多项式的乘法初中教案精选

按照学校要求，初中老师都需要用到教案，做好教案有利于教学活动的开展，每一位初中老师都要慎重考虑教案的设计，好的初中教案都有哪些内容？可以看看本站收集的《多项式的乘法初中教案精选》，希望能够为您提供参考。

教学建议

一、知识结构

二、重点、难点分析

本节教学的重点是利用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab熟练地计算．难点是理解并掌握公式．本节内容是进一步学习乘法公式及后续知识的基础．

1．多项式乘法法则，是多次运用单项式与多项式相乘的法则得到的．计算时，先把看成一个单项式，是一个多项式，运用单项式与多项式相乘的法则，得到

然后再次运用单项式与多项式相乘的法则，得到：

2．含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一字母的二次三项式，它的二次项由两个因式中的一次项相乘得到；积的一次项是由两个因式中的常数基分别乘以两个因式中的一次项后，合并同类项得到；积的常数项等于两个因式中常数项的积．如果因式中一次项的系数都是1，那么积的二次项系数也是1，积的一次项系数等于两个因式中的常数项的和，这就是说，如果用、分别表示一个含有系数是1的相同字母的两个一次二项式中的常数项，则有

3．在进行两个多项式相乘、直接写出结果时，注意不要“漏项”．检查的办法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应是这两个多基同甘共苦的积．如积的项数应是，即六项：

当然，如有同类项则应合并，得出最简结果．

4．运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏，为此，相乘时，要按一定的顺序进行．例如，，可先用第一个多项式中的第一项“”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式中的第二项“”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加，即．

5．多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．

6．注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”．

三、教法建议

教学时，应注意以下几点：

（1）要防止两个多项式相乘，直接写出结果时“漏项”．检查的办法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应是这两个多项式项数的积．如，

积的项数应是，即四项当然，如有同类项，则应合并同类项，得出最简结果．

（2）要不失时机地指出：多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号．

（3）例2的第（1）小题是乘法的平方差公式，例2的第（2）小题是两数和的完全平方公式．实际上任何乘法公式都是直接用多项式乘法计算出来的．然后，我们把这种特殊形式的乘法连同它的结果作为公式．这里只是为后面学习乘法公式作准备，不必提它们是乘法公式，分散学生的注意力．当然，在讲解这个1题时，要讲清它们在合并同类项前的项数．

（4）例3是另一种形式的，要讲清楚两个因式的特点，积与两个因式的关系．总之，要讲清楚这种特殊形式的两个多项式相乘的规律，使学生在计算这种类型的题目时，能够迅速地求得结果．如对于练习第1题中的

，

等等，能够直接写出结果．

教学设计示例

一、教学目标

1．理解和掌握单项式与多项式乘法法则及其推导过程．

2．熟练运用法则进行单项式与计算．

3．通过用文字概括法则，提高学生数学表达能力．

4．通过反馈练习，培养学生计算能力和综合运用知识的能力．

5．渗透公式恒等变形的和谐美、简洁美．

二、学法引导

1．教学方法：讨论法、讲练结合法．

2．学生学法：本节主要学习了法则和一个特殊的二项式乘法公式，在学习时应注意分析和比较这一法则和公式的关系，事实上它们是一般与特殊的关系．当遇到多项式乘法时，首先要看它是不是的形式，若是则可以用公式直接写出结果，若不是再应用法则计算．

三、重点、难点及解决办法

（一）重点

多项式乘法法则．

（二）难点

利用单项式与多项式相乘的法则推导本节法则．

（三）解决办法

在用面积法推导多项式与多项式乘法法则过程中，应让学生充分理解多项式乘法法则的几何意义，这样既便于学生理解记忆公式，又能让学生在解题过程中准确地使用．

四、课时安排

一课时．

五、教具学具准备

投影仪或电脑、自制胶片、长方形演示纸板．

六、师生互动活动设计

1．设计一组练习，以检查学生单项式乘以多项式的掌握情况．

2．尝试从多角度理解多项式与多项式乘法：

（1）把看成一单项式时，

．

（2）把看成一单项式时，

．

（3）利用面积法

3．在理解上述过程的基础之上，引导学生归纳并指出多项式乘法的规律．

4．通过举例，教师的示范，学生的尝试练习，不断巩固新学的知识．对于遇到的特殊二项式相乘可利用特殊的公式加以解决，并注意一般与特殊的关系．

七、教学步骤

（一）明确目标

本节课将学习多项式与多项式相乘的乘法法则及其特殊形式的公式的应用．

（二）整体感知

多项式与多项式的相乘关键在于展开式中的四项是如何得到的，这里教师应注重引导学生细心观察、品味法则的规律性，实质就在于让一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项遍乘既不能漏又不能重复．对特殊的多项式相乘可运用特殊的办法去处理

（三）教学过程

1．创设情境，复习导入

（1）回忆单项式与法则.

（2）计算：

①②

③④

学生活动：学生在练习本上完成，然后回答结果．

【教法说明】多项式乘法是以单项式乘法和单项式与多项式相乘为基础的，通过复习引起学生回忆，为本节学习提供铺垫和思想基础．

2．探索新知，讲授新课

今天，我们在以前学习的基础上，学习．

就是形如的计算．

这里都表示单项式，因此表示多项式相乘，那么如何对进行计算呢？若把看成一个单项式，能否利用单项式与多项式相乘的法则计算呢？请同桌同学互相讨论，并试着进行计算．

学生活动：同桌讨论，并试着计算（教师适当引导），学生回答结论．

【教法说明】多项式乘法法则，是两次运用单项式与多项式相乘的法则得到的．这里的关键在于让学生理解，将看成一个单项式，然后运用单项式与多项式相乘的法则进行计算，让学生讨论并试着计算，目的是培养学生分析问题、解决问题的能力，鼓励学生积极探索知识、善于发现规律、主动参与学习．

3．总结规律，揭示法则

对于的计算过程可以表示为：

教师引导学生用文字表述多项式乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的第一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

如计算：看成公式中的；－1看成公式中的；看成公式中的；3看成公式中的．运用法则中的每一项分别去乘中的每一项，计算可得：．

学生活动：在教师引导下细心观察、品味法则．

【教法说明】借助算式图，指出的得出过程，实质就是用一个多项式的“每一项”乘另一个多项式的“每一项”，再把所得积相加的过程．可以达到两个目的：一是直观揭示法则，有利于学生理解；二是防止学生出现运用法则进行计算时“漏项”的错误，强调法则，加深理解，同时明确多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号．

这个法则还可利用一个图形明显地表示出来．

（1）这个长方形的面积用代数式表示为_____________．

（2）Ⅰ的面积为________；Ⅱ的面积为________；Ⅲ的面积为________；Ⅳ的面积为_______．

结论：即．

学生活动：随着教师的演示，边思考，边回答问题．

【教法说明】利用图形的直观性，使学生进一步理解、掌握这一法则，渗透数形结合的思想，培养学生观察、分析图形的能力．

4．运用知识，尝试解题

例1计算：

（1）（2）

（3）

解：（1）原式

（2）原式

（3）原式

【教法说明】例1的目的是熟悉、理解法则．完成例1时，要求学生紧扣法则，按法则的文字叙发“一步步”解题，注意最后要合并同类项．让学生参与例题的解答，旨在强化学生的参与意识，使其主动思考．

例2计算：

（1）（2）

学生活动：在教师引导下，说出解题过程．

解：（1）原式

（2）原式

【教法说明】例2的两个小题是后面要讲到的乘法公式，但目前仍按多项式乘法法则计算，无需说明它们是乘法公式，此题的目的在于为后面的学习做准备．

5．强化训练，巩固知识

（1）计算：

①②

③④

⑤⑥

（2）计算：

①②

③④

⑤⑥

⑦⑧

学生活动：学生在练习本上完成．

【教法说明】本组练习的目的是：①使学生进一步理解法则，熟练运用法则进行计算．②训练学生计算的准确性，培养计算能力．③对乘法公式先有一个模糊印象，为以后的学习打下基础．

（四）总结、扩展

这节课我们学习了多项式乘法法则，请同学们回答问题：

1．叙述多项式乘法法则．

2．谈谈这节课你的学习体会．

学生活动：学生分别回答上述问题．

【教法说明】通过让学生自己谈学习体会，既可以达到总结归纳本节知识的目的，形成完整印象，又可以提高学生的总结概括能力．

八、布置作业

P120A组1．（1）（3）（5）（7），2．（2）（3），3．（1）（3）（8）．

参考答案

1．（1）原式

（3）原式

（5）原式

（7）原式

2．（2）原式

（3）原式

3．（1）原式

（3）原式

（8）原式

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单项式与多项式相乘

教学建议

一、知识结构

二、重点、难点分析

本节教学的重点是掌握的法则．难点是正确、迅速地进行的计算．本节知识是进一步学习多项式乘法，以及乘法公式等后续知识的基础。

1．，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即

其中，可以表示一个数、一个字母，也可以是一个代数式．

2．利用法则进行单项式和多项式运算时要注意：

（1）多项式每一项都包括前面的符号，例如中的多项式，共有两项，就是．运用法则计算时，一定要强调积的符号．

（2）单项式必须和多项式中的每一项相乘，不能漏乘多项式中的任何一项．因此，的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．

（3）对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意：运算结果如有同类项要合并，从而得出最简结果．

3﹒根据去括号法则和多项式中每一项包含它前面的符号，来确定乘积每一项的符号；

4﹒非零单项式乘以不含同类项的多项式，乘积仍然是多项式；积的项数与所乘多项式的项数相等；

5﹒对于含有乘方、乘法、加减法的混合运算的题目，要注意运算顺序；也要注意合并同类项，得出最简结果．

三、教法建议

1．的基本依据是乘法分配律，故在本课开始先讲述乘法分配律，由有理数过渡到字母．

2．由乘法分配律过渡到单项乘多项式的法则时，也可以采用以下代换的方法，如计算：(-4x2)·(2x2+3x-1)．

设m=-4x2，a=2x2，b=3x，c=-1，

∴(-4x2)·(2x2+3x-1)

=m(a+b+c)

=ma+mb+mc

=(-4x2)·2x2+(-4x2)·3x+(-4x2)·(-1)

=-8x4-12x3+4x2．

这样过渡较自然，同时也渗透了一些代换的思想．

3．，积仍是多项式，它的项数与多项式的项数相同．这是的结果，这个结果也是我们掌握法则的关键．一般说来，对于一个运算法则的掌握应从分析结果开始，分析结果的结构，分析结果与各算式的关系，这样才能较好地掌握法则．

教学设计示例

一、教学目标

1．理解和掌握单项式与多项式乘法法则及推导．

2．熟练运用法则进行单项式与多项式的乘法计算．

3．培养灵活运用知识的能力，通过用文字概括法则，提高学生数学表达能力．

4．通过反馈练习，培养学生计算能力和综合运用知识的能力．

5．渗透公式恒等变形的数学美．

二、学法引导

1．教学方法：讲授法、练习法．

2．学生学法：学习的运算法则是运用了“转化”的数学思想方法，利用分配律把单项式乘以多项式问题转化为前面学过的单项式与单项式相乘；最后再合并同

类项，故在学习中应充分利用这种方法去解题．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（一）重点

单项式与多项式乘法法则及其应用．

（二）难点

时结果的符号的确定．

（三）解决办法

复习单项式与单项式的乘法法则，并注意在解题过程中将单项式乘多项式转化为单项

式乘单项式后符号确定的问题．

四、课时安排

一课时．

五、教具学具准备

投影仪、胶片．

六、师生互动活动设计

1．设计一道可运用乘法分配律进行简便运算的题目，让学生复习乘法分配律，并为引入单项式与多项式的乘法法则打下良好的基础．

2．通过面积分割法，形象直观地引入单项式与多项式的乘法法则，并引导学生用文字语言概括出其结论．

3．通过举例，教师分析、讲解并示范板书全过程，让学生规范解题过程，再通过反复的练习巩固所学过的法则．

七、教学步骤

（一）明确目标

本节课重点学习单项式与多项式的乘法法则及其应用．

（二）整体感知

单项式乘以多项式的乘法运算主要是将它转化为单项式与单项式的乘法运算，放首先应适当复习并掌握单项式与单项式的乘法运算方法，再在计算过程中注意后的符号问题．

（三）教学过程

1．复习导入

复习：（1）叙述单项式乘法法则．

（单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.）

（２）什么叫多项式？说出多项式的项和各项系数.

2．探索新知，讲授新课

简便计算：

引申：计算，基中m、a、b、c都是单项式，因为式中字母都表示数，故分配律对代数式也适用，则

引导学生用学过的长方形面积知识加以验证，把宽为m，长分别是a、b、c的三个小长方形拼成大长方形，研究图形面积的整体与部分关系．

由该等式，你能说出的法则吗？单项式与多项式乘法法则：单项式

与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

例1计算：

（1）（2）

说明：计算按课本，讲解时，要紧扣法则：①用单项式遍乘多项式的各项，不要漏乘．②要注意符号，多项式的每一项包括它前面的符号．③“把所得积相加”时，不要忘了加上加号．

例2化简：

化简按课本，化街时直接写成省略加号的代数和，注意正确表达，做完乘法后，要合并同类项．

练习：错例辨析

（1）

（2）

（2）错在单项式与多项式的每一项相乘之后没有添上加号，故正确答案为

（四）总结、扩展

1．由学生叙述法则，并回答积仍是多项式，积的项数与多项式因式的项数相同．

2．考点剖析：单项式乘以多项式这一知识点在中考试卷中都是以与其他知识综合命题的形式考查的．但它是多项式乘法、因式分解、分式通分、解分式方程等知识的重要基础．故必须掌握好．如

（99，河北）下列运算中，不正确的为（）

A．B．

C．D．

八、布置作业

P112A组1．（2）（4）（6）（8），2，3．（2）

参考答案：

略

单项式的乘法

教学目标：

1．使学生理解并掌握单项式的乘法法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算；

2．注意培养学生归纳、概括能力，以及运算能力．

教学重点和难点：

准确、迅速地进行单项式的乘法运算．

课堂教学过程设计

一、从学生原有认知结构提出问题

1．下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是什么？

2．下列代数式中，哪些是单项式？哪些不是？

3．利用乘法的交换律、结合律计算6×4×13×25．

4．前面学习了哪三种幂的运算性质？内容是什么？

二、讲授新课

1．引导学生得出单项式的乘法法则

利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质，计算下列单项式乘以单项式：

（1）2x2y•3xy2

＝(2×3)(x2•x)(y•y2)

＝6x3y3；

(利用乘法交换律、结合律将系数与系数，相同字母分别结合，有理数的乘法、同底数幂的乘法)

（2）4a2x5•(－3a3bx)

＝[4×(－3)](a2•a3)•b•(x5•x)

＝－12a5bx6．

(b只在一个单项式中出现，这个字母及其指数照抄)

学生练习，教师巡视，然后由学生总结出单项式的乘法法则：

单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

2．引导学生剖析法则

（1）法则实际分为三点：①系数相乘——有理数的乘法；②相同字母相乘——同底数幂的乘法；③只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式．

（2）不论几个单项式相乘，都可以用这个法则．

（3）单项式相乘的结果仍是单项式．

三、应用举例变式练习

例1计算：

（1）(－5a2b3)(－3a)；（2）(2x)3(－5x2y)；

（3）(－3ab)(－a2c)2•6ab(c2)3．

解：（1）(－5a2b3)(－3a)

＝[(－5)(－3)](a2•a)•b3

＝15a3b3；

（2）(2x)3(－5x2y)

＝8x3•(－5x2y)

＝[8×(－5)](x3•x2)•y

＝－40x5y；

（3）(－3ab)(－a2c)2•6ab(c2)3

＝(－3ab)•a4c2•6abc6

＝[(－3)×6]a6b2c8

＝－18a6b2c8．

第（1）小题由学生口答，教师板演；第（2），（3），（4）小题由学生板演，根据学生板演情况，教师提醒学生注意：先做乘方，再做单项式相乘，中间过程要详细写出，待熟练后才可省略．

课堂练习

1．计算：

（1）3x5•5x3；（2）4y•(－2xy3)；（3）(3x2y)3•(－4xy2)；

（4）(－xy2z3)4•(－x2y)3；（5）(－6an＋2)•3anb；（6）6abn•(－5an＋1b2)．

例2光的速度每秒约为3×105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒，地球与太阳的距离约是多少千米？

解：(3×105)×(5×102)＝15×107＝1.5×108．

答：地球与太阳的距离约是1.5×108千米．

先由学生讨论解题的方法，然后由教师根据学生的回答板书．

课堂练习

一种电子计算机每秒可作108次运算，它工作5×102秒可作多少次运算？

四、小结

1．单项式的乘法法则可分为三点，在解题中要灵活应用．

2．在运算中要注意运算顺序．

教后记：

单项式除以单项式初中教案精选

教学建议

知识结构

重难点分析

本节的重点是的法则与应用.本章的重点是整式的乘除，作为整式除法内容中不可或缺重要组成部分，起着承上启下的作用，它既是同底数幂除法性质的延伸，又是多项式除以单项式的基础和关键，因此本节的重点是的法则与应用.

的运算是本节的难点.在的计算过程中，既要对两个单项式的系数进行运算，又要对两个单项式中同字母进行指数运算，同时对只在一个单项式中出现的字母及其指数加以注意，这对于刚刚接触整式除法的初一学生来讲，难免会出现照看不全的情况，以至于出现计算错误或漏算等问题.

教法建议

（1）运算的实质是把的运算转化为同底数幂除法运算，因此建议在学习本课知识之前对同底数幂除法运算进行复习巩固.

（2）要熟练地进行的运算，必须掌握它的基本运算，幂的运算性质是整式乘除法的基础，只要抓住这关键的一步，才能准确地进行的运算.

（3）符号仍是运算中的重要问题，用单项式以单项式时，要注意单项式的符号和只在被除式中出现的字母及其指数.

教学设计示例

一、教学目标

1．理解和掌握的运算法则．

2．运用的运算法则，熟练、准确地进行计算．

3．通过总结法则，培养学生的抽象概括能力．

4．通过法则的应用，训练学生的综合解题能力和计算能力．

二、教法引导

尝试指导法、观察法、练习法．

三、重点难点

重点准确、熟练地运用法则进行计算．

难点根据乘、除的运算关系得出法则．

四、课时安排

1课时.

五、教具

投影仪或电脑、自制胶片.

六、教学步骤

（一）教学过程

1．创设情境，复习导入

前面我们学习了同底数幂的除法，请同学们回答如下问题，看哪位同学回答很快而且准确．

（l）叙述同底数幂的除法性质．

（2）计算：（1）（2）（3）（4）

学生活动：学生回答上述问题．

（，m，n都是正整数，且m＞n）

【教法说明】通过复习引起学生回忆，且巩固同底数幂的除法性质．同时为本节的学习打下基础，注意要指出零指数幂的意义．

2．指出问题，引出新知

思考问题：（）（学生回答结果）

这个问题就是让我们去求一个单项式，使它与相乘，积为，这个过程能列出一个算式吗？

由一个学生回答，教师板书．

这就是我们这节课要学习的运算．

师生活动：因为

所以（在上述板书过程中填上所缺的项）

由得到，系数4和3同底数幂、a及、分别是怎样计算的？（一个学生回答）那么由得到又是怎样计算的呢？

结合引例，教师引导学生回答，并对学生的回答进行肯定、否定、纠正，同时板书．

一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

如何运用呢？比如计算：

学生活动：在教师引导下，根据法则回答问题．（教师板书）

【教法说明】教师根据乘、除法的运算关系，步步深入，引导学生总结得出的运算法则，教师给出，紧扣计算法则，在师生互动活动中，要充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，调动学生的思维．

3．尝试计算，熟悉法则

计算：（1）（2）

（3）（4）

学生活动：学生自己尝试完成计算题，同桌互相帮助，然后与课本146页例题解答过程相对照，看自己的解答有无问题，若有问题进行改正．

【教法说明】教师结合的演算，使学生对法则的运用有了初步认识；例题由学生尝试完成，可以训练学生运用知识的能力，在解题的过程中，让学生自己去体会法则、掌握法则、印象更为深刻；也让学生自己发现解题中存在的问题，有助于培养学生良好的思维习惯和主动参与学习的习惯．

4．强化学习，掌握法则

练习一

下列计算是否正确？如果不正确，指出错误原因并加以改正

（1）（2）

（3）（4）

学生活动：学生细心观察思考后，分别找4个学生回答，其他学生对他们的回答进行肯定、否定或纠正．

【教法说明】（1）、（2）、（3）小题中的错误，均是学生在计算时常出现的错误，通过这组题的练习，可以使学生进一步巩固、理解法则对可能出现的计算错误引起注意，从而培养学生解题细心的习惯；除此之外，还可以培养学生辨别是非的能力．

练习二

计算

（1）（2）（3）

（4）（5）

学生活动：5个学生板演，其他学生在练习本上完成，然后讲评．

【教法说明】此题目的是使学生熟练运用法则进行计算，要求写清计算步骤，讲评时重复法则，并纠正学生计算中出现的错误，教师提醒学生计算时要耐心细致．

练习三

计算：

（1）（2）（3）

（4）（5）

学生活动：学生在练习本上完成，5名学生板演，然后学生自评．

【教法说明】通过练习二，学生对法则已基本能够熟练运用，对一些容易出现的错误，也得到了纠正．适时给出练习三，可以使学生对知识的掌握得到强化，学生自评可以调动学生主动参与学习的积极性，培养他们的主人翁意识．

练习四

把图中左圈里的每一个代数式分别除以，然后把商式写在右图里．

学生活动：学生理解题意后，分别由3个学生说出答案，其他学生给予判断．

【教法说明】此题目的是使学生在进一步运用法则进行熟练计算的同时，渗透集合与对应的思想，但教师不必说明．

（二）小结

由学生完成本节课的归纳与总结，教师给予引导或补充．

【教法说明】课堂小结由学生来完成，这样既可以训练学生的归纳总结能力及口头表达能力，又可使学生对本节课的内容留下深刻的印象．

七、布置作业

（一）必做题：P148A组1．（3）（6），2．

二次三项式的因式分解初中教案精选

一、教学目标

1．使学生理解二次三项式的意义；知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的关系；

2．使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式；

3．通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力；

4．通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步向学生渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般；

5．通过利用一元二次方程根的知识来分解因式，渗透知识间是普遍联系的数学美。

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解。

2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系。

3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。

4．解决办法：二次三项式能分解因式

二次三项式不能分解

二次三项式分解成完全平方式

三、教学步骤

（一）教学过程

1．复习提问

（1）写出关于x的二次三项式？

（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解。

①；②；③。

由③感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题。

2．新知讲解

（1）引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系。

①；

解：原式变形为。

∴，

②；

解原方程可变为

观察以上各例，可以看出1，2是方程的两个根，而，……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式。

（2）推导出公式

设方程的两个根为，那么，

∴

这就是说，在分解二次三项式的因式时，可先用公式求出方程的两个根，然后写成

教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊。

（3）公式的应用

例1把分解因式

解：∵方程的根是

教师板书，学生回答。

由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的，目的是化简①。

练习：将下列各式在实数范围因式分解。

（1）；（2）

学生板书、笔答，评价。

例2用两种方程把分解因式。

方法一，解：

方法二，解：，

方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法。

练习：将下列各式因式分解。

学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：

（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程，可变形为；但将二次三项式分解因式时，就不能将变形为。

例如用求根公式求得的两个根是后，得出这就错了，这是因为丢掉了系数2。

（2）还要注意符号方面的错误，比如下面的例子如果写成也是错误的。

（3）一元二次方程当时，方程有两个实根。当时，方程无实根。这就决定了：当时，二次三项式在实数范围内可以分解；当时，二次三项式在实数范围内不可以分解。

（二）总结、扩展

1．用公式法将二次三项式因式分解的步骤是先求出方程的两个根，再将写成形式。

2．二次三项式因式分解的条件是：当，二次三项式在实数范围内可以分解；时，二次三项式在实数范围内不可以分解。

3．通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律。

四、布置作业

教材P38A1，2。

五、板书设计

经典初中教案二次根式的乘法

教学建议

知识结构：

重点难点分析：

本节的教学重点是利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.积的算术平方根的性质是本节的中心内容，化简和运算都是围绕其进行的，而运用此性质计算化简又是二次根式的化简和混合运算的基础.二次根式的计算和化简通常与如勾股定理等几何方面的知识综合在一起.

本节难点是与积的算术平方根的关系及应用.积的算术平方根在应用时既要强调这部分题目中的字母为正数，但又要注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识.要让学生认识到积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的关系。综合应用性质或乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.

教法建议：

1.由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，因此要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要逐步有序的展开.在讲解时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系。

2.积的算术平方根的性质和（）及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算一组具体的式子，引导他们做出一般的结论。由于归纳是通过对一些个别的、特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论，这种思维过程对于初中学生认识、研究和发现事物的规律有着重要的作用，所以在教学中对于培养的思维品质有着重要的作用。

教学设计示例

(一)

一、教学目标

1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．

2．会进行简单的运算．

3．使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题．

4．使学生了解比较二次根式的大小的方法．

二、教学重点和难点

1．重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的运算．

2．难点：与积的算术平方根的关系及应用．

三、教学方法

从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法．

四、教学手段

利用投影仪．

五、教学过程

(一)引入新课

观察下面的例子：

于是可得到：

又如：

类似地可以得到：

(二)新课

积的算术平方根．

由前面所举特殊的例子，引导学生总结出：一般地，有(a≥0，b≥0)．

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．

要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a≥0、b≥0．在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积．

根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．

例1把下面各数分解因数：

(1)20；(2)42；(3)63；(4)128．

说明：通过本题复习分解因数，为利用积的算术平方根公式化简二次根式打下基础．

解：略．

例2化简：

（1）（2）

（3）（4）

分析：本题需要用积的算术平方根公式进行化简，题目中的被开方数都是具体数字，学生便于理解，在讲完例2后可以总结化简的方法．

解：（1）

（2）

（3）

（4）

说明：①(a≥0，b≥0)可以推广为(a≥0，b≥0，c≥0)．

②这个小题与本章章头图与章序言的内容有联系，解答了章序言中提出的一个问题．

③(4)小题要首先用平方差公式分解成积的形式，才可以用积的算术平方根公式进行化简．

④通过例2可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简．

通过例2，我们根据算术平方根的定义，可得出：，，等结果，于是可以总结出：一般地，有

（a≥0）

关于a＜0时，，这种情况将在本章最后一小节专门研究.

例3化简：

（1）；（2）

分析：由例3，让学生注意，在本章中，未加特别说明时，字母一般表示正数，但在实际问题中不一定非是正数不可，如第(1)小题，a可以是负数，根据学生实际情况，可适当引导学生展开小组的讨论，渗透分类讨论的思想．

解：（1）

（2）

说明：x2+y2这个式子不能再开方了，进一步强调积的算术平方根公式的特点．

例4如右图，在△ABC中，∠C=90°，4C=10cm，BC=24cm．求AB．

解：∵AB2=AC2+BC2

∴

(cm)

答：AB长26cm．

(三)小结

1．本节课讲了积的算术平方根的性质

(a≥0，b≥0)．

通过分式的应用，让学生进一步总结，为什么必须有a≥0、b≥0这个条件，而没有这个条件上述性质不成立．

问学生：当a＜0，b＜0，也有意义，为什么一定要a≥0、b≥0呢？

引导学生说出：若a＜0，b＜0，，在实数范围内没有意义.公式显然不成立．

2．利用积的算术平方根的性质，化简二次根式的方法．

3．结合几何课学习的勾股定理，提高学生解决实际问题的能力．

(四)练习

1．化简：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）;(6)；

（7）；（8）

2．计算：

（1）；（2）；

（3）；（4）

3．已知一个直角三角形的斜边c=21，一条直角边b＝4，求另一条直角边a．

六、作业

教材P．177习题11．2；A组1、2、3、4、5．

七、板书设计

一元二次方程的根的判别式初中教案精选

1.知识结构：

2.重点、难点分析

（1）本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也可以利用它进一步学习函数的有关内容，所以，它是本节课的重点.

（2）本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为.因为，所以方程右边的符号就由来确定，而方程左边的不可能是一个负数，因此，把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法，对于分类讨论学生感觉到较难，老师应该讲明分类的基本思想。

3.教法建议：

（1）引入要自然、合理

新课引入前，作一个铺垫：前面我们讲了一元二次方程的解法，我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后，就可以解任何一个一元二次方程，但是，存在这样一个问题，并不是所有的一元二次方程都有解，我们可以通过把解求出来，来解方程，也可以通过判定方程无解，来解方程，这样我们就面临着一个问题，什么时候方程有解？什么时候方程无解？我们不解方程能不能判定根的情况？那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然，也显露了本节课的重点.

（2）利用多媒体进行教学

本节是根的判别式结论的推导，比较抽象，为了便于学生理解，使用所提供的动画，有助于学生对所讲内容的理解，调动学生主动思维的积极性，活跃课堂气氛，提高学习效率.

（3）本节在推导根的判别式的结论时，利用了分类的思想，对于学生这是一个难点，一定给学生讲清楚分类的依据，分类的基本思想，使学生对所得结论深信不疑.

一、教学目标

1.理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；

2.通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力；

3．通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会转化和分类的思想方法.

二、重点·难点及解决办法

1．教学重点：会用判别式判定根的情况。

2．教学难点：一元二次方程根的三种情况的推导.

3．解决办法：（1）求判别式时，应先将方程化为一般形式，确定a、b、c。（2）利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况（共四种）；方程有两个实数根，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根。

三、教学步骤

（一）教学过程

1．复习提问

（1）平方根的性质是什么？

（2）解下列方程：①；②；③。

问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。

2．任何一个一元二次方程用配方法将其变形为，因此对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。

（1）当时，方程有两个不相等的实数根。

即

（2）当时，方程有两个相等的实数根，即。

（3）当时，方程没有实数根。

教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？

答：。

3．①定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。

②一元二次方程。

当时，有两个不相等的实数根；

当时，有两个相等的实数根；

当时，没有实数根。

反之亦然。

注意以下几个问题：

（1）这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。

（2）当，说“方程没有实数根”比较好。有时，也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。

4．例题讲解

例1不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）；（2）；（3）。

解：（1）

∴原方程有两个不相等的实数根。

（2）原方程可变形为

。

，

∴原方程有两个相等的实数根。

（3）原方程可变形为

。

∴原方程没有实数根。

学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的（2）计算的值；（3）判别根的情况。

强调两点：（1）只要能判别值的符号就行，具体数值不必计算出。（2）判别根据的情况，不必求出方程的根。

练习：不解方程，判别下列方程的情况：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）

学生板演、笔答、评价。

（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设，判别方程根的情况，由此判别原方程根的情况。

例2不解方程，判别方程的根的情况。

解：。

又∵不论k取何实数，，

∴原方程有两个实数根。

教师板书，引导学生回答。此题是含有字母系数的一元二次方程。注意字母的取值范围，从而确定的取值。

练习：不解方程，判别下列方程根的情况。

（1）；

（2）；

（3）。

学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨。

（3）解：

∵不论m取何值，，即。

∴方程无实数解。

由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值。

（二）总结、扩展

1．判别式的意义及一元二次方程根的情况。

（1）定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。

（2）一元二次方程。

当时，有两个不相等的实数根；

当时，有两个相等的实数根；

当时，没有实数根。反之亦然。

2．通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。

四、布置作业

教材P27A1～4。

5．不解方程，判断下x的方程的根的情况

（1）

（2）

五、板书设计

二次根式的乘法教案模板

教学建议

知识结构：

重点难点分析：

本节的教学重点是利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.积的算术平方根的性质是本节的中心内容，化简和运算都是围绕其进行的，而运用此性质计算化简又是二次根式的化简和混合运算的基础.二次根式的计算和化简通常与如勾股定理等几何方面的知识综合在一起.

本节难点是与积的算术平方根的关系及应用.积的算术平方根在应用时既要强调这部分题目中的字母为正数，但又要注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识.要让学生认识到积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的关系。综合应用性质或乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.

教法建议：

1.由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，因此要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要逐步有序的展开.在讲解时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系。

2.积的算术平方根的性质和（）及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算一组具体的式子，引导他们做出一般的结论。由于归纳是通过对一些个别的、特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论，这种思维过程对于初中学生认识、研究和发现事物的规律有着重要的作用，所以在教学中对于培养的思维品质有着重要的作用。

教学设计示例

(一)

一、教学目标

1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．

2．会进行简单的运算．

3．使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题．

4．使学生了解比较二次根式的大小的方法．

二、教学重点和难点

1．重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的运算．

2．难点：与积的算术平方根的关系及应用．

三、教学方法

从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法．

四、教学手段

利用投影仪．

五、教学过程

(一)引入新课

观察下面的例子：

于是可得到：

又如：

类似地可以得到：

(二)新课

积的算术平方根．

由前面所举特殊的例子，引导学生总结出：一般地，有(a≥0，b≥0)．

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．

要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a≥0、b≥0．在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积．

根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．

例1把下面各数分解因数：

(1)20；(2)42；(3)63；(4)128．

说明：通过本题复习分解因数，为利用积的算术平方根公式化简二次根式打下基础．

解：略．

例2化简：

（1）（2）

（3）（4）

分析：本题需要用积的算术平方根公式进行化简，题目中的被开方数都是具体数字，学生便于理解，在讲完例2后可以总结化简的方法．

解：（1）

（2）

（3）

（4）

说明：①(a≥0，b≥0)可以推广为(a≥0，b≥0，c≥0)．

②这个小题与本章章头图与章序言的内容有联系，解答了章序言中提出的一个问题．

③(4)小题要首先用平方差公式分解成积的形式，才可以用积的算术平方根公式进行化简．

④通过例2可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简．

通过例2，我们根据算术平方根的定义，可得出：，，等结果，于是可以总结出：一般地，有

（a≥0）

关于a＜0时，，这种情况将在本章最后一小节专门研究.

例3化简：

（1）；（2）

分析：由例3，让学生注意，在本章中，未加特别说明时，字母一般表示正数，但在实际问题中不一定非是正数不可，如第(1)小题，a可以是负数，根据学生实际情况，可适当引导学生展开小组的讨论，渗透分类讨论的思想．

解：（1）

（2）

说明：x2+y2这个式子不能再开方了，进一步强调积的算术平方根公式的特点．

例4如右图，在△ABC中，∠C=90°，4C=10cm，BC=24cm．求AB．

解：∵AB2=AC2+BC2

∴

(cm)

答：AB长26cm．

(三)小结

1．本节课讲了积的算术平方根的性质

(a≥0，b≥0)．

通过分式的应用，让学生进一步总结，为什么必须有a≥0、b≥0这个条件，而没有这个条件上述性质不成立．

问学生：当a＜0，b＜0，也有意义，为什么一定要a≥0、b≥0呢？

引导学生说出：若a＜0，b＜0，，在实数范围内没有意义.公式显然不成立．

2．利用积的算术平方根的性质，化简二次根式的方法．

3．结合几何课学习的勾股定理，提高学生解决实际问题的能力．

(四)练习

1．化简：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）;(6)；

（7）；（8）

2．计算：

（1）；（2）；

（3）；（4）

3．已知一个直角三角形的斜边c=21，一条直角边b＝4，求另一条直角边a．

六、作业

教材P．177习题11．2；A组1、2、3、4、5．

七、板书设计

经典初中教案一元二次方程的根的判别式

1.知识结构：

2.重点、难点分析

（1）本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也可以利用它进一步学习函数的有关内容，所以，它是本节课的重点.

（2）本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为.因为，所以方程右边的符号就由来确定，而方程左边的不可能是一个负数，因此，把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法，对于分类讨论学生感觉到较难，老师应该讲明分类的基本思想。

3.教法建议：

（1）引入要自然、合理

新课引入前，作一个铺垫：前面我们讲了一元二次方程的解法，我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后，就可以解任何一个一元二次方程，但是，存在这样一个问题，并不是所有的一元二次方程都有解，我们可以通过把解求出来，来解方程，也可以通过判定方程无解，来解方程，这样我们就面临着一个问题，什么时候方程有解？什么时候方程无解？我们不解方程能不能判定根的情况？那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然，也显露了本节课的重点.

（2）利用多媒体进行教学

本节是根的判别式结论的推导，比较抽象，为了便于学生理解，使用所提供的动画，有助于学生对所讲内容的理解，调动学生主动思维的积极性，活跃课堂气氛，提高学习效率.

（3）本节在推导根的判别式的结论时，利用了分类的思想，对于学生这是一个难点，一定给学生讲清楚分类的依据，分类的基本思想，使学生对所得结论深信不疑.

一、教学目标

1.理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；

2.通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力；

3．通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会转化和分类的思想方法.

二、重点·难点及解决办法

1．教学重点：会用判别式判定根的情况。

2．教学难点：一元二次方程根的三种情况的推导.

3．解决办法：（1）求判别式时，应先将方程化为一般形式，确定a、b、c。（2）利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况（共四种）；方程有两个实数根，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根。

三、教学步骤

（一）教学过程

1．复习提问

（1）平方根的性质是什么？

（2）解下列方程：①；②；③。

问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。

2．任何一个一元二次方程用配方法将其变形为，因此对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。

（1）当时，方程有两个不相等的实数根。

即

（2）当时，方程有两个相等的实数根，即。

（3）当时，方程没有实数根。

教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？

答：。

3．①定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。

②一元二次方程。

当时，有两个不相等的实数根；

当时，有两个相等的实数根；

当时，没有实数根。

反之亦然。

注意以下几个问题：

（1）这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。

（2）当，说“方程没有实数根”比较好。有时，也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。

4．例题讲解

例1不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）；（2）；（3）。

解：（1）

∴原方程有两个不相等的实数根。

（2）原方程可变形为

。

，

∴原方程有两个相等的实数根。

第12页

有理数的乘法

1.4.1有理数的乘法(2)【教学目标】1.巩固有理数乘法法则;2.探索多个有理数相乘时,积的符号的确定方法.【对话探索设计】〖探索1〗1.下列各式的积为什么是负的?(1)-2×3×4×5×6;(2)2×(-3)×4×(-5)×6×7×8×9×(-10).2.下列各式的积为什么是正的?(1)(-2)×(-3)×4×5×6×7;(2)-2×3×4×5×(-6)×7×8×(-9)×(-10).〖观察1〗p38.观察〖思考归纳〗几个不是0的数相乘,积的符号与负因数的个数之间有什么关系?(见p38.思考)与两个有理数相乘一样,几个不等于0的有理数相乘,要先确定积的符号,再确定积的绝对值〖例题学习〗p39.例3〖观察2〗p39.观察〖练习〗p39.练习〖作业〗p46.7.(1),(2)(3),8,9,10,11.〖补充练习〗1.(1)若a=3,a与2a哪个大?若a=0呢?又若a=-3呢?(2)a与2a哪个大?(3)判断:9a一定大于2a;(4)判断:9a一定不小于2a.(5)判断:9a有可能小于2a.2."几个数相乘,积的符号由负因数的个数决定"这句话错在哪里?3.若a>b,则ac>bc吗?为什么?请举例说明.4.若mn=0,那么一定有()(a)m=n=0.(b)m=0,n≠0.(c)m≠0,n=0.(d)m、n中至少有一个为0.5.利用乘法法则完成下表,你能发现什么规律?

×

3

2

1

0

-1

-2

-3

3

9

6

3

0

-3

2

6

2

2

1

3

2

1

0

-1

-2

-3

6.(1)经过调查发现,若甲商店某种彩电降价的百分率记为a,则乙商店这种彩电降价的百分率可记为-a,你认为哪家商店该彩电的降价的百分率大?为什么?(2)经过调查发现,若甲商店某种彩电降价的百分率记为a,则乙商店这种彩电降价的百分率可记为1.2a,你认为哪家商店该彩电的降价的百分率大?为什么?

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