数学教案－解直角三形应用举例相关教学方案

现在，很多初中教学都需要用到教案，教案能够安排教学的方方面面，一份完整的教案有许多内容，好的初中教案都有哪些内容？小编为你推荐《数学教案－解直角三形应用举例相关教学方案》，希望您喜欢。

1．知识结构：

2．重点和难点分析

重点和难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．教法建议

本节知识与实际联系密切，这些知识可以直接用来解决一些实际问题，这在几何的许多章节中是做不到的，所以要充分发挥这一特点，通过教学，培养学生应用数学的意识，解决实际问题的能力．要解决实际问题，首先要能够把实际问题抽象为数学问题，然后运用数学知识解决这些问题，为了使学生能够处理一些简单问题，教材中配备一些比较典型的例题，这些例题的教学，要注意以下几个问题：

1．帮助学生弄清实际问题的意义．由于学生接触实际较少，实践经验不足，许多实际问题的意义不清楚，许多术语不熟悉，这些在教学中要向学生说明．例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等，零件图，特别是剖面图的意义，航行中的方位角等．学生懂得了这些常识，才能理解实际问题．

2．帮助学生画出草图．把实际问题抽象为几何问题，关键是画出草图，通过图形反映问题中的已知与未知，以及已知和未知量之间的关系．这里要解决好两个问题：

(1)实际问题基本上是空间三维的问题，要会把它转化为平面问题，画出平面图形．例如飞机在空中俯看地面目标，选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的平面(图1)；机器零件大都画出横断面、纵断面(图2)；在地面上测两点距离，两个方向夹角，可以画平行地面的平面等．

(2)船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，这类问题难点在于确定基准点．例如，说灯塔在船的什么方向上，这时船是基准点，如果说船在岸边某一点的什么方向上，这时岸边的这一点是基准点．有时因为船在航行中观测灯塔，基准点在转移，这些都会给画图增加困难．

在第一册里，介绍过空间里的平行、垂直关系，也介绍过方向角的概念，这些都可以作为学习的基础，教学时可适当复习，帮助学生回忆．

3．帮助学生根据需要作出辅助线．画出的草图，不一定有直角三角形，为了用解直角三角形的方法解决这些问题，常常需要添加辅助线．在这些问题中，辅助线常常是垂线或者平行线，例如图3中的几个问题中，虚线就是所要添加的辅助线．

4．有了直角三角形，还要进一步分析，由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角，题目要求的是哪些边或角，这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题．

一、教学目标

1．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决；

2．通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提高学生分析问题、解决实际问题的能力；

3．通过本节的教学，向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养他们用数学的意识.

二、重点难点疑点及解决办法

1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．疑点：练习中水位为＋2.63这一条件学生可能不理解，教师最好用实际教具加以说明.

4．解决办法：引导学生体会实际问题中的概念，建立数学模型，从而重难点，以教具演示解决疑点.

三、教学过程

1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在

水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

2．例1

如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地平面控制点B的俯角，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．

解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角报知识来解决，在此之

前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但

不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重语学生画几

何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边（包括已知什么和求什么），会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．

解：在中,

∴（米）．

答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

［例1］小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式

来解决的两个实际问题即已知和斜边，求的对边；以及已知和对边，求斜边．

3．巩固练习P．25．

如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）

为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．

由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化

为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：

1．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．

2．请学生结合图说出已知条件和所求各是什么？

答：已知，求AB．

这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．

对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式，当船继续行驶到D时，测得俯角，当时水位为－1.15m，求观察所A到船只B的水平距离（精确到1m），请学生独立完成.

【例2】如图所示，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD.

此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平等于CD的直线交BD于E，构造出，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD.

设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的.

解：过A作，于是，

在中，

∴（米）.

.

∴（米）.

∴（米）.

（米）.

答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米.

练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角，已知人的高度为1.72米，求树高（精确到0.01米）.

要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它.

探究活动

一、望海岛

如图,要测量海岛高度,立两根高度都是3丈的杆,两杆相距1000步,使前杆、后杆、海岛排成一直线。从前杆往回走123步，脚、前杆顶、岛顶共线。从后杆往回走127步，脚、后杆、岛顶共线。问岛高和岛离前杆分别为多少？(在古代，1里=300步，1步=6尺=0.6丈)

答案:4里55步;102里150步.

二、望松

如下图，求出三顶松的高度.

答案:12丈2尺8寸.

jk251.coM小编推荐

解直角三形应用举例的教学方案

1．知识结构：

2．重点和难点分析

重点和难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．教法建议

本节知识与实际联系密切，这些知识可以直接用来解决一些实际问题，这在几何的许多章节中是做不到的，所以要充分发挥这一特点，通过教学，培养学生应用数学的意识，解决实际问题的能力．要解决实际问题，首先要能够把实际问题抽象为数学问题，然后运用数学知识解决这些问题，为了使学生能够处理一些简单问题，教材中配备一些比较典型的例题，这些例题的教学，要注意以下几个问题：

1．帮助学生弄清实际问题的意义．由于学生接触实际较少，实践经验不足，许多实际问题的意义不清楚，许多术语不熟悉，这些在教学中要向学生说明．例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等，零件图，特别是剖面图的意义，航行中的方位角等．学生懂得了这些常识，才能理解实际问题．

2．帮助学生画出草图．把实际问题抽象为几何问题，关键是画出草图，通过图形反映问题中的已知与未知，以及已知和未知量之间的关系．这里要解决好两个问题：

(1)实际问题基本上是空间三维的问题，要会把它转化为平面问题，画出平面图形．例如飞机在空中俯看地面目标，选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的平面(图1)；机器零件大都画出横断面、纵断面(图2)；在地面上测两点距离，两个方向夹角，可以画平行地面的平面等．

(2)船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，这类问题难点在于确定基准点．例如，说灯塔在船的什么方向上，这时船是基准点，如果说船在岸边某一点的什么方向上，这时岸边的这一点是基准点．有时因为船在航行中观测灯塔，基准点在转移，这些都会给画图增加困难．

在第一册里，介绍过空间里的平行、垂直关系，也介绍过方向角的概念，这些都可以作为学习的基础，教学时可适当复习，帮助学生回忆．

3．帮助学生根据需要作出辅助线．画出的草图，不一定有直角三角形，为了用解直角三角形的方法解决这些问题，常常需要添加辅助线．在这些问题中，辅助线常常是垂线或者平行线，例如图3中的几个问题中，虚线就是所要添加的辅助线．

4．有了直角三角形，还要进一步分析，由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角，题目要求的是哪些边或角，这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题．

一、教学目标

1．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决；

2．通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提高学生分析问题、解决实际问题的能力；

3．通过本节的教学，向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养他们用数学的意识.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．疑点：练习中水位为＋2.63这一条件学生可能不理解，教师最好用实际教具加以说明.

4．解决办法：引导学生体会实际问题中的概念，建立数学模型，从而重难点，以教具演示解决疑点.

三、教学过程

1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在

水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

2．例1

如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地平面控制点B的俯角，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．

解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角报知识来解决，在此之

前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但

不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重语学生画几

何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边（包括已知什么和求什么），会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．

解：在中,

∴（米）．

答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

［例1］小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式

来解决的两个实际问题即已知和斜边，求的对边；以及已知和对边，求斜边．

3．巩固练习P．25．

如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）

为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．

由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化

为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：

1．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．

2．请学生结合图说出已知条件和所求各是什么？

答：已知，求AB．

这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．

对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式，当船继续行驶到D时，测得俯角，当时水位为－1.15m，求观察所A到船只B的水平距离（精确到1m），请学生独立完成.

【例2】如图所示，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD.

此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平等于CD的直线交BD于E，构造出，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD.

设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的.

解：过A作，于是，

在中，

∴（米）.

.

∴（米）.

∴（米）.

（米）.

答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米.

练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角，已知人的高度为1.72米，求树高（精确到0.01米）.

要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它.

探究活动

一、望海岛

如图,要测量海岛高度,立两根高度都是3丈的杆,两杆相距1000步,使前杆、后杆、海岛排成一直线。从前杆往回走123步，脚、前杆顶、岛顶共线。从后杆往回走127步，脚、后杆、岛顶共线。问岛高和岛离前杆分别为多少？(在古代，1里=300步，1步=6尺=0.6丈)

答案:4里55步;102里150步.

二、望松

如下图，求出三顶松的高度.

答案:12丈2尺8寸.

经典初中教案解直角三形应用举例

1．知识结构：

2．重点和难点分析

重点和难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．教法建议

本节知识与实际联系密切，这些知识可以直接用来解决一些实际问题，这在几何的许多章节中是做不到的，所以要充分发挥这一特点，通过教学，培养学生应用数学的意识，解决实际问题的能力．要解决实际问题，首先要能够把实际问题抽象为数学问题，然后运用数学知识解决这些问题，为了使学生能够处理一些简单问题，教材中配备一些比较典型的例题，这些例题的教学，要注意以下几个问题：

1．帮助学生弄清实际问题的意义．由于学生接触实际较少，实践经验不足，许多实际问题的意义不清楚，许多术语不熟悉，这些在教学中要向学生说明．例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等，零件图，特别是剖面图的意义，航行中的方位角等．学生懂得了这些常识，才能理解实际问题．

2．帮助学生画出草图．把实际问题抽象为几何问题，关键是画出草图，通过图形反映问题中的已知与未知，以及已知和未知量之间的关系．这里要解决好两个问题：

(1)实际问题基本上是空间三维的问题，要会把它转化为平面问题，画出平面图形．例如飞机在空中俯看地面目标，选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的平面(图1)；机器零件大都画出横断面、纵断面(图2)；在地面上测两点距离，两个方向夹角，可以画平行地面的平面等．

(2)船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，这类问题难点在于确定基准点．例如，说灯塔在船的什么方向上，这时船是基准点，如果说船在岸边某一点的什么方向上，这时岸边的这一点是基准点．有时因为船在航行中观测灯塔，基准点在转移，这些都会给画图增加困难．

在第一册里，介绍过空间里的平行、垂直关系，也介绍过方向角的概念，这些都可以作为学习的基础，教学时可适当复习，帮助学生回忆．

3．帮助学生根据需要作出辅助线．画出的草图，不一定有直角三角形，为了用解直角三角形的方法解决这些问题，常常需要添加辅助线．在这些问题中，辅助线常常是垂线或者平行线，例如图3中的几个问题中，虚线就是所要添加的辅助线．

4．有了直角三角形，还要进一步分析，由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角，题目要求的是哪些边或角，这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题．

一、教学目标

1．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决；

2．通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提高学生分析问题、解决实际问题的能力；

3．通过本节的教学，向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养他们用数学的意识.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．疑点：练习中水位为＋2.63这一条件学生可能不理解，教师最好用实际教具加以说明.

4．解决办法：引导学生体会实际问题中的概念，建立数学模型，从而重难点，以教具演示解决疑点.

三、教学过程

1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在

水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

2．例1

如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地平面控制点B的俯角，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．

解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角报知识来解决，在此之

前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但

不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重语学生画几

何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边（包括已知什么和求什么），会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．

解：在中,

∴（米）．

答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

［例1］小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式

来解决的两个实际问题即已知和斜边，求的对边；以及已知和对边，求斜边．

3．巩固练习P．25．

如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）

为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．

由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化

为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：

1．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．

2．请学生结合图说出已知条件和所求各是什么？

答：已知，求AB．

这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．

对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式，当船继续行驶到D时，测得俯角，当时水位为－1.15m，求观察所A到船只B的水平距离（精确到1m），请学生独立完成.

【例2】如图所示，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD.

此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平等于CD的直线交BD于E，构造出，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD.

设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的.

解：过A作，于是，

在中，

∴（米）.

.

∴（米）.

∴（米）.

（米）.

答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米.

练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角，已知人的高度为1.72米，求树高（精确到0.01米）.

要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它.

探究活动

一、望海岛

如图,要测量海岛高度,立两根高度都是3丈的杆,两杆相距1000步,使前杆、后杆、海岛排成一直线。从前杆往回走123步，脚、前杆顶、岛顶共线。从后杆往回走127步，脚、后杆、岛顶共线。问岛高和岛离前杆分别为多少？(在古代，1里=300步，1步=6尺=0.6丈)

答案:4里55步;102里150步.

二、望松

如下图，求出三顶松的高度.

答案:12丈2尺8寸.

解直角三形应用举例教案模板

1．知识结构：

2．重点和难点分析

重点和难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．教法建议

本节知识与实际联系密切，这些知识可以直接用来解决一些实际问题，这在几何的许多章节中是做不到的，所以要充分发挥这一特点，通过教学，培养学生应用数学的意识，解决实际问题的能力．要解决实际问题，首先要能够把实际问题抽象为数学问题，然后运用数学知识解决这些问题，为了使学生能够处理一些简单问题，教材中配备一些比较典型的例题，这些例题的教学，要注意以下几个问题：

1．帮助学生弄清实际问题的意义．由于学生接触实际较少，实践经验不足，许多实际问题的意义不清楚，许多术语不熟悉，这些在教学中要向学生说明．例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等，零件图，特别是剖面图的意义，航行中的方位角等．学生懂得了这些常识，才能理解实际问题．

2．帮助学生画出草图．把实际问题抽象为几何问题，关键是画出草图，通过图形反映问题中的已知与未知，以及已知和未知量之间的关系．这里要解决好两个问题：

(1)实际问题基本上是空间三维的问题，要会把它转化为平面问题，画出平面图形．例如飞机在空中俯看地面目标，选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的平面(图1)；机器零件大都画出横断面、纵断面(图2)；在地面上测两点距离，两个方向夹角，可以画平行地面的平面等．

(2)船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，这类问题难点在于确定基准点．例如，说灯塔在船的什么方向上，这时船是基准点，如果说船在岸边某一点的什么方向上，这时岸边的这一点是基准点．有时因为船在航行中观测灯塔，基准点在转移，这些都会给画图增加困难．

在第一册里，介绍过空间里的平行、垂直关系，也介绍过方向角的概念，这些都可以作为学习的基础，教学时可适当复习，帮助学生回忆．

3．帮助学生根据需要作出辅助线．画出的草图，不一定有直角三角形，为了用解直角三角形的方法解决这些问题，常常需要添加辅助线．在这些问题中，辅助线常常是垂线或者平行线，例如图3中的几个问题中，虚线就是所要添加的辅助线．

4．有了直角三角形，还要进一步分析，由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角，题目要求的是哪些边或角，这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题．

一、教学目标

1．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决；

2．通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提高学生分析问题、解决实际问题的能力；

3．通过本节的教学，向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养他们用数学的意识.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．疑点：练习中水位为＋2.63这一条件学生可能不理解，教师最好用实际教具加以说明.

4．解决办法：引导学生体会实际问题中的概念，建立数学模型，从而重难点，以教具演示解决疑点.

三、教学过程

1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在

水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

2．例1

如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地平面控制点B的俯角，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．

解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角报知识来解决，在此之

前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但

不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重语学生画几

何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边（包括已知什么和求什么），会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．

解：在中,

∴（米）．

答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

［例1］小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式

来解决的两个实际问题即已知和斜边，求的对边；以及已知和对边，求斜边．

3．巩固练习P．25．

如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）

为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．

由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化

为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：

1．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．

2．请学生结合图说出已知条件和所求各是什么？

答：已知，求AB．

这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．

对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式，当船继续行驶到D时，测得俯角，当时水位为－1.15m，求观察所A到船只B的水平距离（精确到1m），请学生独立完成.

【例2】如图所示，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD.

此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平等于CD的直线交BD于E，构造出，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD.

设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的.

解：过A作，于是，

在中，

∴（米）.

.

∴（米）.

∴（米）.

（米）.

答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米.

练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角，已知人的高度为1.72米，求树高（精确到0.01米）.

要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它.

探究活动

一、望海岛

如图,要测量海岛高度,立两根高度都是3丈的杆,两杆相距1000步,使前杆、后杆、海岛排成一直线。从前杆往回走123步，脚、前杆顶、岛顶共线。从后杆往回走127步，脚、后杆、岛顶共线。问岛高和岛离前杆分别为多少？(在古代，1里=300步，1步=6尺=0.6丈)

答案:4里55步;102里150步.

二、望松

如下图，求出三顶松的高度.

答案:12丈2尺8寸.

数学教案－解直角三角形

教学建议

1．知识结构：

本小节主要学习解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法.

2．重点和难点分析：

教学重点和难点：直角三角形的解法.

本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键.

3.深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.

锐角三角函数的定义：

实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.

当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素.

如：已知直角三角形ABC中，，求BC边的长.

画出图形，可知边AC，BC和三个元素的关系是正切函数（或余切函数）的定义给出的，所以有等式

，

由于，它实际上已经转化了以BC为未知数的代数方程，解这个方程，得

.

即得BC的长为.

又如，已知直角三角形斜边的长为35.42cm，一条直角边的长29.17cm，求另一条边所对的锐角的大小.

画出图形，可设中，，于是，求的大小时，涉及的三个元素的关系是

也就是

这时，就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程，经查三角函数表，得

.

由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具.

4.直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下：

5.注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化

由上述（3）可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过解直角三角形而获得解决.请看下例.

例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角（如图）

这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高（想一想：作其它边上的高为什么不好.），问题就转化为两个解直角三角形的问题.

在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了.解法如下：

解：作于D，在Rt中，有

；

又，在Rt中，有

∴

又，

∴

于是，有

由此可知，掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法是十分重要的，如

（1）作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形.

（2）作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.

（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形.

（4）如图，等腰三角形AOB是正n边形的n分之一.作它的底边上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半径，OM是边心距，AB是边长的一半，锐角.

6.要善于把某些实际问题转化为解直角三角形问题.

很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为解直角三角形问题.

我们知道，机器上用的螺丝钉问题可以看作计算问题，而圆柱的侧面可以看作是长方形围成的（如图）.螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm的螺丝钉，若每转一圈向前推进1.25mm，螺纹的初始角应是多少度多少分？

据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC的长为

，

另一条直角边为螺钉推进的距离，所以

，

设螺纹初始角为，则在Rt中，有

∴.

即，螺纹的初始角约为.

这个例子说明，生产和生活中有很多实际问题都可以抽象为一个解直角三角形问题，我们应当注意培养这种把数学知识应用于实际生活的意识和能力.

一、教学目标

1．使学生掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；

2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；

3．通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯.

二、重点难点疑点及解决办法

1．重点：直角三角形的解法。

2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。

3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边。

4．解决办法：设置疑问，引导学生主动发现方法与途径，解决重难点，以相似三角形知识为背景解决疑点。

三、教学步骤

（一）明确目标

1．在三角形中共有几个元素？

2．如图直角三角形ABC中，这五个元素间有哪些等量关系呢？

（1）边角之间关系

（2）三边之间关系

（勾股定理）

（3）锐角之间关系。

以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用。

（二）整体感知

教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐用三角函数知识，对其加以复习巩固。同时，本课又为以后的应用举例打下基础。因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的。综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课。

（三）教学过程

1．我们已掌握Rt的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素。这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢，激发了学生的学习热情。

2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？（由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形）。

3．例题

【例1】在中，为直角，所对的边分别为，且，解这个三角形。

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想。其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。

解：（1），

（2），

∴

（3）

∴

完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”

答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边。计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底。

【例2】在Rt中，，解这个三角形。

在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。

解：（1），

查表得；

（2）

（3），

∴。

注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理来计算，这时要查平方表和平方根表，这样做有时会比上面用含四位有效数字的数乘（或除）以另一含四位有效数字的数要方便一些。但先后要查两次表，并作一次加法（或减法）或者使用计算器求平方、平方根及三角正数值等。

4．巩固练习

解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握。为此，教材配备了练习P．23中1、2练习1针对各种条件，使学生熟练解直角三角形；练习2代入数据，培养学生运算能力。

[参考答案]

1．（1）；

（2）由求出或；

（3），

或；

（4）或。

2．（1）；

（2）。

说明：解直角三角形计算上比较繁琐，条件好的学校允许用计算器。但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程。要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯。

（四）总结扩展

1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出另三个元素。

2．幻灯片出示图表，请学生完成

四、布置作业

教材P．32习题6．4A组3。

[参考答案]

3．；

五、板书设计

数学教案－解直角三角形复习教案模板

课题：解直角三角形复习（二）

(2003年12月20日备12月日授)主备人：张洋杨超审核：吴国玺姓名：学号

教学目标：使学生进一步理解三角函数的定义，及应用。

一、基础知识回顾：

1、仰角、俯角2、坡度、坡角

二、基础知识回顾：

1、在倾斜角为300的山坡上种树，要求相邻两棵数间的水平距离为3米，

那么相邻两棵树间的斜坡距离为米

2、升国旗时，某同学站在离旗杆底部20米处行注目礼，当国旗升至旗

杆顶端时，该同学视线的仰角为300，若双眼离地面1.5米，则旗杆

高度为米（保留根号）

3、如图：B、C是河对岸的两点，A是对岸岸边一点，测得∠ACB=450，

BC=60米，则点A到BC的距离是米。

3、如图所示：某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡度I=1：1.5，

则AB=。

三、典型例题：

例2、右图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30米，两楼间的距

离AC=24米，现需了解甲楼对乙楼采光的影响，当太阳光与水平

线的夹角为300时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？

例2、如图所示：在湖边高出水面50米的山顶A处望见一艘飞艇停留

在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为450，又观其

在湖中之像的俯角为600，试求飞艇离湖面的高度h米（观察时

湖面处于平静状态）

例3、如图所示：某货船以20海里/时的速度将一批重要货物由A处运往正西方的B处，

经过16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台

风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西600方向移动，距离台风中心200海

里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。

（1）问B处是否会受到台风的影响？请说明理由。

（2）为避免受到台风的影响，该船应该在多少小时内卸完货物？

（供选数据：=1.4=1.7)

四、巩固提高：

1、若某人沿坡度i=3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来

的位置升高米。

2、如图：A市东偏北600方向一旅游景点M，在A市东偏北300的

公路上向前行800米到达C处，测得M位于C的北偏西150，

则景点M到公路AC的距离为。（结果保留根号）

3、同一个圆的内接正方形和它的外切正方形的边长之比为（）

A、sin450B、sin600C、cos300D、cos600

3、如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离

为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端

A向外移动到A，使梯子的底端A到墙根O的距离等于3米，

同时梯子的顶端B下降至B，那么BB（）（填序号）

A、等于1米B、大于1米C、小于1米

5、如图所示：某学校的教室A处东240米的O点处有一货物，经过O点沿北偏西600

方向有一条公路，假定运货车辆形成的噪音影响范围在130米以内。

（1）通过计算说明，公路上车辆的噪音是否对学校造成影响？

（2）为了消除噪音对学校的影响，计划在公路边修一段隔音墙，请你计算隔音墙的

长度（只考虑声音的直线传播）

数学教案－三角形的内角相关教学方案

教学目标：

1.掌握三角形内角和定理及其推论；

2.弄清三角形按角的分类,会按角的大小对三角形进行分类；

3．通过对三角形分类的学习,使学生了解数学分类的基本思想,并会用方程思想去解决一些图形中求角的问题。

4．通过三角形内角和定理的证明，提高学生的逻辑思维能力，同时培养学生严谨的科学态

5.通过对定理及推论的分析与讨论，发展学生的求同和求异的思维能力，培养学生联系与转化的辩证思想。

教学重点：三角形内角和定理及其推论。教学难点：三角形内角和定理的证明

教学用具：直尺、微机

教学方法：互动式，谈话法

教学过程：1、创设情境，自然引入把问题作为教学的出发点，创设问题情境，激发学生学习兴趣和求知欲，为发现新知识创造一个最佳的心理和认知环境。问题1三角形三条边的关系我们已经明确了，而且利用上述关系解决了一些几何问题，那么三角形的三个内角有何关系呢？问题2你能用几何推理来论证得到的关系吗？对于问题1绝大多数学生都能回答出来（小学学过的），问题2学生会感到困难，因为这个证明需添加辅助线，这是同学们第一次接触的新知识―――“辅助线”。教师可以趁机告诉学生这节课将要学习的一个重要内容（板书课题）新课引入的好坏在某种程度上关系到课堂教学的成败，本节课从旧知识切入，特别是从知识体系考虑引入，“学习了三角形边的关系，自然想到三角形角的关系怎样呢？”使学生感觉本节课学习的内容自然合理。2、设问质疑，探究尝试（1）求证：三角形三个内角的和等于让学生剪一个三角形，并把它的三个内角分别剪下来，再拼成一个平面图形。这里教师设计了电脑动画显示具体情景。然后，围绕问题设计以下几个问题让学生思考，教师进行学法指导。问题1观察：三个内角拼成了一个什么角？问题2此实验给我们一个什么启示？（把三角形的三个内角之和转化为一个平角）问题3由图中AB与CD的关系，启发我们画一条什么样的线，作为解决问题的桥梁？其中问题2是解决本题的关键，教师可引导学生分析。对于问题3学生经过思考会画出此线的。这里教师要重点讲解“辅助线”的有关知识。比如：为什么要画这条线？画这条线有什么作用？要让学生知道“辅助线”是以后解决几何问题有力的工具。它的作用在于充分利用条件；恰当转化条件；恰当转化结论；充分提示题目中各元素间的一些不明显的关系，达到化难为易解决问题的目的。（2）通过类比“三角形按边分类”，三角形按角怎样分类呢？学生回答后，电脑显示图表。（3）三角形中三个内角之和为定值，那么对三角形的其它角还有哪些特殊的关系呢？问题1直角三角形中，直角与其它两个锐角有何关系？问题2三角形一个外角与它不相邻的两个内角有何关系？问题3三角形一个外角与其中的一个不相邻内角有何关系？其中问题1学生很容易得出，提出问题2之后，先给出三角形外角的定义，然后让学生经过分析讨论，得出结论并书写证明过程。这样安排的目的有三点：第一，理解定理之后的延伸――推论，培养学生良好的学习习惯。第二，模仿定理的证明书写格式，加强学生书写能力。第三，提高学生灵活运用所学知识的能力。3、三角形三个内角关系的定理及推论通过上面四个例题的分析与讨论，有利于学生基础知识与基本能力的掌握与提高，同时更有利于学生创新意识与创造性思维能力的培养，在练习、讲评等教学环节中，形成师生之间的、学生之间的“双向反馈”是很重要的。4、变式训练，巩固提高根据例4的度数的求法，思考如下问题：(3)如图5，过D点画AB的平行线MN，与AC、BC交于点M、N，则的度数多少?(4)当MN绕着点D旋转过程中，会有怎样的变化？提示：变化1当直线MN与AC、BC的交点仍在线段AC、BC上时，＝变化2当直线MN与AC的交点在线段AC上，与BC的交点在BC的延长线上时,变化3当直线MN与AC的交点在线段AC的延长线上，与BC的交点在线段BC上时，＝变化4当直线MN与AC、BC的交点在C点时，＝经过这样的变式、发展、学习，不仅使学生巩固了所学的数学知识，也使学生体验了数学的运动变化观，使学生的思维得到了培养。5、小结通过设置问题：“本节在知识方面以及在思想方法方面你有怎样的收获？”师生以谈话交流的形式进行小结。强调学生注意：辅助线的作用及运用定理及推论解决问题时，要善于抓住条件与结论的关系。6、布置作业a、书面作业P43＃3b、上交作业P42＃16、17思考题：

数学教案－多边形的内角相关教学方案

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生掌握四边形的有关概念及四边形的内角和外角和定理．

2．了解四边形的不稳定性及它在实际生产，生活中的应用．

（二）能力训练点

1．通过引导学生观察气象站的实例，培养学生从具体事物中抽象出几何图形的能力．

2．通过推导四边形内角和定理，对学生渗透化归思想．

3．会根据比较简单的条件画出指定的四边形．

4．讲解四边形外角概念和外角定理时，联系三角形的有关概念对学生渗透类比思想．

（三）德育渗透点

使学生认识到这些四边形都是常见的，研究他们都有实际应用意义，从而激发学生学习新知识的兴趣．

（四）美育渗透点

通过四边形内角和定理数学，渗透统一美，应用美．

二、学法引导

类比、观察、引导、讲解

三、重点难点疑点及解决办法

1．教学重点：四边形及其有关概念；熟练推导四边形外角和这一结论，并用此结论解决与四边形内外角有关计算问题．

2．教学难点：理解四边形的有关概念中的一些细节问题；四边形不稳定性的理解和应用．

3．疑点及解决办法：四边形的定义中为什么要有“在平面内”，而三角形的定义中就没有呢？根据指定条件画四边形，关键是要分析好作图的顺序，一般先作一个角．

四、课时安排

2课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、四边形模型、常用画图工具

六、师生互动活动设计

教师引入新课，学生观察图形，类比三角形知识导出四边形有关概念；师生共同推导四边形内角和的定理，学生巩固内角和定理和应用；共同分析探索外角和定理，学生阅读相关材料．

第一课时

七、教学步骤

【复习引入】

在小学里已经对四边形、长方形、平形四边形的有关知识有所了解，但还很肤浅，这一章我们将比较系统地学习各种四边形的性质和判定分析它们之间的关系，并运用有关四边形的知识解决一些新问题．

【引入新课】

用投影仪打出课前画好的教材中P119的图．

师问：在上图中你能把知道的长方形、正方形、平行四边形、梯形找出来吗？（启发学生找上述图形，最后教师用彩色笔勾出几个图形）．

【讲解新课】

1．四边形的有关概念

结合图形讲解四边形，四边形的边、顶点、角，凸四边形，四边形的对角线（同时学生在书上画出上述概念），讲解这些概念时：

（1）要结合图形．

（2）要与三角形类比．

（3）讲清定义中的关键词语．如四边形定义中要说明为什么加上“同一平面内”而三角形的定义中为什么不加“同一平面内”（三角形的三个顶点一定在同一平面内，而四个点有可能不在同一平面内，如图4—2中的点．我们现在只研究平面图形，故在定义中加上“在同一平面内”的限制）．

（4）强调四边形对角线的作用，作为四边形的一种常用的辅助线，通过它可以把四边形问题转化为三角形来解（渗透化归思想），并观察图4－3用对角线分成的这些三角形与原四边形的关系．

（5）强调四边形的表示方法，一定要按顶点顺序书写四边形如图4—1．

（6）在判断一个四边形是不是凸四边形时，一定要按照定义的要求把每一边都延长后再下结论如图4－4，图4－5．

2．四边形内角和定理

教师问：

（1）在图4－3中对角线AC把四边形ABCD分成几个三角形？

（2）在图4－6中两条对角线AC和BD把四边形分成几个三角形？

（3）若在四边形ABCD如图4－7内任取一点O，从O向四个顶点作连线，把四边形分成几个三角形．

我们知道，三角形内角和等于180°，那么四边形的内角和就等于：

①2×180°＝360°如图4—6；

②4×180°－360°＝360°如图4－7．

例1已知：如图4—8，直线于B、于C．

求证：（1）;（2）.

本例题是四边形内角和定理的应用，实际上它证明了两边相互垂直的两个角相等或互补的关系，何时用相等，何时用互补，如果需要应用，作两三步推理就可以证出．

【总结、扩展】

1．四边形的有关概念．

2．四边形对角线的作用．

3．四边形内角和定理．

八、布置作业

教材P128中1（1）、2、3．

九、板书设计

四边形（一）

四边形有关概念

四边形内角和例1

十、随堂练习

教材P122中1、2、3.

解直角三角形

教学建议

1．知识结构：

本小节主要学习的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法.

2．重点和难点分析：

教学重点和难点：直角三角形的解法.

本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地的关键.

3.深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.

锐角三角函数的定义：

实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.

当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素.

如：已知直角三角形ABC中，，求BC边的长.

画出图形，可知边AC，BC和三个元素的关系是正切函数（或余切函数）的定义给出的，所以有等式

，

由于，它实际上已经转化了以BC为未知数的代数方程，解这个方程，得

.

即得BC的长为.

又如，已知直角三角形斜边的长为35.42cm，一条直角边的长29.17cm，求另一条边所对的锐角的大小.

画出图形，可设中，，于是，求的大小时，涉及的三个元素的关系是

也就是

这时，就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程，经查三角函数表，得

.

由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具.

4.直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下：

5.注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化

由上述（3）可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过而获得解决.请看下例.

例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角（如图）

这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高（想一想：作其它边上的高为什么不好.），问题就转化为两个的问题.

在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了.解法如下：

解：作于D，在Rt中，有

；

又，在Rt中，有

∴

又，

∴

于是，有

由此可知，掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法是十分重要的，如

（1）作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形.

（2）作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.

（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形.

（4）如图，等腰三角形AOB是正n边形的n分之一.作它的底边上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半径，OM是边心距，AB是边长的一半，锐角.

6.要善于把某些实际问题转化为问题.

很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为问题.

我们知道，机器上用的螺丝钉问题可以看作计算问题，而圆柱的侧面可以看作是长方形围成的（如图）.螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm的螺丝钉，若每转一圈向前推进1.25mm，螺纹的初始角应是多少度多少分？

据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC的长为

，

另一条直角边为螺钉推进的距离，所以

，

设螺纹初始角为，则在Rt中，有

∴.

即，螺纹的初始角约为.

这个例子说明，生产和生活中有很多实际问题都可以抽象为一个问题，我们应当注意培养这种把数学知识应用于实际生活的意识和能力.

第12页

数学教案－公式相关教学方案

教学目标

1．了解公式的意义，使学生能用公式解决简单的实际问题；

2．初步培养学生观察、分析及概括的能力；

3．通过本节课的教学，使学生初步了解公式来源于实践又反作用于实践。

教学建议

一、教学重点、难点

重点：通过具体例子了解公式、应用公式．

难点：从实际问题中发现数量之间的关系并抽象为具体的公式，要注意从中反应出来的归纳的思想方法。

二、重点、难点分析

人们从一些实际问题中抽象出许多常用的、基本的数量关系，往往写成公式，以便应用。如本课中梯形、圆的面积公式。应用这些公式时，首先要弄清楚公式中的字母所表示的意义，以及这些字母之间的数量关系，然后就可以利用公式由已知数求出所需的未知数。具体计算时，就是求代数式的值了。有的公式，可以借助运算推导出来；有的公式，则可以通过实验，从得到的反映数量关系的一些数据（如数据表）出发，用数学方法归纳出来。用这些抽象出的具有一般性的公式解决一些问题，会给我们认识和改造世界带来很多方便。

三、知识结构

本节一开始首先概述了一些常见的公式，接着三道例题循序渐进的讲解了公式的直接应用、公式的先推导后应用以及通过观察归纳推导公式解决一些实际问题。整节内容渗透了由一般到特殊、再由特殊到一般的辨证思想。

四、教法建议

1．对于给定的可以直接应用的公式，首先在给出具体例子的前提下，教师创设情境，引导学生清晰地认识公式中每一个字母、数字的意义，以及这些数量之间的对应关系，在具体例子的基础上，使学生参与挖倔其中蕴涵的思想，明确公式的应用具有普遍性，达到对公式的灵活应用。

2．在教学过程中，应使学生认识有时问题的解决并没有现成的公式可套，这就需要学生自己尝试探求数量之间的关系，在已有公式的基础上，通过分析和具体运算推导新公式。

3．在解决实际问题时，学生应观察哪些量是不变的，哪些量是变化的，明确数量之间的对应变化规律，依据规律列出公式，再根据公式进一步地解决问题。这种从特殊到一般、再从一般到特殊认识过程，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。

教学设计示例

公式

一、教学目标

（一）知识教学点

1．使学生能利用公式解决简单的实际问题．

2．使学生理解公式与代数式的关系．

（二）能力训练点

1．利用数学公式解决实际问题的能力．

2．利用已知的公式推导新公式的能力．

（三）德育渗透点

数学来源于生产实践，又反过来服务于生产实践．

（四）美育渗透点

数学公式是用简洁的数学形式来阐明自然规定，解决实际问题，形成了色彩斑斓的多种数学方法，从而使学生感受到数学公式的简洁美．

二、学法引导

1．数学方法：引导发现法，以复习提问小学里学过的公式为基础、突破难点

2．学生学法：观察→分析→推导→计算

三、重点、难点、疑点及解决办法

1．重点：利用旧公式推导出新的图形的计算公式．

2．难点：同重点．

3．疑点：把要求的图形如何分解成已经熟悉的图形的和或差．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪，自制胶片。

六、师生互动活动设计

教者投影显示推导梯形面积计算公式的图形，学生思考，师生共同完成例1解答；教者启发学生求图形的面积，师生总结求图形面积的公式．

七、教学步骤

（一）创设情景，复习引入

师：同学们已经知道，代数的一个重要特点就是用字母表示数，用字母表示数有很多应用，公式就是其中之一，我们在小学里学过许多公式，请大家回忆一下，我们已经学过哪些公式，教法说明，让学生一开始就参与课堂教学，使学生在后面利用公式计算感到不生疏．

在学生说出几个公式后，师提出本节课我们应在小学学习的基础上，研究如何运用公式解决实际问题．

板书：公式

师：小学里学过哪些面积公式？

板书：S=ah

附图

（出示投影1）。解释三角形，梯形面积公式

【教法说明】让学生感知用割补法求图形的面积。

（二）探索求知，讲授新课

师：下面利用面积公式进行有关计算

（出示投影2）

例1如图是一个梯形，下底（米），上底，高，利用梯形面积公式求这个梯形的面积S。

师生共同分析：1．根据梯形面积计算公式，要计算梯形面积，必须知道哪些量？这些现在知道吗？

2．题中“M”是什么意思？（师补充说明厘米可写作cm，千米写作km，平方厘米写作等）

学生口述解题过程，教师予以指正并指出，强调解题的规范性．

【教法说明】1．通过分析，引导学生在一个实际问题中，必须明确哪些量是已知的，哪些量是未知的，要解决这个问题，必须已知哪些量．2．用公式计算时，要先写出公式，然后代入计算，养成良好的解题习惯．

（出示投影3）

例2如图是一个环形，外圆半径，内圆半径求这个环形的面积

学生讨论：1．环形是怎样形成的．2．如何求环形的面积讨论后请学生板演，其他同学做在练习本上，教育巡回指导．

评讲时注意1．如果有学生作了简便计算，则给予表扬和鼓励：如果没有学生这样计算，则启发学生这样计算．

2．本题实际上是由圆的面积公式推导出环形面积公式．

3．进一步强调解题的规范性

教法说明，让学生做例题，学生能自己评判对与错，优与劣，是获取知识的一个很好的途径．

测试反馈，巩固练习

（出示投影4）

1．计算底，高的三角形面积

2．已知长方形的长是宽的1．6倍，如果用a表示宽，那么这个长方形的周长是多少？当时，求t

3．已知圆的半径，，求圆的周长C和面积S

4．从A地到B地有20千米上坡路和30千米下坡路，某车上坡时每小时走千米，下坡时每小时走千米。

（1）求A地到B地所用的时间公式。

（2）若千米/时，千米/时，求从A地到B地所用的时间。

学生活动：分两次完成，每次两题，两人板演，其他同学在练习本上完成，做好后同桌交换评判，第一次可请两位基础较差的同学板演，第二次请中等层次的学生板演．

【教法说明】面向全体，分层教学，能照顾两极，使所有的同学有所发展．

师：公式本身是用等号联接起来的代数式，许多公式在实际中都有重要的用处，可以用公式直接计算还可以利用公式推导出新的公式．

八、随堂练习

（一）填空

1．圆的半径为R，它的面积________，周长_____________

2．平行四边形的底边长是，高是，它的面积_____________；如果，，那么_________

3．圆锥的底面半径为，高是，那么它的体积__________如果，，那么_________

（二）一种塑料三角板形状，尺寸如图，它的厚度是，求它的体积V，如果，，，V是多少？

九、布置作业

(一)必做题课本第22页1、2、3第23页B组1

(二)选做题课本第22页5B组2

十、板书设计

附：随堂练习答案

（一）1.2.3.

（二）

作业答案

必做题1.

2.3.

.

选做题5.

探究活动

根据给出的数据推导公式。

推导从1到这个连续自然数的和的公式，并求当时，的值。

答案

当时，

解直角三角形教案模板

教学建议

1．知识结构：

本小节主要学习的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法.

2．重点和难点分析：

教学重点和难点：直角三角形的解法.

本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地的关键.

3.深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.

锐角三角函数的定义：

实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.

当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素.

如：已知直角三角形ABC中，，求BC边的长.

画出图形，可知边AC，BC和三个元素的关系是正切函数（或余切函数）的定义给出的，所以有等式

，

由于，它实际上已经转化了以BC为未知数的代数方程，解这个方程，得

.

即得BC的长为.

又如，已知直角三角形斜边的长为35.42cm，一条直角边的长29.17cm，求另一条边所对的锐角的大小.

画出图形，可设中，，于是，求的大小时，涉及的三个元素的关系是

也就是

这时，就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程，经查三角函数表，得

.

由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具.

4.直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下：

5.注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化

由上述（3）可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过而获得解决.请看下例.

例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角（如图）

这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高（想一想：作其它边上的高为什么不好.），问题就转化为两个的问题.

在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了.解法如下：

解：作于D，在Rt中，有

；

又，在Rt中，有

∴

又，

∴

于是，有

由此可知，掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法是十分重要的，如

（1）作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形.

（2）作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.

（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形.

（4）如图，等腰三角形AOB是正n边形的n分之一.作它的底边上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半径，OM是边心距，AB是边长的一半，锐角.

6.要善于把某些实际问题转化为问题.

很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为问题.

我们知道，机器上用的螺丝钉问题可以看作计算问题，而圆柱的侧面可以看作是长方形围成的（如图）.螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm的螺丝钉，若每转一圈向前推进1.25mm，螺纹的初始角应是多少度多少分？

据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC的长为

，

另一条直角边为螺钉推进的距离，所以

，

设螺纹初始角为，则在Rt中，有

∴.

即，螺纹的初始角约为.

这个例子说明，生产和生活中有很多实际问题都可以抽象为一个问题，我们应当注意培养这种把数学知识应用于实际生活的意识和能力.

一、教学目标

1．使学生掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数；

2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；

3．通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．重点：直角三角形的解法。

2．难点：三角函数在中的灵活运用。

3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边。

4．解决办法：设置疑问，引导学生主动发现方法与途径，解决重难点，以相似三角形知识为背景解决疑点。

三、教学步骤

（一）明确目标

1．在三角形中共有几个元素？

2．如图直角三角形ABC中，这五个元素间有哪些等量关系呢？

（1）边角之间关系

（2）三边之间关系

（勾股定理）

（3）锐角之间关系。

以上三点正是的依据，通过复习，使学生便于应用。

（二）整体感知

教材在继锐角三角函数后安排，目的是运用锐用三角函数知识，对其加以复习巩固。同时，本课又为以后的应用举例打下基础。因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——的知识来解决的。综上所述，一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课。

（三）教学过程

1．我们已掌握Rt的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素。这样的导语既可以使中国学习联盟概了解的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢，激发了学生的学习热情。

2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是？（由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做）。

3．例题

【例1】在中，为直角，所对的边分别为，且，解这个三角形。

的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想。其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。

解：（1），

（2），

∴

（3）

∴

完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何？”

答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边。计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底。

【例2】在Rt中，，解这个三角形。

在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。

解：（1），

查表得；

（2）

（3），

∴。

注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理来计算，这时要查平方表和平方根表，这样做有时会比上面用含四位有效数字的数乘（或除）以另一含四位有效数字的数要方便一些。但先后要查两次表，并作一次加法（或减法）或者使用计算器求平方、平方根及三角正数值等。

4．巩固练习

是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握。为此，教材配备了练习P．23中1、2练习1针对各种条件，使学生熟练；练习2代入数据，培养学生运算能力。

[参考答案]

1．（1）；

（2）由求出或；

（3），

或；

（4）或。

2．（1）；

（2）。

说明：计算上比较繁琐，条件好的学校允许用计算器。但无论是否使用计算器，都必须写出的整个过程。要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯。

（四）总结扩展

1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出另三个元素。

2．幻灯片出示图表，请学生完成

四、布置作业

教材P．32习题6．4A组3。

[参考答案]

3．；

五、板书设计

本文网址：http://m.jk251.com/jiaoan/9380.html