高中教案与诸子登岘山【精】

大家对教案都很熟悉了吧，一篇好的教案需要老师的精心构思，要想在教学中不断提升自己，教案必不可少。高中教案该怎么写？下面是小编特地为大家整理的“高中教案与诸子登岘山【精】”。

教学目标：

1．感悟盛唐诗歌“声律风骨兼备”的特点及其阔大雄浑、豪迈恢宏的艺术境界。

2．初步熟悉王维、孟浩然和高逋、岑参的生平事迹及其诗歌的主要特征。

3．初步了解盛唐边塞诗派和山水田园诗派的风格差异。

教学重点：

孟浩然的《与诸子登岘山》是一首吊古伤今诗。鉴赏时应重点分析作者是如何表达这种情感的。

教学过程：

一、生平简介

孟浩然(689一740)，襄州襄阳(今湖北襄樊)人，唐代著名的山水诗人，世称孟襄阳。其诗与王维齐名，时称“王孟”。浩然一生有壮志，然终不被用，虽名重当时，却以隐居终老。在求官与归隐的矛盾之中，孟浩然的内心充满了痛苦，在他的一些诗歌中，我们或多或少地能在怡人的田园风光里感受到他内心的不堪。开元二十八年（七四零）病故，年五十二岁。

孟浩然的诗已摆脱了初唐应制，更多地抒写了个人的抱负，给开元诗坛带来了新鲜气息。现有《孟浩然集》。

二、自由朗读、背诵

三、诗句解释：

1．人间的事情都有更替变化，来来往往的时日形成古和今。

2．江上留下许多名胜古迹，我们又来登临。（由于山上有历史印迹，才来登山）

3．水落下去鱼梁显露出来，天气寒冷，梦泽显得格外深远。（是不是一定能看到呢？这是登山所见所想—虚幻的景色，烘托深秋岘山萧条、悲凉、邈远的秋景。）

4．羊公碑如今还在，读完上面的文字不觉泪水沾湿衣襟。（为何作者会流泪？）

四、问题探讨：

1．首联看似闲笔，但到了颔联我们就明白它不是闲笔了，你能说说在尾联中这闲笔更大的妙处吗？

明确：诗人因观览旧迹而登临此山，因旧迹而伤怀，因历史触动内心，又由历史联想到自己，怀才不遇。由羊公所言的“湮灭无闻”，想到自己不就是这众多贤者中的一个吗？

2．这首诗的结尾似乎与我们常见的诗歌结尾不同，最后诗人似乎仍在叙事，诗人仅仅在叙事吗？

明确：自己像羊公那样有才华，但自己却不被重用，抒发内心的忧伤和感慨。

3．这首诗如果用四个字来概括它的内容，会是哪四个字？

明确：怀古伤今（吊古伤今）

4．今读其诗，你会有何感想？（提示：感想应从诗人的感想中来。）

五、古人评价：

从静悟中得之，故语淡而味终不薄。——清•沈德潜

六、欣赏《唐之韵》第六集《山水诗人》（19分钟）

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高中教案箭与歌教案【精】

教学目标：

理解本诗的意象及其友情内涵。

教学时数：1

教学过程：

一、导入新课

二、朗诵诗歌

三、诗歌鉴赏

导入：《箭与歌》是朗费罗歌颂友谊的一首著名抒情短诗，在西方可谓家喻户晓。这首诗看似意思浅显，其实内容深刻；看似信手拈来，其实匠心独运。

（一）第1节赏析：写“箭”

诗人所描写的箭射出去的特点是什么？

明确：急、快、眼睛无法捕捉到。

小结：“我”曾经随意射出一支箭，眼睛跟不上箭飞翔的速度，所以不知道它落到哪里去了。写的虽是生活中普通的小事，细细品味，我们发现它寓意丰富，耐人寻味。生活中许多事情就像射出的箭一样，我们不知道会产生什么样的后果，时间一长便忘记了。

（二）第2节赏析：写“歌”

⒈射出去的箭和吐出去的歌的共同点是什么？

明确：飞快，无法找寻和追踪。

⒉鉴赏“吐”字的妙用

“我把一支歌向空中吐出”，将“吐”改成“唱”，好不好？

明确：形容歌声强劲有力。

难点点击

第1节和第2节在内容有没有关联？

明确：比喻――以箭作为歌的喻体：歌也像箭那样飞逝了，再也见不到踪迹。

作用――化抽象为具体，使诗句充满形象感。

小结：随随便便哼支歌，歌声飘扬，自认为没人会记住它。在日常生活中，我们也会毫不费力地将一句话，一个微笑，一个理解的眼神等施与别人。或许我们觉得这无足轻重。友爱、帮助等等被我们随随便便地施与，轻轻松松地忘却。

（三）第3节赏析：写“箭”和“歌”的归宿

在前两节貌似平淡的叙述后，诗歌忽然出现转折，诗人发现了“箭”和“歌”的归宿：发现箭插在一棵橡树上，同样，那支歌也自始至终藏在朋友心中。朋友为什么“一直”把“歌”藏在心中？

明确：表现了朋友间的心心相印、彼此默契的感情。

四、讨论文本研习2

五、全诗总结

高中教案【精】

教学目标

通过本课内容的教学，使学生了解或掌握契丹的兴起；耶律阿保机建立契丹国；澶州之战和澶渊之盟；辽宋边境贸易；党项族建立西夏；宋夏间的战与和。

通过对耶律阿保机的讲述，培养学生正确评价历史人物的能力。通过对澶渊之盟的分析，培养学生正确评价历史事件的能力。通过引导学生回忆三国两晋南北朝时期的“五胡”内迁的情况，引申出羌族与党项族之间的渊源，以此培养学生注重新旧知识联系的能力和归纳、整理历史线索的学习方法。

通过对“耶律阿保机建立契丹国”和“党项族建立西夏”的教学，使学生认识到我国自古以来就是一个多民族的国家，各民族都为中华民族的发展作出了贡献。通过对“澶渊之盟”多角度的分析，让学生明确各族人民之间的友好相处是我国民族关系发展的主流，是历史发展的必然趋势。

导入：

同学们，我们知道中国自古就是一个多民族的国家，在中华民族源远流长的历史长河中，有许多少数民族用他们的勤劳和智慧为中华民族的发展壮大作出了重要贡献。（屏幕显示“辽、北宋、西夏形势”图，结合地图指出），北宋建立后，虽然结束了五代十国分裂割据的局面，但并没有完全统一全国。在祖国辽阔的土地上，同北宋并立的还有契丹族在北方建立的辽、党项族在西北建立的西夏等少数民族政权。你们想知道这些少数民族的生活情况吗？他们与北宋的关系如何呢？杨家将中的杨老令公真有其人吗？现在就让我们走进历史的长河去寻找答案吧。

学习指导和“探究”过程：

一、契丹的兴起

（屏幕显示“五代十国后期形势”图）指导学生阅读课文中“契丹的起源”的传说，并思考“白马”和“青牛”的含义是什么。然后说明，在契丹族的原始社会时期，是由“白马”和“青牛”两个氏族发展而来的。北魏时，契丹族就同中原地区来往密切。隋唐时期，契丹族逐渐强大起来。（显示契丹人的相关图片，了解契丹人的生产、生活情况）。唐朝末年，不少汉人来到契丹境内（思考什么原因造成的），带去先进的生产技术。契丹人开始有了农耕和定居生活。引导学生认识，这是契丹任何汉人长期交往的必然结果，促进了契丹族社会的发展，也为阿保机以后统一契丹各部创造了条件。

二、阿保机建国（916年、上京）

1．阿保机建立契丹政权

请同学们阅读教材课文，归纳出阿保机为契丹族的强大作出了哪些贡献。

阿保机的贡献主要有：（1）统一契丹各部；（2）提倡农业；（3）制定各项典章制度，接受中原封建文化；（4）916年，称皇帝，建立契丹国；（5）在位期间，契丹创制了文字。

引导学生得出：阿保机是契丹族历史上杰出的领袖，也是中华民族优秀的政治家。结合“辽、北宋、西夏形势”图，进一步指出，契丹国是当时北方一个强大的少数民族政权，它的发展壮大对我国北方地区的发展有重要作用。

1．契丹获取幽云十六州

随着契丹的强大，契丹贵族经常南下掠夺中原地区。（结合地图说明，辽太宗时，契丹是如何获取幽云十六州的），请同学们思考：契丹获得幽云十六州后，产生了什么重要后果？

幽云十六州是一个人口众多，经济发达的农业区，它使契丹的国力大为增强。同时，幽云十六州的军事地理位置也十分重要，从此，契丹可以直接南下进入中原地区，对后来建立的北宋构成严重的威胁，辽宋之间不可避免的会发生战争。

三、澶渊之盟

1．北宋初年对辽的两次用兵

（结合电子地图，讲清北宋对辽用兵的目的是夺回幽云十六州），失败后，只好对辽采取防御政策。（关于杨家将的故事，演示相关图片，由于时间所限，不宜补充太多内容）。辽国在挫败了北宋的两次进攻后，于1004年秋，大举进攻北宋，一直达到黄河岸边的澶州城下，威胁到北宋的都城东京。

2．澶州之战和澶渊之盟

（结合地图，简述澶州之战的经过，明确澶州和东京的位置）

北宋在获胜的情况下，接受了屈辱的条件，同辽达成和议，这就是历史上有名的“澶渊之盟”。请同学们阅读课文第48页的相关内容，思考：澶渊之盟对辽宋双方产生了什么影响？我们该如何评价澶渊之盟？

（学生分组讨论后，自由发表自己的观点，可以有不同看法，只要言之有理、有据，鼓励创新观点）

讨论结果归纳：对辽的影响：（1）辽从战争中安然脱险，“不胜而胜”；（2）每年从北宋那里获得大量“岁币”，经济实力增强。对北宋的影响：（1）北宋“不败而败”，“岁币”成为人民沉重的负担，这也是导致北宋财政困难的原因之一；（2）“澶渊之盟”是北宋屈辱的象征；（3）暂时结束了宋辽的战争状态，有利于北宋国内经济文化的发展。

评价：澶渊之盟是辽宋之间长期对峙、势均力敌的产物。一方面，它暂时满足了契丹贵族掠夺的愿望，增强了辽国的经济实力；另一方面，对北宋而言，它使一个屈辱的合约，加重了北宋人民的负担，加剧了北宋的财政危机，但这种以“岁币”换和平的方式，也是北宋获得了相对安定的发展环境。如果从历史的发展来看，澶渊之盟结束了辽宋之间长期的战争局面，维持了双方长久的和平关系，有利于双方的经济文化交流，是符合广大人民愿望和历史发展趋势的。

四、夏宋间的战与和

1．西夏的建立

（1）党项族的兴起

引导学生回忆“五胡内迁”的有关知识，明确党项族是羌族的一支，经过长期的发展，到唐末五代时，成为西北地区一股强大的势力。（屏幕显示党项族的相关图片，增加学生的感性认识）。

（2）元昊建立大夏国（1038年、兴庆）

结合“辽、北宋、西夏形势”图，指导学生阅读课文，明确西夏建立的时间、人物和都城（古今地名）

思考：为什么说元昊也是一位杰出的少数民族政治家？他与耶律阿保机有什么相同之处？在学生回答的基础上，指出西夏的建立和发展对我国西北地区的开发有重要意义，元昊和阿保机一样，既是本民族的杰出领袖，也是中华民族的优秀人物。

随着西夏的强大，它与北宋的关系又会怎样呢？

2．宋夏关系

对照宋辽关系，指导学生看书，了解宋夏之间也存在长期的战争，双方损失都很大，既消耗了国力，也违背了双方人民的意愿。在这种情况下，双方达成和议。请同学们比较“宋夏和议”与澶渊之盟有什么不同？（学生参照澶渊之盟，讨论回答“宋夏和议”对双方的影响）。特别值得一提的是，西夏在与北宋的交往中，积极学习中原文化，还设立太学，把很多汉文书籍翻译成西夏文，不仅促进了西夏的发展，而且使党项族与汉族的关系更加密切。

归纳总结：

本课内容是“辽、西夏和北宋的并立”，实际上是北宋时期的民族关系，民族之间既有刀兵相见，更有和平相处。请同学们归纳出北宋与辽、西夏关系中的重大事件。然后引导学生认识：中华民族是由各民族共同缔造的。民族关系发展的主流是和平相处，共同发展，中华民族正是在不断的民族交往、融合中发展壮大起来的。民族间的战争是兄弟民族之间的事情，不同于异族的侵略。

课后学生活动提示：

请同学们收集整理杨家将故事中的精彩片断，写成文章在班级内交流或者进行讲故事比赛。

高中教案排列【精】

教学目标

（1）正确理解的意义。能利用树形图写出简单问题的所有；

（2）了解和数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的；

（3）掌握数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的数；

（4）会分析与数字有关的问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

（5）通过对应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，以培养学生严谨的学习态度。

教学建议

一、知识结构

二、重点难点分析

本小节的重点是的定义、数及数的公式，并运用这个公式去解决有关数的应用问题．难点是导出数的公式和解有关的应用题．突破重点、难点的关键是对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决应用问题当中．

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中任取m个元素的一个．因此，两个相同，当且仅当他们的元素完全相同，并且元素的顺序也完全相同．数是指从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素的所有不同的种数，只要弄清相同、不同，才有可能计算相应的数．与数是两个概念，前者是具有m个元素的，后者是这种的不同种数．从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的有序集，相当于一个，而这种有序集的个数，就是相应的数．

公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．要重点分析好的推导．

的应用题是本节教材的难点，通过本节例题的分析，应注意培养学生解决应用问题的能力．

在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用．

在教学应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求．

三、教法建议

①在讲解数的概念时，要注意区分“数”与“一个”这两个概念．一个是指“从n个不同元素中，任取出m个元素，按照一定的顺序摆成一排”，它不是一个数，而是具体的一件事；数是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有的个数”，它是一个数．例如，从3个元素a，b，c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一排，有如下几种：

ab，ac，ba，bc，ca，cb，

其中每一种都叫一个，共有6种，而数字6就是数，符号表示数．

②的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序”．

从定义知，只有当元素完全相同，并且元素的顺序也完全相同时，才是同一个，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的，都不是同一。叫不同．

在定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．

在的定义中，如果有的书上叫选，如果，此时叫全．

要特别注意，不加特殊说明，本章不研究重复问题．

③关于数公式的推导的教学．公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．课本上用的是不完全归纳法，先推导，，…，再推广到，这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的．

导出公式后要分析这个公式的构成特点，以便帮助学生正确地记忆公式，防止学生在“n”、“m”比较复杂的时候把公式写错．这个公式的特点可见课本第229页的一段话：“其中，公式右边第一个因数是n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是，共m个因数相乘．”这实际是讲三个特点：第一个因数是什么？最后一个因数是什么？一共有多少个连续的自然数相乘．

公式是在引出全数公式后，将数公式变形后得到的公式．对这个公式指出两点：（1）在一般情况下，要计算具体的数的值，常用前一个公式，而要对含有字母的数的式子进行变形或作有关的论证，要用到这个公式，教材中第230页例2就是用这个公式证明的问题；（2）为使这个公式在时也能成立，规定，如同时一样，是一种规定，因此，不能按阶乘数的原意作解释．

④建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解．

⑤学生在开始做应用题的作业时，应要求他们写出解法的简要说明，而不能只列出算式、得出答数，这样有利于学生得更加扎实．随着学生解题熟练程度的提高，可以逐步降低这种要求．

教学设计示例

教学目标

（1）正确理解的意义。能利用树形图写出简单问题的所有；

（2）了解和数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的；

（3）会分析与数字有关的问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

教学重点难点

重点是的定义、数并运用这个公式去解决有关数的应用问题。

难点是解有关的应用题。

教学过程设计

一、复习引入

上节课我们学习了两个基本原理，请大家完成以下两题的练习（用投影仪出示）：

1．书架上层放着50本不同的社会科学书，下层放着40本不同的自然科学的书．

（1）从中任取1本，有多少种取法？

（2）从中任取社会科学书与自然科学书各1本，有多少种不同的取法？

2．某农场为了考察三个外地优良品种A，B，C，计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的土地上分别进行引种试验，问共需安排多少个试验小区？

找一同学谈解答并说明怎样思考的的过程

第1（1）小题从书架上任取1本书，有两类办法，第一类办法是从上层取社会科学书，可以从50本中任取1本，有50种方法；第二类办法是从下层取自然科学书，可以从40本中任取1本，有40种方法．根据加法原理，得到不同的取法种数是50+40=90．第（2）小题从书架上取社会科学、自然科学书各1本（共取出2本），可以分两个步骤完成：第一步取一本社会科学书，第二步取一本自然科学书，根据乘法原理，得到不同的取法种数是：50×40=2000．

第2题说，共有A，B，C三个优良品种，而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区，在乙类型的土地上有三个小区……所以共需3×5=15个实验小区．

二、讲授新课

学习了两个基本原理之后，现在我们继续学习问题，这是我们本节讨论的重点．先从实例入手：

1．北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票？

由学生设计好方案并回答．

（1）用加法原理设计方案．

首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票．

（2）用乘法原理设计方案．

首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法．即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选．那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序不同方法共有3×2=6种．

根据以上分析由学生（板演）写出所有种飞机票

再看一个实例．

在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？

找学生谈自己对这个问题的想法．

事实上，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、绿这三面旗子的所有不同顺序的排法总数．

首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；

其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．

根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3×2×1=6（种）．

根据学生的分析，由另外的同学（板演）写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况．（包括每个位置情况）

第三个实例，让全体学生都参加设计，把所有情况（包括每个位置情况）写出来．

由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？写出这些所有的三位数．

根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有4×3×2=24（个）．

请板演的学生谈谈怎样想的？

第一步，先确定百位上的数字．在1，2，3，4这四个数字中任取一个，有4种取法．

第二步，确定十位上的数字．当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字去取，有3种方法．

第三步，确定个位上的数字．当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字中去取，有2种方法．

根据乘法原理，所以共有4×3×2=24种．

下面由教师提问，学生回答下列问题

（1）以上我们讨论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方？

都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象．

（2）取出的这些研究对象又做些什么？

实质上按着顺序排成一排，交换不同的位置就是不同的情况．

（3）请大家看书，第×页、第×行．我们把被取的对象叫做双元素，如上面问题中的民航站、旗子、数字都是元素．

上面第一个问题就是从3个不同的元素中，任取2个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，后来又写出所有排法．

第二个问题，就是从3个不同元素中，取出3个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少排法和写出所有排法．

第三个问题呢？

从4个不同的元素中，任取3个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，并写出所有的排法．

给出定义

请看课本，第×页，第×行．一般地说，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按着一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个．

下面由教师提问，学生回答下列问题

（1）按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是相同的？什么是不同的？

从的定义知道，如果两个相同，不仅这两个的元素必须完全相同，而且的顺序（即元素所在的位置）也必须相同．两个条件中，只要有一个条件不符合，就是不同的．

如第一个问题中，北京—广州，上海—广州是两个，第三个问题中，213与423也是两个．

再如第一个问题中，北京—广州，广州—北京；第二个问题中，红黄绿与红绿黄；第三个问题中231和213虽然元素完全相同，但顺序不同，也是两个．

（2）还需要搞清楚一个问题，“一个”是不是一个数？

生：“一个”不应当是一个数，而应当指一件具体的事．如飞机票“北京—广州”是一个，“红黄绿”是一种信号，也是一个．如果问飞机票有多少种？能表示出多少种信号．只问种数，不用把所有情况罗列出来，才是一个数．前面提到的第三个问题，实质上也是这样的．

三、课堂练习

大家思考，下面的问题怎样解？

有四张卡片，每张分别写着数码1，2，3，4．有四个空箱，分别写着号码1，2，3，4．把卡片放到空箱内，每箱必须并且只能放一张，而且卡片数码与箱子号码必须不一致，问有多少种放法？（用投影仪示出）

分析：这是从四张卡片中取出4张，分别放在四个位置上，只要交换卡片位置，就是不同的放法，是个附有条件的问题．

解法是：第一步把数码卡片四张中2，3，4三张任选一个放在第1空箱．

第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱．

第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱．

第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱．具体排法，用下面图表表示：

所以，共有9种放法．

四、作业

课本：P232练习1，2，3，4，5，6，7．

高中教案电离平衡【精】

教学目标

知识目标：

1．掌握弱电解质的电离平衡。

2．了解电离平衡常数的概念。

3．了解影响电离平衡的因素

能力目标：

1．培养学生阅读理解能力。

2．培养学生分析推理能力。

情感目标：

由电解质在水分子作用下，能电离出阴阳离子，体会大千世界阴阳共存，相互对立统一，彼此依赖的和谐美。

教学过程

今天学习的内容是：“电离平衡”知识。

1．弱电解质电离过程（用图像分析建立）

2．当

则弱电解质电离处于平衡状态，叫“电离平衡”，此时溶液中的电解质分子数、离子数保持恒定，各自浓度保持恒定。

3．与化学平衡比较

（1）电离平衡是动态平衡：即弱电解质分子电离成离子过程和离子结合成弱电解质分子过程仍在进行，只是其速率相等。

（2）此平衡也是有条件的平衡：当条件改变，平衡被破坏，在新的条件下建立新的平衡，即平衡发生移动。

（3）影响电离平衡的因素

A．内因的主导因素。

B．外因有：

①温度：电离过程是一个吸热过程，所以，升高温度，平衡向电离方向移动。

②浓度：

问题讨论：在的平衡体系中：

①加入：

②加入：

③加入：各离子分子浓度如何变化：、、、溶液如何变化？（“变高”，“变低”，“不变”）

（4）电离平衡常数

（ⅱ）一元弱酸：

（3）一元弱碱

①电离平衡常数化是温度函数，温度不变K不变。

②值越大，该弱电解质较易电离，其对应的弱酸弱碱较强；值越小，该弱电解质越难电离，其对应的弱酸弱碱越弱；即值大小可判断弱电解质相对强弱。

③多元弱酸是分步电离的，一级电离程度较大，产生，对二级、三级电离产生抑制作用。如：

随堂练习

1．足量镁和一定量的盐酸反应，为减慢反应速率，但又不影响的总量，可向盐酸中加入下列物质中的（）

A．B．C．D．

2．是比碳酸还要弱的酸，为了提高氯水中的浓度，可加入（）

A．B．C．D．

3．浓度和体积都相同的盐酸和醋酸，在相同条件下分别与足量固体（颗粒大小均相同）反应，下列说法中正确的是（）

A．盐酸的反应速率大于醋酸的反应速率

B．盐酸的反应速率等于醋酸的反应速率

C．盐酸产生的二氧化碳比醋酸更多

D．盐酸和醋酸产生的二氧化碳一样多

4．下列叙述中可说明酸甲比酸乙的酸性强的是（）

A．溶液导电性酸甲大于酸乙

B．钠盐溶液的碱性在相同物质的量浓度时，酸甲的钠盐比酸乙的钠盐弱

C．酸甲中非金属元素比酸乙中非金属元素化合价高

D．酸甲能与酸乙的铵盐反应有酸乙生成

5．有两种一元弱酸的钠盐溶液，其物质的量浓度相等，现将这两种盐的溶液中分别通入适量的，发生如下反应：

和的酸性强弱比较，正确的是（）

A．较弱B．较弱C．两者相同D．无法比较

总结、扩展

1．化学平衡知识与电离平衡知识对照比较。

2．一元弱酸弱碱中与的求法：

弱电酸中浓度：（酸为弱酸物质的量浓度）

弱碱中浓度：（碱为弱碱物质的量浓度）

3．讨论中存在哪些微粒？（包括溶剂）

4．扩展

难溶电解质在水溶液中存在着电离平衡。在常温下，溶液中各离子浓度以它们的系数为方次的乘积是一个常数，该常数叫溶度各（）。例如

溶液中各离子浓度（加上其方次）的乘积大于、等于溶度积时出现沉淀，反之沉淀溶解。

（1）某溶液中，如需生成沉淀，应调整溶液的使之大于。

（2）要使0.2mol/L溶液中的沉淀较为完全（使浓度降低至原来的千分之一），则应向溶液里加入溶液，使溶液为。

布置作业

第二课时

P60一、填空题：2．3．4．

P61四、

板书设计

第二课时

一、电解质，非电解质

1．定义：在水溶液中或熔融状态下，能导电的化合物叫电解质。

［思考］①，在水溶液中，不导电，它属于非电解质吗？为什么？

②溶于水能导电，则氨气是电解质吗？为什么？

③共价化合物在液态时，能否导电？为什么？

2．电解质导电实质，电解质溶液导电能力强弱的原因是什么？

二、强电解质，弱电解质

1．区分电解质强弱的依据：

电解质在溶液中“电离能力”的大小。

2．电离方程式：

电离方程式书写也不同

（1）强电解质：

（2）弱电解质：

3．强弱电解质与结构关系。

（1）强电解质结构：强碱，盐等离子化合物（低价金属氧化物）；

强酸，极性共价化合物；

（2）弱电解质结构：弱酸，弱碱具有极性共价位的共价化合物。

三、弱电解质电离平衡

1．电离平衡定义

在一定条件下（如温度，浓度），当电解质分子电离成离子的速率和离子重新结合成分子的速度相等时，电离过程就达到了平衡状态，这叫做电离平衡。

2．电离平衡与化学平衡比较

“等”：电离速率与离子结合成分子的速率相等。

“定”：离子、分子的浓度保持一定。

“动”：电离过程与离子结合成分子过程始终在进行。

“变”：温度、浓度等条件变化，平衡就被破坏，在新的条件下，建立新的平衡。

3．影响电离平衡的外界因素

（1）温度：温度升高，电离平衡向右移动，电离程度增大。

温度降低，电离平衡向左移动，电离程度减小。

（2）浓度：电解质溶液浓度越大，平衡向右移动，电离程度减小；

电解质溶液浓度越小，平衡向左移动，电离程度增大；

4．电离平衡常数

（1）一元弱酸电离平衡常数：

（2）一元弱碱电离平衡常数：

（3）多元弱酸是分步电离，每步各有电离常数。如：

（4）电离平衡常数只随温度变化而变化，而与浓度无关。

（5）K的意义：

K值越大，弱电解质较易电离，其对应弱酸、弱碱较强。

K值越小，弱电解质较难电离，其对应弱酸、弱碱较弱。

高中教案氮磷【精】

知识目标：

了解氮族元素性质的相似性和递变规律以及磷的性质；

掌握氮气的化学性质（跟氢气、氧气的反应）。

情感目标：

通过氮族元素有关量变引起质变，以及氮气性质的相对稳定性等知识，对学生进行辩证唯物主义教育。并通过汽车尾气对空气污染等有关知识对学生进行环境保护教育。

能力目标：

培养学生能够运用元素周期律和原子结构理论指导元素化合物知识，培养学生的思维能力。

教材分析

氮族元素性质的相似性和递变规律，在大纲中与氧族元素、碳族元素简介一样均属于了解层次。但氮族元素简介出在章引言部分，并且以开门见山的形式将氮族元素性质的相似性和递变规律直接给出，而不像氧族元素、碳族元素那样作为一节出现，并进行引导分析其递变规律。其主要原因是由于学生已给学习了氧族元素、碳族元素等元素化合物知识，并对用理论指导元素化合物知识的学习方法已经了解，因此，在使学生了解氮族元素性质的相似性和递变规律的基础上，重点以“思考”方式让学生归纳比较卤族元素、氧族元素、氮族元素的非金属性强弱。这样，既强化了理论的指导作用，又巩固了元素周期律的知识。

在介绍的单质时，是以学生熟知的化肥引入的，这样学生便于接受。由于氮气在空气中含量最多，并且在合成氨及硝酸的工业制法中都要用到氮气，因此氮气的化学性质是本章的重点，也是本节的重点，大纲中要求为“掌握”层次。教材从氮分子具有牢固的N≡N键而结构稳定入手，说明氮气的化学性质不活泼从而说明结构决定性质，接着又联系化学键的知识，从分子获得的能量使化学键断裂的角度说明氮气在一定条件下还能与某些非金属反应，从而认识氮气的一些化学性质。关于磷，在大纲中的要求为了解层次，教材在初中介绍过的磷与氧气反应的基础上，又介绍了磷与氧气的反应。此外还介绍了磷的同素异形体白磷和红磷的性质的差异，以及红磷和白磷的相互转化从而复习高一学过的同素异形体的的概念。

本节教材的编写，注重联系实际，介绍环境污染问题；注重增加学生学习举，配制了较多的图画和照片；注重培养自学能力开阔知识，编入了两篇资料和一篇阅读。

本节的重点：氮族元素性质的相似性和递变规律；氮气的化学性质。

教法建议

在教学中应突出体现教师的主导作用，发挥学生的主体性，让学生运用已有的理论知识解决新的问题。

一、氮族元素

建议教师预先设计的表格内容（元素符号、原子半径、金属性非金属性、与化合的难易程度、气态氢化物的稳定性、最高价氧化物对应水化物的酸性等），采用讨论的方法由学生运用已有的原子结构、元素周期表等知识以及学习前几族元素的经验，完成表格内容。再通过阅读教材表2—1了解氮族元素单质的一些性质。

最后将教材中的“思考”由学生讨论进行归纳总结，找出规律，加深理解所学知识，使知识系统化。

二、氮气

1．物理性质

引导学生从熟悉的空气入手，通过讨论归纳出氮气的物理性质。

2．化学性质

（1）氮气的稳定性

引导学生运用结构理论分析氮元素的非金属较强，但形成单质后由于分子中存在N≡N的结构致使氮气的化学性比较稳定。常用作保护气。进而掌握学习化学的方法：结构性质用途。

（2）氮气与氢气、氧气的反应。

教师可通过的稳定性是相对的，在一定条件下提供足够能量时，氮气分子的共价键断裂也能与某些物质反应引出氮气的化学性质。根据非金属单质的一般性质，掌握下列变化：

既有氧化性，又有还原性。

建议补充演示NO和之间相互转化的实验（将预先收集的一试管NO向学生展示，然后打开塞子观察现象，气体变为棕色后，将试管例立在盛水的水槽中观察液面及试管内气体颜色变化。试管内液面上升后；用拇指赌住管口取出试管，将试管正立，向试内滴入紫色石蕊试管观察现象）。根据各实验观察确定生成物，写出化学方程式。并强调不是的酸酐。

对于学有余力的学生可补充混合气（、、）与混合的计算：①与混合气体溶于水中，最后得到什么气体？（）；②与混合气体溶于水最终得到什么气体？（），气体无剩余：，最终得到；最终得到）。③与混合气体溶于水最终得到什么气体：（，无气体剩余；，剩余；，剩余。）

三、磷

通过学生已有的磷的性质和阅读教材内容重点落实以下内容：①P的非金属性比N弱，但磷单质的化学性质比活泼。②磷与氯气的反应，并指明是的酸酐，可做气体的干燥剂。③磷的同素异形体—红磷和白磷的性质差异及其相互转化，并做好红磷转化为白磷的演示。

[实验1—1]。通过白磷的保存联想金属钠的保存方法。

上述知识内容一般不会构成难点，应尽量让学生归纳总结，培养学生的自学能力和培养表达能力。

对于教材中介绍的“光化学烟雾”、“氮气”、“磷的”的等内容，有条件的学校可采用播放录像等形式开阔学生视野，活跃学生思维，培养学生的创新思维能力。

教学设计方案

第一节

第二课时

教师活动

学生活动

【复习、提问】氮气有哪些化学性质？

【引导】NO和对环境危害很大，是主要的大气污染物，对人、动物、植物、建筑物的危害很大。【放录像】NO、造成的日本东京和英语伦敦的化学烟雾事件，我国四川乐山大佛腐蚀变形，酸雨造成美国洛杉矶湖泊已无生物……（1分钟）

【提问】看过录像有何感受？

【强调】环境保护的重要性。

【追问】你认为防治氮的氧化物污染环境的关键是什么？

【阅读指导】课本相关内容。

【放录像】介绍目前防治氮的氧化物污染的科技信息。（1分钟）

【指导阅读】课本有关氮气用途的内容

【板书】3.氮气的用途

【思考、回答】

【看录像】

【思考、回答】

NO、等一旦污染空气，人类将无法逃避，无处可藏。为了我们的家园，为了人类自己，我们应从方方面面注意防止环境污染，保护环境。

【阅读、回答】

氮的氧化物主要来源是化石燃料（煤、石油）的燃烧废气和未经处理的硝酸厂的废气，关键处理好废气和尾气。

【看录像】

【阅读归纳】

（1）做化工原料

（2）做保护气（如保鲜苹果）

（3）作冷冻剂（如超低温手术）

【传看、观察】

【引言】磷和氮一样是构成蛋白质的元素之一。无论动物还是植物体内都含磷，它对维持动物体内正常的生理机能起着重要的作用。

【板书】二、磷

【展示】红磷、白磷

【讲解】这是两种磷的单质，磷像碳一样，它的单质也有多种同素异形体，其重要的是白磷和红磷。

【阅读指导】白磷和红磷的物理性质比较表1—2。

【追问】白磷和红磷在某些性质方面为何不同？

【提问】你所学过的属于互称同素异形体的物质都有哪些？

【阅读、思考、记忆、回答】

白磷和红磷在某些性质方面不同。

【思考、回答】结构不同。

【思考、回答】

金刚石、石墨，氧气和臭氧

【板书】1.白磷和红磷是磷的同素异形体

【板书】2.磷的化学性质

（1）磷与氧气反应

【录像】白磷、红磷燃烧实验（初中做的实验）

【追问】这个实验说明什么？写出化学反应方程式。

【设疑】白磷的着火点在，易燃烧，那如何保存它呢？

[1][2]下一页

高中教案西汉的兴衰【精】

教学建议

对“罢黜百家，独尊儒术”的认识

1.武帝的这一政策与秦代有很大不同，儒学独尊后，其他思想学派并未被禁止。而且所提倡的儒学本身也广泛吸收了法家、阴阳家等各家学说，统一的思想带有一定的综合倾向，因而获得了成功。

2.尊儒兴学，把教育、考试与选官结合起来，是武帝的创造，在客观上促成了重视知识重视教育的社会风尚，儒家思想逐渐渗透到社会各方面，造就了中国传统文化的基本范式。同时，改变了汉初“非功侯不得封相”的惯例，使大批读书人通过读书而进入仕途。

3.封建政治与儒学密切结合起来，初步形成了儒家政治的历史传统。

4.但从本质上看，这仍是一种封建专制主义文化政策。汉武帝运用皇权干预思想学术，抑制了民族思想的自由发展，禁锢了思想界的探索精神，违悖了思想统一于真理的规律，有明显的消极作用。

对汉武帝的评价问题

汉武帝是中国历史上的著名帝王，在其统治时期，通过文治武功，使西汉统治过火鼎盛时期，其他向来被称为“英主”，其一生，既立有丰功伟绩，也有重大失误。他与秦始皇相比，即“异于秦始皇者无几矣”，又“有亡秦之失而免于亡秦之祸”。（司马迁之语）史学界对其晚年的政策调整关注较大。他为调整统治政策，在有关西北屯兵的争论中，借机颁布了轮台“哀痛之诏”，公开向天下承认了自己的失误，公开否定自己，果断地调整统治政策，从而有效地缓和了社会矛盾，挽救了统治危机，带来了后来的“昭宣中兴”。他这一行举，可以说是古代帝王罪已以收民心的一次显成功的尝试，他比秦皇始、唐太宗高明的多。但也有人对他这一行举持否定态度，认为在统治危机和内外出现困局情况下，是悲观消沉情绪的反映。

秦汉的统治思想问题

任何统治阶级为维持统治，都会根据政治、经济的形势和政治需要，确立自己的统治思想。作为封建大一统开始形成时的秦汉统治者，在确立统治思想方面进行了种种探索。战国时期的泰国，有实行法治的传统，商鞅就是法家的代表人物之一。秦国的丞相李斯与韩非是同学。战国时的法家集大成者韩非，更是受到秦王嬴政的赏识，嬴政在看到韩非的书后说：“寡人得见此人与之游，死不恨矣。”后韩非在秦国因被李斯嫉妒而侵害，但他的思想被嬴政采纳，法家思想成为秦的统治思想。秦始皇以吏为师、崇尚法治，实行严刑峻法，将法家思想定为一尊地位。法家思想适应了专制主义中央集权统治建立的需要。

西汉王朝是在农民大起义摧毁了暴秦统治基础上建立的，汉高祖及臣下，多数是秦末大起义中出现的下层人物，他们能比较认翰的思考秦亡的教训。汉初统治者面临经济凋敝的局势，为缓和阶级矛盾，稳定统治秩序，确立了以道家“无为”思想为特征的黄老政治为统治思想。刘邦实行的恢复经济、轻徭薄赋、约法省禁就是黄老政治的具体体现。在刘邦、孝惠、高后、文、景统治的五六十年间，一直实行黄老政治。黄老政治的实行，恢复了经济、稳定了统治。

到汉武帝时这种情况有了变化。黄老政治的实行，诸子百家学说的流行，不适应思想统一和加强中央集权的需要。汉武帝接受了董仲舒“罢黜百家，独尊儒术”的建议。进而在太学和地方学校中，讲授儒家经典，通过考试合格者可入仕。从此，儒家思想成为我国封建社会历代的统治思想。但是，董仲舒兼采百家之长，融儒法为一家。汉武帝虽尊崇儒术，但实际上是“霸王道来之”，儒法并用，是经过改造的儒家思想。

秦汉专制主义中央集权制度的建立与发展

（l）专制主义中央集权制度是中国封建社会的基本制度。封建皇帝个人专断独裁，控制一切军国大事，地方一切权力集中于中央，中央一切权力集中于皇帝。

（2）战国时的韩非提出了专制主义中央集权的理论。秦始皇统一中国后，实践了韩非的理论，通过创行皇帝制度、中央官制和郡县制，采取了一系列经济和文化措施，建立了专制主义中央集权制度。

（3）汉承案制，刘邦承袭了秦始皇开创的专制主义中央集权制度，历经惠、文、景帝，到汉武帝时，通过解决王国问题，进一步控制了地方政权；又接受了董仲舒的建议，确立了封建君主专制主义的指导思想和理论基础。两汉时采取中外朝制度和设立尚书台，实行刺史制度和上计制，从而完善了这一制度。到东汉初，这一制度进一步加强并定型。

（4）这一制度是建立在封建生产方式基础之上的，适应了封建地主阶级政治、经济的需要，有利于统一的多民族的封建国家的巩固和发展，有利于抵御外族入侵和大规模水利工程的修建。但也有明显的弊端：加强了人民的控制和统治，皇帝个人作用对政局影响大，容易产生腐败和专权，这也是中国封建社会政治腐败长期延续的重要因素。特别是到了封建社会末期，其积极意义日益减少，弊端日益加重。

关于王莽改制的评价问题

在20世纪20年代前，对王莽改制是一致否定的。此后，有了三种观点。第一，基本肯定说。认为王莽是一位有胆识的改革家和理想主义者，他实行的一系列改革措施，从历史发展的角度，无疑是具有进步意义的。第二，基本否定说。郭沫若认为：王莽实行的一系列倒行逆施的政策和措施，不但未使动荡不定的封建统治秩序稳定下来，相反给人民增添了更多新的灾难，阶级矛盾更加尖锐了。第三，主观与客观说。作为改革家的王莽，清醒地看到了西汉后前危机的深刻根源，首先是土地兼并和奴婢数量的膨胀，其次是豪民富商的高利贷掠夺和财货垄断。他的改革是针对大地主阶层的，本意是想干一番事业的，但结果竟变成了一场对人民的浩劫，这是他根本没有料到的，他成了西汉腐朽统治的替罪羊。

西汉地方行政制度的演化

（1）刘邦对秦朝的地方行政制度，既有继承，又有改造，除继续采用郡县制外，也实行分封诸侯王制度，即郡国并行制。

（2）由于诸侯王势力的膨胀威胁了皇权，景帝采取削藩政策，还用武力平定了七国之乱。汉武帝进一步削在王侯权势，通过实行“推恩令”等措施，基本上解决了王国问题。汉武帝以后直到东汉，虽一直保留封国，但国象对王国权势限制很严，王国封地也越来越小，势力越来越小，诸侯王实际成了只有爵位而无实权的封建贵族。

（3）汉武帝时为监察地方，全国分13州，设置刺史。后来，刺史权渐重，积久成制，成为行政长官。西汉末到东汉，刺史改称州牧，级别提高，成为最高地方行政长官。州也成了最高地方行政区划了。

教学目标

典型例题

1998年7月11日，江泽民总书记在新疆考察时指出：新疆是我国西北一个具有重要战略地位的省区，加快新疆的经济发展和社会进步，是一件关系全局的大事，对我们实现跨世纪发展的目标，保障国家安全和边防巩固具有重要的意义。

结合材料回答下列问题：

（l）新疆的地形特点是“三山夹两盆”，请按由南向北的顺序将这五大地形名称写出来。我国地势最低洼部分是__________。我国面积最大的沙漠是___________（2）我国自古对新疆地区就进行了有效的管辖。西汉时于________年设立_________，管辖玉门关、阳关以西，葱岭以东，天山南北的辽阔地区。73年，东汉派________打败北匈奴后，重建______。唐朝时又设立了_____和_______，对之进行有效管辖。

（3）江泽民总书记讲话表明党和国家高度重视实现

A．民族平等B．民族团结

C．各民族共同繁荣D．民族区域自治

剖析：本题考查了地理、历史、政治三科知识。知识点有新疆区域地理、中国古代边疆史和我国的民族等。主要检验学生的识国记忆能力和分析能力。

第（l）问要注意顺序千万不能打乱，否则一分不得；第（2）问在于记忆准确，避免张冠李戴；第（3）问从加快经济发展和社会进步可以看出强调的是各民族共同繁荣。

参考答案：

（1）昆仑山一阿尔金山塔里木盆地天山准噶尔盆地阿尔泰山吐鲁番盆地；塔克拉玛干沙漠

（2）公元前60西域都护窦固西域都护安西都护府北庭都护府

（3）C

高中教案回顾与反思

教学目标

1使学生理解本章的知识结构，并通过本章的知识结构掌握本章的全部知识；

2对线段、射线、直线、角的概念及它们之间的关系有进一步的认识；

3掌握本章的全部定理和公理；

4理解本章的数学思想方法；

5了解本章的题目类型。

教学重点和难点

重点是理解本章的知识结构，掌握本章的全部定和公理；难点是理解本章的数学思想方法。

教学设计过程

一、本章的知识结构

二、本章中的概念

1直线、射线、线段的概念。

2线段的中点定义。

3角的两个定义。

4直角、平角、周角、锐角、钝角的概念。

5互余与互补的角。

三、本章中的公理和定理

1直线的公理；线段的公理。

2补角和余角的性质定理。

四、本章中的主要习题类型

1对直线、射线、线段的概念的理解。

例1下列说法中正确的是()。

A延长射线OPB延长直线CD

C延长线段CDD反向延长直线CD

解：C因为射线和直线是可以向一方或两方无限延伸的，所以任何延长射线或直线的说法都是错误的。而线段有两个端点，可以向两方延长。

例2如图1-57中的线段共有多少条?

解：15条，它们是：线段AB，AD，AF，AC，AE，AG，BD，BF，DF，CE，CG，EG，BC，DE，FG。

2线段的和、差、倍、分。

例3已知线段AB，延长AB到C，使AC=2BC，反向延长AB到D使AD=BC，那么线段AD是线段AC的()。

A．B.C.D.

解：B如图1-58，因为AD是BC的二分之一，BC又是AC的二分之一，所以AD是AC的四分之一。

例4如图1-59，B为线段AC上的一点，AB=4cm，BC=3cm，M，N分别为AB，BC的中点，求MN的长。

解：因为AB=4，M是AB的中点，所以MB=2，又因为N是BC的中点，所以BN=1.5。则MN=2+1.5=3.5

3角的概念性质及角平分线。

例5如图1-60，已知AOC是一条直线，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，求∠EOD的度数。

解：因为OD是∠AOB的平分线，所以∠BOD=∠AOB；又因为OE是∠BOC的平分线，所以∠BOE=∠BOC；又∠AOB+∠BOC=180°，

所以∠BOE+∠BOD=(∠AOB+∠BOC)÷2=90°。

则∠EOD=90°。

例6如图1-61，已知∠AOB=∠COD=90°，又∠AOD=150°，那么∠AOC与∠COB的度数的比是多少?

解：因为∠AOB=90°，又∠AOD=150°，所以∠BOD=60°。

又∠COD=90°，所以∠COB=30°。

则∠AOC=60°，(同角的余角相等)

∠AOC与∠COB的度数的比是2∶1。

4互余与互补角的性质。

例7如图1-62，直线AB，CD相交于O，∠BOE=90°，若∠BOD=45°，求∠COE，∠COA，∠AOD的度数。

解：因为COD为直线，∠BOE=90°，∠BOD=45°，

所以∠COE=180°-90°-45°=45°

又AOB为直线，∠BOE=90°，∠COE=45°

故∠COA=180°-90°-45°=45°，

而AOB为直线，∠BOD=45°，

因此∠AOD=180°-45°=135°。

例8一个角是另一个角的3倍，且小有的余角与大角的余角之差为20°，求这两个角的度数。

解：设第一个角为x°，则另一个角为3x°，

依题义列方程得：(90-x)-(90-3x)=20，解得：x=10，3x=30。

答：一个角为10°，另一个角为30°。

5度分秒的换算及和、差、倍、分的计算。

例9(1)将4589°化成度、分、秒的形式。

(2)将80°34′45″化成度。

(3)计算：(36°55′40″-23°56′45″)。

解：(1)45°53′24″。

(2)约为8058°。

(3)约为9°44′11″(第一步，做减法后得12°58′55″；再做乘法后得36°174′165″，可以先不进位，做除法后得9°44′11″)

五、本章中所学到的数学思想

1运动变化的观点：几何图形不是孤立和静止的，也应看作不断发展和变化的，如线段向一个方向延长，就发展成为射线；射线向另一方向延长就发展成直线。又如射线饶它的端点旋转就形成角；角的终边不断旋转就变化成直角、平角和周角。从图形的运动中可以看到变化，从变化中看到联系和区别及特性。

2数形结合的思想：在几何的知识中经常遇到计算问题，对形的研究离不开数。正如数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形缺数时难如微”。本章的知识中，将线段的长度用数量表示，利用方程的方法解决余角与补角的问题。因此我们对几何的学习不能与代数的学习截然分开，在形的问题难以解决时，发挥数的功能，在数的问题遇到困难时，画出与它相关的图形，都会给问题的解决带来新的思路。从几何的起始课，就注意数形结合，就会养成良好的思维习惯。

3联系实际，从实际事物中抽象出数学模型。数学的产生来源于生产和生活实践，因此学习数学不能脱离实际生活，尤其是几乎何的学习更离不开实际生活。一方面要让学生知道本章的主要内容是线和角，都在生活中有大量的原型存在，另一方面又要引导学生将所学的知识去解决某些简单的实际问题，这才是理论联系实际的观点。

六、本章的疑点和误点分析

概念在应用中的混淆。

例10判断正误：

(1)在∠AOB的边OA的延长线上取一点D。

(2)大于90°的角是钝角。

(3)任何一个角都可以有余角。

(4)∠A是锐角，则∠A的所有余角都相等。

(5)两个锐角的和一定小于平角。

(6)直线MN是平角。

(7)互补的两个角的和一定等于平角。

(8)如果一个角的补角是锐角，那么这个角就没有余角。

(9)钝角一定大于它的补角。

(10)经过三点一定可以画一条直线。

解：(1)错。因为角的两边是射线，而射线是可以向一方无限延伸的，所以就不能再说射线的延长线了。

(2)错。钝角的定义是：大于直角且小于平角的角，叫做钝角。

(3)错。余角的定义是：如果两个角的和是一个直角，这两个角互为余角。因此大于直角的角没有余角。

(4)对.∠A的所有余角都是90°-∠A。

(5)对.若∠A＜90°，∠B＜90°则∠A+∠B＜90°+90°=180°.

(6)错。平角是一个角就要有顶点，而直线上没有表示平角顶点的点。如果在直线上标出表示角的顶点的点，就可以了。

(7)对。符合互补的角的定义。

(8)对。如果一个角的补角是锐角，那么这个角一定是钝角，而钝角是没有余角的。

(9)对。因为钝角的补角是锐角，钝角一定大于锐角。

(10)错。这个题应该分情况讨论：如果这三点在同一条直线上，这个结论是正确的。如果这三个点不在同一条直线上，那么过这三个点就不能画一条直线。

板书设计

(一)知识结构(四)主要习题类型(五)本章的数学思想

略例11

·2

(二)本章概念·3

略·(六)疑误点分析

(三)本章的公理和定理·

例9

高中教案算术平均数与几何平均数（二）【精】

第一课时

一、教材分析

（一）教材所处的地位和作用

“算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第二册（上）“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材二同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．

（二）教学目标

1．知识目标：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的重要不等式的证明及其几何解释；掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；掌握应用平均值定理解决一些简单的应用问题．

2．能力目标：培养学生数形结合、化归等数学思想．

（三）教学重点、难点、关键

重点：用平均值定理求某些函数的最值及有关的应用问题．

难点：定理的使用条件，合理地应用平均值定理．

关键：理解定理的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键．

（四）教材处理

依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理及它们的几何解释．掌握应用定理解决某些数学问题．第二课时讲解应用平均值定理解决某些实际问题．为了讲好平均值定理这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．

二、教法分析

（－）教学方法

为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标．在探索结论时，采用发现法教学；在定理的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行．

（二）教学手段

根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机辅导教学．

三、教学过程设计

6．2算术平均数与几何平均数（第一课时）

（一）导入新课

（教师活动）1．教师打出字幕（提出问题）；2．组织学生讨论，并点评．

（学生活动）学生分组讨论，解决问题．

[字幕]某种商品分两次降价，降价的方案有三种：方案甲是第一次9折销售，第二次再8折销售；方案乙是第一次8折销售，第二次再9折销售；方案丙是两次都是折销售．试问降价最少的方案是哪一种？

［讨论］

①设物价为t元，三种降价方案的销售物价分别是：

方案甲：（元）；

方案乙：（元）；

方案丙：（元）．

故降价最少的方案是丙．

②若将问题变为第一次a折销售，第二次b折销售．显然可猜想有不等式成立，即，当时，

设计意图：提出一个商品降价问题，要求学生讨论哪一种方案降价最少．学生对问题的背景较熟悉，可能感兴趣，从而达到说明学习本节知识的必要，激发学生求知欲望，合理引出新课．

（二）新课讲授

【尝试探索，建立新知】

（教师活动）打出字幕（重要不等式），引导学生分析、思考，讲解重要不等式的证明．点评有关问题．

（学生活动）参与研究重要不等式的证明，理解有关概念．

［字幕］如果，那么（当且仅当时取“=”号）．

证明：见课本

［点评］

①强调的充要条件是

②解释“当且仅当”是充要条件的表达方式（“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的）．

③几何解释，如图。

[字幕]定理如果a，b是正数，那么（当且仅当时取“=”号）．

证明：学生运用“”自己证明．

［点评］

①强调；

②解释“算术平均数”和“几何平均数”的概念，并叙述它们之间的关系；

②比较上述两个不等式的特征（强调它们的限制条件）；

④几何解释（见课本）；

＠指出定理可推广为“n个（）正数的算术平均数不小干它们的几何平均数”．

设计意图：加深对重要不等式的认识和理解；培养学生数形结合的思想方法和对比的数学思想，多方面思考问题的能力．

【例题示范，学会应用】

（教师活动）教师打出字幕（例题），引导学生分析，研究问题，点拨正确运用定理，构建证题思路．

（学生活动）与教师一道完成问题的论证．

［字幕］例题已知a，b，c，d都是正数，求证：

［分析］

①应用定理证明；

②研究问题与定理之间的联系；

③注意应用定理的条件和应用不等式的性质．

证明：见课本．

设计意图：巩固对定理的理解，学会应用定理解决某些数学问题．

【课堂练习】

（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；巡视学生解题情况，对正确的解法给予肯定和鼓励，对偏差给予纠正；请甲、乙两学生板演；点评练习解法．

（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、动两位同学板演．

［字幕］练习：已知都是正数，求证：

（1）；

（2）

设计意图：掌握定理及应用，反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用定理解决有关数学问题的解题方法．

（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上．

1．重要不等式可以用来证明某些不等式．

2．应用重要不等式证明不等式时要注意不等式的结构特征：①满足定理的条件；②不等式一边为和的形式，另一边为积或常数的形式．

3．用重要不等式证明有关不等式时注意与不等式性质结合．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握应用重要不等式解决有关数学问题的方

法．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．

（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．

1．本节课学习了两个重要不等式及它们在解决数学问题中的应用．

2．注意：①两个重要不等式使用的条件；②不等式中“=”号成立的条件．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

1．课本作业；习题．1，3

2．思考题：已知，求证：

3．研究性题：设正数，，试尽可能多的给出含有a和b的两个元素的不等式．

设计意图：课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生完成，灵活掌握重要不等式的应用；研究性题是一道结论开放性题，培养学生创新意识．

（五）课后点评

1．导入新课采用学生比较熟悉的问题为背景，容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机．使得学生学习本节课知识自然且合理．

2．在建立新知过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构．对有关概念使学生理解难确，尽量以多种形式反映知识结构，使学生在比较中得到深刻理解．

3．通过变式训练，使学生在对知识初步理解和掌握后，得到进一步深化，对所学的知识得到巩固与提高，同时反馈信息，调整课堂教学．

4．本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

作业答案

思考题证明：因为，所以

．又因为，，，所以，，所以

研究性题①．由条件得，…（A）利用公式…（B）．得，即．②．由（A）、（B）之和即得．③．可利用．再利用①，即可得．④．利用立方和公式得到：．利用①可得．利用①②可得．还有……

第二课时

（－）导入新课

（教师活动）1．教师打出字幕（引例）；2．设置问题，引导学生思考，启发学生应用平均值定理解决有关实际问题．

（学生活动）思考、回答教师设置的问题，构建应用平均值定理解决实际问题的思路．

［字幕］引例．如图，用篱笆围一块面积为50的一边靠墙的矩形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少时，所用篱笆最省？此时，篱笆墙长为多少米？

[设问]

①这是一个实际问题，如何把它转化成为一个数学问题？

（学生口答：设篱笆墙长为y，则（）．问

题转化成为求函数y的最小值及取得最值时的的值．）

②求这个函数的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函数的最小值？

（学生口答：利用函数的单调性或判别式法，也可用平均值定理．）

设计意图：从学生熟悉的实际问题出发，激发学生应用数学知识解决问题的兴趣，通过设问，引导和启发学生用所学的平均值定理解决有关实际问题，引入课题．

（二）新课讲授

【尝试探索、建立新知】

（教师活动）教师打出字幕（课本例题1），引导学生研究和解决问题，帮助学生建立用平均值定理求函数最值的知识体系．

（学生活动）尝试完成问题的论证，构建应用平均值定理求函数最值的方法．

[字幕]已知都是正数，求证：

（1）如果积是定值P，那么当时，和有最小值；

（2）如果和是定值S，那么当时，积有最大值

证明：运用，证明（略）．

［点评］

①（l）的结论即，（2）的结论即

②上述结论给出了一类函数求最值的方法，即平均值定理求最值法．

③应用平均值定理求最值要特别注意：两个变元都为正值；两个变元之积（或和）为定值；当且仅当，这三个条件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同时成立．

设计意图：引导学生分析和研究问题，建立新知——应用平均值定理求最值的方法．

【例题示范，学会应用】

（教师活动）打出字幕（例题），引导学生分析问题，研究问题的解法．

（学生活动）分析、思考，尝试解答问题．

[字幕]例题1求函数（）的最小值，并求相应的的值．

［分析］因为这个函数中的两项不都是正数且又与的积也不是常数，所以不能直接用定理求解．但把函数变形为后，正数，的积是常数1，可以用定理求得这个函数的最小值．

解：，由，知，，且．当且仅当，即时，（）有最小值，最小值是。

[点评]要正确理解的意义，即方程要有解，且解在定义域内．

[字幕]例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800，深为3m，如果池底每l的造价为150元，池壁每1的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

［分析］设水池底面一边的长为m，水池的总造价为y，建立y关干的函数．然后用定理求函数y的最小值．

解：设水池底面一边的长度为m，则另一边的长度为m，又设水池总造价为y元，根据题意，得

（）

所以

当，即时，y有最小值297600．因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时．水池的总造价最低，最低总造价是297600元．

设计意图：加深理解应用平均值定理求最值的方法，学会应用平均值定理解决某些函数最值问题和实际问题，并掌握分析变量的构建思想．培养学生用数学知识解决实际问题的能力，化归的数学思想．

【课堂练习】

（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请三位同学板演；巡视学生解题情况，对正确的给予肯定，对偏差进行纠正；讲评练习．

（学生活动）在笔记本且完成练习、板演．

［字幕〕练习

A组

1．求函数（）的最大值．

2求函数（）的最值．

3．求函数（）的最大值．

B组

1．设，且，求的最大值．

2．求函数的最值，下面解法是否正确？为什么？

解：，因为，则．所以

[讲评]A组1．；2．；3．

B组1．；2．不正确①当时，；②当时，，而函数在整个定义域内没有最值．

设计意图；A组题训练学生掌握应用平均值定理求最值．B组题训练学生掌握平均值定理的综合应用，并对一些易出现错误的地方引起注意．同时反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用平均值定理解决有关函数最值问题和实际问题的解题方法．

（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．

1．应用平均值定理可以解决积为定值或和为定值条件下，两个正变量的和或积的最值问题．

2．应用定理时注意以下几个条件：（ⅰ）两个变量必须是正变量．（ⅱ）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值．（iii）当且仅当两个数相等时取最值，即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．

3．在求某些函数的最值时，会恰当的恒等变形——分析变量、配置系数．

4．应用平均值定理解决实际问题时，应注意：（l）先理解题意，没变量，把要求最值的变量定为函数．（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题，确定函数的定义域．（3）在定义域内，求出函数的最值，正确写出答案．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．

（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

这节课学习了利用平均值定理求某些函数的最值问题．现在我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值方法．这是平均值定理的一个重要应用，也是本节的重点内容，同学们要牢固掌握．

应用定理时要注意定理的适用条件，即“正数、定值、相等”三个条件同时成立，且会灵活转化问题，达到化归的目的．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

1．课本作业：P，6，7．

2．思考题：设，求函数的最值．

3．研究性题：某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽车费用9千元；汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年递增．问这种汽车最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的平均费用最少）？

设计意图：课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生练习，使学生能灵活运用定理解决某些数学问题；研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．

（五）课后点评

1．关于新课引入设计的想法：

导入这一环节是调动学生学习的积极性，激发学生探究精神的重要环节，本节课开始给出一个引例，通过探究解决此问题的各种解法，产生用平均值定理求最值，点明课题．事实上，在解决引例问题的过程中也恰恰突出了教学重点．

2．关于课堂练习设计的想法：

正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值是教学难点．为突破难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，发现使用定理的三个条件缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，设计解法正误讨论能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深了对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中．

3．培养应用意识．

教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用干客观世界．为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学．本节课中设计了两道应用问题，用刚刚学过的数学知识解决了问题，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”．

作业解答

思考题：

．当且仅当，即时，上式取等号．所以当时，函数y有最小值9，无最大值．

研究性题：设使用年报废最合算，由题意有；

年平均费用

当且仅当，即时，取得最小值，即使用10年报废最合算，年平均费用3万元．

高中教案范爱农教案【精】

教学目标：

一、知识与能力：引导学生主动获取信息，了解本文写作背景和作者的创作心态，做到在具体的环境下理解作品中的人物。

二、过程与方法：利用预习中的典型问题，熟读文本，在具体的阅读活动中品味语言，领悟作者的思想感情。

三、情感态度与价值观：围绕范爱农之死这一话题，展开课堂讨论，引发学生个性化的思考，探究范爱农的悲剧意义，增加社会责任感。

教学重点：写了一位怎样的人，怎么写的，为什么

教学难点：围绕范爱农之死，探究其悲剧意义

教学课时：3课时

教学过程：

一、预习阶段。

1、布置预习作业

通读全文，积累词语，并按照字音、字形等分类进行梳理。

2、阅读思考

（1）文中写了关于范爱农的几件事？

（2）通过这几件事可以看出范爱农是怎样的人？

（3）你认为作者对范爱农怀有怎样的感情？

（以上三个思考问题是在学生熟读文本的基础上来思考的，虽然在初中我们学过了鲁迅的不少文章，但是初中的学生人生经历相对简单，再加上他们对于鲁迅先生所处的时代及其语言风格存在一定的隔膜，所以理解本作品必须要先读懂课文。）

二、课堂教学。

1、评点学生作业。

（1）呈现学生积累字词部分，请学生互评，教师提示学生按类梳理字词，进行有效积累。

（2）请学生就思考的三个问题谈谈自己的看法，从而达到对范爱农这个人物形象的初步认识。

2、课堂研讨：

（1）对人物的刻画，鲁迅一向主张“画眼睛，勾灵魂”，在《范爱农》中作者是怎样来描绘范爱农这个人物的，通过这些极节省的文字，范爱农外表之下又有着怎样的灵魂呢？

（2）相传西晋“竹林七贤”之一的阮籍常作青白眼，友人至则以青眼，俗人至则以白眼。那么范爱农和阮籍的白眼有何共同之处？

（3）都说男子的爱喝酒大多是有些原因的，范爱农是怎样变的爱喝酒的，结合当时的背景及文中的描述谈谈你的看法。

（4）在当时昏昏噩噩的国度里，范爱农到底是怎样死的还重要吗？那么鲁迅刻画这个人物的意义何在？

课外作业：

1、完成课后练习思考

2、以“范爱农其人”为话题，写一篇不少于400字的短文，题目自拟。

板书设计：

东京初识---------缺乏理解

故乡重逢---------前嫌尽释

范爱农抱馆案风波--------并肩战斗

别后闻变--------落魄沉水---------悼念范爱农

高中教案算术平均数与几何平均数（一）【精】

教学目标

（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；

（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；

（3）能够解决一些简单的实际问题；

（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；

（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；

教学建议

1．教材分析

（1）知识结构

本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式：，根据这个结论，又得到了一个定理：，并指出了为的算术平均数，为的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。

（2）重点、难点分析

本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．

㈠定理教学的注意事项

在公式以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：

（1）和成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数。

例如成立，而不成立。

（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：

当时取等号，其含义就是：

仅当时取等号，其含义就是：

综合起来，其含义就是：是的充要条件。

（二）关于用定理证明不等式

当用公式，证明不等式时，应该使学生认识到：

它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明。

（三）应用定理求最值的条件

应用定理时注意以下几个条件：

（1）两个变量必须是正变量；

（2）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值；

（3）当且仅当两个数相等时取最值．

即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．

在求某些函数的最值时，还要注意进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数．

（四）应用定理解决实际问题的分析

在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意；

（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

（4）正确写出答案。

2．教法建议

（1）导入新课建议采用学生比较熟悉的问题为背景，这样容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机．使得学生学习本节课知识自然且合理．

（2）在新授知识过程中，教师应力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构．对有关概念使学生理解准确，尽量以多种形式反映知识结构，使学生在比较中得到深刻理解．

（3）教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

（4）可以设计解法的正误讨论，这样能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中．

（5）注意培养应用意识．教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用干客观世界．为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”．

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