移，得
（2）D．因为，又与比较知，是其左移而得，即
（3）变换过程如下：第一步得：
第二步得：
4．总结提炼
（1）了解三角函数图像的变化规律和方法，由，此步骤只是平移（，左移个单位；，右移个单位），而由可由二条思路：
①即先平移后压缩．
②即先压缩再平移．
不论哪一条路径，每一次变换都是对一个字母而言的，如，的图像向右平移个单位，得到的应是，而不是；又的图像横坐标扩大到原来的2倍，应是而不是．
（2）作函数图像的方法有多种，如描点法，五点作图法，根据奇、偶利用对称法等等，平移、变换法只是诸多作图法中一种，它与五点作图法同样重要，希望大家多练习，掌握变换次序上的技巧．
（四）板书设计
课题________
1．如何由的图像
作的图像
例1
2．如何由的图像
作的图像
例2
变换法作的图像的流程图
演练反馈
总结提炼
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4．6两角和与差的正弦、余弦、正切（第二课时）
（一）教学具准备
投影仪
（二）教学目标
1．掌握利用得到的两角和与差的正弦公式．
2．运用公式进行三角式的求值、化简及证明．
（三）教学过程
1．已知两角，我们可以利用的三角函数去计算复合角的余弦，那么，我们能否用的三角函数去表达复合角的正弦呢？本节课将研究这一问题．
2．探索研究
（1）请一位同学在黑板上写出，的展开式．
．
由于公式中的是任意实数，故我们对实施特值代换后并不影响等号成立，为此我们曾令，得到，
两个熟悉的诱导公式，请同学们尝试一下，能否在中对选取特殊实数代换，使诱变成呢？或者说能否把改成用余弦函数来表示呢？请同学回答．
生：可以，因为
该同学的思路非常科学，这样就把新问题问题化归为老问题：．
事实上：（视“”为）
这样，我们便得到公式．
简化为．
由于公式中的仍然是一切实数，请同学们再想一下，如何获得的展开式呢？请同学回答．
生：只要在公式中用代替，就可得到：
即
师：由此得到两个公式：
对于公式还可以这样来推导：
说明：
（1）上述四个公式，虽然形式、结构不同，但它们本质是相同的，因为它们同出一脉：
这样我们只要牢固掌握“中心”公式的由来及表达方式，就掌握了其他三个公式了．这要作为一种数学思想、一个数学方法来仔细加以体会．
（2）、是用的单角函数表达复合角的正、余弦．反之，我们不得不注意，作为公式的逆用，我们也可以用复合角的三角函数来表达单角三角函数．诸如：，，及四种表达式，实质上是方程思想的体现：
由得：
①
由得
②
由，得：
③
由得：
④
等式①、②、③、④在求值、证明恒等式中无疑作用是十分重大的．
（2）例题分析
【例1】不查表，求，的值．
解：
说明：我们也可以用系统来做：
【例2】已知，，，，求，．
分析：观察公式和本题的条件，必须先算出，
解：由，得
又由，得
∴
【例3】不查表求值：
（1）；
（2）．
解：（1）
（2）
练习（投影）
（1），，则．
（2）在△中，若，则△是___________．
参考答案：
（1）∴
∴
（2）由，
∴
∴，为钝角，即△是钝角三角形．
【例4】求证：．
分析：我们从角入手来分析，易见左边有复角（即两角和与差）右边全是单角，所以思路明确，就是要把复角变单角．
证明：
左边
右∴原式成立
如果我们本着逆用公式来看待本题，那么还可这样想：
由
令，则
①
至于
我们可这样分析：
∵
令得
同理
∴①可进一步改写为：
∴……②
又∵
……③
由②、③得
本题还可以从函数名称来分析，左边是正、余弦函数，右边是正切函数，故可考虑从右边入手用化弦法，请同学们自己把上面过程反过来，从右边推出左边．
【例5】求证：
师：本题我们可以从角的形式来分析，左边是单角，右边是复角，如果从右边证左边则要把复角变单角（即利用和角公式）；如果从左边证右边则须配一个角，所以本题起码有两种证法．
证法1：右边
左边
∴原式成立
师：另一种证法根据刚才的分析要配出角，怎样配？大家仔细观察证法一就不难发现了．
证法2：（学生板书）
左边
右边∴原式成立
3．演练反馈（投影）
（1）化简
（2）已知，则的值（）
A．不确定，可在［0、1］内取值B．不确定，可在［－1、1］中取值
C．确定，等于1D．确定，等于1或－1
参考答案：
（1）原式
（2）C
4．总结提炼
（1）利用“拆角”“凑角”变换是进行三角函数式求值、证明、化简的常用技巧，如：，，．在三角形中，，等变换技巧，同学们应十分熟悉．
（2）本节课的例5，代表着一类重要题型，同学们要学习它的凑角方法，一般地，其中．
（3）在恒等式中，实施特值代换，是一类重要的数学方法——母函数法，这种方法在数学的其他学科中，均有用武之地。它反映的是特殊与一般的辨证统一关系．
（四）板书设计
课题：两角和与差的正弦
1．公式推导
①
＝……
得到公式………
把公式中换成得公式………
2．公式的结构特点
用单角函数表示复角函数
右边中两个积的函数名称不同
……运算符号同左边括号
中的运算符号一致（区别于、）
3．折、凑角技巧
例1
例2
例3
例4
例5
演练反馈
总结提炼
高中教案下学期>>4.3--精选版
任意角的三角函数
教学目标：
1．通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值．
2．掌握已知角终边上一点坐标，求四个三角函数值．（即给角求值问题）
教学重点：
任意角的三角函数的定义．
教学难点：
任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示．
教学用具：
直尺、圆规、投影仪．
教学步骤：
1．设置情境
角的范围已经推广，那么对任一角是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题．
2．探索研究
（1）复习回忆锐角三角函数
我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值，定义了角的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示．
（2）任意角的三角函数定义
如图1，设是任意角，的终边上任意一点的坐标是，当角在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为，则．
定义：①比值叫做的正弦，记作，即．
②比值叫做的余弦，记作，即．
图1
③比值叫做的正切，记作，即．
同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件
提问：对于确定的角，这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否有关呢？
利用三角形相似的知识，可以得出对于角，这三个比值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．
请同学们观察当时，的终边在轴上，此时终边上任一点的横坐标都等于0，所以无意义，除此之外，对于确定的角，上面三个比值都是惟一确定的．把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义．
④比值叫做的余切，记作，则．
⑤比值叫做的正割，记作，则．
⑥比值叫做的余割，记作，则．
可以看出：当时，的终边在轴上，这时的纵坐标都等于0，所以与的值不存在，当时，的值不存在，除此之外，对于确定的角，比值，，分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数．
（3）三角函数是以实数为自变量的函数
对于确定的角，如图2所示，，，分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数．
即：实数→角（其弧度数等于这个实数）→三角函数值（实数）
（4）三角函数的一种几何表示
利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图3．
图3
设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角的终边（当为第一、四象限时）或其反向延长线（当为第二、三象限时）相交于，当角的终边不在坐标轴上时，我们把，都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：
这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线．当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．
（5）例题讲评
【例1】已知角的终边经过，求的六个三角函数值（如图4）．
解：∵
∴
提问：若将改为，如何求的六个三角函数值呢？（分，两种情形讨论）
【例2】求下列各角的六个三角函数值
（1）；（2）；（3）．
解：（1）∵当时，，
∴，，
不存在，，不存在
（2）∵当时，，
∴，
不存在
不存在
（3）当时，，
∴
不存在不存在
【例3】作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1）；（2）．
解：，的正弦线，余弦线，正切线分别为．
【例4】求证：当为锐角时，．
证明：如右图，作单位圆，当时作出正弦线和正切线，连
∵
∴
∴
利用三角函数线还可以得出如下结论
的充要条件是为第一象限角．
的充要条件是为第三象限角．
练习（学生板演，利用投影仪）
（1）角的终边在直线上，求的六个三角函数值．
（2）角的终边经过点，求，，，的值．
（3）说明的理由．．
解答：
（1）先确定终边位置
①如在第一象限，在其上任取一点，，则
，
②如在第三象限，在终边上任取一点，则
，
（2）若，不妨令，则在第二角限
∴
（3）在终边上任取一点，因为与终边相同，故也为角终边上一点，所以成立．
说明：以后会知道，求三角函数值的方法有多种途径．用定义求角的三角函数值，是基本方法之一．当角终边不确定时，要首先确定终边位置，然后再在终边上取一个点来计算函数值．
3．反馈训练
（1）若角终边上有一点，则下列函数值不存在的是（）．
A．B．C．D．
（2）函数的定义域是（）．
A．B．
C．D．
（3）若，都有意义，则．
（4）若角的终边过点，且，则．
参考答案：（1）D；（2）B；（3）或8，说明点在半径为的圆上；（4）－6．
4．本课小结
利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角顶点和始边要按既定的位置设置．角的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是很容易．
分类讨论（角位置）是三角函数求值过程中，使用频率非常高的一个数学思想，而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴．
课时作业：
1．已知角的终边经过下列各点，求角的六个三角函数值．
（1）（2）
2．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
3．化简
（1）
（2）
（3）
（4）
参考答案：
1．（1），，
，，
，
（2），，
，，
，
2．（1）－2；（2）8；（3）－1；（4）
3．（1）0；（2）；（3）；（4）
下学期>>4.3任意角的三角函数
下学期
一．教学目标
1．理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量；
2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；
3．了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义，并会判断向量的平行、相等、共线；
4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生进行唯物辩证思想.
二．教学具准备
直尺、投影仪．
三．教学过程
1．设置情境
师：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？
生：不能，因为没有给定发射的方向．
师：现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
生：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向．
师：对！力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．数学中用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量．在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向．
（1）意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等
（2）向量的表示方法：
①几何表示法：点和射线
有向线段——具有一定方向的线段
有向线段的三要素：起点、方向、长度
符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段记作（注意起讫）．
②字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字）
例用1cm表示5nmail（海里）
（3）模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。
记作：||，模是可以比较大小的
注意：①数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2．探索研究（学生自学概念）
（1）介绍向量的一些概念
师：长度为零的向量叫什么向量？如何表示？长度为1的向量叫做什么向量？是不是只有一个？（学生看书回答）
生：长度为零的向量叫做零向量，表示为：0；长度等于1的向量叫做单位向量，有许多个，每个方向都有一个．
师：满足什么条件的两个向量是相等向量？符号如何表示？单位向量是相等向量吗？
生：如果两个向量大小相等且方向相同，那么这两个向量叫做相等向量，a=b单位向量不一定是相等向量，单位向量的方向不一定相同．
师：有一组向量，它们的方向相同或相反，那么这组向量有什么关系？
生：平行．
师：对！我们把方向相同或相反的两个向量叫做平行向量，符号如何表示？如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
生：是平行向量，a//b，各向量的终点都在同一条直线上．
师：对！由此，我们把平行向量又叫做共线向量．
（2）例题分析
【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案
（1）平行向量的方向一定相同？
（2）不相等的向量一定不平行.
（3）与零向量相等的向量是什么向量？
（4）与任何向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的充要条件是什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
解：（1）根据定义：平行向量可以方向相反，故命题（1）为假；
（2）平行向量没有长、短要求，故命题（2）为假；
（3）只有零向量；
（4）零向量；
（5）平行向量；
（6）模相等且方向相同；
（7）不一定，只要它能被平移成共线就行．
说明：零向量是向量，只不过它的起、终点重合．依定义、其长度为零．
【例2】如图，设是正六边形的中心，分别写出图中与向量、，相等的向量．
解：
练习：（投影）在上题中
变式一，与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二，是否存在与向量长度相等，方向相反的向量？（存在）
变式三，与向量共线的向量有哪些？（有、和）
3．演练反馈（投影）
（1）下列各量中是向量的是（）
A．动能B．重量C．质量D．长度
（2）等腰梯形中，对角线与相交于点，点、分别在两腰、上，过且，则下列等式正确的是（）
A．B．C．D．
（3）物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量
参考答案：（1）B；（2）D；（3）相等，相反
4．总结提炼
（1）描述一个向量有两个指标：模、方向．
（2）平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否真的不在一条直线上无关．
（3）向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性．
四．板书设计
向量
1．向量的定义
2．表示法6．例题
3．零向量和单位向量7．演练反馈
4．平行向量（共线向量）8．总结提炼
5．相等向量
下学期
一．教学目标
1．理解点P分有向线段所成的比λ的含义，能确定λ的正负号；
2．掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式，并能熟练运用这两个公式解决实际问题；
3．向学生渗透数形结合的思想，培养学生的思维能力，发现事物间的变化规律.
二．教学重点线段的定比分点和终点的坐标公式的应用．
教学难点用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还时λ＜0．
三．教学具准备
投影仪，直尺．
四．教学过程
1．设置情境
已知线段的两个端点、，为线段所在直线上任一点，由共线向量知识，必有．我们能否解决这样的问题，（1）已知及、，求P点坐标；（2）已知、及，求值．
本节课就来讨论上述两个问题，（板书课题——线段的定比分点）
2．探索研究
（1）师：请同学们回忆叙述向量的加、减、实数与向量的积的坐标运算法则．
生：两个向量的和（差）的坐标，等于这两个向量的相应的坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标，等于这个实数与这个向量的相应坐标的积．
师：已知直线l上两点、，在直线l上取不同于、的任一点P，则P点的位置有哪几种情形？
生：有三种情形，P在之间；P在的延长线上，P在的延长线上．
师：请得很好，下面我们就P在直线上的三种情况给出定义：
设、是直线l上的两点，点P是l上不同于、的任意一点，若存在一个实数使，则叫做点P分有向线段所成的比．
你能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定的取值范围吗？（启发学生从向量的方向上考虑）
生：当P在之间时，与方向相同，所以；当点P在的延长线上时，；若点P在的延长线上时，同理可得．
下面我们利用平面向量的坐标运算推导定比分点坐标公式
师：设，，P分所成的比为，如何求P点的坐标呢？
（按以下思路引导学生进行思考）
师：设，你能用坐标表示等式吗？
生：
师：由两个向量相等的条件，可以得出什么结论呢？
生：
师：对！这就是线段的定比分点P的坐标公式，特别地，当时，得中点P的坐标公式：
（2）例题分析
【例1】已知两点，，求点分所成的比及y的值．
解：由线段的定比分点坐标公式得
【例2】如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且，求点G的坐标．
解：∵D是AB的中点
∴点D的坐标为
∵
∴
由定比分点坐标公式可得G点坐标为：
即点G的坐标为，也就是的重心的坐标公式．
3．演练反馈（投影）
（1）如图所示，点B分有向线段的比为，点C分有向线段的比为，点A分有向线段的比为．
（2）连结A（4，1）和B（－2，4）两点的直线，和x轴交点的坐标是，和y轴交点的坐标是．
（3）如图所示，中，AB的中点是D（－2，1），AC的中点是E（2，3），重心是G（0，1），求A、B、C的坐标．
参考答案：（1）；（2）（6，0）、（0，3）；（3）用三角形基法作图得：A（0，5），B（－4，－3），C（4，1）
4．总结提炼
（1）定比分点的几种表达方式：
……向量式
……坐标式
……公式形式
（2）中点公式，重心公式要熟记．
（3）定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法．
五．板书设计
1．定比分点的定义
（1）内分点3．例1
（2）外分点
a．
b．
2．分点坐标公式4．演练反馈
a．5．总结提炼
b．
高中教案下学期__万能通用篇
（第二课时）
一．教学目标
1．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；
2．能利用向量减法的运算法则解决有关问题；
3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
4．过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．
二．教学重点：向量的减法的定义，作两个向量的差向量；
教学难点：对向量减法定义的理解．
三．教具：多媒体、实物投影仪
四．教学过程
1．设置情境
上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法（板书课题：向量的减法）
2．探索研究
（1）向量减法
①相反向量：与长度相等，方向相反的向量叫做相反向量。记作
规定：零向量的相反向量仍是零向量
注意：1°与互为相反向量。即
2°任意向量与它的相反向量的和是零向量。即
3°如果、是互为相反向量，那么
②与的差：向量加上的相反向量，叫做与的差
即
③向量的减法：求两个向量的差的运算叫做向量的减法
④的作法：已知向量、，在平面内任取一点O，作，则。即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量
⑤思考：为从向量的终点指向向量的终点的向量是什么？（）
师：还可以从加法的逆运算来定义，如下图所示，因为，所以就是，因而只要作出了，也就作出了．
要作出，可以在平面内任取一点，作，，则．
师：若两向量平行，如何作它们的差向量？两个向量的差仍是一个向量吗？它们的大小如何（的几何意义）？方向怎样？
生：两个向量的差还是一个向量，的大小是，是连接、的终点的线段，方向指向被减向量．
练习：（投影）
判断下列命题的真假
（1）．（）
（2）相反向量就是方向相反的向量．（）
（3）（）
（4）（）
参考答案：√、×、×、×
（2）例题分析
【例1】已知向量、、、，求作向量，
师：已知的四个向量的起点不同，要作向量与，首先要做什么？
生：首先在平面内任取一点，作，，，
作、，则，
【例2】如图所示，中，，用、表示向量、．
师：由平行四边形法则得
由作向量差的方法
得
练习：（投影）
对例2进行变式训练
变式一，本例中，当、满足什么条件时，与互相垂直？
变式二，本例中，当、满足什么条件时，？
变式三，本例中，与有可能相等吗？为什么？
参考答案：
变式一：当为菱形时，即时，与垂直．
变式二：当为长方形时，即．
变式三：不可能，因为的对角线总是方向不同的．
3．演练反馈（投影）
（1）△中，，，则等于（）
A．B．C．D．
（2）下列等式中，正确的个数是（）
①；②；③；④；⑤．
A．5B．4C．3D．2
（3）已知，，则的取值范围是_____________．
参考答案：（1）B；（2）B；（3）［3，13］
4．总结提炼
（1）相反向量是定义向量减法的基础，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量：
（2）向量减法有两种定义：①将减法运算转化为加法运算：②将减法运算定义为加法运算的逆运算：如果，则．从作图上看这两种定义没有本质区别，前一个定义就是教材采用的定义法，但作图稍繁一点；后一种定义便于作图和记忆，两个有相同起点的向量相减，所得向量是连接两向量终点，并且指向被减向量的终点．
五．板书设计
向量的减法
相反向量例1．例2．
向量的减法
下学期【推荐】
4．6两角和与差的正弦、余弦、正切（第一课时）
（一）教具准备
直尺、圆规、投影仪
（二）教学目标
1．掌握公式的推导，并能用赋值法，求出公式．
2．应用公式，求三角函数值．
（三）教学过程
1．设置情境
上一单元我们学习了同一个角的三角函数的性质以及各三角函数之间的相互关系．本节开始讨论两个角的三角函数，已知任意角的三角函数值，如何求出，或的三角函数值，这一节课我们将研究、．
2．探索研究
（1）公式、推导．
请大家考虑，如果已知、，怎样求出？
是否成立．
生：不成立，，等式就不成立．
师：很好，把写成是想应用乘法对加法的分配律，可是是角的余弦值，并不是“”乘以，不能应用分配律．
事实上如果都是锐角，那么总有．
考虑两组数据
①，这时，而
②，这时，而
从这组数据我们发现不能由、直接得出．师：如果我们再算出，，试试看能否找到什么关系．
生：①，，，，
而
②，，，，
而
由（1）、（2）可得出，
师：这位同学用具体的例子得到的一个关系式：
只有通过严格的理论证明才行．下面给出证明：为了证明它，首先给出两点间的距离，图1(也可以利用多媒体课件演示)．考虑坐标平面内的任意两点，过点分别作轴的垂线，，与轴交于点，；同理，
那么，，由勾股定理，由此得到平面内两点间的距离公式
师：（可以用课件演示）如右图2，在直角坐标系内作单位圆，并作出角、与请同学们把坐标系中，，，各点的坐标用三角函数表示出来．
生：，，，
师：线段与有什么关系？为什么？
生：因为△≌△，所以．
师：请同学们用两点间的距离公式把表示出来并加以整理．
展开并整理，得
所以（记为）
这个公式对任意的，均成立，如果我们把公式中的都换成，又会得到什么？
生：
即
（记为）
（2）例题分析
【例1】不查表，求及的值．
因为题目要求不查表，所以要想办法用特殊角计算，为此化成，化成，请同学们自己利用公式计算．
注：拆角方法并不惟一．事实上，如果求出，那么，再者，也可写成，甚至等均可以．
【例2】已知，，，，求的值．
分析：观察公式要算应先求出，．
解：由，得
又由，得
【例3】不查表，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）
（2）
（3）
【例4】证明公式：
（1）；（2）
证明：（1）利用可得
∴
（2）因为上式中为任意角，故可将换成，就得
即
练习（投影、学生板演）
（1）
（2）已知，，求
解答：
（1）逆用公式
（2）凑角：∵，∴，故
．
说明：请同学们很好体会一下，上述凑角的必然性和技巧性，并能主动尝试训练，以求熟练。
3．演练反馈
（1）的值是（）
A．B．C．D．
（2）等于（）
A．0B．C．D．2
（3）已知锐角满足，，则为（）
A．B．C．或D．，
参考答案：（1）B；（2）B；（3）A．
4．总结提炼
（1）牢记公式“”结构，不符合条件的要能通过诱导公式进行变形，使之符合公式结构，即创造条件用公式．
（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系，如已知角、的值，求，应视、分别为已知角，为未知角，并实现“”与“”及“”之间的沟通：．
（3）利用特值代换证明，，体会的强大功能．
（四）板书设计
1．平面内两点间距离公式
2．两角和余弦公式及推导
例1
例2
例3
例4
练习反馈
总结提炼
下学期【精】
正弦、余弦的诱导公式教学设计示例（一）
教学目标：
1．掌握诱导公式及其推演时过程．
2．会应用诱导公式，进行简单的求值或化简．
教学重点：
理解并掌握诱导公式．
教学难点：
运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式．
教学用具：
三角板、圆规、投影仪．
教学过程：
1．设置情境
我们已经学过了诱导公式一：，，，（），有了它就可以把任一角的三角函数求值问题，转化为～间角的三角函数值问题．那么能否再把～间的角的三角函数求值，继续化为我们熟悉的～间的角的三角函数求值问题呢？如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以化归为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到最终解决，本课就来讨论这一问题．
2．探索研究
（1）出示下列投影内容
设，对于任意一个到的角，以下四种情形中有且仅有一种成立．
首先讨论，其次讨论，以及的三角函数值与的三角函数值之间的关系，为了使讨论更具一般性，这里假定为任意角．
（2）学习诱导公式二、三的推导过程．
已知任意角的终边与单位圆相交于点，请同学们思考回答点关于轴、轴、原点对称的三个点的坐标间的关系．
点关于轴对称点，关于轴对称点，关于原点对称点（可利用演示课件）．
图1由于角的终边与单位圆交于，则的终边就是角终边的反向延长线，角的终边与单位圆的交点为，则是与关于对称的点．所以，又因单位圆半径，由正弦函数、余弦函数定义，可得
于是得到一组公式（公式二）
我们再来研究角与的三角函数值之间的关系，如图2，利用单位圆作出任意角与单位圆相交于点，角的终边与单位圆相交于点，这两个角的终边关于轴对称，所以
∵
∴
于是又得到一组公式（公式三）
【例1】求下列三角函数值：
（1）（2）；
（3）；（4）．
解：（1）
（2）
（3）
（4）
【例2】化简：
解：∵
∴原式
（3）推导诱导公式四、五
请同学们思考如何利用已学过的诱导公式推导，与的三角函值之间的关系？由诱导公式我们可以得到
：
由此可得公式四、五
公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式．概括如下：，，，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
【例3】求下列各三角函数：
（1）；（2）．
解：（1）
（2）
．
观察以上的解题过程，请同学们总结，利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤．
学生回答后老师总结得出，在求任意角的三角函数值时一般可按以下步骤：
运用诱导公式解题的本质是多次运用“化归”思想方法，化负角为正角，化到的角为到间的角，再求值的过程．
3．演练反馈（投影仪）
（1）已知，求的值
（2）已知，求的值
（3）已知，求的值
参考答案：
（1）若为Ⅳ象限角，则
若为Ⅰ象限角，则
（2）
（3）∵
∴
4．本课小结
（1）求任意角的三角函数式的一般程序：负（角）变正（角）→大（角）变小（角）→（一直）变到～之间（能查表）．
（2）变角是有一定技巧的，如可写成，也可以写成不同表达方法，决定着使用不同的诱导公式．
（3）凑角方法也体现出很大技巧。如，已知角“”，求未知角“”，可把改写成．
课时作业：
1．已知，是第四象限角，则的值是（）
A．B．C．D．
2．下列公式正确的是（）
A．B．
C．D．
3．的成立条件是（）
A．为不等于的任意角B．锐角
C．D．，且
4．在中，下列各表达式为常数的是（）
A．B．
C．D．
5．化简
（1）
（2）
6．证明恒等式
参考答案：
1．A；2．D；3．D；4．C；5．（1）0，（2）；
6．左
右
下学期(小编推荐)
教学目标
1．理解引入大于角和负角的意义．
2．理解并掌握正、负、零角的定义．
3．掌握终边相同角的表示法．
4．理解象限角的概念、意义及其表示方法．
重点难点
1．理解并掌握正、负、零角的定义．
2．掌握终边相同角的表示法．
教学用具
直尺、投影仪
教学过程
1．设置情境
设置实例（1）用扳手拧螺母（课件）；（2）跳水运动员身体旋转（视频）．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握～角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．
2．探索研究
（1）正角、负角、零角概念
①一条射线由原来位置，绕着它的端点，按逆时针方向旋转转到形成的角规定为正角，如图中角；把按顺时方向旋转所形成的角规定为负角，如图中的；射线没作任何旋转时，我们认为它这时也形成了一个角，并把这个角规定为零角，与初中所学角概念一样，、，点分别叫该角的始边、终边、角顶点．
②如果把角顶点与直角坐标系原点重合，角的始边在轴的正半轴上，这时，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角，特别地，如果角的终边落在坐标轴上，就说该角不属于任何象限，习惯上称其为轴上角．
③我们作出，及三个角，易知，它们的终边相同。还可以看出，，的终边也是与角终边重合的，而且可以理解，与角终边相同的角，连同在内，可以构成一个集合，记作．一般地，我们把所有与角终边相同的角，连同角在内的一切角，记成，或写成集合形式．
（2）例题分析
【例1】在～间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）；（2）；（3）．
解：（1）∵
∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；
（2）∵
∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；
（3）
所以与角终边相同的角是，它是第二象限角．
总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以，按通常除去进行；负的角度除以，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值．
练习：（学生板演，可用投影给题）
（1）一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______．
（2）集合中，各角的终边都在（）
A．轴正半轴上，
B．轴正半轴上，
C．轴或轴上，
D．轴正半轴或轴正半轴上
解答：（1）（2）C
【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来：
（1）；（2）；（3）．
解：（1）
中适合的元素是
（2）
满足条件的元素是
（3）
中适合元素是
说明：与角终边相同的角，连同在内可记为，这里
（1）；（2）是任意角；
（3）与之间是“＋”连接，如应看做；
（4）终边相同角不一定相等，但相等的角终边必相同，终边相同的角有无数个，它们彼此相差的整数倍；
（5）检查两角，终边是否相同，只要看是否为整数．
练习：（学生口答：用投影给出题）
（1）请用集合表示下列各角．
①～间的角②第一象限角③锐角④小于角．
（2）分别写出：
①终边落在轴负半轴上的角的集合；
②终边落在轴上的角的集合；
③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；
④终边落在四象限角平分线上的角的集合．
解答（1）①；
②；
③；④
（2）①；
②；
③；
④．
说明：第一象限角未必是锐角，小于的角不一定是锐角，～间的角，根据课本约定它包括，但不包含．
【例3】用集合表示：
（1）第三象限角的集合．
（2）终边落在轴右侧的角的集合．
解：（1）在～中，第三象限角范围为，而与每个角终边相同的角可记为，，故该范围中每个角适合，，故第三象限角集合为．
（2）在～中，轴右侧的角可记为，同样把该范围“旋转”后，得，，故轴右侧角的集合为．
说明：一个角按顺、逆时针旋转（）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转（）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．
3．练习反馈
（1）与的终边相同且绝对值最小的角是______________．
（2）若角与角的终边重合，则与的关系是___________，若角与角的终边在一条直线上，则与的关系是____________．
（3）若是第四象限角，则是（）．
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
答案：（1）；
（2），，；
（3）C
4．总结提炼
判断一个角是第几象限角，只要把改写成，，那么在第几象限，就是第几象限角，若角与角适合关系：，，则、终边相同；若角与适合关系：，，则、终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为：，这种模式（），然后只要考查的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．
课时作业
1．在到范围内，找出与下列各角终边相同角，并指出它们是哪个象限角
（1）（2）（3）（4）
2．写出终边在轴上的角的集合（用～的角表示）
3．写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来．
4．时针走过3小时20分，则分钟所转过的角的度数为______________，时针所转过的角的度数为______________．
5．写出终边在直线上的角的集合，并给出集合中介于和之间的角．
6．角是～中的一个角，若角与角有相同始边，且又有相同终边，则角．
参考答案：
1．（1）（2）（3）（4）
2．
3．，或
4．，
5．，或
6．
高中教案高一下学期英语单词表（Unit）
高一下学期英语单词表（unit19）
unit19
△producen产量;产物;农产品
protectionn保护;防卫
△diken堤坝;排水沟
△sugarcanen甘蔗
△arableadj可耕的;适于耕种的
techniquen技术;技巧;方法
△fertilizationn施肥;授精
△fertilisern肥料;化肥
△fertilisevivt施肥;使肥沃
irrigationn灌溉;冲洗
△modernisevt使现代化
pumpn泵;抽水机vt(用泵)抽(水);抽吸
seedn种子;萌芽
△seedbedn苗床
technicaladj技术的;技术上的
importn进口;引入;进口货vtvi进口;输人
△delegationn代表团;授权;委托
productionn总产量;产品;生产
dependon依*;信赖;取决于
methodn方法;办法;方法论
△shortagen不足;缺少
△greenhousen温室;花房
rootn根;根部
insectn昆虫
△gm(=geneticallymodified)转基因
△geneticallyadv由基因决定的;与遗传有关的
△genen基因;(遗传)因子
△modifyvt更改;修改;修饰
tobaccon烟叶;烟草制品;抽烟
△watermelonn西瓜
△soybeann大豆
△seedlessadj无子的
goldenadj金色的;黄金的
tien领带;领巾;鞋带
discoveryn发现;被发现的事物
gardenvtvi从事园艺;栽培花木
gardeningn园艺;造园术;园林工作
gardenern园丁
wisdomn智慧;学识;明智的行为
practicaladj实际的;实践的;实用的
guiden向导;有指导意义的事物vt指导;管理;领带
firstlyadv第一;首先
sowvtvi播种;散布;使密布
conditionn条件;状况
soiln土壤;土地;国土
weedn野草;杂草vt除草;铲除
removevt移动;搬开
△ploughvt耕;犁耕n犁
andsoon等等(表示列举未尽)
sunflowern向日葵
△proverbn谚语;俗语;常言
sunsetn日落;衰落时期(尤指人的晚年)
△morrrown(古)(诗)次日;翌日;早晨
△cacklevi(鸡等下蛋后)咯咯叫;咯咯地笑
下学期__万能通用篇
（第一课时）
一、教学目标
1．正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；
2．掌握平面向量的数量积的重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；
3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；
4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.
二、教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用
教学难点平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解．
三、教学具准备
直尺，投影仪
四、教学过程
1．设置情境
师：我们学过功的概念：即一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功：，其中表示一个什么角度？
表示力的方向与位移的方向的夹角．
我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，就一般向量、，来规定的含义。
2．探索研究
（l）已知两个非零向量和，在平面上任取一点，作，，则叫做向量与的夹角．你能指出下列图中两向量的夹角吗？
①与的夹角为，②与的夹角为，③与的夹角是，④与的夹角是．
（2）下面给出数量积定义：
师：（板书）已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量，叫做向量与的数量积或（内积）记作即
并规定
师：在平面向量的数量积的定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别．
生：向量的数量积结果是一个数量，而向量的加法和减法的结果还是一个向量．
师：你能从图中作出的几何图形吗？表示的几何意义是什么？
生：如图，过的终点作的垂线段，垂足为，则由直角三角形的性质得：
所以叫做向量在向量上的投影，叫做在上的投影．
师：因此我们得到的几何意义：向量与的数量积等于的长度与在的方向上的投影的积．
注意：1°投影也是一个数量，不是向量。
2°当q为锐角时投影为正值；
当q为钝角时投影为负值；
当q为直角时投影为0；
当q=0°时投影为|b|；
当q=180°时投影为-|b|。
向量的数量积的几何意义：
数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。
（3）下面讨论数量积的性质：
（每写一条让学生动手证一条）设，都是非零向量，是与的方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①
②
③当与同向时，，当与反向时，。
特别地
④
⑤
3．演练反馈（投影）
（通过练习熟练掌握性质）
判断下列各题是否正确
（1）若，则对任意向量，有（）
（2）若，则对任意非零量，有（）
（3）若，且，则（）
（4）若，则或（）
（5）对任意向量有（）
（6）若，且，则（）
参考答案：（l）√，（2）×，（3）×，（4）×，（5）√，（6）×．
4．总结提炼
（l）向量的数量的物理模型是力的做功．
（2）的结果是个实数（标量）
（3）利用，可以求两向量夹角，尤其是判定垂直。
（4）二向量夹角范围．
（5）五条属性要掌握．
五、板书设计
课题
1．“功”的抽象
2．数量积的定义
3．（5）条性质
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
4．演练反馈
5．总结提炼