教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节教学的重点是的熟记及应用.难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解).是进行代数运算与变形的重要的知识基础。
1.两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.即:
这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的.
这两个公式的结构特征是:左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式,是左边二中两项的平方和,加上(这两项相加时)或减去(这两项相减时)这两项乘积的2倍;公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数),也可以表示单项式或多项式等代数式.
2.只要符合这一公式的结构特征,就可以运用这一公式.
在运用公式时,有时需要进行适当的变形,例如可先变形为或或者,再进行计算.
在运用公式时,防止发生这样错误.
3.运用计算时,要注意:
(1)切勿把此公式与公式混淆,而随意写成.
(2)切勿把“乘积项”中的2丢掉.
(3)计算时,要先观察题目特点是否符合公式的条件,若不符合,应先变形为符合公式的条件的形式,再利用公式进行计算,若不能变为符合公式条件的形式,则应运用乘法法则进行计算.
4.与都叫做.为了区别,我们把前者叫做两数和的,后者叫做两数差的.
三、教法建议
1.在公式的运用上,与平方差公式的运用一样,应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义,教科书把公式中的字母同具体题目中的数或式子,用“”连结起来,逐项比较、对照,步骤写得完整,便于学生理解如何正确地使用进行计算.
2.正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件.重要的是确定两数,然后再看是否两数的和(或差),最后按照公式写出两数和(或差)的平方的结果.
3.如何使学生记牢公式呢?我们注意了以下两点.
(1)既讲“法”,又讲“理”
在教学中要讲法则、公式的应用,也要讲公式的推导,使学生在理解公式、法则道理的基础上进行记忆.我们引导学生借助面积图形对做直观说明,也是对说理的重视.在“明白道理”这个前提下的记忆,即使学生将来发生错误也易于纠正.
(2)讲联系、讲对比、讲特点
对于类似的内容学生容易混淆,比如在本节出现的(a+b)2=a2+b2的错误,其原因是把和“旧”知识(ab)2=a2b2及分配律弄混,排除新旧知识间相互干扰的一种作法是向学生指明新知识的特点.所以讲“理”是要讲联系、讲对比、讲特点.
教学设计示例
一、教学目标
1.理解的意义,准确掌握两个公式的结构特征.
2.熟练运用公式进行计算.
3.通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力.
4.培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想.
5.渗透数学公式的结构美、和谐美.
二、学法引导
1.教学方法:尝试指导法、讲练结合法.
2.学生学法:本节学习了乘法公式中的完全平方,一个是两数和的平方,另一个是两数差的平方,两者仅一个“符号”不同.相乘的结果是两数的平方和,加上(或减去)两数的积的2倍,两者也仅差一个“符号”不同,运用计算时,要注意:
(1)切勿把此公式与公式混淆,而随意写成.
(2)切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉.
(3)计算时,要先观察题目是否符合公式的条件.若不符合,应先变形为符合公式的条件的形式,再利用公式进行计算;若不能变为符合条件的形式,则应运用乘法法则进行计算.
三、重点·难点及解决办法
(一)重点
掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义,正确运用公式进行计算.
(二)难点
综合运用平方差公式与进行计算.
(三)解决办法
加强对公式结构特征的深入理解,在反复练习中掌握公式的应用.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题,目的是辨认题目的结构特征.
2.引入,让学生用文字概括公式的内容,培养抽象的数字思维能力.
3.举例分析如何正确使用,师生共练完成本课时重点内容.
4.适时练习并总结,从实践到理论再回到实践,以指导今后的解题.
七、教学步骤
(一)明确目标
本节课重点学习及其应用.
(二)整体感知
掌握好的关键在于能正确识别符合公式特征的结构,同时还要注意公式中2ab中2的问题,在解题过程中应多观察、多思考、多揣摩规律.
(三)教学过程
1.计算导入;求得公式
(1)叙述平方差公式的内容并用字母表示;
(2)用简便方法计算
①103×97
②103×103
(3)请同学们自编一个符合平方差公式结构的计算题,并算出结果.
学生活动:编题、解题,然后两至三个学生说出题目和结果.
要想用好公式,关键在于辨认题目的结构特征,正确使用公式,这节课我们继续学习“乘
法公式”.
引例:计算,
学生活动:计算,,两名学生板演,其他学生在练习本上完成,然后说出答案,得出公式.
或合并为:
教师引导学生用文字概括公式.
方法:由学生概括,教师给予肯定、否定或更正,同时板书.
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
【教法说明】
①复习平方差公式,主要是引起回忆,巩固公式;编题在于提高兴趣.
②有了平方差公式的推导过程,学生基本建立起了一些特殊多项式乘法的认识方法,因此推导可以由计算直接得出.
2.结合图形,理解公式
根据图形完成下列问题:
如图:A、B两图均为正方形,
(1)图A中正方形的面积为____________,(用代数式表示)
图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_______________________。
(2)图B中,正方形的面积为____________________,
Ⅲ的面积为______________,
Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积和为____________,
用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积_________________。
分别得出结论:
学生活动:在教师引导下回答问题.
【教法说明】利用图形讲解,增强学生对公式的直观理解,以便更好地掌握公式,同时也培养学生数形结合的数学思想。
3.探索新知,讲授新课
(1)引例:计算
教师讲解:在中,把x看成a,把2y看成b,在中把2x看成a,把3y看成b,则、,就可用来计算,即
【教法说明】引例的目的在于使学生进一步理解公式的结构,为运用公式打好基础.
(2)例1运用计算:
①②③
学生活动:学生独立在练习本上尝试解题,3个学生板演.
【教法说明】让学生先模仿公式解题,学生可能会出现一些问题,这也正是学生对公式理解、应用和熟练程度上存在的需要解决的问题,反馈后要紧扣公式,重点讲解,达到解决问题的目的,关于例呈中(3)的计算,可对照公式直接计算,也可变形成,然后再进行计算,同时也可训练学生灵活运用学过的知识的能力.
4.尝试反馈,巩固知识
练习一
运用计算:
(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
(7)(8)(9)
(l0)
学生活动:学生在练习本上完成,然后同学互评,教师抽看结果,练习中存在的共性问题要集中解决.
5.变式训练,培养能力
练习二
运用计算:
(l)(2)(3)(4)
学生活动:学生分组讨论,选代表解答.
练习三
(1)有甲、乙、丙、丁四名同学,共同计算,以下是他们的计算过程,请判断他们的计算是否正确,不正确的请指出错在哪里.
甲的计算过程是:原式
乙的计算过程是:原式
丙的计算过程是:原式
丁的计算过程是:原式
(2)想一想,与相等吗?为什么?
与相等吗?为什么?
学生活动:观察、思考后,回答问题.
【教法说明】练习二是一组数字计算题,使学生体会到公式的用途,也可以激发学生学习兴趣,调动学生的学习积极性,同时也起到加深理解公式的作用.练习三第(l)题实际是课本例4,此题是与平方差公式的综合运用,难度较大.通过给出解题步骤,让学生进行判断,使难度降低,学生易于理解,教师要注意引导学生分析这类题的结构特征,掌握解题方法.通过完成第(2)题使学生进一步理解与之间的相等关系,同时加深理解代数中“a”具有的广泛意义.
练习四
运用乘法公式计算:
(l)(2)
(3)(4)
学生活动:采取比赛的方式把学生分成四组,每组完成一题,看哪一组完成得快而且准确,每组各派一个学生板演本组题目.
【教法说明】这样做的目的是训练学生的快速反应能力及综合运用知识的能力,同时也激发学生的学习兴趣,活跃课堂气氛.
(四)总结、扩展
这节课我们学习了乘法公式中的.
引导学生举例说明公式的结构特征,公式中字母含义和运用公式时应该注意的问题.
八、布置作业
P1331,2.(3)(4).
参考答案
略.
教学建议
1.知识结构:本小节主要学习正弦、余弦的概念,30°、45°、60°角的正弦、余弦值,一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系,以及应用上述知识解决一些简单问题(包括引言中的问题)等.
2.重点、难点分析
(1)正弦、余弦函数的定义是本节的重点,因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义,再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.
(2)正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想,并且用含有几个字母的符号组sinA,cosA来表示,学生过去未接触过,所以正弦、余弦的概念是难点.
3.理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性,是理解三角函数的核心.
锐角的正弦、余弦值是这样规定的:当一个锐角确定了,那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个,但它们都是彼此相似的.如上图,当确定时,包含的直角三角形有无穷多个,但它们彼此相似:
∽∽∽……因此,由于相似三角形的对应边成比例,所以这些三角形的对应边的比都是相等的.
这就是说,每当一个锐角确定了,包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了,它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系,我们引入了正(余)弦的说法,创造了sin和cos这样的符号.
应当注意:单独写出三角函数的符号或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义;另一方面,这些符号和角写在一起时(如),它表示的就不再是角,而是一个特定的三角形的两条边的比值了(如).真正理解并掌握这些,才真正掌握了这些符号的含义,才能正确地运用它们.
4.我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.
我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式,而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如,如图所示,若,则有
有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中,我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式,如图中,ABCD是梯形,,作,我们应正确地写出如下的三角函数关系式:
很显然,这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.
5.特殊角的正弦、余弦值既容易导出,也便于记忆,应当熟悉掌握它们.
利用勾股定理,很容易求出含有或角的直角三角形三边的比;如图(1)和图(2)所示.
根据定义,有
另一方面,可以想像,当时,边与AC重合(即),所以
当时,边AB与CB重合(即AB=CB),AC的长缩小为0,于是,有
把以上结果可以集中列出下面的表:
0
1
1
0
6.教法建议:
(1)联系实际,提出问题
通过修建扬水站时,要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题,第一步把这问题归结于直角三角形中,第二步,再把这个问题归于直角三角形中,已知一个锐角和斜边的长,求这个锐角所对直角边的一个几何问题.同时指出在这种情况下,用已学过的勾股定理是解决不了的.激发学生的学习兴趣,调动学生探索新途径,迫切需要学习新知识的积极性.在这章的第一节课,应抓住这个具有教育性,富于启发性的有利开端,为引进本章的重要内容:锐角三角函数作了十分必要的准备.
(2)动手度量、总结规律、给出定义以含的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量,并引导学生得出规律:,再进一步对含的三角板进行度量,在探索同样的内容时,要用到勾股定理,又类似地得到,所有的这种等腰直角三角形中,都会得到,这时,应当即给出的正弦的定义及符号,即,再对照图形,分别用a、b、c表示、、的对边,得出及,就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义,应充分利用课本中这种简练的处理手段,使学生建立起锐角三角函数的概念.
(3)加强数形结合思想的教学
“解直角三角形”编在几何教材中,突出了它的几何特点,但这只是从知识的系统性方面讲的,使它与几何前后知识可关系更紧密,便于学生理解和掌握,并没有改变它形数结合的本质,因此教学中要充分利用这部分教材,帮助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法,提高在几何问题中注意运用代数知识的能力.
第一课时
一、教学目标
1.使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
3.引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
二、学法引导
1.教学方法:引导发现和探索研究相结合,尝试成功教法。
2.学生学法:在教师的指导下,积极思维,相互讨论,动手感知,探索新知。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点:使学生知道当锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实。
2.难点:学生很难想到对任意锐角,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实,关键在于教师引导学生比较、分析,得出结论。
3.疑点:无论直角三角形的锐角为何值,它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。
4.解决办法:教师引导学生比较、分析、讨论,解决重难点和疑点。
四、教具准备
自制投影片,一副三角板
五、教学步骤
(一)明确目标
1.如图,长5米的梯子架在高为3米的墙上,则、间距离为多少米?
2.长5米的梯子以倾斜角为30°靠在墙上,则、间的距离为多少?
3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上,则、间距离为多少?
4.若长5米的梯子靠在墙上,使、间距离为2米,则倾斜角为多少度?
前两个问题学生很容易回答,这两个问题的设计主要是引起学生的回忆,并使学生意识到,本章要用到这些知识,但后两个问题的设计却使学生感到疑惑,这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说,起到激起学生的学习兴趣的作用,同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解,有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的,解决这类问题,关键在于找到一种新方法,求出一条边或一个未知锐角,只要做到这一点,有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。
通过四个例子引出课题。
(二)整体感知
1.请每一位同学拿出自己的三角板,分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值。
学生很快便会回答结果:无论三角尺大小如何,其比值是一个固定的值,程度较好的学生还会想到,以后在这些特殊直角三角形中,只要知道其中一边长,就可求出其他未知边的长。
2.请同学画一个含40°角的直角三角形,并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值,学生又高兴地发现,不论三角形大小如何,所求的比值是固定的,大部分学生可能会想到,当锐角取其他固定值时,其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗?
这样做,在培养学生动手能力的同时,也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知,唤起学生的求知欲,大胆地探索新知。
(三)教学过程
1.通过动手实验,学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值,它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”,但是怎样证明这个命题呢?学生这时的思维很活跃,对于这个问题,部分学生可能能解决它,因此教师此时应让学生展开讨论,独立完成。
2.学生经过研究,也许能解决这个问题.若不能解决,教师可适当引导:
若一组直角三角形有一个锐角相等,可以把其顶点,,重合在一起,记作,并使直角边,,……落在同一条直线上,则斜边,,……落在另一条直线上,这样同学们能解决这个问题吗?引导学生独立证明:易知,……,∴∽∽∽……,∴,,因此,在这些直角三角形中,的对边、邻边与斜边的比值,是一个固定值。
通过引导,使学生自己独立掌握了重点,达到知识教学目标,同时培养学生能力,进行了德育渗透。
而前面导课中动手实验的设计,实际上为突破难点而设计。这一设计同时起到培养学生思维能力的作用。
3.练习:教科书P3练习。此题为作了孕伏,同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。
(四)总结、扩展
1.引导学生作知识总结:本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上,通过动手实验、证明,我们发现,只要直角三角形的锐角固定,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。
教师可适当补充:本节课经过同学们自己动手实验,大胆猜测和积极思考,我们发现了一个新的结论,相信大家的逻辑思维能力又有所提高,希望大家发扬这种创新精神,变被动学知识为主动发现问题,培养自己的创新意识。
2.扩展:当锐角为30°时,它的对边与斜边比值我们知道,今天我们又发现,锐角任意时,它的对边与斜边的比值也是固定的,如果知道这个比值,已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了,看来这个比值很重要,下节课我们就着重研究这个“比值”,有兴趣的同学可以提前预习一下,通过这种扩展,不仅对下、余弦概念有了初步印象,同时又激发了学生的兴趣。
六、布置作业
本节课内容较少,而且是为正、余弦概念打基础的,因此课后应要求学生预习正余弦概念。
七、板书设计
第二课时
一、教学目标
1.使学生初步了解正弦、余弦概念;能够较正确地用、表示直角三角形中两边的比;熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
3.渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.
二、学法引导
1.教学方法:指导发现探索法.
2.学生学法:自主、合作、探究式学习.
三、重点、难点、疑点及解决方法
1.教学重点:使学生了解正弦、余弦概念.
2.教学难点:用含有几个字母的符号组、表示正弦、余弦;正弦、余弦概念.
3.疑点:锐角的正弦、余弦值的范围.
4.解决办法:通过旧知创设情境,采用从特殊到一般的方法,引导学生进行探究式学习,从而解决重难点及疑点.
四、教具准备
三角板一副
五、教学步骤
(一)明确目标
1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时,它的对与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”
2.明确目标:这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值—正弦和余弦.
(二)整体感知
当直角三角形有一锐角为30°时,它的对边与斜边的比值为,只要知道三角形任一边长,其他两边就可知.
而上节课我们发现,只要直角三角形的锐角固定,它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定,这样只要能求出这个比值,那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.
通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比,学生自然产生想学习的欲望,产生浓厚的学习兴趣,同时对以下要研究的内容有了大体印象.
(三)教学过程
正弦、余弦的要领是全章知识的基础,对学生今后的学习与工作都十分重要,因此确定它为本课重点,同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想,又用含几个字母的符号组来表示,因此概念也是难点.
在上节课研究的基础上,引入正、余弦,“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图
请学生结合图形叙述正弦、余弦定义,以培养学生概括能力及语言表达能力,教师板书:在中,为直角,我们把锐角的对边与余边的比叫做的正弦,记作,锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦,记作.
.
若把的对边记作,邻边记作,斜边记作,则,.
引导学生思考:当为锐角时,、的值会在什么范围内?得结论,(为锐角),这个问题对于较差学生来说有些难度,应给学生充分思考时间,同时这个问题也使学生将数与形结合起来.
教材例1的设置是为了巩固正弦概念,通过教师示范,使学生会求正弦,这里不妨增问“、”,经过反复强化,使全体学生都达到目标,更加突出重点.
【例1】求出如下图所示的中的、和、的值.
解:(1)∵斜边,
∴,.
,.
(2),.
,
∴,.
学生练习教材P6~7中1、2、3题.
让每个学生画含30°、45°的直角三角形,分别求、、和、、.这一练习既用到以前的知识,又巩固正弦、余弦的概念,经过学习亲自动笔计算后,对特殊角三角函数值印象很深刻.
,,.
,,.
【例2】求下列各式的值:
(1);(2).
解:(1).
(2).
这了使学生熟练掌握特殊角三角函数值,这里还应安排六个小题:
(1);(2);
(3);(4).
(5)若,则锐角.
(6)若,则锐角.
在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后,引导学生思考,“请大家观察特殊角的正弦和余弦值,猜测一下,大概在什么范围内,呢?”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力,而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神,还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大,余弦值随角度增大而减小”.
(四)总结、扩展
首先请学生作小结,教师适当补充,“主要研究了锐角的正弦、余弦概念,已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值,知道任意锐角A的正、余弦值都在0~1之间,即
,(为锐角).
还发现的两锐角、,,,正弦值随角度增大而增大,余弦值随角度增大而减小”.
六、布置作业
教材P10中2,3.
预习下一课内容.
补充:(1)若,则锐角.
(2)若,则锐角.
七、板书设计
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