多项式除以单项式

无论何时，教案都是我们准备教学的一种最好的方式，教案也是老师教学活动的依据，一份完整的教案有许多内容，有没有可以参考的初中教案呢？为了帮助大家，下面是由小编为大家整理的多项式除以单项式，仅供参考，欢迎大家阅读。

教学建议

知识结构

重点、难点分析

重点是的法则及其应用。，其基本方法与步骤是化归为单项式除以单项式，结果仍是多项式，其项数与原多项式的项数相同。因此的运算关键是将它转化为单项式除法的运算，再准确应用相关的运算法则。

难点是理解法则导出的根据。根据除法是乘法的逆运算可知，的运算法则的实质是把的的运算转化为单项式的除法运算。由于，故的法则也可以看做是乘法对加法的分配律的应用。

教法建议

（1）运算的实质是把的运算转化为单项式的除法运算，因此建议在学习本课知识之前对单项式的除法运算进行复习巩固。

（2）所得商的项数与这个多项式的项数相同，不要漏项。

（3）要熟练地进行的运算，必须掌握它的基本运算，幂的运算性质是整式乘除法的基础，只要抓住这关键的一步，才能准确地进行的运算。

（4）符号仍是运算中的重要问题，用多项式的每一项除以单项式时，要注意每一项的符号和单项式的符号。

教学设计示例

教学目标：

1．理解和掌握的运算法则。

2．运用的法则，熟练、准确地进行计算．

3．通过总结法则，培养学生的抽象概括能力．训练学生的综合解题能力和计算能力．

4．培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质．

重点、难点：

1．的法则及其应用．

2．理解法则导出的根据。

课时安排：

一课时．

教具学具：

投影仪、胶片．

教学过程：

1．复习导入

（l）用式子表示乘法分配律．

（2）单项式除以单项式法则是什么？

（3）计算：

①

②

③

（4）填空：

规律：，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

2．讲授新课

例1计算：

（1）（2）

解：（1）原式

（2）原式

注意：（l），商式与被除式的项数相同，不可丢项，如（l）中容易丢掉最后一项．

（2）要求学生说出式子每步变形的依据．

（3）让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对．

例2化简：

解：原式

说明：注意弄清题中运算顺序，正确运用有关法则、公式。

练习：（1）P1501，2，。

（2）错例辩析：

有两个错误：第一，丢项，被除式有三项，商式只有二项，丢了最后一项1；第二项是符号上错误，商式第一项的符号为“－”，正确答案为。

3．小结

1．的法则是什么？

2．运用该法则应注意什么？

正确地把问题转化为单项式除以单项式问题。计算不可丢项，分清“约掉”与“消掉”的区别：“约掉”对乘除法则言，不减项；“消掉”对加减法而言，减项。

4．作业

P152A组1，2。

B组1，2。

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教学建议

知识结构

重难点分析

本节的重点是的法则与应用.本章的重点是整式的乘除，作为整式除法内容中不可或缺重要组成部分，起着承上启下的作用，它既是同底数幂除法性质的延伸，又是多项式除以单项式的基础和关键，因此本节的重点是的法则与应用.

的运算是本节的难点.在的计算过程中，既要对两个单项式的系数进行运算，又要对两个单项式中同字母进行指数运算，同时对只在一个单项式中出现的字母及其指数加以注意，这对于刚刚接触整式除法的初一学生来讲，难免会出现照看不全的情况，以至于出现计算错误或漏算等问题.

教法建议

（1）运算的实质是把的运算转化为同底数幂除法运算，因此建议在学习本课知识之前对同底数幂除法运算进行复习巩固.

（2）要熟练地进行的运算，必须掌握它的基本运算，幂的运算性质是整式乘除法的基础，只要抓住这关键的一步，才能准确地进行的运算.

（3）符号仍是运算中的重要问题，用单项式以单项式时，要注意单项式的符号和只在被除式中出现的字母及其指数.

教学设计示例

一、教学目标

1．理解和掌握的运算法则．

2．运用的运算法则，熟练、准确地进行计算．

3．通过总结法则，培养学生的抽象概括能力．

4．通过法则的应用，训练学生的综合解题能力和计算能力．

二、教法引导

尝试指导法、观察法、练习法．

三、重点难点

重点准确、熟练地运用法则进行计算．

难点根据乘、除的运算关系得出法则．

四、课时安排

1课时.

五、教具

投影仪或电脑、自制胶片.

六、教学步骤

（一）教学过程

1．创设情境，复习导入

前面我们学习了同底数幂的除法，请同学们回答如下问题，看哪位同学回答很快而且准确．

（l）叙述同底数幂的除法性质．

（2）计算：（1）（2）（3）（4）

学生活动：学生回答上述问题．

（，m，n都是正整数，且m＞n）

【教法说明】通过复习引起学生回忆，且巩固同底数幂的除法性质．同时为本节的学习打下基础，注意要指出零指数幂的意义．

2．指出问题，引出新知

思考问题：（）（学生回答结果）

这个问题就是让我们去求一个单项式，使它与相乘，积为，这个过程能列出一个算式吗？

由一个学生回答，教师板书．

这就是我们这节课要学习的运算．

师生活动：因为

所以（在上述板书过程中填上所缺的项）

由得到，系数4和3同底数幂、a及、分别是怎样计算的？（一个学生回答）那么由得到又是怎样计算的呢？

结合引例，教师引导学生回答，并对学生的回答进行肯定、否定、纠正，同时板书．

一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

如何运用呢？比如计算：

学生活动：在教师引导下，根据法则回答问题．（教师板书）

【教法说明】教师根据乘、除法的运算关系，步步深入，引导学生总结得出的运算法则，教师给出，紧扣计算法则，在师生互动活动中，要充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，调动学生的思维．

3．尝试计算，熟悉法则

计算：（1）（2）

（3）（4）

学生活动：学生自己尝试完成计算题，同桌互相帮助，然后与课本146页例题解答过程相对照，看自己的解答有无问题，若有问题进行改正．

【教法说明】教师结合的演算，使学生对法则的运用有了初步认识；例题由学生尝试完成，可以训练学生运用知识的能力，在解题的过程中，让学生自己去体会法则、掌握法则、印象更为深刻；也让学生自己发现解题中存在的问题，有助于培养学生良好的思维习惯和主动参与学习的习惯．

4．强化学习，掌握法则

练习一

下列计算是否正确？如果不正确，指出错误原因并加以改正

（1）（2）

（3）（4）

学生活动：学生细心观察思考后，分别找4个学生回答，其他学生对他们的回答进行肯定、否定或纠正．

【教法说明】（1）、（2）、（3）小题中的错误，均是学生在计算时常出现的错误，通过这组题的练习，可以使学生进一步巩固、理解法则对可能出现的计算错误引起注意，从而培养学生解题细心的习惯；除此之外，还可以培养学生辨别是非的能力．

练习二

计算

（1）（2）（3）

（4）（5）

学生活动：5个学生板演，其他学生在练习本上完成，然后讲评．

【教法说明】此题目的是使学生熟练运用法则进行计算，要求写清计算步骤，讲评时重复法则，并纠正学生计算中出现的错误，教师提醒学生计算时要耐心细致．

练习三

计算：

（1）（2）（3）

（4）（5）

学生活动：学生在练习本上完成，5名学生板演，然后学生自评．

【教法说明】通过练习二，学生对法则已基本能够熟练运用，对一些容易出现的错误，也得到了纠正．适时给出练习三，可以使学生对知识的掌握得到强化，学生自评可以调动学生主动参与学习的积极性，培养他们的主人翁意识．

练习四

把图中左圈里的每一个代数式分别除以，然后把商式写在右图里．

学生活动：学生理解题意后，分别由3个学生说出答案，其他学生给予判断．

【教法说明】此题目的是使学生在进一步运用法则进行熟练计算的同时，渗透集合与对应的思想，但教师不必说明．

（二）小结

由学生完成本节课的归纳与总结，教师给予引导或补充．

【教法说明】课堂小结由学生来完成，这样既可以训练学生的归纳总结能力及口头表达能力，又可使学生对本节课的内容留下深刻的印象．

七、布置作业

（一）必做题：P148A组1．（3）（6），2．

单项式的乘法

教学目标：

1．使学生理解并掌握单项式的乘法法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算；

2．注意培养学生归纳、概括能力，以及运算能力．

教学重点和难点：

准确、迅速地进行单项式的乘法运算．

课堂教学过程设计

一、从学生原有认知结构提出问题

1．下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是什么？

2．下列代数式中，哪些是单项式？哪些不是？

3．利用乘法的交换律、结合律计算6×4×13×25．

4．前面学习了哪三种幂的运算性质？内容是什么？

二、讲授新课

1．引导学生得出单项式的乘法法则

利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质，计算下列单项式乘以单项式：

（1）2x2y•3xy2

＝(2×3)(x2•x)(y•y2)

＝6x3y3；

(利用乘法交换律、结合律将系数与系数，相同字母分别结合，有理数的乘法、同底数幂的乘法)

（2）4a2x5•(－3a3bx)

＝[4×(－3)](a2•a3)•b•(x5•x)

＝－12a5bx6．

(b只在一个单项式中出现，这个字母及其指数照抄)

学生练习，教师巡视，然后由学生总结出单项式的乘法法则：

单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

2．引导学生剖析法则

（1）法则实际分为三点：①系数相乘——有理数的乘法；②相同字母相乘——同底数幂的乘法；③只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式．

（2）不论几个单项式相乘，都可以用这个法则．

（3）单项式相乘的结果仍是单项式．

三、应用举例变式练习

例1计算：

（1）(－5a2b3)(－3a)；（2）(2x)3(－5x2y)；

（3）(－3ab)(－a2c)2•6ab(c2)3．

解：（1）(－5a2b3)(－3a)

＝[(－5)(－3)](a2•a)•b3

＝15a3b3；

（2）(2x)3(－5x2y)

＝8x3•(－5x2y)

＝[8×(－5)](x3•x2)•y

＝－40x5y；

（3）(－3ab)(－a2c)2•6ab(c2)3

＝(－3ab)•a4c2•6abc6

＝[(－3)×6]a6b2c8

＝－18a6b2c8．

第（1）小题由学生口答，教师板演；第（2），（3），（4）小题由学生板演，根据学生板演情况，教师提醒学生注意：先做乘方，再做单项式相乘，中间过程要详细写出，待熟练后才可省略．

课堂练习

1．计算：

（1）3x5•5x3；（2）4y•(－2xy3)；（3）(3x2y)3•(－4xy2)；

（4）(－xy2z3)4•(－x2y)3；（5）(－6an＋2)•3anb；（6）6abn•(－5an＋1b2)．

例2光的速度每秒约为3×105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒，地球与太阳的距离约是多少千米？

解：(3×105)×(5×102)＝15×107＝1.5×108．

答：地球与太阳的距离约是1.5×108千米．

先由学生讨论解题的方法，然后由教师根据学生的回答板书．

课堂练习

一种电子计算机每秒可作108次运算，它工作5×102秒可作多少次运算？

四、小结

1．单项式的乘法法则可分为三点，在解题中要灵活应用．

2．在运算中要注意运算顺序．

教后记：

多项式的乘法初中教案精选

教学建议

一、知识结构

二、重点、难点分析

本节教学的重点是利用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab熟练地计算．难点是理解并掌握公式．本节内容是进一步学习乘法公式及后续知识的基础．

1．多项式乘法法则，是多次运用单项式与多项式相乘的法则得到的．计算时，先把看成一个单项式，是一个多项式，运用单项式与多项式相乘的法则，得到

然后再次运用单项式与多项式相乘的法则，得到：

2．含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一字母的二次三项式，它的二次项由两个因式中的一次项相乘得到；积的一次项是由两个因式中的常数基分别乘以两个因式中的一次项后，合并同类项得到；积的常数项等于两个因式中常数项的积．如果因式中一次项的系数都是1，那么积的二次项系数也是1，积的一次项系数等于两个因式中的常数项的和，这就是说，如果用、分别表示一个含有系数是1的相同字母的两个一次二项式中的常数项，则有

3．在进行两个多项式相乘、直接写出结果时，注意不要“漏项”．检查的办法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应是这两个多基同甘共苦的积．如积的项数应是，即六项：

当然，如有同类项则应合并，得出最简结果．

4．运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏，为此，相乘时，要按一定的顺序进行．例如，，可先用第一个多项式中的第一项“”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式中的第二项“”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加，即．

5．多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．

6．注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”．

三、教法建议

教学时，应注意以下几点：

（1）要防止两个多项式相乘，直接写出结果时“漏项”．检查的办法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应是这两个多项式项数的积．如，

积的项数应是，即四项当然，如有同类项，则应合并同类项，得出最简结果．

（2）要不失时机地指出：多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号．

（3）例2的第（1）小题是乘法的平方差公式，例2的第（2）小题是两数和的完全平方公式．实际上任何乘法公式都是直接用多项式乘法计算出来的．然后，我们把这种特殊形式的乘法连同它的结果作为公式．这里只是为后面学习乘法公式作准备，不必提它们是乘法公式，分散学生的注意力．当然，在讲解这个1题时，要讲清它们在合并同类项前的项数．

（4）例3是另一种形式的，要讲清楚两个因式的特点，积与两个因式的关系．总之，要讲清楚这种特殊形式的两个多项式相乘的规律，使学生在计算这种类型的题目时，能够迅速地求得结果．如对于练习第1题中的

，

等等，能够直接写出结果．

教学设计示例

一、教学目标

1．理解和掌握单项式与多项式乘法法则及其推导过程．

2．熟练运用法则进行单项式与计算．

3．通过用文字概括法则，提高学生数学表达能力．

4．通过反馈练习，培养学生计算能力和综合运用知识的能力．

5．渗透公式恒等变形的和谐美、简洁美．

二、学法引导

1．教学方法：讨论法、讲练结合法．

2．学生学法：本节主要学习了法则和一个特殊的二项式乘法公式，在学习时应注意分析和比较这一法则和公式的关系，事实上它们是一般与特殊的关系．当遇到多项式乘法时，首先要看它是不是的形式，若是则可以用公式直接写出结果，若不是再应用法则计算．

三、重点、难点及解决办法

（一）重点

多项式乘法法则．

（二）难点

利用单项式与多项式相乘的法则推导本节法则．

（三）解决办法

在用面积法推导多项式与多项式乘法法则过程中，应让学生充分理解多项式乘法法则的几何意义，这样既便于学生理解记忆公式，又能让学生在解题过程中准确地使用．

四、课时安排

一课时．

五、教具学具准备

投影仪或电脑、自制胶片、长方形演示纸板．

六、师生互动活动设计

1．设计一组练习，以检查学生单项式乘以多项式的掌握情况．

2．尝试从多角度理解多项式与多项式乘法：

（1）把看成一单项式时，

．

（2）把看成一单项式时，

．

（3）利用面积法

3．在理解上述过程的基础之上，引导学生归纳并指出多项式乘法的规律．

4．通过举例，教师的示范，学生的尝试练习，不断巩固新学的知识．对于遇到的特殊二项式相乘可利用特殊的公式加以解决，并注意一般与特殊的关系．

七、教学步骤

（一）明确目标

本节课将学习多项式与多项式相乘的乘法法则及其特殊形式的公式的应用．

（二）整体感知

多项式与多项式的相乘关键在于展开式中的四项是如何得到的，这里教师应注重引导学生细心观察、品味法则的规律性，实质就在于让一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项遍乘既不能漏又不能重复．对特殊的多项式相乘可运用特殊的办法去处理

（三）教学过程

1．创设情境，复习导入

（1）回忆单项式与法则.

（2）计算：

①②

③④

学生活动：学生在练习本上完成，然后回答结果．

【教法说明】多项式乘法是以单项式乘法和单项式与多项式相乘为基础的，通过复习引起学生回忆，为本节学习提供铺垫和思想基础．

2．探索新知，讲授新课

今天，我们在以前学习的基础上，学习．

就是形如的计算．

这里都表示单项式，因此表示多项式相乘，那么如何对进行计算呢？若把看成一个单项式，能否利用单项式与多项式相乘的法则计算呢？请同桌同学互相讨论，并试着进行计算．

学生活动：同桌讨论，并试着计算（教师适当引导），学生回答结论．

【教法说明】多项式乘法法则，是两次运用单项式与多项式相乘的法则得到的．这里的关键在于让学生理解，将看成一个单项式，然后运用单项式与多项式相乘的法则进行计算，让学生讨论并试着计算，目的是培养学生分析问题、解决问题的能力，鼓励学生积极探索知识、善于发现规律、主动参与学习．

3．总结规律，揭示法则

对于的计算过程可以表示为：

教师引导学生用文字表述多项式乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的第一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

如计算：看成公式中的；－1看成公式中的；看成公式中的；3看成公式中的．运用法则中的每一项分别去乘中的每一项，计算可得：．

学生活动：在教师引导下细心观察、品味法则．

【教法说明】借助算式图，指出的得出过程，实质就是用一个多项式的“每一项”乘另一个多项式的“每一项”，再把所得积相加的过程．可以达到两个目的：一是直观揭示法则，有利于学生理解；二是防止学生出现运用法则进行计算时“漏项”的错误，强调法则，加深理解，同时明确多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号．

这个法则还可利用一个图形明显地表示出来．

（1）这个长方形的面积用代数式表示为_____________．

（2）Ⅰ的面积为________；Ⅱ的面积为________；Ⅲ的面积为________；Ⅳ的面积为_______．

结论：即．

学生活动：随着教师的演示，边思考，边回答问题．

【教法说明】利用图形的直观性，使学生进一步理解、掌握这一法则，渗透数形结合的思想，培养学生观察、分析图形的能力．

4．运用知识，尝试解题

例1计算：

（1）（2）

（3）

解：（1）原式

（2）原式

（3）原式

【教法说明】例1的目的是熟悉、理解法则．完成例1时，要求学生紧扣法则，按法则的文字叙发“一步步”解题，注意最后要合并同类项．让学生参与例题的解答，旨在强化学生的参与意识，使其主动思考．

例2计算：

（1）（2）

学生活动：在教师引导下，说出解题过程．

解：（1）原式

（2）原式

【教法说明】例2的两个小题是后面要讲到的乘法公式，但目前仍按多项式乘法法则计算，无需说明它们是乘法公式，此题的目的在于为后面的学习做准备．

5．强化训练，巩固知识

（1）计算：

①②

③④

⑤⑥

（2）计算：

①②

③④

⑤⑥

⑦⑧

学生活动：学生在练习本上完成．

【教法说明】本组练习的目的是：①使学生进一步理解法则，熟练运用法则进行计算．②训练学生计算的准确性，培养计算能力．③对乘法公式先有一个模糊印象，为以后的学习打下基础．

（四）总结、扩展

这节课我们学习了多项式乘法法则，请同学们回答问题：

1．叙述多项式乘法法则．

2．谈谈这节课你的学习体会．

学生活动：学生分别回答上述问题．

【教法说明】通过让学生自己谈学习体会，既可以达到总结归纳本节知识的目的，形成完整印象，又可以提高学生的总结概括能力．

八、布置作业

P120A组1．（1）（3）（5）（7），2．（2）（3），3．（1）（3）（8）．

参考答案

1．（1）原式

（3）原式

（5）原式

（7）原式

2．（2）原式

（3）原式

3．（1）原式

（3）原式

（8）原式

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