百分数整理复习

大家对教案都很熟悉了吧，多写教案能够提升老师的策划能力，一份优质的教学方案往往来自教师长时间的经验累积，高中教案应该从哪方面来写呢？小编为大家收集整理了百分数整理复习，希望能够帮助到您。

复习内容

百分数的意义、纳税、利息百分数应用题课本第127至128页整理和复习，练习三十四。

一、复习目的

1.通过复习使学生进一步理解百分数的意义，掌握纳税、利息百分数应用题特征，能较熟练地理解这一类应用题。

2.提高学生解题能力。

3.对学生进行爱国主义教育。

二、学法指导

1.引导学生回忆所学知识，进行整理，形成知识网络。

2.指导学生运用多种形式，合作学习，掌握所学知识。

三、教学重点：百分数的意义和百分数的应用。

四、教学难点：百分数的应用。

五、教学步骤

百分数有关知识

（一）百分数：意义，表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数也叫做百分率或百分比。写法：90%108.5%

与分数在定义有什么不同：使学生明确：分数既可以表示一个数，又可以表示两个数的比；百分数只表示两个数的比，不能写单位名称。

（二）百分数和分数小数的互化：百分数小数互化

百分数分数互化：

（三）百分数的应用：

百分数的一般应用题，一个数是另一个数的百分之几，发芽率出粉率合格率出勤率┉┉（结合133页3题）稍复杂的百分数应用题

关键：确定单位“1”与分数应用题类同。

纳税：增值税，消费税，营业税，个人所得税（结合133页5题）

利息：利息＝本金×利率×时间

百分数有关知识：百分数、小数、分数互化133页整理和复习2题。练习三十四1、2题分组练习，订正时说一说是怎样想的。

六、布置作业

练习三十四3、4题，学生独立解答，教师巡视。

七、板书设计（略）

jK251.COm精选阅读

以内进位加法的整理与复习 精选版

20以内进位加法的整理与复习

一、教学目标：

1．通过对20以内进位加法的整理，发现其中的规律，使学生进一步掌握计算方法。

2．培养学生观察、归纳、概括的能力。

3．渗透从多方面、多角度观察事物以及函数思想。

二、教学重点：整理与复习。

三、教学难点：观察规律。

四、教学准备：4个人一组，每组准备一套写有进位加法的36道题的卡片。

教者手记

20以内进位加法是学习多位数计算的基础，是进一步学习数学必备的基本功之一。搞好本单元的教学，对于提高学生的口算能力，进一步学习数的四则混合运算具有十分重要的意义。本节课在例题的选取上，力争取材于现实，来源于生活，贴近学生生活实际。在教学中，力争充分发挥学生的个性，使学生在已有知识的基础上以及在积极的实践活动中发现规律，使他们体验到探索成功的喜悦。在教法上，提倡多种思路，为学生提供发表自己意见的场所。在多种思路的基础上，侧重“凑十法”。

例：电脑显示本班9个学生做“老鹰捉小鸡”的游戏和5个同学跳绳的画面，让学生根据图意说三句话。根据提出的问题列出算式：9＋5＝()。设计的意图是通过学生实际生活的一个画面，引出课题，一方面能引起学生的兴趣，体会出新知的用途，学起来自然、真实、亲切，不仅能够达到学以致用的目的，同时也增添了课堂情趣，增强了学生的参与意识。

在学生理解图意、列出算式的基础上，提出问题：9＋5＝14，你是怎样想的？你能想出几种方法？想不出来的同学可以用小棒摆一摆。提出这样问题的目的，是为了改变教师主宰一切的现象和做法，使课堂真正成为共同发现知识的自由、民主的集体活动场所。充分相信学生，让所有学生主动参与教学活动的全过程，主动学习，主动获取，使学习变为儿童在一种积极心态调动下的原有知识经验与新问题、新知识的相互作用与融合，从而获得更加广泛的知识。根据小学生好奇心、好胜心强的特点，设计了第二问，因为学生根据数数，能够知道9＋5＝14，就会积极地从其他途径去探索，多角度、多方位思考问题，使思路由一条扩展到多条，由一个方向转移到多方向。遵循低年级儿童的年龄特征，学生的思维发展和知识的获得很多时候是从动手操作开始的，在思考问题的时候，借助学具，通过摆一摆，算一算，能从动作中发现、思索，获得直观的知识，初步获得9＋5＝14的思维过程。因此我安排了学生动手操作这一环节。这样设计问题，还能够使不同层次的学生都有展示自已的机会，都能得到发展。

在学生充分操作、思考的基础上，全班进行交流，学生汇报了多种思考方法：

3．因为10＋5＝15，所以9＋5＝14；

4．9＋5＝10＋5－1＝14；

5．因为9－5＝4，所以9＋5＝14。

这种交流，不仅是方法的交流，更是学生思维的交流，展示以“凑十法”为基础的各种算法，既有展示个性的机会，又开拓了学生的思维。

学生掌握了基本计算方法，接着出示8只白鸭和5只黄鸭的画面，让学生用自己喜欢的方法计算出得数，在两次实践后，得出计算20以内进位加法用“凑十法”比较简便。最后用“凑十法”计算7＋5＝，6＋5＝，以此巩固“凑十法”，并提问：9＋5，8＋5，7＋5，6＋5，为什么有的5分成2和3，有的分成3和2，还有的被分成1和4？这样的问题，目的是引导学生去思考问题、发现问题。通过观察，归纳出给大数凑十比较简便，在观察中，总结出见9想1，见8想2，见7想3……有的学生还发现了9＋几，和的个位都比几少1；8＋几，和比几少2……最后，通过练习，逐步巩固，缩短思维过程，达到多重教学目的。

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教学内容

教科书125页，练习三十．

一、素质教育目标

(一)知识教学点

1．通过，进一步掌握方程的有关知识。

2．通过，进一步掌握用方程解应用题。

(二)能力训练点

1．通过，加强知识间的联系，形成知识网络。

2．通过，培养学生计算的敏捷性和灵活性。

(三)德育渗透点

通过知识化间的联系，使学生受到辩证唯物主义的启蒙教育。

(四)美育渗透点

通过，使学生感受到数学知识内在联系的逻辑之美，从而感悟到数学知识的魅力。

二学法指导

1．引导学生回忆所学过知识，使知识系统化。

2．指导学生利用已有经验，进行体验，巩固所学知识。

三教学重点

通过知识间的联系，掌握方程的概念和解方程的能力。

四教学难点

知识间的内在联系。

五教具学具准备

投影仪、投影片等。

六教学步骤

(一)导入(略)

(二)复习

1．这单元学习了什么内容?

2．回忆并概括，板书

(1)用字母表示数

(2)解简易方程

(3)列方程解应用题。

(先启发学生回忆学过的知识，为做准备)。

(三)整理

1．用字母表示数

(1)出示1(1)

用字母表示数——每天跑步的米数用X表示。

用字母表示数量关系——一星期跑的米数7X。

用含有字母的式子表示数量——现在每天跑步的米数x+2凹

(2)出示1(2)，引导学生解答。

(把用字母表示数，按的类型进行梳理，形成知识结构。)

2．解简易方程

(1)方程的意义，引导学生回忆。

解方程的意义

出示练习三十二1题，进行反馈练习。

(2)3题

①口述解题步骤

②使学生明确：根据加、减、乘、除运算关系进解答，这在以前解含有未知数尤的等式中已经掌握。

③出示练习三十三3、4题，部分题分组进行解答，订正，并说一说是怎样想的?

(边整理边反馈练习，使学生已有的经验得到充分体验和发展，提高学生的计—算能力。)

④引导学生总结，解方程应注意的问题。

3．列方程解应用题

列方程解应用题，用方程的方法解决实际问题。

(1)列方程解应用题的特点是

①用字母表示未知数

②分析题中的等量关系

③列出含有未知数x的等式——方程

④解答，检验与答答话。

(2)4题

分组进行交流，订正时说一说是怎样想的?

(3)练习三十三4题，用方程解，独立计算。

(4)5题

①先分组用不同方法解答

②引导学生进行比较

使学生明确：

用方程解应用题：用算术方法解应用题

1．未知数用字母表示，勃口列式。1．未知数不参加列式。

2。根据题意找出数量间的相等2．根据题里已知数和未知数间关系，引出含有未知数x

的关系，引出含有末知数x的等式。的关系，确定解答步骤，再列式计算。

注意：用方程解应用题，得数不注明单位名称；而用算术方法解应用题，得数要注明单位名称。

今后题目中除指定解题方法以外，自己选择解题方法。

(5)练习三十三6题

订正时，引导学生分析、比较。

七布置作业

练习三十三3、4题部分题，7、8题。

八板书设计（略）

走进分数的世界

执教：夏青峰（全国小学数学赛课一等奖获得者，江苏省特级教师，江苏省无锡市江阴华士实验学校小学部校长）

记录/评析：张金龙（江苏省吴江市实验小学）一、课前交流——“引领”师：同学们，下面老师要和大家要一起度过美好的40分钟，大家欢迎吗？真欢迎还是假欢迎？那作为小主人你想说什么？（教师亲切的话语，顿时勾起学生学习的浓厚兴趣。）生：欢迎客人老师来到我们江苏扬州宝应县。我们的大门永远敞开欢迎您。（掌声。）师：（屏幕出示一张青蛙素描图。）你看见了什么？学生：蟾蜍。师：是青蛙啊，（众笑）哦，我画的是青蛙，你说的是蟾蜍啊。（又笑）那么我倒过来放，你又看到了什么？生：我看到了一个码头。师：看来不同的角度可以看出不同的事物。再出示一张图。师：看见了什么？生：一个人在吹喇叭。生：一个大鼻子的人在抽烟。（此处，教师应适时进行健康教育，吸烟有害健康！让学生从小知道这一点，非常重要，不可小视、更不可忽视！虽然此处看似与数学教学关系不大。）师：有没有看到漂亮女孩的脸？生：没有。生：我看到了。不同的角度可以看到不同的东西。师：我再问大家一个非常简单而又非常难答的问题，1加1等于几？生：等于2。师：错了。等于1。你们老师教“错”了。（众笑，激趣。）师：比如，一团橡皮泥加一团橡皮泥等于——一团橡皮泥。师：7加8等于？（1！）不同的视角看1，看到的不同。（再如，2+5≠7，2+5=1，即：2天+5天=1周。）评析：借班上课，师生课前交谈，看似简单、平淡、多余，实属不可或缺的必要环节之一，尤其是像“第三届新教育实验研讨会”等全国性的重大教研活动。夏青峰老师作为远道而来的客人教师，利用课前短暂的两三分钟组织教学，激趣引领，从而一定程度上缩短师生心理距离，营造了宽松和谐、自由活跃的课堂氛围，制造了必需的学生心理磁场；千方百计力求让课堂成为学生数学思维的运动场！二、唤起经验——“起跑”师：今天我们学习的内容是五年级学生学习的，你们刚刚三年级结束，有信心学好吗？有了信心还要有好的学习方法。（跳一跳，摘果子！）师：今天我们学的内容是“分数的意义”。（教师随即板书课题。）师：关于分数，我们已经知道了什么？（教师借用电脑PowerPoint演讲稿形式，实物投影，呈现问题。）生1：分子、分母和分数线。师：你能举个例子吗？（教师设问，引出话题。）生：把一个苹果分成2份，取其中的1份就是1/2。（该生说到第3遍，才悟出是“平均分”，教师没有急于求成，而是让学生自我纠正。从而突出概念的关键词“平均分”。这样的学习应该是刻骨铭心的！）生2：我还知道了分数的大小。比如：4/5>2/5。生3：我还知道分母表示平均分的份数，分子表示取的份数。……师：老师也想说我自己知道的一些知识。投影出示4副图：虽然都表示1/4，但是可以看到古希腊人、古中国、古印度人、阿拉伯人用了不同的表示方法。三千多年前，用嘴巴的形状代表分数，后来逐渐演变到现在的1/4，（教师依次向学生介绍分数的历史渊源）……评析：《小学数学新课程标准》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。夏老师在教学《分数的意义》这一概念时，就是从学生学情出发，简短的一句“你已经知道了什么”唤起了学生已有的知识经验，找到了新知与旧知的链接点，改变了传统的概念教学“复习——引新——练习——巩固”的程式化、僵化的四环节教学。教师借助现代教育媒体手段向学生介绍分数的由来，适时渗透了数学文化思想。导入部分，教师对于知识结构的变革，缘于教师全新的课程理念，使学生的思维开始了有效的“起跑”。三、文本阅读-----“加速”师：你还有什么问题吗？你还想知道什么？（教师借用电脑PowerPoint演讲稿形式，实物投影，再次呈现问题。）生1：最大的分数是什么？生2：分数能乘除吗？生3：分数可以做应用题吗？生4：为什么会有分数？……（学生头脑里装载着一系列数学问题，学生的思维是期待点燃的火种！绝非数学知识的简单容器！）师：这些问题，相信大家可以通过看书，也可以上网查资料等方法自己去解决。师：现在就请大家看书，哪些已经明白？哪些还不太明白，通过看书哪些可以自己解决，哪些还解决不了？我们就一起来解决。学生看书。师：好，通过自学课本，你又知道了什么？生1：如果把一个东西平均分成若干分，其中有几分就可以用分数表示。生2：分数是怎么产生的？我知道了分数产生的原因。生3：如果把许多物体合在一起，就可以用自然数表示……师：还有什么看不懂的地方？生4：一个数字，为什么称它为自然数？师：板书：1与“单位1”。（教师及时纠正这里的“1”是指单位“1”，与自然数的1是有区别的。学生问题动态生成，教师说理就地取材，“随意”列举：像现在的一个班级，一个大会场所有的人，都可以看作单位“1”。）生5：为什么不能说二分之一是一半呢？（能的。）生6：为什么不规则的图形可以看成一个整体？（教师“信手”板书板画一个个不规则图形，引导学生可以将它看成一个整体。）评析：建构主义教学论认为：学生的知识建构不是教师传授与输出的结果，而是通过亲历，通过与学习环境间的交互作用来实现的。如果说以往的概念教学，教师侧重于直观演示、通过举例让学生来理解定义，那么，新课程中，课堂活动发生了变化，教师的课堂角色也发生了变化。课本是知识的载体，是教师的教和学生学的中介物，它对教学起着指导作用。阅读文本，使学生真正走近（进）了“分数”的世界，《分数的意义》一课中，学生对于单位“1”的理解是一个难点，夏老师大胆放手让学生提出问题，辨析问题，真正体现了学生是学习的主体，帮助学生实现思维的“加速”。四、操作实验——“冲刺”师：我们要学会自己出题考自己。现在来进行“闯三关”游戏。【第一关】：试试你的眼力。1、出示一个长方形，标出其中的一部分，让学生目测是其中的几分之几？（1/3。）为什么看出三分之一？把一个长方形平均分成三份，表示这样的一份。学生回答后，教师板书：1/3是把一个长方形平均分成3份，表示这样1份的数。2、出示一个圆，阴影部分可用什么分数表示？（学生猜测是1/3、1/2、3/8……实际上是一个圆的八分之三）教师板书：3/8是把一个圆平均分成8份，表示这样3份的数。3、教师出示的部分是整个图形的四分之一。（露出的是一个小三角形），你能根据老师画的，画出下面的图形吗？老师告诉你，答案可能不止是一种。学生操作，接着上台展示自己的画。师问：关键看什么？生：看露出一份。（学生展示的作品多姿多彩，生生互动，充分体现学生富于个性的思维以及每个人的主观能动性。）老师也出示多种情况的图。（说明有很多可能性，展示思维的多角度。）【第二关】：快速抢答。1、铅笔实验：师：把6枝铅笔平均分给3人，每人几枝？（2枝）师：把8枝铅笔平均分给4人，每人几枝？（2枝）师：把一盒铅笔平均分给2人，每人得多少？（1/2）师：把一盒铅笔平均分给6人，每人得多少？（1/6）生：把6枝铅笔平均分给3人，每人得其中的1/2。师：为什么把6枝铅笔平均分给3人，每人得2枝，还可以用1/2表示呢？把8枝铅笔平均分给4人，每人2枝，可以用1/2表示吗？假如把100枝铅笔平均分成2份，每一份也可以用1/2表示吗？（这一环节主要让学生弄清楚一些铅笔所表示的一个整体，平均分成2份后，都可以用1/2来表示。）2、画图实验：师：出示6枝铅笔，我要拿走它的2/3，请问拿走几枝？生：4枝。为什么？提问后板书：2/3是把一盒铅笔平均分成3份，表示这样2份的数。师：出示1根小棒，我拿走了它的1/5，请问一共有几根小棒？（5根）师：出示2根小棒，我拿走了它的1/5，请问一共有几根小棒？（10根）师：出示2根小棒，我拿走了它的1/5，请问一共有几根小棒？（15根）教师出示了三幅用不同的铅笔数表示相同的五分之一的画，让学生画出遮盖的部分。学生操作后，展示学生作品。小结后板书：1/5是把（）平均分成（）份，表示这样（）份的数。（【第三关】可能由于时间关系没有完成，估计是“动手摆小棒”之类的学生操作性游戏。）师：（进行课堂小结，形成完整的课堂板书，将分数的意义逐层抽象、概括、提升。）师：师生对照着板书，进行课堂小结，教师质疑问难。评析：数学概念是“生活的具像”，又是具体形象事物的抽象与“升华”，针对小学生以形象思维为主的特点，夏老师没有直接奉献真理——把书本上现成的分数的意义告诉学生，这一环节的教学，当学生产生了强烈的探索欲望后，教师就及时设计了一系列的操作活动，调动了学生的多种感官来参与概念学习，引导学生猜一猜，想一想，动手画一画，亲身体验，合作交流，向学生提供了充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握“分数的意义”，“让学生在做中学”。教师主要抓住了不同物体所表示的整体平均分成2份后，其中的一份都可以用1/2表示；反过来，同样是1/5，由于单位“1“不同，实际上表示的铅笔的枝数却不同。整个新课的学习，教师看似淡化了定义概念的教学，实际上引在核心处，拨在关键处，强化了定义概念，教师成了真正意义上的学习组织者、引导者与合作者，借助于课堂这个思维“运动场”，不着痕迹地引导学生理解了分数的真正含义。数学教学也真正体现了数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。整堂课，学生兴趣盎然，就在不经意间，学生建立了数感，理解了“分数的意义”，这充分说明夏老师的数学课堂是一个充满灵性、动态生成的课堂，从引导学生“起跑“到“加速”，最后“冲刺”，水道渠成，他使每个学生获得了成功的体验。这节轻松、活泼、实在的数学课，无疑为我们打开了一扇“概念教学”的新“天窗”！★{争鸣与商榷·相关链接1}“可以对学生说‘不'？！”☆[李镇西老师的点评]：我特别欣赏夏青峰老师的数学课，这是我迄今为止听课的最好的一堂数学课（我迄今为止只听过一趟小学数学课）。夏老师的成功，在于他真正把教的过程转化成了学的过程，一切服务于学生的学习！整堂课，学生活跃，夏老师的引导都非常巧妙，不是让学生配合夏老师，而是夏老师去“迎合”学生心灵的需要。非常精彩！在听夏老师课的时候，我不止一次地想：如果我小学时候的数学老师是夏老师，那我现在可能是一名数学教师呢！当然，如果硬要挑刺的话，我也可以挑一个刺。先说一个笑话，现在不是时兴鼓励学生吗？！在一堂课上，有个学生发言，把本来应该是“6”的正确答案，说成“7”了，老师却表扬他说：“很好，你的答案基本上接近正确答案了！”（下面的老师大笑。）很遗憾呀，今天我们的夏老师不幸也犯了这样的“错误”——当学生把八分之三说成三分之一的时候，夏老师是这样表扬的：“很好，差不多！”我在思考：我们的老师为什么不可以在课堂上对孩子说“不”呢？……★{争鸣与商榷·相关链接2}注重细节，追求完美——与夏老师商榷☆[蒋文利老师的点评]：在《教育在线》第三届新教育实验会议上，“理想的课堂”环节中，听取了特级教师夏青峰老师一节数学课，感触很深。夏老师由浅入深，由易到难，循序展现，把一个大问题分化成若干个小问题，分散难点，各个突破，化难为易，步步相扣，遵循知识的内在规律，让学生了解了“分数”定义的来龙去脉。学生在夏老师的牵引下，一步步地走进了快乐的数学殿堂。一堂课，老师思维敏捷，学生积极主动，师生互动明显，配合默契。但我认为夏老师对于课堂环节的完整性的注重远远超过了课堂即时生成的本身，以至于本课还有几点值得认真商榷的地方。第一、没把学生的想象力引向深入。夏老师在“闯三关”时，出示例题：“露出的部分是整个图形的四分之一，请想象一下整个图形”，选题好，手段妙，能力培养目标十分明确。不过，我认为夏老师点拨不到位，出示图形急于求成，一古脑儿的把全部答案展示了出来，这样一来，虽不能说是完全扼杀学生的想象力，但是至少不能把学生的想象力引向深入，不能像李镇西老师说的那样思维“继续碰撞”。想象力是人创造的源泉，没有想象就没有创造发明，特别小学生更需要想象力。假如夏老师在学生回答完此题之后，继续启发追问，还有其他情况吗？再给出一点时间让学生互相交流探讨一下，我想，学生也许会找出我们教师所想不到的结果呢？比如：空间立体图（正四面体），如果学生想不到，老师可以用实物图展示，还可以让学生把正四面体涂色展开，然后再讨论比较交流，既培养了学生的动手动脑能力，又把新课程理念深入落实。这样学生就可以在数学的海洋里翱翔。因为数学的学习方式不应是单一的、枯燥的、以被动听讲和练习为主的方式，而应该是一个充满活力的历程。在课堂教学中，给学生留出足够的探索空间，为所有的学生提供表现的机会，使学生主动参与教学思维过程，发展学生的智力，培养学生能力。而喜欢动手是儿童的天性，所以教学时，应尽可能多地为学生提供机会，让学生通过动手操作对数学产生兴趣，进而实现自主探索（当然由于借班上课，学生学情不甚了解，又因时间关系“闯三关”游戏中的第三关未能及时完成，估计是“动手操作摆小棒”之类的学生操作性游戏）；并尽可能多地为学生提供合作交流的机会，让学生在交流合作中，学他人之长，补己之短，并在交流中感受不同的见解，从而使学生从不同角度感知知识。第二、被老师遗忘的学生在想什么？不论哪位老师上课，提问学生时，都有不举手的，对于不举手的学生，作为老师就可以视而不见吗？什么样的课堂是理想的课堂，应是动脑动手的、欢快的、和谐的、主动的、全员参与的。假如你叫一个没举手的（可能是一个成绩差的学生，也可能是一个性格内向的沉默学生）回答问题，答对了，你的一句称赞也许能改变他的自我判断；答错了，你鼓励的目光、温暖的话语，也许可以改变他的未来，但是，可惜的是，在夏老师的这节课上，举手回答问题的很多，被叫到的也很多，而那些始终没有举手的学生却一个也没有得到老师的垂青，无形之中，这些安静的学生便成了被遗忘的部分，成了热闹兴奋的课堂上，不被老师关心的陪衬。如果是因为公开课才造成了这种关怀的偏差的话，那这不是公开课的作秀吗？如果日常课堂上也是如此，那么就更加值得反思了，因为，对于部分学生人文关怀的无意识缺失，久而久之，势必会影响其心理性格的健康发展。我想，这似乎也是一个非常值得重视的问题。

算术平均数与几何平均数

进货次数问题探讨

题目某公司某年需要某种计算机元件8000个，在一年内连续作业组装成整机卖出（每天需同样多的元件用手组装，并随时运出整机至市场），该元件向外购买进货，每次（不论购买多少件）须花手续费500元，如一次进货，可少花手续费，但8000个元件的保管费很有观，如果多次进货，手续费多了，但可节省保管费，请你帮该公司出个主意，每年进货几次为宜，该公司的库存保管费可按下述方法计算：每个元件每年2元，并可按比例折算成更短的时间：如每个元件保管一天的费用为元（一年按360天计算）。每个元件的买价、运输费及其他费用假设为一常数。

解：设购进8000个元件的总费用为F，一年总保管费为E，手续费为H，元件买价、运输费及其他费用为C（C为常数），则

如果每年进货次，则每次进货个，用完这些元件的时间是年。进货后，因连续作业组装，一天后保管数量只有个（为一天所需元件），两天后只有个，……，因此年中个元件的保管费可按平均数计算，即相当于个保管了年，每个元件保管须元，做这年中个元件的保管费为

每进货一次，花保管费元，一共次，故

，

，

所以

当且仅当，即时，总费用最少，故以每年进货4次为宜。

说明这道寻求最佳进货次数的问题，是北京市首届“方正杯“中学生数学知识应用竞赛初赛试题（1993．11），求解的关键数学知识是“的极小值是”

算术平均数与几何平均数（二）

第一课时

一、教材分析

（一）教材所处的地位和作用

“算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第二册（上）“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材二同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．

（二）教学目标

1．知识目标：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的重要不等式的证明及其几何解释；掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；掌握应用平均值定理解决一些简单的应用问题．

2．能力目标：培养学生数形结合、化归等数学思想．

（三）教学重点、难点、关键

重点：用平均值定理求某些函数的最值及有关的应用问题．

难点：定理的使用条件，合理地应用平均值定理．

关键：理解定理的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键．

（四）教材处理

依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理及它们的几何解释．掌握应用定理解决某些数学问题．第二课时讲解应用平均值定理解决某些实际问题．为了讲好平均值定理这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．

二、教法分析

（－）教学方法

为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标．在探索结论时，采用发现法教学；在定理的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行．

（二）教学手段

根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机辅导教学．

三、教学过程设计

6．2算术平均数与几何平均数（第一课时）

（一）导入新课

（教师活动）1．教师打出字幕（提出问题）；2．组织学生讨论，并点评．

（学生活动）学生分组讨论，解决问题．

[字幕]某种商品分两次降价，降价的方案有三种：方案甲是第一次9折销售，第二次再8折销售；方案乙是第一次8折销售，第二次再9折销售；方案丙是两次都是折销售．试问降价最少的方案是哪一种？

［讨论］

①设物价为t元，三种降价方案的销售物价分别是：

方案甲：（元）；

方案乙：（元）；

方案丙：（元）．

故降价最少的方案是丙．

②若将问题变为第一次a折销售，第二次b折销售．显然可猜想有不等式成立，即，当时，

设计意图：提出一个商品降价问题，要求学生讨论哪一种方案降价最少．学生对问题的背景较熟悉，可能感兴趣，从而达到说明学习本节知识的必要，激发学生求知欲望，合理引出新课．

（二）新课讲授

【尝试探索，建立新知】

（教师活动）打出字幕（重要不等式），引导学生分析、思考，讲解重要不等式的证明．点评有关问题．

（学生活动）参与研究重要不等式的证明，理解有关概念．

［字幕］如果，那么（当且仅当时取“=”号）．

证明：见课本

［点评］

①强调的充要条件是

②解释“当且仅当”是充要条件的表达方式（“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的）．

③几何解释，如图。

[字幕]定理如果a，b是正数，那么（当且仅当时取“=”号）．

证明：学生运用“”自己证明．

［点评］

①强调；

②解释“算术平均数”和“几何平均数”的概念，并叙述它们之间的关系；

②比较上述两个不等式的特征（强调它们的限制条件）；

④几何解释（见课本）；

＠指出定理可推广为“n个（）正数的算术平均数不小干它们的几何平均数”．

设计意图：加深对重要不等式的认识和理解；培养学生数形结合的思想方法和对比的数学思想，多方面思考问题的能力．

【例题示范，学会应用】

（教师活动）教师打出字幕（例题），引导学生分析，研究问题，点拨正确运用定理，构建证题思路．

（学生活动）与教师一道完成问题的论证．

［字幕］例题已知a，b，c，d都是正数，求证：

［分析］

①应用定理证明；

②研究问题与定理之间的联系；

③注意应用定理的条件和应用不等式的性质．

证明：见课本．

设计意图：巩固对定理的理解，学会应用定理解决某些数学问题．

【课堂练习】

（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；巡视学生解题情况，对正确的解法给予肯定和鼓励，对偏差给予纠正；请甲、乙两学生板演；点评练习解法．

（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、动两位同学板演．

［字幕］练习：已知都是正数，求证：

（1）；

（2）

设计意图：掌握定理及应用，反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用定理解决有关数学问题的解题方法．

（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上．

1．重要不等式可以用来证明某些不等式．

2．应用重要不等式证明不等式时要注意不等式的结构特征：①满足定理的条件；②不等式一边为和的形式，另一边为积或常数的形式．

3．用重要不等式证明有关不等式时注意与不等式性质结合．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握应用重要不等式解决有关数学问题的方

法．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．

（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．

1．本节课学习了两个重要不等式及它们在解决数学问题中的应用．

2．注意：①两个重要不等式使用的条件；②不等式中“=”号成立的条件．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

1．课本作业；习题．1，3

2．思考题：已知，求证：

3．研究性题：设正数，，试尽可能多的给出含有a和b的两个元素的不等式．

设计意图：课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生完成，灵活掌握重要不等式的应用；研究性题是一道结论开放性题，培养学生创新意识．

（五）课后点评

1．导入新课采用学生比较熟悉的问题为背景，容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机．使得学生学习本节课知识自然且合理．

2．在建立新知过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构．对有关概念使学生理解难确，尽量以多种形式反映知识结构，使学生在比较中得到深刻理解．

3．通过变式训练，使学生在对知识初步理解和掌握后，得到进一步深化，对所学的知识得到巩固与提高，同时反馈信息，调整课堂教学．

4．本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

作业答案

思考题证明：因为，所以

．又因为，，，所以，，所以

研究性题①．由条件得，…（A）利用公式…（B）．得，即．②．由（A）、（B）之和即得．③．可利用．再利用①，即可得．④．利用立方和公式得到：．利用①可得．利用①②可得．还有……

第二课时

（－）导入新课

（教师活动）1．教师打出字幕（引例）；2．设置问题，引导学生思考，启发学生应用平均值定理解决有关实际问题．

（学生活动）思考、回答教师设置的问题，构建应用平均值定理解决实际问题的思路．

［字幕］引例．如图，用篱笆围一块面积为50的一边靠墙的矩形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少时，所用篱笆最省？此时，篱笆墙长为多少米？

[设问]

①这是一个实际问题，如何把它转化成为一个数学问题？

（学生口答：设篱笆墙长为y，则（）．问

题转化成为求函数y的最小值及取得最值时的的值．）

②求这个函数的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函数的最小值？

（学生口答：利用函数的单调性或判别式法，也可用平均值定理．）

设计意图：从学生熟悉的实际问题出发，激发学生应用数学知识解决问题的兴趣，通过设问，引导和启发学生用所学的平均值定理解决有关实际问题，引入课题．

（二）新课讲授

【尝试探索、建立新知】

（教师活动）教师打出字幕（课本例题1），引导学生研究和解决问题，帮助学生建立用平均值定理求函数最值的知识体系．

（学生活动）尝试完成问题的论证，构建应用平均值定理求函数最值的方法．

[字幕]已知都是正数，求证：

（1）如果积是定值P，那么当时，和有最小值；

（2）如果和是定值S，那么当时，积有最大值

证明：运用，证明（略）．

［点评］

①（l）的结论即，（2）的结论即

②上述结论给出了一类函数求最值的方法，即平均值定理求最值法．

③应用平均值定理求最值要特别注意：两个变元都为正值；两个变元之积（或和）为定值；当且仅当，这三个条件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同时成立．

设计意图：引导学生分析和研究问题，建立新知——应用平均值定理求最值的方法．

【例题示范，学会应用】

（教师活动）打出字幕（例题），引导学生分析问题，研究问题的解法．

（学生活动）分析、思考，尝试解答问题．

[字幕]例题1求函数（）的最小值，并求相应的的值．

［分析］因为这个函数中的两项不都是正数且又与的积也不是常数，所以不能直接用定理求解．但把函数变形为后，正数，的积是常数1，可以用定理求得这个函数的最小值．

解：，由，知，，且．当且仅当，即时，（）有最小值，最小值是。

[点评]要正确理解的意义，即方程要有解，且解在定义域内．

[字幕]例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800，深为3m，如果池底每l的造价为150元，池壁每1的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

［分析］设水池底面一边的长为m，水池的总造价为y，建立y关干的函数．然后用定理求函数y的最小值．

解：设水池底面一边的长度为m，则另一边的长度为m，又设水池总造价为y元，根据题意，得

（）

所以

当，即时，y有最小值297600．因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时．水池的总造价最低，最低总造价是297600元．

设计意图：加深理解应用平均值定理求最值的方法，学会应用平均值定理解决某些函数最值问题和实际问题，并掌握分析变量的构建思想．培养学生用数学知识解决实际问题的能力，化归的数学思想．

【课堂练习】

（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请三位同学板演；巡视学生解题情况，对正确的给予肯定，对偏差进行纠正；讲评练习．

（学生活动）在笔记本且完成练习、板演．

［字幕〕练习

A组

1．求函数（）的最大值．

2求函数（）的最值．

3．求函数（）的最大值．

B组

1．设，且，求的最大值．

2．求函数的最值，下面解法是否正确？为什么？

解：，因为，则．所以

[讲评]A组1．；2．；3．

B组1．；2．不正确①当时，；②当时，，而函数在整个定义域内没有最值．

设计意图；A组题训练学生掌握应用平均值定理求最值．B组题训练学生掌握平均值定理的综合应用，并对一些易出现错误的地方引起注意．同时反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用平均值定理解决有关函数最值问题和实际问题的解题方法．

（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．

1．应用平均值定理可以解决积为定值或和为定值条件下，两个正变量的和或积的最值问题．

2．应用定理时注意以下几个条件：（ⅰ）两个变量必须是正变量．（ⅱ）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值．（iii）当且仅当两个数相等时取最值，即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．

3．在求某些函数的最值时，会恰当的恒等变形——分析变量、配置系数．

4．应用平均值定理解决实际问题时，应注意：（l）先理解题意，没变量，把要求最值的变量定为函数．（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题，确定函数的定义域．（3）在定义域内，求出函数的最值，正确写出答案．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．

（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

这节课学习了利用平均值定理求某些函数的最值问题．现在我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值方法．这是平均值定理的一个重要应用，也是本节的重点内容，同学们要牢固掌握．

应用定理时要注意定理的适用条件，即“正数、定值、相等”三个条件同时成立，且会灵活转化问题，达到化归的目的．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

1．课本作业：P，6，7．

2．思考题：设，求函数的最值．

3．研究性题：某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽车费用9千元；汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年递增．问这种汽车最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的平均费用最少）？

设计意图：课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生练习，使学生能灵活运用定理解决某些数学问题；研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．

（五）课后点评

1．关于新课引入设计的想法：

导入这一环节是调动学生学习的积极性，激发学生探究精神的重要环节，本节课开始给出一个引例，通过探究解决此问题的各种解法，产生用平均值定理求最值，点明课题．事实上，在解决引例问题的过程中也恰恰突出了教学重点．

2．关于课堂练习设计的想法：

正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值是教学难点．为突破难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，发现使用定理的三个条件缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，设计解法正误讨论能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深了对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中．

3．培养应用意识．

教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用干客观世界．为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学．本节课中设计了两道应用问题，用刚刚学过的数学知识解决了问题，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”．

作业解答

思考题：

．当且仅当，即时，上式取等号．所以当时，函数y有最小值9，无最大值．

研究性题：设使用年报废最合算，由题意有；

年平均费用

当且仅当，即时，取得最小值，即使用10年报废最合算，年平均费用3万元．

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