教学建议
1.知识结构:本小节主要学习正弦、余弦的概念,30°、45°、60°角的正弦、余弦值,一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系,以及应用上述知识解决一些简单问题(包括引言中的问题)等.
2.重点、难点分析
(1)正弦、余弦函数的定义是本节的重点,因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义,再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.
(2)正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想,并且用含有几个字母的符号组sinA,cosA来表示,学生过去未接触过,所以正弦、余弦的概念是难点.
3.理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性,是理解三角函数的核心.
锐角的正弦、余弦值是这样规定的:当一个锐角确定了,那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个,但它们都是彼此相似的.如上图,当确定时,包含的直角三角形有无穷多个,但它们彼此相似:
∽∽∽……因此,由于相似三角形的对应边成比例,所以这些三角形的对应边的比都是相等的.
这就是说,每当一个锐角确定了,包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了,它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系,我们引入了正(余)弦的说法,创造了sin和cos这样的符号.
应当注意:单独写出三角函数的符号或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义;另一方面,这些符号和角写在一起时(如),它表示的就不再是角,而是一个特定的三角形的两条边的比值了(如).真正理解并掌握这些,才真正掌握了这些符号的含义,才能正确地运用它们.
4.我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.
我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式,而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如,如图所示,若,则有
有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中,我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式,如图中,ABCD是梯形,,作,我们应正确地写出如下的三角函数关系式:
很显然,这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.
5.特殊角的正弦、余弦值既容易导出,也便于记忆,应当熟悉掌握它们.
利用勾股定理,很容易求出含有或角的直角三角形三边的比;如图(1)和图(2)所示.
根据定义,有
另一方面,可以想像,当时,边与AC重合(即),所以
当时,边AB与CB重合(即AB=CB),AC的长缩小为0,于是,有
把以上结果可以集中列出下面的表:
0
1
1
0
6.教法建议:
(1)联系实际,提出问题
通过修建扬水站时,要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题,第一步把这问题归结于直角三角形中,第二步,再把这个问题归于直角三角形中,已知一个锐角和斜边的长,求这个锐角所对直角边的一个几何问题.同时指出在这种情况下,用已学过的勾股定理是解决不了的.激发学生的学习兴趣,调动学生探索新途径,迫切需要学习新知识的积极性.在这章的第一节课,应抓住这个具有教育性,富于启发性的有利开端,为引进本章的重要内容:锐角三角函数作了十分必要的准备.
(2)动手度量、总结规律、给出定义以含的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量,并引导学生得出规律:,再进一步对含的三角板进行度量,在探索同样的内容时,要用到勾股定理,又类似地得到,所有的这种等腰直角三角形中,都会得到,这时,应当即给出的正弦的定义及符号,即,再对照图形,分别用a、b、c表示、、的对边,得出及,就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义,应充分利用课本中这种简练的处理手段,使学生建立起锐角三角函数的概念.
(3)加强数形结合思想的教学
“解直角三角形”编在几何教材中,突出了它的几何特点,但这只是从知识的系统性方面讲的,使它与几何前后知识可关系更紧密,便于学生理解和掌握,并没有改变它形数结合的本质,因此教学中要充分利用这部分教材,帮助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法,提高在几何问题中注意运用代数知识的能力.
第一课时
一、教学目标
1.使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
3.引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
二、学法引导
1.教学方法:引导发现和探索研究相结合,尝试成功教法。
2.学生学法:在教师的指导下,积极思维,相互讨论,动手感知,探索新知。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点:使学生知道当锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实。
2.难点:学生很难想到对任意锐角,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实,关键在于教师引导学生比较、分析,得出结论。
3.疑点:无论直角三角形的锐角为何值,它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。
4.解决办法:教师引导学生比较、分析、讨论,解决重难点和疑点。
四、教具准备
自制投影片,一副三角板
五、教学步骤
(一)明确目标
1.如图,长5米的梯子架在高为3米的墙上,则、间距离为多少米?
2.长5米的梯子以倾斜角为30°靠在墙上,则、间的距离为多少?
3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上,则、间距离为多少?
4.若长5米的梯子靠在墙上,使、间距离为2米,则倾斜角为多少度?
前两个问题学生很容易回答,这两个问题的设计主要是引起学生的回忆,并使学生意识到,本章要用到这些知识,但后两个问题的设计却使学生感到疑惑,这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说,起到激起学生的学习兴趣的作用,同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解,有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的,解决这类问题,关键在于找到一种新方法,求出一条边或一个未知锐角,只要做到这一点,有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。
通过四个例子引出课题。
(二)整体感知
1.请每一位同学拿出自己的三角板,分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值。
学生很快便会回答结果:无论三角尺大小如何,其比值是一个固定的值,程度较好的学生还会想到,以后在这些特殊直角三角形中,只要知道其中一边长,就可求出其他未知边的长。
2.请同学画一个含40°角的直角三角形,并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值,学生又高兴地发现,不论三角形大小如何,所求的比值是固定的,大部分学生可能会想到,当锐角取其他固定值时,其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗?
这样做,在培养学生动手能力的同时,也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知,唤起学生的求知欲,大胆地探索新知。
(三)教学过程
1.通过动手实验,学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值,它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”,但是怎样证明这个命题呢?学生这时的思维很活跃,对于这个问题,部分学生可能能解决它,因此教师此时应让学生展开讨论,独立完成。
2.学生经过研究,也许能解决这个问题.若不能解决,教师可适当引导:
若一组直角三角形有一个锐角相等,可以把其顶点,,重合在一起,记作,并使直角边,,……落在同一条直线上,则斜边,,……落在另一条直线上,这样同学们能解决这个问题吗?引导学生独立证明:易知,……,∴∽∽∽……,∴,,因此,在这些直角三角形中,的对边、邻边与斜边的比值,是一个固定值。
通过引导,使学生自己独立掌握了重点,达到知识教学目标,同时培养学生能力,进行了德育渗透。
而前面导课中动手实验的设计,实际上为突破难点而设计。这一设计同时起到培养学生思维能力的作用。
3.练习:教科书P3练习。此题为作了孕伏,同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。
(四)总结、扩展
1.引导学生作知识总结:本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上,通过动手实验、证明,我们发现,只要直角三角形的锐角固定,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。
教师可适当补充:本节课经过同学们自己动手实验,大胆猜测和积极思考,我们发现了一个新的结论,相信大家的逻辑思维能力又有所提高,希望大家发扬这种创新精神,变被动学知识为主动发现问题,培养自己的创新意识。
2.扩展:当锐角为30°时,它的对边与斜边比值我们知道,今天我们又发现,锐角任意时,它的对边与斜边的比值也是固定的,如果知道这个比值,已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了,看来这个比值很重要,下节课我们就着重研究这个“比值”,有兴趣的同学可以提前预习一下,通过这种扩展,不仅对下、余弦概念有了初步印象,同时又激发了学生的兴趣。
六、布置作业
本节课内容较少,而且是为正、余弦概念打基础的,因此课后应要求学生预习正余弦概念。
七、板书设计
第二课时
一、教学目标
1.使学生初步了解正弦、余弦概念;能够较正确地用、表示直角三角形中两边的比;熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
3.渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.
二、学法引导
1.教学方法:指导发现探索法.
2.学生学法:自主、合作、探究式学习.
三、重点、难点、疑点及解决方法
1.教学重点:使学生了解正弦、余弦概念.
2.教学难点:用含有几个字母的符号组、表示正弦、余弦;正弦、余弦概念.
3.疑点:锐角的正弦、余弦值的范围.
4.解决办法:通过旧知创设情境,采用从特殊到一般的方法,引导学生进行探究式学习,从而解决重难点及疑点.
四、教具准备
三角板一副
五、教学步骤
(一)明确目标
1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时,它的对与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”
2.明确目标:这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值—正弦和余弦.
(二)整体感知
当直角三角形有一锐角为30°时,它的对边与斜边的比值为,只要知道三角形任一边长,其他两边就可知.
而上节课我们发现,只要直角三角形的锐角固定,它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定,这样只要能求出这个比值,那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.
通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比,学生自然产生想学习的欲望,产生浓厚的学习兴趣,同时对以下要研究的内容有了大体印象.
(三)教学过程
正弦、余弦的要领是全章知识的基础,对学生今后的学习与工作都十分重要,因此确定它为本课重点,同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想,又用含几个字母的符号组来表示,因此概念也是难点.
在上节课研究的基础上,引入正、余弦,“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图
请学生结合图形叙述正弦、余弦定义,以培养学生概括能力及语言表达能力,教师板书:在中,为直角,我们把锐角的对边与余边的比叫做的正弦,记作,锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦,记作.
.
若把的对边记作,邻边记作,斜边记作,则,.
引导学生思考:当为锐角时,、的值会在什么范围内?得结论,(为锐角),这个问题对于较差学生来说有些难度,应给学生充分思考时间,同时这个问题也使学生将数与形结合起来.
教材例1的设置是为了巩固正弦概念,通过教师示范,使学生会求正弦,这里不妨增问“、”,经过反复强化,使全体学生都达到目标,更加突出重点.
【例1】求出如下图所示的中的、和、的值.
解:(1)∵斜边,
∴,.
,.
(2),.
,
∴,.
学生练习教材P6~7中1、2、3题.
让每个学生画含30°、45°的直角三角形,分别求、、和、、.这一练习既用到以前的知识,又巩固正弦、余弦的概念,经过学习亲自动笔计算后,对特殊角三角函数值印象很深刻.
,,.
,,.
【例2】求下列各式的值:
(1);(2).
解:(1).
(2).
这了使学生熟练掌握特殊角三角函数值,这里还应安排六个小题:
(1);(2);
(3);(4).
(5)若,则锐角.
(6)若,则锐角.
在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后,引导学生思考,“请大家观察特殊角的正弦和余弦值,猜测一下,大概在什么范围内,呢?”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力,而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神,还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大,余弦值随角度增大而减小”.
(四)总结、扩展
首先请学生作小结,教师适当补充,“主要研究了锐角的正弦、余弦概念,已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值,知道任意锐角A的正、余弦值都在0~1之间,即
,(为锐角).
还发现的两锐角、,,,正弦值随角度增大而增大,余弦值随角度增大而减小”.
六、布置作业
教材P10中2,3.
预习下一课内容.
补充:(1)若,则锐角.
(2)若,则锐角.
七、板书设计
一、教学目标
1.了解立方根和开立方的概念;
2.会用根号表示一个数的立方根,掌握开立方运算;
3.培养学生用类比的思想求立方根的运算能力;
4.由立方与立方根的教学,渗透数学的转化思想;
5.通过立方根符号的引入体验数学的简洁美.
二、教学重点和难点
教学重点:立方根的概念与性质.
教学难点:会求某些数的立方根.
三、教学方法
启发式,讲练结合
四、教学手段
幻灯片.
五、教学过程
(一)复习提问
请同学们回忆一下,平方根我们是如何定义的?平方根有哪些性质?
在同学们回答后,启发学生是否可试着给数的立方根下个定义.
1.立方根的概念:
如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根.(也称数a的三次方根)
用数学式表示为:
若x3=a,则x叫做a的立方根,或称x叫做a的三次方根.
2.立方根的表示方法:
类似于平方根德表示方法,数a的立方根我们用符号来表示.读作“三次根号下a”,其中a叫做被开方数,3叫做根指数,注意,在前面我们学习平方根的表示方法说过当根指数为2时可以省略不写,现在是立方根了,这个根指数3是绝对不可省的,否则就会与平方根混淆了,例如表示125的立方根,而则表示125的算术平方根.
练习:用根号表示下列各数的立方根:
3.开立方概念:
求一个数的立方根的运算,叫做开立方.
4.开立方运算与立方运算互为逆运算.
因此,我们可以根据立方运算来求一些数的立方根.
例1.求下列各数的立方根:
解:(1)∵(-2)3=-8,
(2)∵23=8,
(4)∵(0.6)3=0.216,
(5)∵03=0,
下面我们思考这样一个问题:一个正数有几个平方根?负数有没有平方根?一个正数有几个立方根?负数有没有立方根?请学生来回答这个问题.由前面刚刚做过的题我们不难看出像8、0.126、103、这样的正数,有一个正的立方根;像-8、、这样的负数有一个负的立方根;0的立方根是0.由此我们得了立方根的性质.
5.立方根的性质:
(1)正数有一个正的立方根.
(2)负数有一个负的立方根.
(3)0的立方根是0.
这里我们不妨与平方根的性质做个比较,平方根中,正数有两个平方根,它们互为相反数,正数只有一个正的立方根;在平方根中负数是没有平方根的,而负数有一个负的立方根;平方根与立方根唯一相同之处是0的平方根,立方根都是它本身.
例2.求下列各式的值:
解:(1)∵33=27,
(2)∵(-3)3=-27,
(5)∵(102)3=106,
(6)∵(103)3=109,
例3.解方程:
(1)x3=0.125;(2)3(x-4)3-1536=0.
解:(1)x3=0.125
x=0.5.
(2)3(x-4)3-1536=0(此题可由学生先做,教师纠正错误)
3(x-4)3=1536
(x-4)3=512
x-4=8
x=12.
尽管我们学习了立方根,而我们也只能由立方根的定义求解x3=a(a为常数)这一类型的
简单的三次方程,所以像第(2)小题,我们要把(x-4)看成一个整体,依然转化成为x3=a的形式,再由立方根定义去解.
填空练习:
(1)1的平方根是____;立方根为____;算术平方根为____.
(2)平方根是它本身的数是____.
(3)立方根是其本身的数是____.
(4)算术平方根是其本身的数是________.
(5)的立方根为________.
(6)的平方根为________.
(7)的立方根为________.
(8)一个自然数的算术平方根是a,那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是____________;立方根是____________.
解:(1)±1;1;1.
(2)0.(此题学生容易把1也算进去,注意纠正他们的错误.)
(3)±1和0.(由此题,再复习一道立方根的性质.)
(4)0,1.(此题有学生可能会忘掉0.)
(5)-2(此题学生易得出-4的答案,应引导学生将翻译为-8,在求立方根,也有学生将看成得到,讲解时注意)
(6)(此题首先让学生把计算出来,再求平方根,而且平方根有两个)
(7)-2.
(8),(此题引导学生先根据算术平方根来表示被开方数为a2,再表示相邻的下一个自然数为a2+1,注意表示其平方根时有两个值.)
六、总结
今天我们主要学习了立方根的概念和性质,一定要与平方根的概念和性质相对比去理解.平方根与立方根是今后我们学习中经常会用到的两个非常重要的概念,希望同学们能够熟练地掌握它,尤其是它们之间的联系与区别.
七、作业
教材p.141练习1、2、4.
八、板书设计
探究活动
立方根近似值的求法
当立方根是一位整数时,很容易求出这个立方根;但当立方根是两位或两位以上的整数时,也能容易地求出吗?例如求140608的立方根,怎样求容易?
下面就介绍它的巧妙求法.
先用前三位数140来确定立方根的十位数.因为53<140<63,所以十位数是5,而不是6.再用最后一位数8来确定立方根的个位数.因为23=8,所以个位数是2.就是说,140608的立方根是52.确定立方根的个位数时要注意下面规律:我们知道:13=1,43=64,53=125,63=216,93=729,就是说当被开方数的末位数是1、4、5、6、9时,立方根的个位数就等于它本身(1、4、5、6、9);
因为23=8,83=512,就是说当被开方数的末位数是8和2时,立方根的个位数就分别是2和8,叫做2与8互换原则;同样还有3与7互换原则(被开方数的末位数分别是3和7,立方根的个位数就分别是7和3).
一般地,如果103<a<1003,且a是能开尽立方的数,那么就能用这种方法求a的立方根.请用这种方法求下列各数的立方根:
21952,50653,79507,287496,970299.
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