经典初中教案圆的周长弧长
时间：2022-02-16 圆的周长教案 教案模板范文圆的周长圆周长、弧长(一)
教学目标：
1、初步掌握圆周长、弧长公式；
2、通过弧长公式的推导，培养学生探究新问题的能力；
3、调动学生的积极性，培养学生的钻研精神;
4、进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．
教学重点：弧长公式．
教学难点：正确理解弧长公式．
教学活动设计：
（一）复习（圆周长）
已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？
C=2πR
这里π=3.14159…，这个无限不循环的小数叫做圆周率．
由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，那么怎样求一段弧的长度呢？
提出新问题：已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长．
（二）探究新问题、归纳结论
教师组织学生探讨（因为问题并不难，学生完全可以自己研究得到公式）．
研究步骤：
（1）圆周长C=2πR；
（2）1°圆心角所对弧长=；
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；
（4）n°圆心角所对弧长=．
归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则
（弧长公式）
（三）理解公式、区分概念
教师引导学生理解：
（1）在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；
（3）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．
（四）初步应用
例1、已知：如图，圆环的外圆周长C1=250cm，内圆周长C2=150cm，求圆环的宽度d(精确到1mm)．
分析：（1）圆环的宽度与同心圆半径有什么关系？
（2）已知周长怎样求半径？
（学生独立完成）
解：设外圆的半径为R1，内圆的半径为R2，则
d=．
∵，，
∴（cm）
例2，弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
教师引导学生把实际问题抽象成数学问题，渗透数学建模思想．
解：由弧长公式，得
（mm）
所要求的展直长度
L（mm）
答：管道的展直长度为2970mm．
课堂练习：P176练习1、4题．
（五）总结
知识：圆周长、弧长公式；圆周率概念；
能力：探究问题的方法和能力，弧长公式的记忆方法；初步应用弧长公式解决问题．
（六）作业教材P176练习2、3；P186习题3．
圆周长、弧长(二)
教学目标：
1、应用圆周长、弧长公式综合圆的有关知识解答问题；
2、培养学生综合运用知识的能力和数学模型的能力；
3、通过应用题的教学，向学生渗透理论联系实际的观点．
教学重点：灵活运用弧长公式解有关的应用题．
教学难点：建立数学模型．
教学活动设计：
（一）灵活运用弧长公式
例1、填空：
（1）半径为3cm，120°的圆心角所对的弧长是_______cm；
（2）已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______；
（3）已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______．
（学生独立完成，在弧长公式中l、n、R知二求一．）
答案：（1）2π；（2）24；（3）60°．
说明：使学生灵活运用公式，为综合题目作准备．
练习：P196练习第1题
（二）综合应用题
例2、如图，两个皮带轮的中心的距离为2.1m，直径分别为0.65m和0.24m．(1)求皮带长(保留三个有效数字)；(2)如果小轮每分转750转，求大轮每分约转多少转．
教师引导学生建立数学模型：
分析：（1）皮带长包括哪几部分（+DC++AB）；
（2）“两个皮带轮的中心的距离为2.1m”，给我们解决此题提供了什么数学信息？
（3）AB、CD与⊙O1、⊙O2具有什么位置关系？AB与CD具有什么数量关系？根据是什么？（AB与CD是⊙O1与⊙O2的公切线，AB=CD，根据的是两圆外公切线长相等．）
（4）如何求每一部分的长？
这里给学生考虑的时间和空间，充分发挥学生的主体作用．
解：(1)作过切点的半径O1A、O1D、O2B、O2C，作O2E⊥O1A，垂足为E．
∵O1O2=2.1，，，
∴，
∴（m）
∵，∴，
∴的长l1（m）．
∵，∴的长（m）．
∴皮带长l=l1+l2+2AB=5.62（m）．
（2）设大轮每分钟转数为n，则
，（转）
答：皮带长约5.63m，大轮每分钟约转277转．
说明：通过本题渗透数学建模思想，弧长公式的应用，求两圆公切线的方法和计算能力．
巩固练习：P196练习2、3题.
探究活动
钢管捆扎问题
已知由若干根钢管的外直径均为d，想用一根金属带紧密地捆在一起，求金属带的长度．
请根据下列特殊情况，找出规律，并加以证明．
提示：设钢管的根数为n，金属带的长度为Ln如图：
当n=2时，L2=（π+2）d．
当n=3时，L3=（π+3）d．
当n=4时，L4=（π+4）d．
当n=5时，L5=（π+5）d．
当n=6时，L6=（π+6）d．
当n=7时，L7=（π+6）d．
当n=8时，L8=（π+7）d．
猜测：若最外层有n根钢管，两两相邻接排列成一个向外凸的圈，相邻两圆是切，则金属带的长度为L=（π+n）d．
证明略．
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圆的周长弧长教案模板
圆周长、弧长(一)
教学目标：
1、初步掌握圆周长、弧长公式；
2、通过弧长公式的推导，培养学生探究新问题的能力；
3、调动学生的积极性，培养学生的钻研精神;
4、进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．
教学重点：弧长公式．
教学难点：正确理解弧长公式．
教学活动设计：
（一）复习（圆周长）
已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？
C=2πR
这里π=3.14159…，这个无限不循环的小数叫做圆周率．
由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，那么怎样求一段弧的长度呢？
提出新问题：已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长．
（二）探究新问题、归纳结论
教师组织学生探讨（因为问题并不难，学生完全可以自己研究得到公式）．
研究步骤：
（1）圆周长C=2πR；
（2）1°圆心角所对弧长=；
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；
（4）n°圆心角所对弧长=．
归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则
（弧长公式）
（三）理解公式、区分概念
教师引导学生理解：
（1）在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；
（3）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．
（四）初步应用
例1、已知：如图，圆环的外圆周长C1=250cm，内圆周长C2=150cm，求圆环的宽度d(精确到1mm)．
分析：（1）圆环的宽度与同心圆半径有什么关系？
（2）已知周长怎样求半径？
（学生独立完成）
解：设外圆的半径为R1，内圆的半径为R2，则
d=．
∵，，
∴（cm）
例2，弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
教师引导学生把实际问题抽象成数学问题，渗透数学建模思想．
解：由弧长公式，得
（mm）
所要求的展直长度
L（mm）
答：管道的展直长度为2970mm．
课堂练习：P176练习1、4题．
（五）总结
知识：圆周长、弧长公式；圆周率概念；
能力：探究问题的方法和能力，弧长公式的记忆方法；初步应用弧长公式解决问题．
（六）作业教材P176练习2、3；P186习题3．
圆周长、弧长(二)
教学目标：
1、应用圆周长、弧长公式综合圆的有关知识解答问题；
2、培养学生综合运用知识的能力和数学模型的能力；
3、通过应用题的教学，向学生渗透理论联系实际的观点．
教学重点：灵活运用弧长公式解有关的应用题．
教学难点：建立数学模型．
教学活动设计：
（一）灵活运用弧长公式
例1、填空：
（1）半径为3cm，120°的圆心角所对的弧长是_______cm；
（2）已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______；
（3）已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______．
（学生独立完成，在弧长公式中l、n、R知二求一．）
答案：（1）2π；（2）24；（3）60°．
说明：使学生灵活运用公式，为综合题目作准备．
练习：P196练习第1题
（二）综合应用题
例2、如图，两个皮带轮的中心的距离为2.1m，直径分别为0.65m和0.24m．(1)求皮带长(保留三个有效数字)；(2)如果小轮每分转750转，求大轮每分约转多少转．
教师引导学生建立数学模型：
分析：（1）皮带长包括哪几部分（+DC++AB）；
（2）“两个皮带轮的中心的距离为2.1m”，给我们解决此题提供了什么数学信息？
（3）AB、CD与⊙O1、⊙O2具有什么位置关系？AB与CD具有什么数量关系？根据是什么？（AB与CD是⊙O1与⊙O2的公切线，AB=CD，根据的是两圆外公切线长相等．）
（4）如何求每一部分的长？
这里给学生考虑的时间和空间，充分发挥学生的主体作用．
解：(1)作过切点的半径O1A、O1D、O2B、O2C，作O2E⊥O1A，垂足为E．
∵O1O2=2.1，，，
∴，
∴（m）
∵，∴，
∴的长l1（m）．
∵，∴的长（m）．
∴皮带长l=l1+l2+2AB=5.62（m）．
（2）设大轮每分钟转数为n，则
，（转）
答：皮带长约5.63m，大轮每分钟约转277转．
说明：通过本题渗透数学建模思想，弧长公式的应用，求两圆公切线的方法和计算能力．
巩固练习：P196练习2、3题.
探究活动
钢管捆扎问题
已知由若干根钢管的外直径均为d，想用一根金属带紧密地捆在一起，求金属带的长度．
请根据下列特殊情况，找出规律，并加以证明．
提示：设钢管的根数为n，金属带的长度为Ln如图：
当n=2时，L2=（π+2）d．
当n=3时，L3=（π+3）d．
当n=4时，L4=（π+4）d．
当n=5时，L5=（π+5）d．
当n=6时，L6=（π+6）d．
当n=7时，L7=（π+6）d．
当n=8时，L8=（π+7）d．
猜测：若最外层有n根钢管，两两相邻接排列成一个向外凸的圈，相邻两圆是切，则金属带的长度为L=（π+n）d．
证明略．
数学教案－圆的周长弧长教案模板
圆周长、弧长(一)
教学目标：
1、初步掌握圆周长、弧长公式；
2、通过弧长公式的推导，培养学生探究新问题的能力；
3、调动学生的积极性，培养学生的钻研精神;
4、进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．
教学重点：弧长公式．
教学难点：正确理解弧长公式．
教学活动设计：
（一）复习（圆周长）
已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？
C=2πR
这里π=3.14159…，这个无限不循环的小数叫做圆周率．
由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，那么怎样求一段弧的长度呢？
提出新问题：已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长．
（二）探究新问题、归纳结论
教师组织学生探讨（因为问题并不难，学生完全可以自己研究得到公式）．
研究步骤：
（1）圆周长C=2πR；
（2）1°圆心角所对弧长=；
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；
（4）n°圆心角所对弧长=．
归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则
（弧长公式）
（三）理解公式、区分概念
教师引导学生理解：
（1）在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；
（3）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．
（四）初步应用
例1、已知：如图，圆环的外圆周长C1=250cm，内圆周长C2=150cm，求圆环的宽度d(精确到1mm)．
分析：（1）圆环的宽度与同心圆半径有什么关系？
（2）已知周长怎样求半径？
（学生独立完成）
解：设外圆的半径为R1，内圆的半径为R2，则
d=．
∵，，
∴（cm）
例2，弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
教师引导学生把实际问题抽象成数学问题，渗透数学建模思想．
解：由弧长公式，得
（mm）
所要求的展直长度
L（mm）
答：管道的展直长度为2970mm．
课堂练习：P176练习1、4题．
（五）总结
知识：圆周长、弧长公式；圆周率概念；
能力：探究问题的方法和能力，弧长公式的记忆方法；初步应用弧长公式解决问题．
（六）作业教材P176练习2、3；P186习题3．
圆周长、弧长(二)
教学目标：
1、应用圆周长、弧长公式综合圆的有关知识解答问题；
2、培养学生综合运用知识的能力和数学模型的能力；
3、通过应用题的教学，向学生渗透理论联系实际的观点．
教学重点：灵活运用弧长公式解有关的应用题．
教学难点：建立数学模型．
教学活动设计：
（一）灵活运用弧长公式
例1、填空：
（1）半径为3cm，120°的圆心角所对的弧长是_______cm；
（2）已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______；
（3）已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______．
（学生独立完成，在弧长公式中l、n、R知二求一．）
答案：（1）2π；（2）24；（3）60°．
说明：使学生灵活运用公式，为综合题目作准备．
练习：P196练习第1题
（二）综合应用题
例2、如图，两个皮带轮的中心的距离为2.1m，直径分别为0.65m和0.24m．(1)求皮带长(保留三个有效数字)；(2)如果小轮每分转750转，求大轮每分约转多少转．
教师引导学生建立数学模型：
分析：（1）皮带长包括哪几部分（+DC++AB）；
（2）“两个皮带轮的中心的距离为2.1m”，给我们解决此题提供了什么数学信息？
（3）AB、CD与⊙O1、⊙O2具有什么位置关系？AB与CD具有什么数量关系？根据是什么？（AB与CD是⊙O1与⊙O2的公切线，AB=CD，根据的是两圆外公切线长相等．）
（4）如何求每一部分的长？
这里给学生考虑的时间和空间，充分发挥学生的主体作用．
解：(1)作过切点的半径O1A、O1D、O2B、O2C，作O2E⊥O1A，垂足为E．
∵O1O2=2.1，，，
∴，
∴（m）
∵，∴，
∴的长l1（m）．
∵，∴的长（m）．
∴皮带长l=l1+l2+2AB=5.62（m）．
（2）设大轮每分钟转数为n，则
，（转）
答：皮带长约5.63m，大轮每分钟约转277转．
说明：通过本题渗透数学建模思想，弧长公式的应用，求两圆公切线的方法和计算能力．
巩固练习：P196练习2、3题.
探究活动
钢管捆扎问题
已知由若干根钢管的外直径均为d，想用一根金属带紧密地捆在一起，求金属带的长度．
请根据下列特殊情况，找出规律，并加以证明．
提示：设钢管的根数为n，金属带的长度为Ln如图：
当n=2时，L2=（π+2）d．
当n=3时，L3=（π+3）d．
当n=4时，L4=（π+4）d．
当n=5时，L5=（π+5）d．
当n=6时，L6=（π+6）d．
当n=7时，L7=（π+6）d．
当n=8时，L8=（π+7）d．
猜测：若最外层有n根钢管，两两相邻接排列成一个向外凸的圈，相邻两圆是切，则金属带的长度为L=（π+n）d．
证明略．
圆的周长弧长相关教学方案
圆周长、弧长(一)
教学目标：
1、初步掌握圆周长、弧长公式；
2、通过弧长公式的推导，培养学生探究新问题的能力；
3、调动学生的积极性，培养学生的钻研精神;
4、进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．
教学重点：弧长公式．
教学难点：正确理解弧长公式．
教学活动设计：
（一）复习（圆周长）
已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？
C=2πR
这里π=3.14159…，这个无限不循环的小数叫做圆周率．
由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，那么怎样求一段弧的长度呢？
提出新问题：已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长．
（二）探究新问题、归纳结论
教师组织学生探讨（因为问题并不难，学生完全可以自己研究得到公式）．
研究步骤：
（1）圆周长C=2πR；
（2）1°圆心角所对弧长=；
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；
（4）n°圆心角所对弧长=．
归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则
（弧长公式）
（三）理解公式、区分概念
教师引导学生理解：
（1）在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；
（3）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．
（四）初步应用
例1、已知：如图，圆环的外圆周长C1=250cm，内圆周长C2=150cm，求圆环的宽度d(精确到1mm)．
分析：（1）圆环的宽度与同心圆半径有什么关系？
（2）已知周长怎样求半径？
（学生独立完成）
解：设外圆的半径为R1，内圆的半径为R2，则
d=．
∵，，
∴（cm）
例2，弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
教师引导学生把实际问题抽象成数学问题，渗透数学建模思想．
解：由弧长公式，得
（mm）
所要求的展直长度
L（mm）
答：管道的展直长度为2970mm．
课堂练习：P176练习1、4题．
（五）总结
知识：圆周长、弧长公式；圆周率概念；
能力：探究问题的方法和能力，弧长公式的记忆方法；初步应用弧长公式解决问题．
（六）作业教材P176练习2、3；P186习题3．
圆周长、弧长(二)
教学目标：
1、应用圆周长、弧长公式综合圆的有关知识解答问题；
2、培养学生综合运用知识的能力和数学模型的能力；
3、通过应用题的教学，向学生渗透理论联系实际的观点．
教学重点：灵活运用弧长公式解有关的应用题．
教学难点：建立数学模型．
教学活动设计：
（一）灵活运用弧长公式
例1、填空：
（1）半径为3cm，120°的圆心角所对的弧长是_______cm；
（2）已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______；
（3）已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______．
（学生独立完成，在弧长公式中l、n、R知二求一．）
答案：（1）2π；（2）24；（3）60°．
说明：使学生灵活运用公式，为综合题目作准备．
练习：P196练习第1题
（二）综合应用题
例2、如图，两个皮带轮的中心的距离为2.1m，直径分别为0.65m和0.24m．(1)求皮带长(保留三个有效数字)；(2)如果小轮每分转750转，求大轮每分约转多少转．
教师引导学生建立数学模型：
分析：（1）皮带长包括哪几部分（+DC++AB）；
（2）“两个皮带轮的中心的距离为2.1m”，给我们解决此题提供了什么数学信息？
（3）AB、CD与⊙O1、⊙O2具有什么位置关系？AB与CD具有什么数量关系？根据是什么？（AB与CD是⊙O1与⊙O2的公切线，AB=CD，根据的是两圆外公切线长相等．）
（4）如何求每一部分的长？
这里给学生考虑的时间和空间，充分发挥学生的主体作用．
解：(1)作过切点的半径O1A、O1D、O2B、O2C，作O2E⊥O1A，垂足为E．
∵O1O2=2.1，，，
∴，
∴（m）
∵，∴，
∴的长l1（m）．
∵，∴的长（m）．
∴皮带长l=l1+l2+2AB=5.62（m）．
（2）设大轮每分钟转数为n，则
，（转）
答：皮带长约5.63m，大轮每分钟约转277转．
说明：通过本题渗透数学建模思想，弧长公式的应用，求两圆公切线的方法和计算能力．
巩固练习：P196练习2、3题.
探究活动
钢管捆扎问题
已知由若干根钢管的外直径均为d，想用一根金属带紧密地捆在一起，求金属带的长度．
请根据下列特殊情况，找出规律，并加以证明．
提示：设钢管的根数为n，金属带的长度为Ln如图：
当n=2时，L2=（π+2）d．
当n=3时，L3=（π+3）d．
当n=4时，L4=（π+4）d．
当n=5时，L5=（π+5）d．
当n=6时，L6=（π+6）d．
当n=7时，L7=（π+6）d．
当n=8时，L8=（π+7）d．
猜测：若最外层有n根钢管，两两相邻接排列成一个向外凸的圈，相邻两圆是切，则金属带的长度为L=（π+n）d．
证明略．
经典初中教案周长单元复习
教学目标：
1、能测量并计算出三角形，平行四边形，长方形、正方形等直线形图形的周长。
2、结合具体情境，发展学生初步的空间观念。
3、解决实际问题的过程中，感受数学在日常生活中的应用。
教学重点：利用周长公式解决实际问题
教学过程：
一、激趣导入：
1、师：同学们喜欢玩玩具吗？看，老师今天就给你们带来了一个。一根红色的电线，你能把它围成哪些图形呢？
2、师：同学们做的很棒，那么刚才大家用这根红色的电线围成的各种图形，他们有什么共同点吗？
3、师：大家观察的真仔细，今天我们就一起来回顾周长单元的知识，好吗？
二、整理知识点：
1、师：课前，老师请同学们回家整理了周长单元的知识点，请大家以小组为单位进行交流并整合知识点，现在就开始吧。（小组活动，教师巡视指导）
2、师：谁愿意来说一说周长单元你学习了哪些知识？
3、师：大家整理的真全面，那么你有信心运用他们解决问题吗？
三、巩固练习
（一）求周长
1、师：你能求出这些图形的周长吗？
师：说一说你是怎么算的？
2、师：同学们计算的真准确。不知道大家的眼力如何？敢接受挑战吗?仔细观察，请你来估计一下他们的周长长度？谁长，谁短？
师：老师帮同学们量好了各条边的长度，你能算出并比较他们的周长吗？试试看。
师：通过比较，你明白了什么道理呢？
3、师：是呀。周长相同的图形，形状可能不同。那么，你能画出周长是16cm的不同的长方形吗？请你在格子图中画画看。
4、师：看到同学们画的那么好，老师也画了起来，但是只画了一半，你能把图形补充完整并算出他的周长吗？
师：你发现了什么？
师：老师在添几笔，把它变成这样的图形，你能算出他的周长吗？
（二）折周长：
1、师：大家喜欢折纸吗？老师为同学们每人准备了一个长方形，你能计算出这个长方形的周长吗？
师：说说你是怎么想的？
2、师：如果用这个长方形这一个最大的正方形，这个正方形的周长是多少?请你折一折算一算，
3、师：请同学们拿起这个长方形对折成两个小长方形，小长方形的周长可能是多少？
（三）拼图形
1、师：同学们考虑得很全面，我们一起玩一会拼图吧。
2、师：老师用5个变长为2cm的小正方形拼成了下面三种图形，周长相等的是谁和谁？
3、师：你们想不想也拼一下，老师给每个同学准备了6个小正方形，你能把它们拼成长方形并计算出他的周长吗？有几种拼法，想想看。
（四）、算一算
1、师：同学们真聪明。看到大家这么聪明，李奶奶想请大家帮一个忙。你们愿意吗？
2、师：李奶奶篱笆围了一个长10米，宽6米的鸡舍，由于要扩大养殖，她想用这些篱笆建一个正方形鸡舍，你能算出这个正方形鸡舍的边长吗？
四、说收获
师：同学们这节课表现得非常好。谁能说一说这节课你了解了哪些知识，有哪些收获呢？
经典初中教案圆的比例线
教学建议
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理．这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明．
难点：正确地写出定理中的等积式．因为图形中的线段较多，学生容易混淆．
2、教学建议
本节内容需要三个课时．第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2．第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3．第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3．
（1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情；
（2）在教学中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动．
第1课时：相交弦定理
教学目标：
1．理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；
2．学会作两条已知线段的比例中项；
3．通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；
4．通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．
教学重点：
正确理解相交弦定理及其推论．
教学难点：
在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理．
教学活动设计
（一）设置学习情境
1、图形变换：（利用电脑使AB与CD弦变动）
①引导学生观察图形，发现规律：∠A＝∠D，∠C＝∠B．
②进一步得出：△APC∽△DPB．
．
③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?为什么?
组织学生观察，并回答．
2、证明：
已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P．
求证：PA·PB＝PC·PD．
（A层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C层学生在老师引导下完成）
（证明略）
（二）定理及推论
1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD．
2、从一般到特殊，发现结论．
对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P．
提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?
指出：PC2＝PA·PB．
请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确．教师纠正，并板书．
推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC2＝PA·PB．
若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：
PC2＝PA·PB；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB
（三）应用、反思
例1已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长．
引导学生根据题意列出方程并求出相应的解．
例2已知：线段a，b．
求作：线段c，使c2＝ab．
分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段．
作法：口述作法．
反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用．同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图．
练习1如图，AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP＝1厘米，求CD．
变式练习：若AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP，DP的长度皆为整数．那么CD的长度是多少?
将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣
练习2如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为P，AP＝4厘米，PD＝2厘米．求PO的长．
练习3如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC交⊙O于C．求证：PC2＝PA·PB
引导学生分析：由AP·PB，联想到相交弦定理，于是想到延长CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB．又根据条件OP⊥PC．易证得PC＝PD问题得证．
（四）小结
知识：相交弦定理及其推论；
能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；
思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法．
（五）作业
教材P132中9，10；P134中B组4(1)．
第12页
经典初中教案直线圆的位置关系
1.知识结构
2.重点、难点分析
重点：的性质和判定．因为它是本单元的基础（如：“切线的判断和性质定理”是在它的基础上研究的），也是高中解析几何中研究的基础．
难点：在对性质和判定的研究中，既要有归纳概括能力，又要有转换思想和能力，所以是本节的难点；另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同（这一点到直线和曲线相切时很重要），学生较难理解．
3.教法建议
本节内容需要一个课时．
（1）教师通过电脑演示，组织学生自主观察、分析，并引导学生把“点和圆的位置关系”研究的方法迁移过来，指导学生归纳、概括；
（2）在教学中，以“形”归纳“数”，以“数”判断“形”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．
教学目标：
1、使学生理解直线和圆的三种位置关系，掌握其判定方法和性质；
2、通过的探究，向学生渗透分类、数形结合的思想，培养学生
观察、分析和概括的能力；
3、使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩证唯物主义观点．
教学重点：的判定方法和性质．
教学难点：直线和圆的三种位置关系的研究及运用．
教学设计：
（一）基本概念
1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）
2、归纳：（引导学生完成）
（1）直线与圆有两个公共点；（2）直线和圆有唯一公共点（3）直线和圆没有公共点
3、概念：（指导学生完成）
由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：
（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
研究与理解：
①直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同．
②直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否多于两个?为什么?
（二）直线与圆的位置关系的数量特征
1、迁移：点与圆的位置关系
（1）点P在⊙O内d
（2）点P在⊙O上d=r；
（3）点P在⊙O外d>r．
2、归纳概括：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
(1)直线l和⊙O相交d
(2)直线l和⊙O相切d=r；
(3)直线l和⊙O相离d>r．
（三）应用
例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？
（1）r=2cm；（2）r=2.4cm；（3）r=3cm．
学生自主完成，老师指导学生规范解题过程．
解：（图形略）过C点作CD⊥AB于D，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=，
∵，∴AB·CD=AC·BC，
∴（cm），
（1）当r=2cm时CD＞r，∴圆C与AB相离；
（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；
（3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．
练习P105，1、2．
（四）小结：
1、知识：（指导学生归纳）
2、能力：观察、归纳、概括能力，知识迁移能力，知识应用能力．
（五）作业：教材P115，1（1）、2、3．
探究活动
问题：如图，正三角形ABC的边长为6厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着线路AB一BC一CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动．在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下，r的取值范围及相应的切点个数．
略解：由正三角形的边长为6厘米，可得它一边上的高为9厘米．
①∴当⊙O的半径r＝9厘米时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次，即切点个数为3．
②当0＜r＜9时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切六次，即
经典初中教案数学教案－圆
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：①点和圆的三种位置关系，圆的有关概念，因为它们是研究圆的基础；②五种常见的点的轨迹，一是对几何图形的深刻理解，二为今后立体几何、解析几何的学习作重要的准备.
难点：①圆的集合定义，学生不容易理解为什么必须满足两个条件，内容本身属于难点；②点的轨迹，由于学生形象思维较强，抽象思维弱，而这部分知识比较抽象和难懂.
2、教法建议
本节内容需要4课时
第一课时：圆的定义和点和圆的位置关系
（1）让学生自己画圆，自己给圆下定义，进行交流，归纳、概括，调动学生积极主动的参与教学活动；对于高层次的学生可以直接通过点的集合来研究，给圆下定义（参看教案圆（一））；
（2）点和圆的位置关系，让学生自己观察、分类、探究，在“数形”的过程中，学习新知识.
第二课时：圆的有关概念
（1）对（A）层学生放开自学，对（B）层学生在老师引导下自学，要提高学生的学习能力，特别是概念较多而没有很多发挥的内容，老师没必要去讲；
（2）课堂活动要抓住：由“数”想“形”，由“形”思“数”，的主线.
第三、四课时：点的轨迹
条件较好的学校可以利用电脑动画来加深和帮助学生对点的轨迹的理解，一般学校可让学生动手画图，使学生在动手、动脑、观察、思考、理解的过程中，逐步从形象思维较强向抽象思维过度.但我的观点是不管怎样组织教学，都要遵循学生是学习的主体这一原则.
第一课时：圆（一）
教学目标：
1、理解圆的描述性定义，了解用集合的观点对圆的定义；
2、理解点和圆的位置关系和确定圆的条件；
3、培养学生通过动手实践发现问题的能力；
4、渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法.
教学重点：点和圆的关系
教学难点：以点的集合定义圆所具备的两个条件教学方法：自主探讨式教学过程设计(总框架)：
一、创设情境，开展学习活动
1、让学生画圆、描述、交流，得出圆的第一定义：
定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.记作⊙O，读作“圆O”.
2、让学生观察、思考、交流，并在老师的指导下，得出圆的第二定义.
从旧知识中发现新问题
观察：
共性：这些点到O点的距离相等
想一想：在平面内还有到O点的距离相等的点吗？它们构成什么图形？
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径的长r）；
（2）到定点距离等于定长的点都在圆上.
定义2：圆是到定点距离等于定长的点的集合.
3、点和圆的位置关系
问题三：点和圆的位置关系怎样？（学生自主完成得出结论）
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
点在圆上d=r；
点在圆内d
点在圆外d>r.
“数”“形”
二、例题分析，变式练习
练习：已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A在⊙O________；当OP=10cm时，点A在⊙O________；当OP=18cm时，点A在⊙O___________.
例1求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.
已知（略）
求证（略）
分析：四边形ABCD是矩形
A=OC，OB=OD；AC=BDOA=OC=OB=OD要证A、B、C、D4个点在以O为圆心的圆上证明：∵四边形ABCD是矩形∴OA=OC，OB=OD；AC=BD∴OA=OC=OB=OD∴A、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上.符号的应用（要求学生了解）证明：四边形ABCD是矩形OA=OC=OB=ODA、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上.小结：要证几个点在同一个圆上，可以证明这几个点与一个定点的距离相等.问题拓展研究：我们所研究过的基本图形中（平行四边形，菱形，，正方形，等腰梯形）哪些图形的顶点在同一个圆上.（让学生探讨）练习1求证：菱形各边的中点在同一个圆上.（目的：培养学生的分析问题的能力和逻辑思维能力.A层自主完成）练习2设AB=3cm，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.(1)和点A的距离等于2cm的点的集合；(2)和点B的距离等于2cm的点的集合；(3)和点A，B的距离都等于2cm的点的集合；(4)和点A，B的距离都小于2cm的点的集合；（A层自主完成）三、课堂小结问：这节课学习的主要内容是什么？在学习时应注意哪些问题？在学生回答的基础上，强调：(1)主要学习了圆的两种不同的定义方法与圆的三种位置关系；(2)在用点的集合定义圆时，必须注意应具备两个条件，二者缺一不可；(3)注重对数学能力的培养四、作业82页2、3、4.第二课时：圆（二）教学目标1、使学生理解弦、弧、弓形、同心圆、等圆、等孤的概念；初步会运用这些概念判断真假命题。2、逐步培养学生阅读教材、亲自动手实践，总结出新概念的能力；进一步指导学生观察、比较、分析、概括知识的能力。3、通过动手、动脑的全过程，调动学生主动学习的积极性，使学生从积极主动获得知识。教学重点、难点和疑点1、重点：理解圆的有关概念．2、难点：对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解．3、疑点：学生容易把长度相等的两条弧看成是等弧。让学生阅读教材、理解、交流和与教师对话交流中排除疑难。教学过程设计：（一）阅读、理解重点概念：1、弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2、直径：经过圆心的弦是直径．3、圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．简称弧．半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．4、弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．5、同心圆：即圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．6、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．7、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（二）小组交流、师生对话问题：1、一个圆有多少条弦？最长的弦是什么？2、弧分为哪几种？怎样表示？3、弓形与弦有什么区别？在一个圆中一条弦能得到几个弓形？4、在等圆、等弧中，“互相重合”是什么含义？（通过问题，使学生与学生，学生与老师进行交流、学习，加深对概念的理解，排除疑难）（三）概念辨析：判断题目：（1）直径是弦（）（2）弦是直径（）（3）半圆是弧（）（4）弧是半圆（）（5）长度相等的两段弧是等弧（）（6）等弧的长度相等（）（7）两个劣弧之和等于半圆（）（8）半径相等的两个半圆是等弧（）（主要理解以下概念：（1）弦与直径；（2）弧与半圆；（3）同心圆、等圆指两个图形；（4）等圆、等弧是互相重合得到，等弧的条件作用．）（四）应用、练习例1、已知：如图，AB、CB为⊙O的两条弦，试写出图中的所有弧．解：一共有6条弧．、、、、、．（目的：让学生会表示弧，并加深理解优弧和劣弧的概念）例2、已知：如图，在⊙O中，AB、CD为直径．求证：AD∥BC．（由学生分析，学生写出证明过程，学生纠正存在问题．锻炼学生动口、动脑、动手实践能力，调动学生主动学习的积极性，使学生从积极主动获得知识．）巩固练习：教材P66练习中2题(学生自己完成)．（五）小结教师引导学生自己做出总结：1、本节所学似的知识点；2、概念理解：①弦与直径；②弧与半圆；③同心圆、等圆指两个图形；④等圆和等弧．3、弧的表示方法．（六）作业教材P66练习中3题，P82习题l(3)、(4)．第三、四课时圆（三）——点的轨迹教学目标1、在了解用集合的观点定义圆的基础上，进一步使学生了解轨迹的有关概念以及熟悉五种常用的点的轨迹；2、培养学生从形象思维向抽象思维的过渡；3、提高学生数学来源于实践，反过来又作用于实践的辩证唯物主义观点的认识。重点、难点1、重点：对圆点的轨迹的认识。2、难点：对点的轨迹概念的认识，因为这个概念比较抽象。教学活动设计（在老师与学生的交流对话中完成教学目标）（一）创设学习情境1、对“圆”的形成观察——理解——引出轨迹的概念（使学生在老师的引导下从感性知识到理性知识）观察：圆是到定点的距离等于定长的的点的集合；（电脑动画）理解：圆上的点具有两个性质：(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径的长r)；(2)到定点距离等于定长的的点都在圆上；（结合下图）引出轨迹的概念：我们把符合某一条件的所有的点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上．（轨迹的概念非常抽象，是教学的难点，这里教师要精讲，细讲）上面左图符合（1）但不符合（2）；中图不符合（1）但符合（2）；只有右图（1）（2）都符合．因此“到定点距离等于定长的点的轨迹”是圆．轨迹1：“到定点距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆”。（研究圆是轨迹概念的切入口、基础和关键）（二）类比、研究1（在老师指导下，通过电脑动画，学生归纳、整理、概括、迁移，获得新知识）轨迹2：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；轨迹3：到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线；（三）巩固概念练习：画图说明满足下列条件的点的轨迹：(1)到定点A的距离等于3cm的点的轨迹；(2)到∠AOC的两边距离相等的点的轨迹；(3)经过已知点A、B的圆O，圆心O的轨迹．（A层学生独立画图，回答满足这个条件的轨迹是什么?归纳出每一个题的点的轨迹属于哪一个基本轨迹；B、C层学生在老师的指导或带领下完成）（四）类比、研究2（这是第二次“类比”，目的：使学生的知识和能力螺旋上升．这次通过电脑动画，使A层学生自己做，进一步提高学生归纳、整理、概括、迁移等能力）轨迹4：到直线l的距离等于定长d的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的两条直线；轨迹5：到两条平行线的距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线．（五）巩固训练练习题1：画图说明满足下面条件的点的轨迹：1．到直线l的距离等于2cm的点的轨迹；2．已知直线AB∥CD，到AB、CD距离相等的点的轨迹．（A层学生独立画图探索；然后回答出点的轨迹是什么，对B、C层学生回答有一定的困难，这时教师要从规律上和方法上指导学生）练习题2：判断题1、到一条直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于这条直线到这条直线的距离等于定长的直线．()2、和点B的距离等于5cm的点的轨迹，是到点B的距离等于5cm的圆．()3、到两条平行线的距离等于8cm的点的轨迹，是和这两条平行线的平行且距离等于8cm的一条直线．()4、底边为a的等腰三角形的顶点轨迹，是底边a的垂直平分线．()(这组练习题的目的，训练学生思维的准确性和语言表达的正确性．题目由学生自主完成、交流、反思)(教材的练习题、习题即可，因为这部分知识属于选学内容，而轨迹概念又比较抽象，不要对学生要求太高，了解就行、理解就高要求)（六）理解、小结（1）轨迹的定义两层意思；（2）常见的五种轨迹。（七）作业教材P82习题2、6．探究活动爱尔特希问题在平面上有四个点，任意三点都可以构成等腰三角形，你能找到这样的四点吗?分析与解：开始自然是尝试、探索，主要应以如何构造出这样的点来考虑．最容易想到的是，使一个点到另三个点等距离，换句话说，以一个点为圆心，作一个圆，其他三个点在此圆上寻找，只要使这圆上的三点构成等腰三角形即可，于是得到如图中的上面两种形式.其次，取边长都相等的四边形，即为菱形的四个顶点(见图中第3个图).最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是这样苛刻条件的梯形存在吗?实际上，只要将任一圆周5等分，取其中任意四点即可(见图中的第4个图)．综上所述，符合题意的四点有且仅有三种构形：①任意等腰三角形的三个顶点及其外接圆圆心(即外心)；②任意菱形的4个顶点；③任意正五边形的其中4个顶点．上述问题是大数学家爱尔特希(P．Erdos)提出的：“在平面内有n个点，其中任意三点都能构成等腰三角形”中n＝4的情形．当n＝3、4、5、6时，爱尔特希问题都有解．已经证明，时，问题无解．