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二次函数的教学方案

时间：2022-02-12

无论何时，教案都是我们准备教学的一种最好的方式，教案是保证教学质量的基本条件，认真做好教案我们的工作会变得更加顺利，初中教案要写哪些内容呢？可以看看本站收集的《二次函数的教学方案》，希望能够为您提供参考。

知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向

〖大纲要求〗

1．理解二次函数的概念；

2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；

3．会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(ax＋m)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；

4．会用待定系数法求二次函数的解析式；

5．利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

内容

（1）二次函数及其图象

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0),那么，y叫做x的二次函数。

二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。

（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是，对称轴是，当a>0时，抛物线开口向上，当a

抛物线y=a（x+h）2+k(a≠0)的顶点是（-h，k），对称轴是x=-h.

〖考查重点与常见题型〗

1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以x为自变量的二次函数y＝(m－2)x2＋m2－m－2额图像经过原点，

则m的值是

2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数y＝kx＋b的图像在第一、二、三象限内，那么函数

y＝kx2＋bx－1的图像大致是（）

yyyy

0xo-1x0x0-1x

ABCD

3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：

已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x＝，求这条抛物线的解析式。

4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

习题1:

一、填空题：（每小题3分，共30分）

１、已知Ａ（３，６）在第一象限，则点Ｂ（３，－６）在第象限

２、对于ｙ＝－，当ｘ＞０时，ｙ随ｘ的增大而

３、二次函数ｙ＝ｘ２＋ｘ－５取最小值是，自变量ｘ的值是

４、抛物线ｙ＝（ｘ－１）２－７的对称轴是直线ｘ＝

５、直线ｙ＝－５ｘ－８在ｙ轴上的截距是

６、函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是

７、若函数ｙ＝（ｍ＋１）ｘｍ２＋３ｍ＋１是反比例函数，则m的值为

８、在公式＝ｂ中，如果ｂ是已知数，则ａ＝

９、已知关于ｘ的一次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋７，如果ｙ随ｘ的增大而减小，则ｍ的取值范围是

１０、某乡粮食总产值为ｍ吨，那么该乡每人平均拥有粮食ｙ（吨），与该乡人口数ｘ的函数关系式是

二、选择题：（每题3分，共30分）

１１、函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围（）

(Ａ)ｘ＞５(Ｂ)ｘ＜５(Ｃ)ｘ≤５(Ｄ)ｘ≥５

１２、抛物线ｙ＝（ｘ＋３）２－２的顶点在（）

(Ａ)第一象限(Ｂ)第二象限(Ｃ)第三象限(Ｄ)第四象限

１３、抛物线ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）与坐标轴交点的个数为（）

(Ａ)０(Ｂ)１(Ｃ)２(Ｄ)３

１４、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是（）

(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)

15．平面三角坐标系内与点（3，－5）关于ｙ轴对称点的坐标为（）

（A）（－3,5）（B）（3,5）（C）（－3，－5）（D）（3，－5）

16．下列抛物线，对称轴是直线ｘ＝的是（）

（A）ｙ＝ｘ2（B）ｙ＝ｘ2＋2ｘ（C）ｙ＝ｘ2＋ｘ＋2（D）ｙ＝ｘ2－ｘ－2

17．函数ｙ＝中，ｘ的取值范围是（）

（A）ｘ≠0（B）ｘ＞（C）ｘ≠（D）ｘ＜

18．已知A（0,0），B（3,2）两点，则经过A、B两点的直线是（）

（A）ｙ＝ｘ（B）ｙ＝ｘ（C）ｙ＝3ｘ（D）ｙ＝ｘ＋1

19．不论ｍ为何实数，直线ｙ＝ｘ＋2ｍ与ｙ＝－ｘ＋4的交点不可能在（）

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二次函数y=ax的图象的教学方案

教学设计示例1

课题：二次函数的图象

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象；

2、根据图象观察、分析出二次函数的性质；

3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识

4、渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点；

5、渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力；

6、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神.

教学重点：根据图象，观察、分析出二次函数的性质

教学难点：渗透数形结合的数学思想方法

教学用具：直尺、微机

教学方法：谈话、探究式

教学过程：

1、列表、描点画出函数与的图象，引入新课

例：画出函数与的图象

解：列两个表

-4

-3

-2

-1

4.5

0.5

4.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

4.5

0.5

4.5

分别描点画图

2、根据图象发现问题，由学生探索出新知识.

提问：你能从图象中发现抛物线是哪些性质？这两个函数图象有何异同？

（1）这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出，时所对应的y值分别相等，如等.这样的两个点关于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论：互为相反数的两个数的平方数相等，因此，这两个函数的图象都是关于y轴对称的.

（2）从图中可以看出，x可取x轴上的任意一点，而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点（0，0）.这一点可以从解析式中得到很好的解释，可取

任意实数.图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索，它们是互相对应的，反映了数形结合的思想.

（3）从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数，这两个函数的图象都是直线，而抛物线是曲线，有一个拐弯，函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧，从左向右呈下坡趋势，即y随x的增大而减小；在y轴的右侧，从左向右，呈上坡趋势，即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出.

（4）这两个图象除以上相同之处外，还有不同的地方.如：离y轴近，离y轴远.从列表中可以看出：如过点（2，2），而过点（2，8）也就是说，当x=2时，的图象所对应的点高于所对应的点.因此会有上述的结论.

3、画出函数的图象

与中的a都是正数，当a

我们看例2

例2、画出函数的图象

解：列表：

-3

-2

-1

-9

-4

-1

-4

-9

描点画图：

4、从函数图象入手，再次总结二次函数的性质

(1)与刚才两个图象不同的是，的图象开口向下.这是因为x是任意实数，，即，因此，开口会向下.图象有最高点（0，0）

(2)此图象仍然是关于y轴对称的

(3)在y轴的左侧，y随x的增大而增大；在y轴的右侧，y随x的增大而减小

5、得出一般的规律

一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点，当a>0时，抛物线的开口向上，当a

6、小结：这一节课，从始至中都是结合图象观察、归纳总结出二次函数的性质，体现了数与形的结合.函数图象是解决函数问题的有利工具，希望大家能自觉地应用.

7、作业：习题13.6A组1、2B组1、2

第12页

二次函数

〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向

〖大纲要求〗

1．理解二次函数的概念；

2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；

3．会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(ax＋m)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；

4．会用待定系数法求二次函数的解析式；

内容

（1）二次函数及其图象

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0),那么，y叫做x的二次函数。

二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。

（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是，对称轴是，当a>0时，抛物线开口向上，当a

抛物线y=a（x+h）2+k(a≠0)的顶点是（-h，k），对称轴是x=-h.

〖考查重点与常见题型〗

1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以x为自变量的二次函数y＝(m－2)x2＋m2－m－2额图像经过原点，

则m的值是

2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数y＝kx＋b的图像在第一、二、三象限内，那么函数

y＝kx2＋bx－1的图像大致是（）

yyyy

0xo-1x0x0-1x

ABCD

3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：

已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x＝，求这条抛物线的解析式。

4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

习题1:

一、填空题：（每小题3分，共30分）

１、已知Ａ（３，６）在第一象限，则点Ｂ（３，－６）在第象限

２、对于ｙ＝－，当ｘ＞０时，ｙ随ｘ的增大而

３、二次函数ｙ＝ｘ２＋ｘ－５取最小值是，自变量ｘ的值是

４、抛物线ｙ＝（ｘ－１）２－７的对称轴是直线ｘ＝

５、直线ｙ＝－５ｘ－８在ｙ轴上的截距是

６、函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是

７、若函数ｙ＝（ｍ＋１）ｘｍ２＋３ｍ＋１是反比例函数，则m的值为

８、在公式＝ｂ中，如果ｂ是已知数，则ａ＝

９、已知关于ｘ的一次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋７，如果ｙ随ｘ的增大而减小，则ｍ的取值范围是

１０、某乡粮食总产值为ｍ吨，那么该乡每人平均拥有粮食ｙ（吨），与该乡人口数ｘ的函数关系式是

二、选择题：（每题3分，共30分）

１１、函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围（）

(Ａ)ｘ＞５(Ｂ)ｘ＜５(Ｃ)ｘ≤５(Ｄ)ｘ≥５

１２、抛物线ｙ＝（ｘ＋３）２－２的顶点在（）

(Ａ)第一象限(Ｂ)第二象限(Ｃ)第三象限(Ｄ)第四象限

１３、抛物线ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）与坐标轴交点的个数为（）

(Ａ)０(Ｂ)１(Ｃ)２(Ｄ)３

１４、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是（）

(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)

15．平面三角坐标系内与点（3，－5）关于ｙ轴对称点的坐标为（）

（A）（－3,5）（B）（3,5）（C）（－3，－5）（D）（3，－5）

16．下列抛物线，对称轴是直线ｘ＝的是（）

（A）ｙ＝ｘ2（B）ｙ＝ｘ2＋2ｘ（C）ｙ＝ｘ2＋ｘ＋2（D）ｙ＝ｘ2－ｘ－2

17．函数ｙ＝中，ｘ的取值范围是（）

（A）ｘ≠0（B）ｘ＞（C）ｘ≠（D）ｘ＜

18．已知A（0,0），B（3,2）两点，则经过A、B两点的直线是（）

（A）ｙ＝ｘ（B）ｙ＝ｘ（C）ｙ＝3ｘ（D）ｙ＝ｘ＋1

19．不论ｍ为何实数，直线ｙ＝ｘ＋2ｍ与ｙ＝－ｘ＋4的交点不可能在（）

二次函数y=ax+bx+c的教学方案

第一课时

教学目标

1．使学生会用描点法画出二次函数与的图象；

2．使学生能结合图象确定抛物线与的对称轴与顶点坐标；

3．通过比较抛物线与同的相互关系，培养学生观察、分析、总结的能力;

4.在本节的教学中，继续向学生进行数形结合、转化的数学思想方法的渗透；

5.通过本节课的教学，培养学生事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点.

教学重点：画出形如与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.

教学难点：理解函数、与及其图象间的相互关系

教学用具：微机

教学方法：探究式、小组合作学习

教学过程

一、复习引入

提问：1．什么是二次函数？

2．我们已研究过了什么样的二次函数？

3．形如的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？

通过这三个问题，进一步复习巩固所学的知识点，同时引出本节课要学习的问题.

从这节课开始，我们就来研究二次函数的图象.（板书课题）

二、新课

复习提问：用描点法画出函数的图象，并根据图象指出：抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标.（插入的图片）

教师可边提问边打开图片，然后可以找学生来指出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标，针对学生的回答情况加以总结，评价.

下面，我们来看一下如何完成下面的例题？

例1在同一平面直角坐标系画出函数、、的图象.（插入课件）

（一）函数对应值表的区别.

列表：

－3

－2

－1

列完表之后，让学生观察上表归纳出，对于与，任意一个的值，解析式的函数值总比的函数值小1，对于同一个值，值总是小1，抛物线上的点向下平行移动一个单位，图象也向下平移一个单位.对于与也这样分析.分析完表后，再让同学们看课件中画出的函数与的图象.

（二）图象的区别.

然后，由学生来观察课件上画出的三条抛物线，让学生思考下列问题：

（1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

（2）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

（3）抛物线，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？

（4）抛物线，与有什么关系？

通过这四个问题，可使学生深入理解这三条抛物线之间的联系与区别，便于学生以后分析问题．

答：形状相同，位置不同．（继续演示课件，来说明学生观察、推理的正确性，激发学生的兴趣）

关于上述回答可继续提问：（可按学生的层次不同来选择问题的深度）

①你所说的形状相同具体是指什么？

答：抛物线的开口方向和开口大小都相同．

②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？

答：因为a的值相同．

通过这一问题，使学生对此类问题形成规律：抛物线的形状相同就说明a的值相同，而a的值相同就可以说抛物线的形状相同．加深学生对系数a的作用的理解．

③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？

先由学生思考，讨论之后，给出答案．

答：若沿y轴平移，这三条抛物线可重合．（演示动画）

④抛物线是由抛物线沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线呢？

答：抛物线是由抛物线沿y轴向上平移1个单位得到的；而抛物线是由抛物线沿y轴向下平移1个单位得到的．

⑤你认为是什么决定了会这样平移？

答：中的的值决定了会这样平移．若，则向上平移，若，则向下平移．

练习一教材P118中1学生独立完成，口答．

下面，我们再来看一类二次函数的图象：（演示动画）

例2在同一平面直角坐标系内画出与的图象．（插入动画）

注意：画这两个图形时，参考前面画图列表时的取值都是关于某一个值对称的，可先让学生猜测画这两个图时的取值各以应什么数为中间点，然后左右能对称．通过这样的训练能帮助学生以后自主考虑问题时怎样找思路列完表之后，与例l一样处理，演示课件直到三条抛物线全画出.画完图之后的观察和分析也可仿照例1完成．

注意：（l）关于抛物线与的对称轴的写法，要加以交待，若曾在讲完13．5后阅读过教科书P．113—115，这个问题就好解决了.若没有读过，可由学生讨论对称轴上点的特征来得到对称轴的表示方法.

（2）这次图象的平移是沿轴进行的，平移的单位和方向是由中的决定的，特别强调二次函数形式的写法是，而不是.

练习二P118中2学生独立完成，口答.

三、本节小结

本节课学习了二次函数与的图象的画法，主要内容如下。

（出示幻灯）填写下表：（可让学生回答）

表一：

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

表二：

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

八、布置作业

教材P124中1（1）、（2）

九、板书设计

13．7二次函数的图象（一）

例1：例2：

小结：小结：

第12页

二次函数y=ax的图象相关教学方案

教学设计示例1

课题：二次函数的图象

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象；

2、根据图象观察、分析出二次函数的性质；

3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识

4、渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点；

5、渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力；

6、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神.

教学重点：根据图象，观察、分析出二次函数的性质

教学难点：渗透数形结合的数学思想方法

教学用具：直尺、微机

教学方法：谈话、探究式

教学过程：

1、列表、描点画出函数与的图象，引入新课

例：画出函数与的图象

解：列两个表

-4

-3

-2

-1

4.5

0.5

4.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

4.5

0.5

4.5

分别描点画图

2、根据图象发现问题，由学生探索出新知识.

提问：你能从图象中发现抛物线是哪些性质？这两个函数图象有何异同？

（2）从图中可以看出，x可取x轴上的任意一点，而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点（0，0）.这一点可以从解析式中得到很好的解释，可取

任意实数.图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索，它们是互相对应的，反映了数形结合的思想.

3、画出函数的图象

与中的a都是正数，当a

我们看例2

例2、画出函数的图象

解：列表：

-3

-2

-1

-9

-4

-1

-4

-9

描点画图：

4、从函数图象入手，再次总结二次函数的性质

(1)与刚才两个图象不同的是，的图象开口向下.这是因为x是任意实数，，即，因此，开口会向下.图象有最高点（0，0）

(2)此图象仍然是关于y轴对称的

(3)在y轴的左侧，y随x的增大而增大；在y轴的右侧，y随x的增大而减小

5、得出一般的规律

一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点，当a>0时，抛物线的开口向上，当a

7、作业：习题13.6A组1、2B组1、2

教学设计示例2

课题：二次函数的图象

第一课时

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生知道二次函数的意义；

2．使学生会用描点法画出二次函数的图像，并结合的图像，初步理解抛物线及其有关概念。

（二）能力训练点

1．进一步培养学生用描点法画函数图像的能力；

2．向学生进行数形结合的数学思想方法的教育。

（三）德育渗透点

通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育。

（四）美育渗透点

通过本节课的教学，渗透二次函数图像的对称美，曲线的平滑美。

二、学法引导

教师采用引导发现法，观察法，讲解法

本节的主要内容是理解二次函数的定义，知道二次函数解析式中字母的意思，在画的图像时，要知道图形是抛物线，是轴对称图形、列表时，自变量x的值的选取，应以0为中心，对称地选取两对（或三对）互为相反数，最好x取整数值。

三、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：二次函数的意义及二次函数的图像的画法。因为它们是研究二次函数的重要基础。

2．教学难点：正确画出二次函数的图像。因为它的图像是一条曲线，画起来较复杂，而且学生在画图之前，尚不清楚二次函数的图像的具体形状和变化趋势，所以不易把握。

3．教学疑点：（1）；（2）的图像的反性质。

4．解决办法：（1）关于二次函数的定义，关键要注意：自变量的最高次数定义，二次项系数；（2）的图像和性质，不可死记硬背，要结合图像理解和掌握二次函数的几个主要特征，如开口方向，顶点坐标（或位置），对称轴，最大值最小值等。

四、教学步骤

（一）教学过程

首先，我们来看两个实验问题：（出示幻灯）

1．圆的半径是R，它的面积为S，你能否写出S与R之间的函数关系式？

这个问题由学生举手回答，可找层次较低的学生完成，培养他们的参与意识和自信心。然后把答案写在黑板上留用。

2．已知一个矩形场地的周长是60，一边长为l，请你写出这个矩形场地的面积S与这条边长之间的函数关系式。

这个问题其实就是13.2中的例1，可由学生得出结论，若学生给出的是，再继续提问：你能否把函数关系式中的括号去掉？然后把所得的结论写在黑板上。

提问：比较与这两个函数，都是用自变量的几次式来表示的？

用这个问题，引出二次函数，在学生回答之后，教师加以总结，板书：

一般地，如果（a、b、c是常数，），那么，y叫做x的二次函数。

提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？

2．对于二次函数中的b和c可否为0？若b和c其一为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？

3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？

由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例：；；，使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0．

4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？

通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学

做好铺垫．

练习一：P108中1、2口答，注意第1题要让学生说明不是二次函数的原因

提问：根据我们所学知道，一次函数的图像是条直线，那么二次函数的图像又是什么样的呢？

这个问题主要是为了引起学生的兴趣，不必回答，教师也不用给出答案．

我们研究任何问题都最好由最简单的入手，根据刚才对二次函数的介绍，你认为最简单的二次函数是什么？

这个问题一方面可以使学生自然过渡到要先研究．另一方面也使同学认识到研

究问题要由简到繁的基本方法．

所以第三个问题是，由我们学习的画函数的图像方法与步骤，我们应怎样画二次函数的图像呢？

可由学生先回答画函数图像的三个步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线．然后分步骤来研究这个图像的方法．

（1）列表：①自变量x的取值范围是什么？

②要画这个图，你认为x取整数还是取其他数较好？

③看，它是一个数的平方形式，它的结论与x的值有什么关系？

学生可能有多种答法，引导学生回答：当x取互为相反数时，的值相同．

④若选7个点画图，你准备怎样选？

通过这4个问题可以使学生很顺利地想到为什么要先取书上给出的这7个点，而且也使

学生初步学会画二次函数图像时选点的技巧．

（2）描点：①在画坐标系时x轴的正、负半铀和y轴的正、负半轴是否都要画一样的长？

②怎样画就可以了呢？

答：x轴的正、负半轴画的一样长，y的正半轴画的较长，负半轴画的较短就可以．

通过这两个问题可培养学生的作图技巧．

（2）连线：①观察这7个点的位置，它们是否在一条直线上？

②我们应怎样连接这7个点？

让学生先连一次试试，然后教师演示。关于原点附近的变化趋势，最好能用动画演示，增强学生的直观认识，或看书也可以．

注意：我们所画的只是近似图像．

接下来，让学生观察这个函数图像提问：

1．函数的图像有什么特点？

答：是轴对称图形．

2．你是怎样判断函数的图像有上述特征的？

这个问题，按不同的层次，有三种得出方法：（1）观察图；（2）看列表；（3）直接根据解析式，看学生层次定讲解的深度．

学生回答完上面的问题之后就可指出：函数的图像是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。实际上，二次函数的图像都是抛物线（板书）

在此处，可大致解释一下抛物线是由物理中的问题而来的，不要深讲。

再结合图像指出：抛物线是开口向上的，y轴是它的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，即（0，0）点。

关于抛物线的顶点，可按不同层次的学生进行不同层次的解释：

从图像上直观得到：抛物线的顶点是图像的最低点：从解析式上看，当时，取得最小值0，（0，0）就是抛物线的顶点坐标。

（二）总结、扩展

教师提问，学生思考回答：

1．你能否说清二次函数的意义？

注意总结：（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）自变量的最高次数是2。

2．二次函数的图像是什么形状的？它的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？

五、布置作业

教材P1141、2、3

六、板书设计

二次根式的教学方案

一、教学目标

1．了解的意义；

2.掌握用简单的一元一次不等式解决中字母的取值问题；

3.掌握的性质和，并能灵活应用；

4．通过的计算培养学生的逻辑思维能力；

5.通过性质和的介绍渗透对称性、规律性的数学美.

二、教学重点和难点

重点：(1)二次根的意义；(2)中字母的取值范围．

难点：确定中字母的取值范围．

三、教学方法

启发式、讲练结合．

四、教学过程

(一)复习提问

1．什么叫平方根、算术平方根？

2．说出下列各式的意义，并计算：

，，，，，，，

通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念．

观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中，

，，，表示的是算术平方根.

(二)引入新课

我们已遇到的，，，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：

新课：

定义：式子叫做.

对于请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：

（1）式子只有在条件a≥0时才叫，是吗？呢？

若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.

（2）是，而，提问学生：2是吗？显然不是，因此二次

根式指的是某种式子的“外在形态”．请学生举出几个的例子，并说明为什么是．下面例题根据定义，由学生分析、回答．

例1当a为实数时，下列各式中哪些是？

分析：，，，、、、四个是.因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜0），因此，与不是.

例2x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义？

解：略．

说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子有意义．

例3当字母取何值时，下列各式为：

（1）(2)(3)(4)

分析：由的定义，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式．

解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时，是.

（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0时，是.

（3），且x≠0，∴x＞0，当x＞0时，是.

（4），即，故x-2≥0且x-2≠0,∴x＞2.当x＞2时，是.

例4下列各式是，求式子中的字母所满足的条件：

（1）；（2）；（3）；（4）

分析：这个例题根据定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固的定义，.即：只有在条件a≥0时才叫，本题已知各式都为，故要求各式中的被开方数都大于等于零．

解：（1）由2a+3≥0，得.

（2）由，得3a-1＞0，解得.

（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是，式子是.所以所求字母x的取值范围是全体实数．

(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0．

(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)

1．式子叫做，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式．

2．式子中，被开方数(式)必须大于等于零．

(四)练习和作业

练习：

1．判断下列各式是否是

分析：（2）中，，是；（5）是.因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数（如x＜0时，又如当x＜-1时＝，因此（1）（3）（4）不是，（6）无意义.

2．a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

五、作业

教材p．172习题11．1；a组1；b组1．

六、板书设计

二次函数教学设计教案模板

教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页

教学目标：

1.1.理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；

2.2.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；

3.3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。

教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。

教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。

教学过程设计：

一.一.创设情景、建模引入

我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：

1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式

答：S=πR2.①

2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系

答：S=L（30-L）=30L-L2②

分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？

S是否是R、L的一次函数？

由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？

答：二次函数。

这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）

二.二.归纳抽象、形成概念

一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，

那么，y叫做x的二次函数.

注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.

练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。

2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。

（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）

（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）

由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。

（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）

三.三.尝试模仿、巩固提高

让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究

1.1.尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？

请同学们画出函数y=x2的图象。

（学生分别画图，教师巡视了解情况。）

2.2.模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。

解：一、列表：

-3

-2

-1

Y=x2

二、描点、连线：按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.

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