1、知识目标:
(1)使学生理解轴对称的概念;
(2)了解轴对称的性质及其应用;
(3)知道轴对称图形与轴对称的区别.
2、能力目标:
(1)通过的学习,提高学生的观察辨析图形的能力和画图能力;
(2)通过实际问题的练习,提高学生解决实际问题的能力.
3、情感目标:
(1)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;
(2)通过轴对称图形的学习,体现数学中的美,感受数学中的美.
教学重点:的概念,轴对称的性质及判定
教学难点:区分的概念
教学用具:直尺,微机
教学方法:观察实验
教学过程:
1、概念:(阅读教材,回答问题)
(1)对称轴
(2)轴对称
(3)轴对称图形
学生动手实验,说明上述概念.最后总结轴对称及轴对称图形这两个概念的区别:
轴对称涉及两个图形,是两个图形的位置关系.轴对称图形只是针对一个图形而言.
都有对称轴,如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形;如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线对称.
2、定理的获得
(投影):观察轴对称的两个图形是否为全等形
定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形
由此得出:
定理2:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
启发学生,写出此定理的逆命题,并判断是否为真命题?由此得到:
逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.
学生继续观察得到
定理3:两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.
说明:上述定理2可以看成是轴对称图形的性质定理,逆定理则是判定定理.
上述问题的获得,都是由定理1引发、变换、延伸得到的.教师应充分抓住这次机会,培养学生变式问题的研究.
2、常见的轴对称图形
图形
对称轴
点A
过点A的任意直线
直线m
直线m,m的垂线
线段AB
直线AB,线段AB的中垂线
角
角平分线所在的直线
等腰三角形
底边上的中线
3、应用
例1如图,已知:△ABC,直线MN,求作△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于MN对称.
分析:按照轴对称的概念,只要分别过A、B、C向直线MN作垂线,并将垂线段延长一倍即可得到点A、B、C关于直线MN的对称点,连结所得到的这三个点.
作法:(1)作AD⊥MN于D,延长AD至A1使A1D=AD,
得点A的对称点A1
(2)同法作点B、C关于MN的对称点B1、、C1
(3)顺次连结A1、B1、C1
∴△A1B1C1即为所求
例2如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD,
且AC=BD,若A到河岸CD的中点的距离为500cm.问:
(1)牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短?
(2)最短路程是多少?
解:问题可转化为已知直线CD和CD同侧两点A、B,
在CD上作一点M,使AM+BM最小,
先作点A关于CD的对称点A1,
再连结A1B,交CD于点M,
则点M为所求的点.
证明:(1)在CD上任取一点M1,连结A1M1、AM1
BM1、AM
∵直线CD是A、A1的对称轴,M、M1在CD上
∴AM=A1M,AM1=A1M1
∴AM+BM=AM1+BM=A1B
在△A1M1B中
∵A1M1+BM1>AM+BN即AM+BM最小
(2)由(1)可得AM=AM1,A1C=AC=BD
∴△A1CM≌△BDM
∴A1M=BM,CM=DM
即M为CD中点,且A1B=2AM
∵AM=500m
∴最简路程A1B=AM+BM=2AM=1000m
例3已知:如图,△ABC是等边三角形,延长BC至D,延长BA到E,使AE=BD,连结CE、DE
求证:CE=DE
证明:延长BD至F,使DF=BC,连结EF
∵AE=BD,△ABC为等边三角形
∴BF=BE,∠B=
∴△BEF为等边三角形
∴△BEC≌△FED
∴CE=DE
5、课堂小结:
(1)的区别和联系
区别:轴对称是说两个图形的位置关系,轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形;轴对称涉及两个图形,轴对称图形只对一个图形而言
联系:这两个定义中都涉及一条直线,都沿其折叠而能够重合;二者都具有相对性:即若把轴对称图形沿轴一分为二,则这两个图形就关于原轴成轴对称,反之,把两个成轴对称的图形全二为一,则它就是一个轴对称图形.
(2)解题方法:一是如何画关于某条直线的对称图形(找对称点)
二是关于实际应用问题“求最短路程”.
6、布置作业:
书面作业P120#6、8、9
板书设计:
探究活动
两个全等的三角板,可以拼出各种不同的图形,如图已画出其中一个三角形,请你分别补出另一个与其全等的三角形,使每个图形分成不同的轴对称图形(所画三角形可与原三角形有重叠部分)
解:
1、知识目标:
(1)使学生理解轴对称的概念;
(2)了解轴对称的性质及其应用;
(3)知道轴对称图形与轴对称的区别.
2、能力目标:
(1)通过轴对称和轴对称图形的学习,提高学生的观察辨析图形的能力和画图能力;
(2)通过实际问题的练习,提高学生解决实际问题的能力.
3、情感目标:
(1)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;
(2)通过轴对称图形的学习,体现数学中的美,感受数学中的美.
教学重点:轴对称和轴对称图形的概念,轴对称的性质及判定
教学难点:区分轴对称和轴对称图形的概念
教学用具:直尺,微机
教学方法:观察实验
教学过程:
1、概念:(阅读教材,回答问题)
(1)对称轴
(2)轴对称
(3)轴对称图形
学生动手实验,说明上述概念.最后总结轴对称及轴对称图形这两个概念的区别:
轴对称涉及两个图形,是两个图形的位置关系.轴对称图形只是针对一个图形而言.
轴对称和轴对称图形都有对称轴,如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形;如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线对称.
2、定理的获得
(投影):观察轴对称的两个图形是否为全等形
定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形
由此得出:
定理2:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
启发学生,写出此定理的逆命题,并判断是否为真命题?由此得到:
逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.
学生继续观察得到
定理3:两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.
说明:上述定理2可以看成是轴对称图形的性质定理,逆定理则是判定定理.
上述问题的获得,都是由定理1引发、变换、延伸得到的.教师应充分抓住这次机会,培养学生变式问题的研究.
2、常见的轴对称图形
图形
对称轴
点A
过点A的任意直线
直线m
直线m,m的垂线
线段AB
直线AB,线段AB的中垂线
角
角平分线所在的直线
等腰三角形
底边上的中线
3、应用
例1如图,已知:△ABC,直线MN,求作△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于MN对称.
分析:按照轴对称的概念,只要分别过A、B、C向直线MN作垂线,并将垂线段延长一倍即可得到点A、B、C关于直线MN的对称点,连结所得到的这三个点.
作法:(1)作AD⊥MN于D,延长AD至A1使A1D=AD,
得点A的对称点A1
(2)同法作点B、C关于MN的对称点B1、、C1
(3)顺次连结A1、B1、C1
∴△A1B1C1即为所求
例2如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD,
且AC=BD,若A到河岸CD的中点的距离为500cm.问:
(1)牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短?
(2)最短路程是多少?
解:问题可转化为已知直线CD和CD同侧两点A、B,
在CD上作一点M,使AM+BM最小,
先作点A关于CD的对称点A1,
再连结A1B,交CD于点M,
则点M为所求的点.
证明:(1)在CD上任取一点M1,连结A1M1、AM1
BM1、AM
∵直线CD是A、A1的对称轴,M、M1在CD上
∴AM=A1M,AM1=A1M1
∴AM+BM=AM1+BM=A1B
在△A1M1B中
∵A1M1+BM1>AM+BN即AM+BM最小
(2)由(1)可得AM=AM1,A1C=AC=BD
∴△A1CM≌△BDM
∴A1M=BM,CM=DM
即M为CD中点,且A1B=2AM
∵AM=500m
∴最简路程A1B=AM+BM=2AM=1000m
例3已知:如图,△ABC是等边三角形,延长BC至D,延长BA到E,使AE=BD,连结CE、DE
求证:CE=DE
证明:延长BD至F,使DF=BC,连结EF
∵AE=BD,△ABC为等边三角形
∴BF=BE,∠B=
∴△BEF为等边三角形
∴△BEC≌△FED
∴CE=DE
5、课堂小结:
(1)轴对称和轴对称图形的区别和联系
区别:轴对称是说两个图形的位置关系,轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形;轴对称涉及两个图形,轴对称图形只对一个图形而言
联系:这两个定义中都涉及一条直线,都沿其折叠而能够重合;二者都具有相对性:即若把轴对称图形沿轴一分为二,则这两个图形就关于原轴成轴对称,反之,把两个成轴对称的图形全二为一,则它就是一个轴对称图形.
(2)解题方法:一是如何画关于某条直线的对称图形(找对称点)
二是关于实际应用问题“求最短路程”.
6、布置作业:
书面作业P120#6、8、9
板书设计:
探究活动
两个全等的三角板,可以拼出各种不同的图形,如图已画出其中一个三角形,请你分别补出另一个与其全等的三角形,使每个图形分成不同的轴对称图形(所画三角形可与原三角形有重叠部分)
解:
教学目标:
1、经历对生活中全等图形拼成的图案进行观察、分析、欣赏等过程,感受几何构图的优美,增强审美的意识.
2、认识全等图形在现实生活中的应用,能利用全等图形进行一定的图案设计.
教学重难点:
实际操作的能力与设计拼排图案意识的养成是重点,同时设计出美丽图案的能力的培养是难点.
教学用具:
剪刀、纸等操需用具.
教学过程:
1.展示一些有趣的图形和图案,引起学生对于本节课程的兴趣.
在生活中,我们经常看到由全等图形拼成的美丽图案.例如在给定的三角形上,画出小鱼形状的图形,利用它就可以拼成下面这个美丽的图案.
2、根据课本中的图形设计出相应的图案:
充分让学生有展示的机会,让学生动手试一试.
3、学生根据课本中的做一做,自己设计一个有趣的图案.
从正方形出发,按下面步骤设计图案.你想自己设计这样的图案吗?下面就让我们来试一试.
按上述步骤,你得到一个“箭头”了吗?剪出若干个同样的“箭头”,拼出一个美丽的图案.2你能从菱形出发,设计出一个漂亮的图案吗?与同伴进行交流.
小结:
本节课我们利用全等图形设计了一些美丽的图案.
作业:
学生课后利用全等图形设计图案作品.
教后记:
本节课让学生有充分动手的能力,大部分同学都能参与到其中的活动中来,激发了学生学习数学的兴趣.
教学目标:
1、经历探索简单图形轴对称性的过程,进一步体会轴对称的特征,发展空间观念
2、探索并了解角的平分线、线段垂直平分线的有关性质.
教学重点:
1、角、线段是轴对称图形
2、角的平分线、线段垂直平分线的有关性质
教学难点:角的平分线、线段垂直平分线的有关性质
准备活动:准备一个三角形、一张画好一条线段的纸张
教学过程:
先复习轴对称图形的知识,提问:角是不是轴对称图形呢?如果是,它的对称轴在哪里?引起学生思考并通过动手操作,寻找答案.
一、探索活动
教师示范:(按以下步骤折纸)
1、在准备好的三角形的每个顶点上标好字母;a、b、c.把角a对折,使得这个角的两边重合.
2、在折痕(即平分线)上任意找一点c,
3、过点c折oa边的垂线,得到新的折痕cd,其中,点d是折痕与oa的交点,即垂足.
4、将纸打开,新的折痕与ob边交点为e.
教师要引导学生思考:我们现在观察到的只是角的一部分.注意角的概念.
学生通过思考应该大部分都能明白角是轴对称图形这个结论.
问题2:在上述的操作过程中,你发现了哪些相等的线段?说明你的理由,在角平分线上在另找一点试一试.是否也有同样的发现?
学生应该很快就找到相等的线段.
下面用我们学过的知识证明发现:
如图,已知ao平分∠bac,oe⊥ab,od⊥ac.求证:oe=od.
巩固练习:在rt△abc中,bd是角平分线,de⊥ab,垂足为e,de与dc相等吗?为什么?
(1)如图,oc是∠aob的平分线,点p在oc上,po⊥oa,pe⊥ob,垂足分别是d、e,pd=4cm,则pe=__________cm.
(2)如图,在△abc中,,∠c=90°,ad平分∠bac交bc于d,点d到ab的距离为5cm,则cd=_____cm.
内容二:线段是轴对称图形吗?
做一做:按下面步骤做:
1、用准备的线段ab,对折ab,使得点a、b重合,折痕与ab的交点为o.
2、在折痕上任取一点c,沿ca将纸折叠;
3、把纸展开,得到折痕ca和cb.
观察自己手中的图形,回答下列问题:
(1)co与ab有什么样的位置关系?
(2)ao与ob相等吗?ca与cb呢?能说明你的理由吗?
在折痕上另取一点,再试一试,你又有什么发现?
学生会得到下面的结论:
(1)线段是轴对称图形.
(2)它的对称轴垂直于这条线段并且平分它.
(3)对称轴上的点到这条线段的距离相等.
应用:
(1)如图,ab是△abc的一条边,,de是ab的垂直平分线,垂足为e,并交bc于点d,已知ab=8cm,bd=6cm,那么ea=________,da=____.
(2)如图,在△abc中,ab=ac=16cm,ab的垂直平分线交ac于d,如果bc=10cm,那么△bcd的周长是_______cm.
小结:
(1)角是轴对称图形.
(2)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
(3)线段是轴对称图形.
(4)垂直并且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.简称中垂线.
(5)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等.
作业:课本p193习题7.2:1、2、3.
教学后记:
学生对这节课的内容比较难掌握,特别是对于“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”这个性质,一时难于理解.的部分原因是学生忘记了点但直线的距离是什么一回事.而对于中垂线的理解较好.基本上能找到当中相等的线段,并且用学过的知识予以证明.内容较多,容量较大.课后还要加强理解和练习.
教学目标:
1.在丰富的现实情境中,经历观察生活中的轴对称现象、探索轴对称现象共同特征等活动,进一步发展空间观念.
2.通过丰富的生活实例认识轴对称,能够识别简单的轴对称图形及其对称轴.
3.欣赏现实生活中的轴对称图形,体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它的丰富文化价值.
教学重点:通过实例理解轴对称的概念.
教学难点:通过观察、折纸、图形欣赏、印墨汁等数字活动过程,提高空间观念.
教学准备:宣纸、墨水、剪刀、生活中的一些轴对称图形(如:剪纸、图片等)、常见几何图形、多媒体.
教学过程设计:
一、创设情境,激发兴趣
1.欣赏生活中的轴对称现象.
在生活中,许多事物与图形紧密联系在一起,今天老师给大家带来一些生活中的图案,首先请大家来欣赏.(多媒体显示)
2.这些美丽的图形来自生活.认真观察这些图形有什么共同特征?用自己的语言来描述.
学生从图形中抽象出它们的共同特征.
3.举出几个生活中具有对称特征的物体,并与同伴交流.
4.你能将图中的窗花沿某条直线对折,使直线两旁的部分完全重合吗?
5.通过动手实验,你发现这些对称图形有什么共同特征?用自己的语言说一说.
6.出示课题.
二、动手操作,相互交流
1.做“扎纸”活动
(1)动手实践
将一张纸对折后,用一根大头针在纸上任意扎出一个图案,将纸打开后铺平,观察、欣赏各自所得到的图案.
(2)观察探究,相互交流
观察图案,位于折痕两侧的部分有什么关系?与同伴进行交流.
2.定义展示
3.练一练
4.做“印墨迹”实验
(1)动手实践
取一张质地较软、吸水性能好的纸,在纸的一侧滴一滴墨水,将纸迅速对折、压平,并用手指压出清晰的折痕,再将纸打开后铺平,观察所得到的图案.
(2)观察探究,相互交流
位于折痕两侧的墨水迹图案彼此之间有什么关系?与同伴交流.
三、观察图案,获取发现
1.向学生展示几组图案.如:、两个“囍”字,两只小脚丫等,请同学们仔细观察.
2.观察每组图案,你发现了什么?与同伴讨论交流.
四、巩固应用
1.从优美的风景画中寻找成轴对称的图形.
2.辨别熟悉的几何图形是否轴对称图形?
3.国旗是一个国家的象征.向学生展示几幅国旗,请学生观察是否轴对称图形并找出对称轴.
六、课堂小结
今天这节课你有什么收获?
七、课外延伸,激发求知欲望
这节课我们认识了生活中许多轴对称图形,它们体现出来的是一种对称美,但它们对称的形状不仅是为了美观,还有一定的科学道理,你们知道吗?
如:闹钟的对称保证了走时的均匀性;
飞机的对称使飞机能在空中保持平衡;
人的眼睛的对称使人观看物体能够更加准确、全面;
双耳的对称能使听到的声音具有较强的立体感;
这节课我们探讨了生活中的轴对称现象,在生活中,还存在各式各样的图形,数学就在我们身边,同学们要做个有心人,认真观察,去感受生活,相信你会有更大的发现!
八、自我创作,发展思维
刚才,我们通过“扎纸”、“印墨迹”的方法,得到轴对称图形,想不想自己创作一个轴对称图形来?
请采用任意一种方式(扎纸、印墨迹、剪纸等)自己设计一个具有特色的轴对称图形来.
教学目标:
探索轴对称的基本性质,理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质.
教学重点:
理解“对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等”的性质.
教学难点:运用对称轴的性质.
准备活动:
将一张矩形纸对折,然后用笔尖扎出“14”这个数字,将纸打开后铺平.
教学过程:
一、探索练习
把自己用笔尖扎出“14”这个数字,将纸打开后铺平.
(1)图中的两个“14”有什么关系?
(2)在扎字中找出两组对应点,并连接,你连接的线段与对称轴有什么关系?
(3)在扎字中找出两组对应线段,对应线段是什么关系?
(4)在扎字中找出两组对应角,对应角是什么关系?
轴对称的性质:(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分;
(2)对应线段相等,对应角相等
二、巩固练习:
1、对下列的对称轴图形找出一组对应点、对应线段、对应角.
3、用一个圆、一个正三角形、一条线段设计一个轴对称图案,并说明你要表达的含义.
小结:
要理解“对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等”的性质,并能灵活运用它.
作业:
课本p199习题:1,2.
教学后记:
能理解“对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等”的性质,但不能很好地运用它.
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