教学建议
1.知识结构:本小节主要学习正弦、余弦的概念,30°、45°、60°角的正弦、余弦值,一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系,以及应用上述知识解决一些简单问题(包括引言中的问题)等.
2.重点、难点分析
(1)正弦、余弦函数的定义是本节的重点,因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义,再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.
(2)正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想,并且用含有几个字母的符号组sinA,cosA来表示,学生过去未接触过,所以正弦、余弦的概念是难点.
3.理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性,是理解三角函数的核心.
锐角的正弦、余弦值是这样规定的:当一个锐角确定了,那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个,但它们都是彼此相似的.如上图,当确定时,包含的直角三角形有无穷多个,但它们彼此相似:
∽∽∽……因此,由于相似三角形的对应边成比例,所以这些三角形的对应边的比都是相等的.
这就是说,每当一个锐角确定了,包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了,它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系,我们引入了正(余)弦的说法,创造了sin和cos这样的符号.
应当注意:单独写出三角函数的符号或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义;另一方面,这些符号和角写在一起时(如),它表示的就不再是角,而是一个特定的三角形的两条边的比值了(如).真正理解并掌握这些,才真正掌握了这些符号的含义,才能正确地运用它们.
4.我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.
我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式,而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如,如图所示,若,则有
有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中,我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式,如图中,ABCD是梯形,,作,我们应正确地写出如下的三角函数关系式:
很显然,这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.
5.特殊角的正弦、余弦值既容易导出,也便于记忆,应当熟悉掌握它们.
利用勾股定理,很容易求出含有或角的直角三角形三边的比;如图(1)和图(2)所示.
根据定义,有
另一方面,可以想像,当时,边与AC重合(即),所以
当时,边AB与CB重合(即AB=CB),AC的长缩小为0,于是,有
把以上结果可以集中列出下面的表:
0
1
1
0
6.教法建议:
(1)联系实际,提出问题
通过修建扬水站时,要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题,第一步把这问题归结于直角三角形中,第二步,再把这个问题归于直角三角形中,已知一个锐角和斜边的长,求这个锐角所对直角边的一个几何问题.同时指出在这种情况下,用已学过的勾股定理是解决不了的.激发学生的学习兴趣,调动学生探索新途径,迫切需要学习新知识的积极性.在这章的第一节课,应抓住这个具有教育性,富于启发性的有利开端,为引进本章的重要内容:锐角三角函数作了十分必要的准备.
(2)动手度量、总结规律、给出定义以含的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量,并引导学生得出规律:,再进一步对含的三角板进行度量,在探索同样的内容时,要用到勾股定理,又类似地得到,所有的这种等腰直角三角形中,都会得到,这时,应当即给出的正弦的定义及符号,即,再对照图形,分别用a、b、c表示、、的对边,得出及,就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义,应充分利用课本中这种简练的处理手段,使学生建立起锐角三角函数的概念.
(3)加强数形结合思想的教学
“解直角三角形”编在几何教材中,突出了它的几何特点,但这只是从知识的系统性方面讲的,使它与几何前后知识可关系更紧密,便于学生理解和掌握,并没有改变它形数结合的本质,因此教学中要充分利用这部分教材,帮助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法,提高在几何问题中注意运用代数知识的能力.
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教学目标
1.了解公式的意义,使学生能用公式解决简单的实际问题;
2.初步培养学生观察、分析及概括的能力;
3.通过本节课的教学,使学生初步了解公式来源于实践又反作用于实践。
教学建议
一、教学重点、难点
重点:通过具体例子了解公式、应用公式.
难点:从实际问题中发现数量之间的关系并抽象为具体的公式,要注意从中反应出来的归纳的思想方法。
二、重点、难点分析
人们从一些实际问题中抽象出许多常用的、基本的数量关系,往往写成公式,以便应用。如本课中梯形、圆的面积公式。应用这些公式时,首先要弄清楚公式中的字母所表示的意义,以及这些字母之间的数量关系,然后就可以利用公式由已知数求出所需的未知数。具体计算时,就是求代数式的值了。有的公式,可以借助运算推导出来;有的公式,则可以通过实验,从得到的反映数量关系的一些数据(如数据表)出发,用数学方法归纳出来。用这些抽象出的具有一般性的公式解决一些问题,会给我们认识和改造世界带来很多方便。
三、知识结构
本节一开始首先概述了一些常见的公式,接着三道例题循序渐进的讲解了公式的直接应用、公式的先推导后应用以及通过观察归纳推导公式解决一些实际问题。整节内容渗透了由一般到特殊、再由特殊到一般的辨证思想。
四、教法建议
1.对于给定的可以直接应用的公式,首先在给出具体例子的前提下,教师创设情境,引导学生清晰地认识公式中每一个字母、数字的意义,以及这些数量之间的对应关系,在具体例子的基础上,使学生参与挖倔其中蕴涵的思想,明确公式的应用具有普遍性,达到对公式的灵活应用。
2.在教学过程中,应使学生认识有时问题的解决并没有现成的公式可套,这就需要学生自己尝试探求数量之间的关系,在已有公式的基础上,通过分析和具体运算推导新公式。
3.在解决实际问题时,学生应观察哪些量是不变的,哪些量是变化的,明确数量之间的对应变化规律,依据规律列出公式,再根据公式进一步地解决问题。这种从特殊到一般、再从一般到特殊认识过程,有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。
教学设计示例
公式
一、教学目标
(一)知识教学点
1.使学生能利用公式解决简单的实际问题.
2.使学生理解公式与代数式的关系.
(二)能力训练点
1.利用数学公式解决实际问题的能力.
2.利用已知的公式推导新公式的能力.
(三)德育渗透点
数学来源于生产实践,又反过来服务于生产实践.
(四)美育渗透点
数学公式是用简洁的数学形式来阐明自然规定,解决实际问题,形成了色彩斑斓的多种数学方法,从而使学生感受到数学公式的简洁美.
二、学法引导
1.数学方法:引导发现法,以复习提问小学里学过的公式为基础、突破难点
2.学生学法:观察→分析→推导→计算
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点:利用旧公式推导出新的图形的计算公式.
2.难点:同重点.
3.疑点:把要求的图形如何分解成已经熟悉的图形的和或差.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪,自制胶片。
六、师生互动活动设计
教者投影显示推导梯形面积计算公式的图形,学生思考,师生共同完成例1解答;教者启发学生求图形的面积,师生总结求图形面积的公式.
七、教学步骤
(一)创设情景,复习引入
师:同学们已经知道,代数的一个重要特点就是用字母表示数,用字母表示数有很多应用,公式就是其中之一,我们在小学里学过许多公式,请大家回忆一下,我们已经学过哪些公式,教法说明,让学生一开始就参与课堂教学,使学生在后面利用公式计算感到不生疏.
在学生说出几个公式后,师提出本节课我们应在小学学习的基础上,研究如何运用公式解决实际问题.
板书:公式
师:小学里学过哪些面积公式?
板书:S=ah
附图
(出示投影1)。解释三角形,梯形面积公式
【教法说明】让学生感知用割补法求图形的面积。
(二)探索求知,讲授新课
师:下面利用面积公式进行有关计算
(出示投影2)
例1如图是一个梯形,下底(米),上底,高,利用梯形面积公式求这个梯形的面积S。
师生共同分析:1.根据梯形面积计算公式,要计算梯形面积,必须知道哪些量?这些现在知道吗?
2.题中“M”是什么意思?(师补充说明厘米可写作cm,千米写作km,平方厘米写作等)
学生口述解题过程,教师予以指正并指出,强调解题的规范性.
【教法说明】1.通过分析,引导学生在一个实际问题中,必须明确哪些量是已知的,哪些量是未知的,要解决这个问题,必须已知哪些量.2.用公式计算时,要先写出公式,然后代入计算,养成良好的解题习惯.
(出示投影3)
例2如图是一个环形,外圆半径,内圆半径求这个环形的面积
学生讨论:1.环形是怎样形成的.2.如何求环形的面积讨论后请学生板演,其他同学做在练习本上,教育巡回指导.
评讲时注意1.如果有学生作了简便计算,则给予表扬和鼓励:如果没有学生这样计算,则启发学生这样计算.
2.本题实际上是由圆的面积公式推导出环形面积公式.
3.进一步强调解题的规范性
教法说明,让学生做例题,学生能自己评判对与错,优与劣,是获取知识的一个很好的途径.
测试反馈,巩固练习
(出示投影4)
1.计算底,高的三角形面积
2.已知长方形的长是宽的1.6倍,如果用a表示宽,那么这个长方形的周长是多少?当时,求t
3.已知圆的半径,,求圆的周长C和面积S
4.从A地到B地有20千米上坡路和30千米下坡路,某车上坡时每小时走千米,下坡时每小时走千米。
(1)求A地到B地所用的时间公式。
(2)若千米/时,千米/时,求从A地到B地所用的时间。
学生活动:分两次完成,每次两题,两人板演,其他同学在练习本上完成,做好后同桌交换评判,第一次可请两位基础较差的同学板演,第二次请中等层次的学生板演.
【教法说明】面向全体,分层教学,能照顾两极,使所有的同学有所发展.
师:公式本身是用等号联接起来的代数式,许多公式在实际中都有重要的用处,可以用公式直接计算还可以利用公式推导出新的公式.
八、随堂练习
(一)填空
1.圆的半径为R,它的面积________,周长_____________
2.平行四边形的底边长是,高是,它的面积_____________;如果,,那么_________
3.圆锥的底面半径为,高是,那么它的体积__________如果,,那么_________
(二)一种塑料三角板形状,尺寸如图,它的厚度是,求它的体积V,如果,,,V是多少?
九、布置作业
(一)必做题课本第22页1、2、3第23页B组1
(二)选做题课本第22页5B组2
十、板书设计
附:随堂练习答案
(一)1.2.3.
(二)
作业答案
必做题1.
2.3.
.
选做题5.
探究活动
根据给出的数据推导公式。
推导从1到这个连续自然数的和的公式,并求当时,的值。
答案
当时,
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.使学生理解多项式的概念.
2.使学生能准确地确定一个多项式的次数和项数.
3.能正确区分单项式和多项式.
(二)能力训练点
通过区别单项式与多项式,培养学生发散思维.
(三)德育渗透点
在本节教学中向学生渗透数学知识来源于生活,又为生活而服务的辩证思想.
(四)美育渗透点
单项式和多项式在前二章,特别是第一章已有新接触,本节课来研究多项式的概念可谓水到渠成,体现了数学的结构美
二、学法引导
1.教学方法:采用对比法,以训练为主,注重尝试指导.
2.学生学法:观察分析→多项式有关概念→练习巩固
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点:多项式的概念及单项式的联系与区别.
2.难点:多项式的次数的确定,以及多项式与单项式的联系与区别.
3.疑点:多项式中各项的符号问题.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片.
六、师生互动活动设计
教师出示探索性练习,学生分析讨论得出多项式有关概念,教师出示巩固性练习,学生多种形式完成.
七、教学步骤
(一)复习引入,创设情境
师:上节课我们学习了单项式的有关概念,同学们看下面一些问题.
(出示投影1)
1.下列代数式中,哪些是单项式?是单项式的请指出它的系数与次数.
,,,2,,,,
2.圆的半径为,则半圆的面积为_____________,半圆的总长为_____________.
学生活动:回答上述两个问题,可以进行抢答,看谁想的全面,回答的准确,教师对回答准确、速度快的给予表扬和鼓励.
【教法说明】让学生通过1题回顾有关单项式的一些知识点,再通过2题中半圆周长为很自然地引出本节内容.
师:上述2题中,表示半圆面积的代数式是单项式吗?为什么?表示半圆的周长的式子呢?
学生活动:同座进行讨论,然后选代表回答.
师:谁能把1题中不是单项式的式子读出来?(师做相应板书)
学生活动:小组讨论,、,,对于这些代数式的结构特点,由小组选代表说明,若不完整,其他同学可做补充.
(二)探索新知,讲授新课
师:像以上这样的式子叫多项式,这节课我们就研究多项式,上面几个式子都是多项式.
[板书]3.1整式(多项式)
学生活动:讨论归纳什么叫多项式.可让学生互相补充.
教师概括并板书
[板书]多项式:几个单项式的和叫多项式.
师:强调每个单项式的符号问题,使学生引起注意.
(出示投影2)
练习:下裂代数式,,,,,,
,,中,是多项式的有:
___________________________________________________________.
学生活动:学生抢答以上问题,然后每个学生在练习本上写出两个多项式,同桌互相交换打分,有疑问的提出再讨论.
【教法说明】通过观察式子特点,讨论归纳多项式的概念,体现了学生的主体作用和参与意识.多项式的概念是本节教学重点,为使学生对概念真正理解,让学生每个人写出两个多项式,可及时反馈学生掌握知识中存在的问题,以便及时纠正.
师:提出问题,多项式、,,各是由几个单项式相加而得到的?每个单项式各指的是谁?各是几次单项式?引导学生回答,教师根据学生回答,给予肯定、否定与纠正.
师:在中,是两个单项式相加得到,就叫做二项式,两个单项式中,次数是1,次数是1,最高次数是一次,所以我们说这个多项式的次数是一次,整个式子叫做一次二项式.
[板书]
学生活动:同桌讨论,,,,应怎样称谓,然后找学生回答.
师:给予归纳,并做适当板书:
[板书]
学生活动:通过上例,学生讨论多项式的项、次数,然后选代表回答.
根据学生回答,师归纳:
在多项式中,每个单项式叫多项式的项,是几个单项式的和就叫做几项式.每一项包含它的符号,如中,这一项不是.多项式里次数最高的项的次数,就叫做多项式次数,即最高次项是几次,就叫做几次多项式,不含字母的项叫做常数项.
[板书]
【教法说明】通过学生对以上几个多项式的感知,学生对多项式的特片已有了一定的了解,教师可逐步引导,让学生自己总结归纳一些结论,以训练学生的口头表达能力和归纳能力.
(三)尝试反馈,巩固练习
(出示投影3)
1.填空:
2.填空:
(1)是_________次__________项式;是_________次_________项式;的常数项是___________.
(2)是_________次________项式,最高次数是___________,最高次项的系数是__________,常数项是___________.
学生活动:1题抢答,同桌同学给予肯定或否定,且肯定地说出依据,否定的再说出正确答案;2题学生观察后,在练习本或投影胶片上完成,部分胶片打出投影,师生一起分析、讨论,对所做答案给予肯定或更正.
【教法说明】在此组练习题中,1题目的是以填表的形式感知一个多项式就是单项式的和,多项式的项就是单项式;使学生能进一步了解多项式与单项式的关系,避免死记硬背概念,而不能准确应用于解题中的弊病.2题是在理解概念和完成1题单一问题的基础上进行综合训练,使学生逐步学会使用数学语言.
(四)归纳小结
师:今天我们学习了《整式》一节中“多项式”的有关概念;在掌握多项式概念时,要注意它的项数和次数.前面我们还学习了单项式,掌握单项式时要注意它的系数和次数.
归纳:单项式和多项式统称为整式.
[板书]
说明:教师边小结边板书出多项式、单项式,然后再提出它们统称为整式,并做了述板书,使所学知识纳入知识系统.
巩固练习:
(出示投影4)
下列各代数式:0,,,,,,中,单项式有__________,多项式有____________,整式有_____________.
学生活动:观察后学生回答,互相补充、纠正,提醒学生不能遗漏.
【教法说明】数学要领重在于应用,通过上题的训练,可使学生很清楚地了解单项式、多项式的区别与联系,它们与整式的关系.
(五)变式训练,培养能力
(出示投影5)
1.单项式,,的和_________,它是__________次__________项式.
2.是_______次________项式是__________次_________项式,它的常数项_________.
3.是________次________项式,最高次项是_________,最高次项的系数是_________,常数项是__________.
4.的2倍与的平方的的和,用代数式表示__________,它是__________(填单项式或多项式).
学生活动:每个学生先独立在练习本上完成,然后小组互相交流补充,最后小组选出代表发言.
师:做肯定或否定,强调3题中最高次项的系数是,是一个数字,不是字母,因为它只能代表圆周率这一个数值,而一个字母是可以取不同的值的.
【教法说明】本组是在前面掌握了本节课基本知识后安排的一组训练题,目的是使学生进一步理解多项式的次数与项数,特别是对这个数字要有一个明确的认识.
自编题目练习:
每个学生写出6个整式,并要求既有单项式,又有多项式,然后交给同桌的同学,完成以下任务,①先找出单项式、多项式,②是单项式的写出系数与次数,是多项式的写出是几次几项式,最高次数是什么?常数项是什么,然后再互相讨论对方的解答是否正确.
【教学说明】自编题目的训练,一是可活跃课堂气氛,增强了学生的参与意识;二是可以培养学生的发散思维和逆向思维能力.
师:通过上面编题、解题练习,同学们对整式的概念有了清楚的理解,下面再按老师的要求编题,编一个四次三项式,看谁编的又快又准确,再编一个不高于三次的多项式.
学生活动:学生边回答师边板书,然后学生讨论是否符合要求.
【教法说明】通过上面训练,使学生进一步巩固多项式项数、次数的概念,同时也可以培养学生逆向思维的能力.
八、随堂练习
1.判断题
(1)-5不是多项式()
(2)是二次二项式()
(3)是二次三项式()
(4)是一次三项式()
(5)的最高次项系数是3()
2.填空题
(1)把上列代数式分别填在相应的括号里
,,,0,,,
;;
;;
.
(2)如果代数式是关于的三次二项式则,.
九、布置作业
(一)必做题:课本第149页习题3.1A组12.
(二)选做题:课本第150页习题3.1B组3.
十、板书设计
随堂练习答案
1.√××√×
2.(1)单项式,多项式;
整式;
二项式;
三次三项式;
(2),.
作业答案
教材P.149中A组12题:(1)三次二项式(2)二次三项式
(3)一次二项式(4)四次三项式
教材P.150页中B组3题:有,,项;各项系数依次是1、-5、;各项次数依次是6、4、2;这个多项式的次数是6。
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