二次根式的教学方案

无论何时，教案都是我们准备教学的一种最好的方式，教案在我们教师的教学中非常重要，可以通过编写教案认识自己教学的优点和不足。怎样才能写好初中教案？希望《二次根式的教学方案》能够为您提供帮助。

一、教学目标

1．了解的意义；

2.掌握用简单的一元一次不等式解决中字母的取值问题；

3.掌握的性质和，并能灵活应用；

4．通过的计算培养学生的逻辑思维能力；

5.通过性质和的介绍渗透对称性、规律性的数学美.

二、教学重点和难点

重点：(1)二次根的意义；(2)中字母的取值范围．

难点：确定中字母的取值范围．

三、教学方法

启发式、讲练结合．

四、教学过程

(一)复习提问

1．什么叫平方根、算术平方根？

2．说出下列各式的意义，并计算：

，，，，，，，

通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念．

观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中，

，，，表示的是算术平方根.

(二)引入新课

我们已遇到的，，，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：

新课：

定义：式子叫做.

对于请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：

（1）式子只有在条件a≥0时才叫，是吗？呢？

若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.

（2）是，而，提问学生：2是吗？显然不是，因此二次

根式指的是某种式子的“外在形态”．请学生举出几个的例子，并说明为什么是．下面例题根据定义，由学生分析、回答．

例1当a为实数时，下列各式中哪些是？

分析：，，，、、、四个是.因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜0），因此，与不是.

例2x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义？

解：略．

说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子有意义．

例3当字母取何值时，下列各式为：

（1）(2)(3)(4)

分析：由的定义，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式．

解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时，是.

（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0时，是.

（3），且x≠0，∴x＞0，当x＞0时，是.

（4），即，故x-2≥0且x-2≠0,∴x＞2.当x＞2时，是.

例4下列各式是，求式子中的字母所满足的条件：

（1）；（2）；（3）；（4）

分析：这个例题根据定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固的定义，.即：只有在条件a≥0时才叫，本题已知各式都为，故要求各式中的被开方数都大于等于零．

解：（1）由2a+3≥0，得.

（2）由，得3a-1＞0，解得.

（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是，式子是.所以所求字母x的取值范围是全体实数．

(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0．

(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)

1．式子叫做，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式．

2．式子中，被开方数(式)必须大于等于零．

(四)练习和作业

练习：

1．判断下列各式是否是

分析：（2）中，，是；（5）是.因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数（如x＜0时，又如当x＜-1时＝，因此（1）（3）（4）不是，（6）无意义.

2．a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

五、作业

教材p．172习题11．1；a组1；b组1．

六、板书设计

jk251.cOm扩展阅读

最简二次根式的教学方案

教学目标

1．使学生理解最简二次根式的概念；

2．掌握把二次根式化为最简二次根式的方法．

教学重点和难点

重点：化二次根式为最简二次根式的方法．

难点：最简二次根式概念的理解．

教学过程设计

一、导入新课

计算：

我们再看下面的问题：

简，得到

从上面例子可以看出，如果把二次根式先进行化简，会对解决问题带来方便．

二、新课

答：

1．被开方数的因数是整数或整式；

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

满足上面两个条件的二次根式叫做最简二次根式．

例1试判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？

解(l)不是最简二次根式．因为a3=a2·a，而a2可以开方，即被开方数中有开得尽方的因式．

整数．

(3)是最简二次根式．因为被开方数的因式x2＋y2开不尽方，而且是整式．

(4)是最简二次根式．因为被开方数的因式a－b开不尽方，而且是整式．

(5)是最简二次根式．因为被开方数的因式5x开不尽方，而且是整式．

(6)不是最简二次根式．因为被开方数中的因数8=22·2，含有开得尽的因数22．

指出：从(1)，(2)，(6)题可以看到如下两个结论．

1．在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；

2．在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数)，如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．

例2把下列各式化为最简二次根式：

分析：把被开方数分解因式或因数，再利用积的算术平方根的性质

例3把下列各式化成最简二次根式：

分析：题(l)的被开方数是带分数，应把它变成假分数，然后将分母有理化，把原式化成最简二次根式．

题(2)及题(3)的被开方数是分式，先应用商的算术平方根的性质把原式表示为两个根式的商的形式，再把分母有理化，把原式化成最简二次根式．

通过例2、例3，请同学们总结出把二次根式化成最简二次根式的方法．

答：如果被开方数是分式或分数(包括小数)先利用商的算术平方根的性质，把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简．

如果被开方数是整式或整数，先把它分解因式或分解因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简．

三、课堂练习

1．在下列各式中，是最简二次根式的式子为[]

的二次根式的式子有_____个．[]

A．2B．3

C．1D．0

3．把下列各式化成最简二次根式：

答案：

1．B

2．B

四、小结

1．最简二次根式必须满足两个条件：

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

2．把一个式子化为最简二次根式的方法是：

(1)如果被开方数是整式或整数，先把它分解成因式(或因数)的积的形式，把开得尽方的因式(或因数)移到根号外；

(2)如果被开方数含有分母，应去掉分母的根号．

五、作业

1．把下列各式化成最简二次根式：

2．把下列各式化成最简二次根式：

答案：

二次根式的化简相关教学方案

教学建议

知识结构

.

重难点分析

本节的重点是的化简.本章自始至终围绕着与计算进行，而的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质，还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识，在应用中常常需要对字母进行分类讨论.

本节的难点是正确理解与应用公式

.

这个公式的表达形式对学生来说，比较生疏，而实际运用时，则要牵涉到对字母取值范围的讨论，学生往往容易出现错误.

教法建议

1.性质的引入方法很多，以下2种比较常用：

（１）设计问题引导启发：由设计的问题

1）、、各等于什么？

2）、、各等于什么？

启发、引导学生猜想出

（2）从算术平方根的意义引入．

2．性质的巩固有两个方面需要注意：

（1）注意与性质进行对比，可出几道类型不同的题进行比较；

（2）学生初次接触这种形式的表示方式，在教学时要注意细分层次加以巩固，如单个数字，单个字母，单项式，可进行因式分解的多项式，等等．

（第1课时）

一、教学目标

1.掌握二次根式的性质

2.能够利用二次根式的性质化简二次根式

3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法

二、教学设计

对比、归纳、总结

三、重点和难点

1.重点：理解并掌握二次根式的性质

2.难点：理解式子中的可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

七、教学过程

一、导入新课

我们知道，式子（）表示非负数的算术平方根．

问：式子的意义是什么？被开方数中的表示的是什么数？

答：式子表示非负数的算术平方根，即，且，从而可以取任意实数．

二、新课

计算下列各题，并回答以下问题：

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）

（7）；（8）

1．各小题中被开方数的幂的底数都是什么数？

2．各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系？

3．用字母表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论？并用语言叙述你的结论．

答：

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）

（7）；（8）．

1．（1），（2），（3）各题中的被开方数的幂的底数都是正数；（4），（5），（6），（7）各题中的被开方数的幂的底数都是负数；（8）题被开方数的幂的底数是0．

2．（1），（2），（3），（8）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等；（4），（5），（6），（7）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数．

3．用字母表示（1），（2），（3），（8）各题中被开方数的幂的底数，有

（），

用字母表示（4），（5），（6），（7）各题中被开方数的幂的底数，有

（）．

一个非负数的平方的算术平方根，等于这个非负数本身；一个负数的平方的算术平方根，等于这个负数的相反数．

问：请把上述讨论结论，用一个式子表示．（注意表示条件和结论）

答：

请同学回忆实数的绝对值的代数意义，它和上述二次根式的性质有什么联系？

答：

填空：

1．当_________时，；

2．当时，，当时，；

3．若，则________；

4．当时，．

答：

1．当时，；

2．当时，，

当时，；

3．若，则；

4．当时，．

例1化简（）．

分析：可以利用积的算术平方根的性质及二次根式的性质化简．

解，因为，所以，所以

．

指出：在化简和运算过程中，把先写成，再根据已知条件中的取值范围，确定其结果．

例2化简（）．

分析：根据二次根式的性质，当时，．

解．

例3化简：（1）（）；（2）（）．

分析：根据二次根式的性质，当时，．

解（1）．

（2）．

注意：（1）题中的被开方数，因为，所以．

（2）题中的被开方数，因为，所以．

这里的取值范围，在已知条件中没有直接给出，但可以由已知条件分析而得出．

例4化简．

分析：根据二次根式的性质，有

．

所以要比较与3及1与的大小以确定及的符号，然后再进行化简．

解因为，，所以

，．

所以

．

三、课堂练习

1．求下列各式的值：

（1）；（2）．

2．化简：

（1）；（2）；

（3）（）；（4）（）．

3．化简：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）（）．

答案：

1．（1）0.1；（2）．

2．（1）；（2）；（3）；（4）．

3．（1）4；（2）1.5；（3）0.09；（4）－1；（5）4；（6）－1．

四、小结

1．二次根式的意义是，所以，因此，其中可以取任意实数．

2．化简形如的二次根式，首先可把写成的形式，再根据已知条件中字母的取值范围，确定其结果．

3．在化简中，注意运用题设中的隐含条件，如二次根式有意义的条件是被开方，这是隐含条件．

五、作业

1．化简：

（1）；（2）；

（3）（）；（4）（）；

（5）；（6）（，）；

（7）（）．

2．化简：

（1）；

（2）（）；

（3）（，）．

答案：

1．（1）－30；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）；（7）．

2．（1）2；（2）0；（3）．

二次根式的混合运算相关教学方案

教学建议

知识结构

重难点分析

本节课的重点是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性，提高性综合学习；二次根式的运算和有理化的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力。

本节课的难点是把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。分母有理化，实际上二次根式的除法与混合运算的综合运用。分母有理化的过程，一般地，先确定分母的有理化因式，然后再根据分式的基本性质把分子、分母都乘以这个有理化因式，就可使分母有理化。所以对初学者来说，这一过程容易出现找错有理化因式和计算出错的问题。

教法建议

1.在知识的引入上，可采取复习引入方式，比如复习有理数的混合运算或整式的运算。

2.在二次根式的加减、乘法混合运算中，要注意由浅入深的层次安排，从单项式与多项式相乘、多项式与多项式到乘法公式的应用，逐渐从数过渡到带有字母的式。

3.在有理化因式教学中，要多出几组题目从不同角度要求学生辨别，并及时总结。

学生特点：实验班的A层学生(数学实施分层教学),主动学习积极性高，基础扎实，思维活跃,,并具有一定的独立分析问题,探索问题,归纳概括问题的能力,有较好的思考、质疑的习惯。

教材特点：本节课是在学习了二次根式的三个重要概念（最简二次根式、同类二次根式、分母有理化）和二次根式的有关运算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法）基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。

鉴于学生的特点及教材的特点，本节课主要采用“互动式”的课堂教学模式及“谈话式”的教学方法，以此实现生生互动、师生互动、学生与教材之间的互动。具体说明如下：

（一）在师生互动方面，教师注重问题设计，注重引导、点拨及提高性总结。使学生学中有思、思中有获。如本节课开始，出示书中例题1：

让学生先进行思考，解答。然后同学说出怎样进行。

强调：运算顺序及运算律和有理数相同。

（二）在学生与学生的互动上，教师注重活动设计，使学生学中有乐，乐中悟道。教师设计一组题目，让学生以竞赛的形式解答，然后以记成绩的方法让其它同学说出优点（简便方法及灵活之处）与错误。由于本节课主要以计算为主，对运算法则及规律性的基础知识，学生很容易掌握而且从意识上认为本节课太简单，不会很感兴趣，所以为了提高学生的学习兴趣及更好的抓好基础，提高学生的运算能力，如此这般设计。

（三）在个体与群体的互动方式上，教师注重合作设计，使学生学中有辩，辩中求同。如本节课中对重点问题：“分母有理化”的教学，出示一个题目，让学生思考，找个别学生说出自己的想法，然后其它同学补充完成。

学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动。正是在这一教育思想的指导下，追求学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动。互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振。

对二次根式混合运算新课引入的建议

复习：

1.计算：（1）；（2）.

解：(1)(2)

==

=；=.

2.在整式乘法中，单项式与多项式相乘的法则是什么？多项式与多项式的乘法法则是什么？什么是完全平方式？分别用式子表示出来。

答：单项式与多项式相乘的法则是，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为

m(a+b+c)=ma+mb+mc

多项式与多项式相乘的法则是，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每项，再把所得的积相加。用式子表示为

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,

其中a,b,m,n都是单项式。

完全平方式是

；。

在实数范围内，整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用，运用乘法法则及乘法公式可以进行。引入新课。

对二次根式混合运算学法的建议

在进行时，也有一个与分式运算相比较的问题，有的时候，加上团式分解、约分等技巧，可以大大简化计算过程，这是要灵活运用的．因此，在本节学习时，可以适当结合11．1节的内容，复习一下在实数范围内分解因式的问题，如

这里再顺便提一下，如

这种变形不是原来意义上的因式分解，否则就无法进行到底了．可以说是借助因式分解的方法，或具体说成提出，等等．

一、教学目标

1．掌握．

2．掌握乘法公式在混合运算的应用．

3．通过，培养学生的运算能力．

4．通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望

二、教学设计

小结、归纳、提高

三、重点、难点解决办法

1．教学重点：．

2．教学难点：混合运算的应用．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

1．复习，运算律及乘法分式，引导学生口答，并强调数的运算律在根式运算中的适用，引入例题．

2．通过例题由浅入深，层层深入，既提高学生学习的兴趣又激发学生求知的欲望；从例题的讲解中帮助寻找解题的方法，规律及注意点．

3．通过大量的练习，以期形成自己所掌握的知识．

七、教学步骤

（－）明确目标

前面学过二次根式的加减法的简单运算，但二次根式未必全是加减混合运算，它同样会出现二次根式的加、减、乘、除方等混合运算那么的法则是什么？又将怎样运用它进行化简计算，这就是本节课所要研究的问题—．

（二）整体感知

中，应注意运算的次序．这是进行二次根式混合运算的前提条件；通过适当地复习乘法分式，分母有理化知识，然后再进行的教学工作，将有助于更好地学习它；同样为了更好地理解还可以将它与数的运算律和运算方法进行对比，以帮助学生更好地理解并准确地掌握好该知识，达到事半功倍的作用．

第一课时

（－）教学过程

【复习】

运算律在二次根式混合运算中仍适用．

各种整式乘法的法则．

乘法公式：．

．

提问：加法的交换律、结合律各是怎样的？乘法的交换律、结合律、分配津各是什么？

强调数的运算律在根式运算中仍适用后，可引入例题．

【例题】

例1计算：

（1）；

（2）．

解：略．

注：①加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于学生理解和掌握．②在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，而是先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简．例如，没有对先进行化简的必要，使计算繁琐，而是应先进行乘法运算，通过约分达到化简的目的．

例2计算：

（1）；

（2）；

（3）．

解：略．

注：①由学生观察算式，找出特征：两个数的和与这两个数差的积；两个数的和或差的平方，联想乘法公式，与多项式的乘法相类似，二次根式的和相乘，适用乘法公式时，运用乘法公式．

②复习乘法公式，可选做几个小题．如，等．

例3计算：

（1）；

（2）．

解：略．

③引入有理化因式的概念

例如，与，与．

注：互为有理化因式是指两个代数式，其乘积不再含有二次根式．

可适当再举例说明，如与，与、与，但与就不是互为有理化因式．

（二）随堂练习

计算：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）；（8）；

（9）．

解：（1）．

（2）

．

（3）

．

（4）

．

（5）

．

（6）

．

（7）．

（8）

．

（9）

．

（三）总结、扩展

对与整式的混合运算及数的混合运算比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．

有理化因式的概念需强调乘积的结果不再含有二次根式．

练习：教材P198中1、2；教材P199中3．

（四）布置作业

教材P204中1、2、3．

（五）板书设计

标题

1．复习内容例3……

2．例题3．有理化因式

例1……4．练习题

例2……

二次根式的混合运算的教学方案

一、教学目标

1．掌握二次根式的混合运算．

2．掌握混合运算的应用．

3．通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力．

4．通过混合运算知识拓展，培养学生的探索精神

二、教学设计

小结、归纳、提高

三、重点、难点解决办法

1．教学重点：二次根式的混合运算．

2．教学难点：混合运算的应用．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

七、教学过程

【例题】

例1化简：

（1）；（2）．

解：（1）

．

（2）

．

说明：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项（第2小题）达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可变换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把先变为，这样则为1，继续运算可避免错误．

例2解下列方程（组）：

（1）

（2）

（3）

解：（1）

．

（2）①×，得

③

②×，得

④

③－④，得

把代入①，得

解得．

∴是原方程组的解．

（3）由②，得

③

①×，得

④

③－④，得

把代入①，得

．

∴是原方程组的解．

例3已知，，求的值．

解：．

．

，，

∴．

例4已知，，求的值．

解：，．

．

（二）随堂练习

1．教材中P206中8．

2．解不等式：．

解：

∴．

3．已知，，求的值．

解：3．，或．

．

∴

．

4．已知，，求：的值．

解4．

．

5．已知，求的值．

解5．．

．

6．不求方根的值比较与的大小．

解6．∵

∴

∴

（三）总结、扩展

根据已知条件，求一个代数的值，要注意条件或代数式的化简，有时条件和要求的代数式都需要化简，当把条件化简后，代数式的化简要朝着条件化简的结果去化简．

（四）布置作业

教材中P207B组1、3和补充作业．

补充作业：

1．已知，求的值．

2．已知，，求的值．

（五）板书设计

标题

1．例题……3．例题……

2．练习题4．练习题

八、背景知识与课外阅读

二次根式的混和运算方法和顺序

1．方法（1）应用二次根式乘法、除法和加减法运算法则．

（2）在实数范围内运算律仍适用．

（3）二次根式的乘法，与多项式的乘法相类似，遇运用多项式乘法公式时，也可以运用乘法公式．

2．顺序先乘方、后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的数．

二次根式的加减法的教学方案

教学建议

本节的重点有两个：

⒈同类二次根式的概念

⒉二次根式加减运算的方法

本节的主要内容是讲解，而的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．运算实质是合并同类二次根式，前提是要充分了解同类二次根式的概念，因此同类二次根式的概念是本节的一个重点．

本节的难点运算

首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了．整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式的加减在化简之后也是如此，同类二次根式类似同类项．但是学生初次接触，在运算过程中容易出现各种各样的错误，因此熟练掌握运算是本节的难点．

本节的主要内容是讲解，而的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．

(1)在知识引入的讲解中，有两种不同的处理方法：一是按照教材中的方法，先给出几个二次根式，把他们都化成最简二次根式，在进行比较或者加减运算，从而引出和同类二次根式；二是先复习同类项的概念或进行一两道简单的正式加减的题目，通过类比引出同类二次根式和．两种处理方法各有优劣，教师在教学过程中可根据学生的实际情况进行选择，当然也可以把这两种方法综合应用，但有些过繁．

(2)在教材例1的教学中，教师可以根据学生情况进行细分处理，例如分成几个小问题：①把被开方数都是整数的放在一个小题中，②把被开方数都是分数的放在一个小题中，③把被开方数带有简单字母的放在一个小题中，④把字母次数略高于2的放在一个小题中，……使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程，便于学生参与其中，也容易使学生获得成就感．

(3)在组织学生进行教学中，同样将例题细分成几个层次进行教学，例如：①不需要化简能直接进行相加减的，②需要化简但被开方数都是简单整数的，③被开方数都是有理数但既有整数又有分数的，④被开方数含有字母的，等等．

(4)在二次根式加减法的组织教学中，虽然教材已经不要求二次根式加减法的法则，但可以组织学生自己总结法则，既有利于学生的参与，又能提高学生的观察、分析和归纳能力．

(5)在二次根式加减法的整个教学环节中，教师都要及时纠正学生的错误认识，比如：①不是最简二次根式就不是同类二次根式，②该化简的没有化简，或化简的不正确，③该合并的没有合并，不该合并的给合并了，或者合并错了，等等类似情况．教师在教学中可以出一些容易出错的题目让学生进行辨别，以利于知识的巩固.

教学设计示例1

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念．

2．能判断二次根式中的同类二次根式．

3．会用同类二次根式进行二次根式的加减．

（二）能力训练点

通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力．

（三）德育渗透点

从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想．

（四）美育渗透点

通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美．

二、学法引导

1．教师教法引导法、比较法、剖析法，在比较和剖析中，不断纠正错误，从而树立牢固的计算方法．

2．学生学法通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法则．

三、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点运算．

2．教学难点二次根式的化简．

3．疑点及解决办法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果．

四、课时安排

2课时

五、教具学具准备

投影片

六、师生互动活动设计

1．复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题．

2．教师通过例题的示范让学生了解什么是，并引入同类的二次根式的定义．

3．再通过较复杂的计算，引导学生小结归纳出的法则．

4．通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的实质及解决的方法．

七、教学步骤

（－）明确目标

学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究．

（二）整体感知

同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力．

第一课时

（－）教学过程

【复习引入】

什么样的二次根式叫做最简二次根式？（由学生回答）

与的形式与实质是什么？

可以化简为．

继续提问：，可以化简吗？

，可以化简吗？

这就是本节课研究的内容——．

【讲解新课】

1．复习整式的加减运算

计算：

（1）；

（2）；

（3）．

小结：整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算．

2．例题

（1）计算．

解：．

（2）计算．

解：．

小结：

（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算．

（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算．

定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．

3．例题

例1下列各式中，哪些是同类二次根式？，，，，，，．

解：略．

例2计算．

解：

．

例3计算．

解：

．

二次根式加减法的法则：

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．

（可对比整式的加减法则）

例4计算：

（1）．

解：

．

（2）．

解：

．

（二）随堂练习

计算：

（1）；

（2）；

（3）．

练习：教材P192中1、2（1）、（2）、（3）、（4）、（5）；教材P193中1、2．

（三）总结、扩展

同类二次根式的定义．

与整式的加减法进行比较，强调注意的问题．

（四）布置作业

教材P193中（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）；教材P194中4（1）、（2）、（3）、（4）．

（五）板书设计

标题

1．复习题5．例题（1）、（2）、

2．整式的加减例题（3）、（4）

3．例题（1）、（2）6．练习题

4．同类二次根式7．小结

最简二次根式相关教学方案

教学目标

1．使学生理解最简二次根式的概念；

2．掌握把二次根式化为最简二次根式的方法．

教学重点和难点

重点：化二次根式为最简二次根式的方法．

难点：最简二次根式概念的理解．

教学过程设计

一、导入新课

计算：

我们再看下面的问题：

简，得到

从上面例子可以看出，如果把二次根式先进行化简，会对解决问题带来方便．

二、新课

答：

1．被开方数的因数是整数或整式；

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

满足上面两个条件的二次根式叫做最简二次根式．

例1试判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？

解(l)不是最简二次根式．因为a3=a2·a，而a2可以开方，即被开方数中有开得尽方的因式．

整数．

(3)是最简二次根式．因为被开方数的因式x2＋y2开不尽方，而且是整式．

(4)是最简二次根式．因为被开方数的因式a－b开不尽方，而且是整式．

(5)是最简二次根式．因为被开方数的因式5x开不尽方，而且是整式．

(6)不是最简二次根式．因为被开方数中的因数8=22·2，含有开得尽的因数22．

指出：从(1)，(2)，(6)题可以看到如下两个结论．

1．在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；

2．在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数)，如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．

例2把下列各式化为最简二次根式：

分析：把被开方数分解因式或因数，再利用积的算术平方根的性质

例3把下列各式化成最简二次根式：

分析：题(l)的被开方数是带分数，应把它变成假分数，然后将分母有理化，把原式化成最简二次根式．

题(2)及题(3)的被开方数是分式，先应用商的算术平方根的性质把原式表示为两个根式的商的形式，再把分母有理化，把原式化成最简二次根式．

通过例2、例3，请同学们总结出把二次根式化成最简二次根式的方法．

答：如果被开方数是分式或分数(包括小数)先利用商的算术平方根的性质，把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简．

如果被开方数是整式或整数，先把它分解因式或分解因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简．

三、课堂练习

1．在下列各式中，是最简二次根式的式子为[]

的二次根式的式子有_____个．[]

A．2B．3

C．1D．0

3．把下列各式化成最简二次根式：

答案：

1．B

2．B

四、小结

1．最简二次根式必须满足两个条件：

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

2．把一个式子化为最简二次根式的方法是：

(1)如果被开方数是整式或整数，先把它分解成因式(或因数)的积的形式，把开得尽方的因式(或因数)移到根号外；

(2)如果被开方数含有分母，应去掉分母的根号．

五、作业

1．把下列各式化成最简二次根式：

2．把下列各式化成最简二次根式：

答案：

二次根式

一、教学过程

(一)复习提问

1．什么叫二次根式？

2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：

(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值为任意实数．

(二)二次根式的简单性质

上节课我们已经学习了二次根式的定义，并了解了第一个简单性质

我们知道，正数a有两个平方根，分别记作零的平方根是零。引导学生总结出，其中，就是一个非负数a的算术平方根。将符号看作开平方求算术平方根的运算，看作将一个数进行平方的运算，而开平方运算和平方运算是互为逆运算，因而有：

这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0，提问学生，a可以代表一个代数式吗？

请分析：引导学生答如时才成立。

时才成立，即a取任意实数时都成立。

我们知道

如果我们把，同学们想一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了．

例1计算：

分析：这个例题中的四个小题，主要是运用公式。其中(2)、(3)、(4)题又运用了整式乘除中学习的积的幂的运算性质．结合第（2）小题中的，说明，这与带分数。因此，以后遇到，应写成，而不宜写成。

例2把下列非负数写成一个数的平方的形式：

(1)5；(2)11；(3)1.6；(4)0.35．

例3把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：

(1)4x2-1；(2)a4-9；

(3)3a2-10；(4)a4-6a2+9．

解：(1)4x2-1

=(2x)2-12

=(2x+1)(2x-1)．

(2)a4-9

=(a2)2-32

=(a2+3)(a2-3)

(3)3a2-10

(4)a4-6a2+32

=(a2)2-6a2+32

=(a2-3)2

(三)小结

1．继续巩固二次根式的定义，及二次根式中被开方数的取值范围问题．

2．关于公式的应用。

(1)经常用于乘法的运算中．

(2)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式，解决在实数范围内因式分解等方面的问题．

(四)练习和作业

练习：

1．填空

注意第(4)题需有2m≥0，m≥0，又需有-3m≥0，即m≤0，故m=0．

2．实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：

分析：通过本题渗透数形结合的思想，进一步巩固二次根式的定义、性质，引导学生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．

3．计算

二、作业

教材P．172习题11．1；A组2、3；B组2．

补充作业：

下列各式中的字母满足什么条件时，才能使该式成为二次根式？

分析：要使这些式成为二次根式，只要被开方式是非负数即可，启发学生分析如下：

(1)由-｜a-2b｜≥0，得a-2b≤0，

但根据绝对值的性质，有｜a-2b｜≥0，

∴｜a-2b｜=0，即a-2b=0，得a=2b．

(2)由(-m2-1)(m-n)≥0，-(m2+1)(m-n)≥0

∴(m2+1)(m-n)≤0，又m2+1＞0，

∴m-n≤0，即m≤n．

说明：本题求解较难些，但基本方法仍是由二次根式中被开方数(式)大于或等于零列出不等式．通过本题培养学生对于较复杂的题的分析问题和解决问题的能力，并且进一步巩固二次根式的概念．

三、板书设计

数学教案－二次根式的乘法的教学方案

教学建议

知识结构：

重点难点分析：

本节的教学重点是利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.积的算术平方根的性质是本节的中心内容，化简和运算都是围绕其进行的，而运用此性质计算化简又是二次根式的化简和混合运算的基础.二次根式的计算和化简通常与如勾股定理等几何方面的知识综合在一起.

本节难点是二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.积的算术平方根在应用时既要强调这部分题目中的字母为正数，但又要注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识.要让学生认识到积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的关系。综合应用性质或乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.

教法建议：

1.由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，因此要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要逐步有序的展开.在讲解二次根式的乘法时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系。

2.积的算术平方根的性质和（）及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算一组具体的式子，引导他们做出一般的结论。由于归纳是通过对一些个别的、特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论，这种思维过程对于初中学生认识、研究和发现事物的规律有着重要的作用，所以在教学中对于培养的思维品质有着重要的作用。

教学设计示例

二次根式的乘法(一)

一、教学目标

1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．

2．会进行简单的二次根式的乘法运算．

3．使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题．

4．使学生了解比较二次根式的大小的方法．

二、教学重点和难点

1．重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的二次根式的乘法运算．

2．难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．

三、教学方法

从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法．

四、教学手段

利用投影仪．

五、教学过程

(一)引入新课

观察下面的例子：

于是可得到：

又如：

类似地可以得到：

(二)新课

积的算术平方根．

由前面所举特殊的例子，引导学生总结出：一般地，有(a≥0，b≥0)．

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．

要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a≥0、b≥0．在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积．

根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．

例1把下面各数分解因数：

(1)20；(2)42；(3)63；(4)128．

说明：通过本题复习分解因数，为利用积的算术平方根公式化简二次根式打下基础．

解：略．

例2化简：

（1）（2）

（3）（4）

分析：本题需要用积的算术平方根公式进行化简，题目中的被开方数都是具体数字，学生便于理解，在讲完例2后可以总结化简的方法．

解：（1）

（2）

（3）

（4）

说明：①(a≥0，b≥0)可以推广为(a≥0，b≥0，c≥0)．

②这个小题与本章章头图与章序言的内容有联系，解答了章序言中提出的一个问题．

③(4)小题要首先用平方差公式分解成积的形式，才可以用积的算术平方根公式进行化简．

④通过例2可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简．

通过例2，我们根据算术平方根的定义，可得出：，，等结果，于是可以总结出：一般地，有

（a≥0）

关于a＜0时，，这种情况将在本章最后一小节专门研究.

例3化简：

（1）；（2）

分析：由例3，让学生注意，在本章中，未加特别说明时，字母一般表示正数，但在实际问题中不一定非是正数不可，如第(1)小题，a可以是负数，根据学生实际情况，可适当引导学生展开小组的讨论，渗透分类讨论的思想．

解：（1）

（2）

说明：x2+y2这个式子不能再开方了，进一步强调积的算术平方根公式的特点．

例4如右图，在△ABC中，∠C=90°，4C=10cm，BC=24cm．求AB．

解：∵AB2=AC2+BC2

∴

(cm)

答：AB长26cm．

(三)小结

1．本节课讲了积的算术平方根的性质

(a≥0，b≥0)．

通过分式的应用，让学生进一步总结，为什么必须有a≥0、b≥0这个条件，而没有这个条件上述性质不成立．

问学生：当a＜0，b＜0，也有意义，为什么一定要a≥0、b≥0呢？

引导学生说出：若a＜0，b＜0，，在实数范围内没有意义.公式显然不成立．

2．利用积的算术平方根的性质，化简二次根式的方法．

3．结合几何课学习的勾股定理，提高学生解决实际问题的能力．

(四)练习

1．化简：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）;(6)；

（7）；（8）

2．计算：

（1）；（2）；

（3）；（4）

3．已知一个直角三角形的斜边c=21，一条直角边b＝4，求另一条直角边a．

六、作业

教材P．177习题11．2；A组1、2、3、4、5．

七、板书设计

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