二次根式的混合运算教案模板

按照学校要求，初中老师都需要用到教案，编写教案能够提高自己的教学研究能力，用心编写教案才能促进初中的教学进一步发展，对于初中教案报的撰写你是否毫无头绪呢？欢迎大家阅读小编为大家收集整理的《二次根式的混合运算教案模板》。

一、教学目标

1．理解分母有理化与除法的关系．

2．掌握二次根式的分母有理化．

3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．

4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想

二、教学设计

小结、归纳、提高

三、重点、难点解决办法

1．教学重点：分母有理化．

2．教学难点：分母有理化的技巧．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

七、教学过程

【复习提问】

二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式．

例1说出下列算式的运算步骤和顺序：

（1）（先乘除，后加减）．

（2）（有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．

（3）辨别有理化因式：

有理化因式：与，与，与…

不是有理化因式：与，与…

化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）．

例如，、、等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？

引入新课题．

【引入新课】

化简式子，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以的有理化因式，而这个式子就是，从而可将式子化简．

例2把下列各式的分母有理化：

（1）；（2）；（3）

解：略．

注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据．式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单．

（二）随堂练习

1．把下列各式的分母有理化：

（1）；（2）；

（3）；（4）．

解：（1）．

（2）．

另解：．

（3）

．

另解：．

通过以上例题和练习题，可以看出，有关二次根式的除法，可先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算，例如：

，现将分母有理化，就可以了．

，学生易发生如下错误，将式子变形为，而正确的做法是．

2．计算：

（1）；

（2）；

（3）．

解：（1）

．

（2）

．

（3）

．

（三）小结

1．强调二次根式混合运算的法则；

2．注意对有理化因式的概括并寻找出它的规律．

（1）如单独一项的有理化因式就是它本身．（2）如出现和、差形式的：的有理化因式为，的有理数化因式为．

（2）练习：教材P202中1、2．

（四）布置作业

教材P205中4、5．

（五）板书设计

标题

1．复习内容3．练习题一

2．例44．练习题二

jk251.cOm扩展阅读

二次根式的混合运算相关教学方案

教学建议

知识结构

重难点分析

本节课的重点是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性，提高性综合学习；二次根式的运算和有理化的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力。

本节课的难点是把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。分母有理化，实际上二次根式的除法与混合运算的综合运用。分母有理化的过程，一般地，先确定分母的有理化因式，然后再根据分式的基本性质把分子、分母都乘以这个有理化因式，就可使分母有理化。所以对初学者来说，这一过程容易出现找错有理化因式和计算出错的问题。

教法建议

1.在知识的引入上，可采取复习引入方式，比如复习有理数的混合运算或整式的运算。

2.在二次根式的加减、乘法混合运算中，要注意由浅入深的层次安排，从单项式与多项式相乘、多项式与多项式到乘法公式的应用，逐渐从数过渡到带有字母的式。

3.在有理化因式教学中，要多出几组题目从不同角度要求学生辨别，并及时总结。

学生特点：实验班的A层学生(数学实施分层教学),主动学习积极性高，基础扎实，思维活跃,,并具有一定的独立分析问题,探索问题,归纳概括问题的能力,有较好的思考、质疑的习惯。

教材特点：本节课是在学习了二次根式的三个重要概念（最简二次根式、同类二次根式、分母有理化）和二次根式的有关运算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法）基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。

鉴于学生的特点及教材的特点，本节课主要采用“互动式”的课堂教学模式及“谈话式”的教学方法，以此实现生生互动、师生互动、学生与教材之间的互动。具体说明如下：

（一）在师生互动方面，教师注重问题设计，注重引导、点拨及提高性总结。使学生学中有思、思中有获。如本节课开始，出示书中例题1：

让学生先进行思考，解答。然后同学说出怎样进行。

强调：运算顺序及运算律和有理数相同。

（二）在学生与学生的互动上，教师注重活动设计，使学生学中有乐，乐中悟道。教师设计一组题目，让学生以竞赛的形式解答，然后以记成绩的方法让其它同学说出优点（简便方法及灵活之处）与错误。由于本节课主要以计算为主，对运算法则及规律性的基础知识，学生很容易掌握而且从意识上认为本节课太简单，不会很感兴趣，所以为了提高学生的学习兴趣及更好的抓好基础，提高学生的运算能力，如此这般设计。

（三）在个体与群体的互动方式上，教师注重合作设计，使学生学中有辩，辩中求同。如本节课中对重点问题：“分母有理化”的教学，出示一个题目，让学生思考，找个别学生说出自己的想法，然后其它同学补充完成。

学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动。正是在这一教育思想的指导下，追求学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动。互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振。

对二次根式混合运算新课引入的建议

复习：

1.计算：（1）；（2）.

解：(1)(2)

==

=；=.

2.在整式乘法中，单项式与多项式相乘的法则是什么？多项式与多项式的乘法法则是什么？什么是完全平方式？分别用式子表示出来。

答：单项式与多项式相乘的法则是，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为

m(a+b+c)=ma+mb+mc

多项式与多项式相乘的法则是，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每项，再把所得的积相加。用式子表示为

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,

其中a,b,m,n都是单项式。

完全平方式是

；。

在实数范围内，整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用，运用乘法法则及乘法公式可以进行。引入新课。

对二次根式混合运算学法的建议

在进行时，也有一个与分式运算相比较的问题，有的时候，加上团式分解、约分等技巧，可以大大简化计算过程，这是要灵活运用的．因此，在本节学习时，可以适当结合11．1节的内容，复习一下在实数范围内分解因式的问题，如

这里再顺便提一下，如

这种变形不是原来意义上的因式分解，否则就无法进行到底了．可以说是借助因式分解的方法，或具体说成提出，等等．

一、教学目标

1．掌握．

2．掌握乘法公式在混合运算的应用．

3．通过，培养学生的运算能力．

4．通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望

二、教学设计

小结、归纳、提高

三、重点、难点解决办法

1．教学重点：．

2．教学难点：混合运算的应用．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

1．复习，运算律及乘法分式，引导学生口答，并强调数的运算律在根式运算中的适用，引入例题．

2．通过例题由浅入深，层层深入，既提高学生学习的兴趣又激发学生求知的欲望；从例题的讲解中帮助寻找解题的方法，规律及注意点．

3．通过大量的练习，以期形成自己所掌握的知识．

七、教学步骤

（－）明确目标

前面学过二次根式的加减法的简单运算，但二次根式未必全是加减混合运算，它同样会出现二次根式的加、减、乘、除方等混合运算那么的法则是什么？又将怎样运用它进行化简计算，这就是本节课所要研究的问题—．

（二）整体感知

中，应注意运算的次序．这是进行二次根式混合运算的前提条件；通过适当地复习乘法分式，分母有理化知识，然后再进行的教学工作，将有助于更好地学习它；同样为了更好地理解还可以将它与数的运算律和运算方法进行对比，以帮助学生更好地理解并准确地掌握好该知识，达到事半功倍的作用．

第一课时

（－）教学过程

【复习】

运算律在二次根式混合运算中仍适用．

各种整式乘法的法则．

乘法公式：．

．

提问：加法的交换律、结合律各是怎样的？乘法的交换律、结合律、分配津各是什么？

强调数的运算律在根式运算中仍适用后，可引入例题．

【例题】

例1计算：

（1）；

（2）．

解：略．

注：①加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于学生理解和掌握．②在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，而是先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简．例如，没有对先进行化简的必要，使计算繁琐，而是应先进行乘法运算，通过约分达到化简的目的．

例2计算：

（1）；

（2）；

（3）．

解：略．

注：①由学生观察算式，找出特征：两个数的和与这两个数差的积；两个数的和或差的平方，联想乘法公式，与多项式的乘法相类似，二次根式的和相乘，适用乘法公式时，运用乘法公式．

②复习乘法公式，可选做几个小题．如，等．

例3计算：

（1）；

（2）．

解：略．

③引入有理化因式的概念

例如，与，与．

注：互为有理化因式是指两个代数式，其乘积不再含有二次根式．

可适当再举例说明，如与，与、与，但与就不是互为有理化因式．

（二）随堂练习

计算：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）；（8）；

（9）．

解：（1）．

（2）

．

（3）

．

（4）

．

（5）

．

（6）

．

（7）．

（8）

．

（9）

．

（三）总结、扩展

对与整式的混合运算及数的混合运算比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．

有理化因式的概念需强调乘积的结果不再含有二次根式．

练习：教材P198中1、2；教材P199中3．

（四）布置作业

教材P204中1、2、3．

（五）板书设计

标题

1．复习内容例3……

2．例题3．有理化因式

例1……4．练习题

例2……

数学教案－二次根式的混合运算

一、教学目标

1．掌握二次根式的混合运算．

2．掌握混合运算的应用．

3．通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力．

4．通过混合运算知识拓展，培养学生的探索精神

二、教学设计

小结、归纳、提高

三、重点、难点解决办法

1．教学重点：二次根式的混合运算．

2．教学难点：混合运算的应用．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

七、教学过程

【例题】

例1化简：

（1）；（2）．

解：（1）

．

（2）

．

说明：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项（第2小题）达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可变换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把先变为，这样则为1，继续运算可避免错误．

例2解下列方程（组）：

（1）

（2）

（3）

解：（1）

．

（2）①×，得

③

②×，得

④

③－④，得

把代入①，得

解得．

∴是原方程组的解．

（3）由②，得

③

①×，得

④

③－④，得

把代入①，得

．

∴是原方程组的解．

例3已知，，求的值．

解：．

．

，，

∴．

例4已知，，求的值．

解：，．

．

（二）随堂练习

1．教材中P206中8．

2．解不等式：．

解：

∴．

3．已知，，求的值．

解：3．，或．

．

∴

．

4．已知，，求：的值．

解4．

．

5．已知，求的值．

解5．．

．

6．不求方根的值比较与的大小．

解6．∵

∴

∴

（三）总结、扩展

根据已知条件，求一个代数的值，要注意条件或代数式的化简，有时条件和要求的代数式都需要化简，当把条件化简后，代数式的化简要朝着条件化简的结果去化简．

（四）布置作业

教材中P207B组1、3和补充作业．

补充作业：

1．已知，求的值．

2．已知，，求的值．

（五）板书设计

标题

1．例题……3．例题……

2．练习题4．练习题

八、背景知识与课外阅读

二次根式的混和运算方法和顺序

1．方法（1）应用二次根式乘法、除法和加减法运算法则．

（2）在实数范围内运算律仍适用．

（3）二次根式的乘法，与多项式的乘法相类似，遇运用多项式乘法公式时，也可以运用乘法公式．

2．顺序先乘方、后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的数．

二次根式的混合运算初中教案精选

教学建议

知识结构

重难点分析

本节课的重点是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性，提高性综合学习；二次根式的运算和有理化的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力。

本节课的难点是把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。分母有理化，实际上二次根式的除法与混合运算的综合运用。分母有理化的过程，一般地，先确定分母的有理化因式，然后再根据分式的基本性质把分子、分母都乘以这个有理化因式，就可使分母有理化。所以对初学者来说，这一过程容易出现找错有理化因式和计算出错的问题。

教法建议

1.在知识的引入上，可采取复习引入方式，比如复习有理数的混合运算或整式的运算。

2.在二次根式的加减、乘法混合运算中，要注意由浅入深的层次安排，从单项式与多项式相乘、多项式与多项式到乘法公式的应用，逐渐从数过渡到带有字母的式。

3.在有理化因式教学中，要多出几组题目从不同角度要求学生辨别，并及时总结。

学生特点：实验班的A层学生(数学实施分层教学),主动学习积极性高，基础扎实，思维活跃,,并具有一定的独立分析问题,探索问题,归纳概括问题的能力,有较好的思考、质疑的习惯。

教材特点：本节课是在学习了二次根式的三个重要概念（最简二次根式、同类二次根式、分母有理化）和二次根式的有关运算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法）基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。

鉴于学生的特点及教材的特点，本节课主要采用“互动式”的课堂教学模式及“谈话式”的教学方法，以此实现生生互动、师生互动、学生与教材之间的互动。具体说明如下：

（一）在师生互动方面，教师注重问题设计，注重引导、点拨及提高性总结。使学生学中有思、思中有获。如本节课开始，出示书中例题1：

让学生先进行思考，解答。然后同学说出怎样进行。

强调：运算顺序及运算律和有理数相同。

（二）在学生与学生的互动上，教师注重活动设计，使学生学中有乐，乐中悟道。教师设计一组题目，让学生以竞赛的形式解答，然后以记成绩的方法让其它同学说出优点（简便方法及灵活之处）与错误。由于本节课主要以计算为主，对运算法则及规律性的基础知识，学生很容易掌握而且从意识上认为本节课太简单，不会很感兴趣，所以为了提高学生的学习兴趣及更好的抓好基础，提高学生的运算能力，如此这般设计。

（三）在个体与群体的互动方式上，教师注重合作设计，使学生学中有辩，辩中求同。如本节课中对重点问题：“分母有理化”的教学，出示一个题目，让学生思考，找个别学生说出自己的想法，然后其它同学补充完成。

学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动。正是在这一教育思想的指导下，追求学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动。互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振。

对二次根式混合运算新课引入的建议

复习：

1.计算：（1）；（2）.

解：(1)(2)

==

=；=.

2.在整式乘法中，单项式与多项式相乘的法则是什么？多项式与多项式的乘法法则是什么？什么是完全平方式？分别用式子表示出来。

答：单项式与多项式相乘的法则是，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为

m(a+b+c)=ma+mb+mc

多项式与多项式相乘的法则是，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每项，再把所得的积相加。用式子表示为

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,

其中a,b,m,n都是单项式。

完全平方式是

；。

在实数范围内，整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用，运用乘法法则及乘法公式可以进行。引入新课。

对二次根式混合运算学法的建议

在进行时，也有一个与分式运算相比较的问题，有的时候，加上团式分解、约分等技巧，可以大大简化计算过程，这是要灵活运用的．因此，在本节学习时，可以适当结合11．1节的内容，复习一下在实数范围内分解因式的问题，如

这里再顺便提一下，如

这种变形不是原来意义上的因式分解，否则就无法进行到底了．可以说是借助因式分解的方法，或具体说成提出，等等．

一、教学目标

1．掌握．

2．掌握乘法公式在混合运算的应用．

3．通过，培养学生的运算能力．

4．通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望

二、教学设计

小结、归纳、提高

三、重点、难点解决办法

1．教学重点：．

2．教学难点：混合运算的应用．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

1．复习，运算律及乘法分式，引导学生口答，并强调数的运算律在根式运算中的适用，引入例题．

2．通过例题由浅入深，层层深入，既提高学生学习的兴趣又激发学生求知的欲望；从例题的讲解中帮助寻找解题的方法，规律及注意点．

3．通过大量的练习，以期形成自己所掌握的知识．

七、教学步骤

（－）明确目标

前面学过二次根式的加减法的简单运算，但二次根式未必全是加减混合运算，它同样会出现二次根式的加、减、乘、除方等混合运算那么的法则是什么？又将怎样运用它进行化简计算，这就是本节课所要研究的问题—．

（二）整体感知

中，应注意运算的次序．这是进行二次根式混合运算的前提条件；通过适当地复习乘法分式，分母有理化知识，然后再进行的教学工作，将有助于更好地学习它；同样为了更好地理解还可以将它与数的运算律和运算方法进行对比，以帮助学生更好地理解并准确地掌握好该知识，达到事半功倍的作用．

第一课时

（－）教学过程

【复习】

运算律在二次根式混合运算中仍适用．

各种整式乘法的法则．

乘法公式：．

．

提问：加法的交换律、结合律各是怎样的？乘法的交换律、结合律、分配津各是什么？

强调数的运算律在根式运算中仍适用后，可引入例题．

【例题】

例1计算：

（1）；

（2）．

解：略．

注：①加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于学生理解和掌握．②在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，而是先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简．例如，没有对先进行化简的必要，使计算繁琐，而是应先进行乘法运算，通过约分达到化简的目的．

例2计算：

（1）；

（2）；

（3）．

解：略．

注：①由学生观察算式，找出特征：两个数的和与这两个数差的积；两个数的和或差的平方，联想乘法公式，与多项式的乘法相类似，二次根式的和相乘，适用乘法公式时，运用乘法公式．

②复习乘法公式，可选做几个小题．如，等．

例3计算：

（1）；

（2）．

解：略．

③引入有理化因式的概念

例如，与，与．

注：互为有理化因式是指两个代数式，其乘积不再含有二次根式．

可适当再举例说明，如与，与、与，但与就不是互为有理化因式．

（二）随堂练习

计算：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）；（8）；

（9）．

解：（1）．

（2）

．

（3）

．

（4）

．

（5）

．

（6）

．

（7）．

（8）

．

（9）

．

（三）总结、扩展

对与整式的混合运算及数的混合运算比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．

有理化因式的概念需强调乘积的结果不再含有二次根式．

练习：教材P198中1、2；教材P199中3．

（四）布置作业

教材P204中1、2、3．

（五）板书设计

标题

1．复习内容例3……

2．例题3．有理化因式

例1……4．练习题

例2……

二次根式的混合运算的教学方案

一、教学目标

1．掌握二次根式的混合运算．

2．掌握混合运算的应用．

3．通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力．

4．通过混合运算知识拓展，培养学生的探索精神

二、教学设计

小结、归纳、提高

三、重点、难点解决办法

1．教学重点：二次根式的混合运算．

2．教学难点：混合运算的应用．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

七、教学过程

【例题】

例1化简：

（1）；（2）．

解：（1）

．

（2）

．

说明：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项（第2小题）达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可变换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把先变为，这样则为1，继续运算可避免错误．

例2解下列方程（组）：

（1）

（2）

（3）

解：（1）

．

（2）①×，得

③

②×，得

④

③－④，得

把代入①，得

解得．

∴是原方程组的解．

（3）由②，得

③

①×，得

④

③－④，得

把代入①，得

．

∴是原方程组的解．

例3已知，，求的值．

解：．

．

，，

∴．

例4已知，，求的值．

解：，．

．

（二）随堂练习

1．教材中P206中8．

2．解不等式：．

解：

∴．

3．已知，，求的值．

解：3．，或．

．

∴

．

4．已知，，求：的值．

解4．

．

5．已知，求的值．

解5．．

．

6．不求方根的值比较与的大小．

解6．∵

∴

∴

（三）总结、扩展

根据已知条件，求一个代数的值，要注意条件或代数式的化简，有时条件和要求的代数式都需要化简，当把条件化简后，代数式的化简要朝着条件化简的结果去化简．

（四）布置作业

教材中P207B组1、3和补充作业．

补充作业：

1．已知，求的值．

2．已知，，求的值．

（五）板书设计

标题

1．例题……3．例题……

2．练习题4．练习题

八、背景知识与课外阅读

二次根式的混和运算方法和顺序

1．方法（1）应用二次根式乘法、除法和加减法运算法则．

（2）在实数范围内运算律仍适用．

（3）二次根式的乘法，与多项式的乘法相类似，遇运用多项式乘法公式时，也可以运用乘法公式．

2．顺序先乘方、后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的数．

经典初中教案数学教案－二次根式的混合运算

教学建议

知识结构

重难点分析

本节课的重点是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性，提高性综合学习；二次根式的运算和有理化的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力。

本节课的难点是把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。分母有理化，实际上二次根式的除法与混合运算的综合运用。分母有理化的过程，一般地，先确定分母的有理化因式，然后再根据分式的基本性质把分子、分母都乘以这个有理化因式，就可使分母有理化。所以对初学者来说，这一过程容易出现找错有理化因式和计算出错的问题。

教法建议

1.在知识的引入上，可采取复习引入方式，比如复习有理数的混合运算或整式的运算。

2.在二次根式的加减、乘法混合运算中，要注意由浅入深的层次安排，从单项式与多项式相乘、多项式与多项式到乘法公式的应用，逐渐从数过渡到带有字母的式。

3.在有理化因式教学中，要多出几组题目从不同角度要求学生辨别，并及时总结。

学生特点：实验班的A层学生(数学实施分层教学),主动学习积极性高，基础扎实，思维活跃,,并具有一定的独立分析问题,探索问题,归纳概括问题的能力,有较好的思考、质疑的习惯。

教材特点：本节课是在学习了二次根式的三个重要概念（最简二次根式、同类二次根式、分母有理化）和二次根式的有关运算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法）基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。

鉴于学生的特点及教材的特点，本节课主要采用“互动式”的课堂教学模式及“谈话式”的教学方法，以此实现生生互动、师生互动、学生与教材之间的互动。具体说明如下：

（一）在师生互动方面，教师注重问题设计，注重引导、点拨及提高性总结。使学生学中有思、思中有获。如本节课开始，出示书中例题1：

让学生先进行思考，解答。然后同学说出怎样进行二次根式的混合运算。

强调：运算顺序及运算律和有理数相同。

（二）在学生与学生的互动上，教师注重活动设计，使学生学中有乐，乐中悟道。教师设计一组题目，让学生以竞赛的形式解答，然后以记成绩的方法让其它同学说出优点（简便方法及灵活之处）与错误。由于本节课主要以计算为主，对运算法则及规律性的基础知识，学生很容易掌握而且从意识上认为本节课太简单，不会很感兴趣，所以为了提高学生的学习兴趣及更好的抓好基础，提高学生的运算能力，如此这般设计。

（三）在个体与群体的互动方式上，教师注重合作设计，使学生学中有辩，辩中求同。如本节课中对重点问题：“分母有理化”的教学，出示一个题目，让学生思考，找个别学生说出自己的想法，然后其它同学补充完成。

学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动。正是在这一教育思想的指导下，追求学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动。互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振。

对二次根式混合运算新课引入的建议

复习：

1.计算：（1）；（2）.

解：(1)(2)

==

=；=.

2.在整式乘法中，单项式与多项式相乘的法则是什么？多项式与多项式的乘法法则是什么？什么是完全平方式？分别用式子表示出来。

答：单项式与多项式相乘的法则是，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为

m(a+b+c)=ma+mb+mc

多项式与多项式相乘的法则是，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每项，再把所得的积相加。用式子表示为

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,

其中a,b,m,n都是单项式。

完全平方式是

；。

在实数范围内，整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用，运用乘法法则及乘法公式可以进行二次根式的混合运算。引入新课。

对二次根式混合运算学法的建议

在进行二次根式的混合运算时，也有一个与分式运算相比较的问题，有的时候，加上团式分解、约分等技巧，可以大大简化计算过程，这是要灵活运用的．因此，在本节学习时，可以适当结合11．1节的内容，复习一下在实数范围内分解因式的问题，如

这里再顺便提一下，如

这种变形不是原来意义上的因式分解，否则就无法进行到底了．可以说是借助因式分解的方法，或具体说成提出，等等．

一、教学目标

1．掌握二次根式的混合运算．

2．掌握乘法公式在混合运算的应用．

3．通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力．

4．通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望

二、教学设计

小结、归纳、提高

三、重点、难点解决办法

1．教学重点：二次根式的混合运算．

2．教学难点：混合运算的应用．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

1．复习，运算律及乘法分式，引导学生口答，并强调数的运算律在根式运算中的适用，引入例题．

2．通过例题由浅入深，层层深入，既提高学生学习的兴趣又激发学生求知的欲望；从例题的讲解中帮助寻找解题的方法，规律及注意点．

3．通过大量的练习，以期形成自己所掌握的知识．

七、教学步骤

（－）明确目标

前面学过二次根式的加减法的简单运算，但二次根式未必全是加减混合运算，它同样会出现二次根式的加、减、乘、除方等混合运算那么二次根式的混合运算的法则是什么？又将怎样运用它进行化简计算，这就是本节课所要研究的问题—二次根式的混合运算．

（二）整体感知

二次根式的混合运算中，应注意运算的次序．这是进行二次根式混合运算的前提条件；通过适当地复习乘法分式，分母有理化知识，然后再进行二次根式的混合运算的教学工作，将有助于更好地学习它；同样为了更好地理解二次根式的混合运算还可以将它与数的运算律和运算方法进行对比，以帮助学生更好地理解并准确地掌握好该知识，达到事半功倍的作用．

第一课时

（－）教学过程

【复习】

运算律在二次根式混合运算中仍适用．

各种整式乘法的法则．

乘法公式：．

．

提问：加法的交换律、结合律各是怎样的？乘法的交换律、结合律、分配津各是什么？

强调数的运算律在根式运算中仍适用后，可引入例题．

【例题】

例1计算：

（1）；

（2）．

解：略．

注：①加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于学生理解和掌握．②在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，而是先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简．例如，没有对先进行化简的必要，使计算繁琐，而是应先进行乘法运算，通过约分达到化简的目的．

例2计算：

（1）；

（2）；

（3）．

解：略．

注：①由学生观察算式，找出特征：两个数的和与这两个数差的积；两个数的和或差的平方，联想乘法公式，与多项式的乘法相类似，二次根式的和相乘，适用乘法公式时，运用乘法公式．

②复习乘法公式，可选做几个小题．如，等．

例3计算：

（1）；

（2）．

解：略．

③引入有理化因式的概念

例如，与，与．

注：互为有理化因式是指两个代数式，其乘积不再含有二次根式．

可适当再举例说明，如与，与、与，但与就不是互为有理化因式．

（二）随堂练习

计算：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）；（8）；

（9）．

解：（1）．

（2）

．

（3）

．

（4）

．

（5）

．

（6）

．

（7）．

（8）

．

（9）

．

（三）总结、扩展

对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．

有理化因式的概念需强调乘积的结果不再含有二次根式．

练习：教材P198中1、2；教材P199中3．

（四）布置作业

教材P204中1、2、3．

（五）板书设计

标题

1．复习内容例3……

2．例题3．有理化因式

例1……4．练习题

例2……

数学教案－二次根式的混合运算相关教学方案

一、教学目标

1．理解分母有理化与除法的关系．

2．掌握二次根式的分母有理化．

3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．

4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想

二、教学设计

小结、归纳、提高

三、重点、难点解决办法

1．教学重点：分母有理化．

2．教学难点：分母有理化的技巧．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

七、教学过程

【复习提问】

二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式．

例1说出下列算式的运算步骤和顺序：

（1）（先乘除，后加减）．

（2）（有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．

（3）辨别有理化因式：

有理化因式：与，与，与…

不是有理化因式：与，与…

化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）．

例如，、、等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？

引入新课题．

【引入新课】

化简式子，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以的有理化因式，而这个式子就是，从而可将式子化简．

例2把下列各式的分母有理化：

（1）；（2）；（3）

解：略．

注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据．式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单．

（二）随堂练习

1．把下列各式的分母有理化：

（1）；（2）；

（3）；（4）．

解：（1）．

（2）．

另解：．

（3）

．

另解：．

通过以上例题和练习题，可以看出，有关二次根式的除法，可先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算，例如：

，现将分母有理化，就可以了．

，学生易发生如下错误，将式子变形为，而正确的做法是．

2．计算：

（1）；

（2）；

（3）．

解：（1）

．

（2）

．

（3）

．

（三）小结

1．强调二次根式混合运算的法则；

2．注意对有理化因式的概括并寻找出它的规律．

（1）如单独一项的有理化因式就是它本身．（2）如出现和、差形式的：的有理化因式为，的有理数化因式为．

（2）练习：教材P202中1、2．

（四）布置作业

教材P205中4、5．

（五）板书设计

标题

1．复习内容3．练习题一

2．例44．练习题二

二次根式的乘法教案模板

教学建议

知识结构：

重点难点分析：

本节的教学重点是利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.积的算术平方根的性质是本节的中心内容，化简和运算都是围绕其进行的，而运用此性质计算化简又是二次根式的化简和混合运算的基础.二次根式的计算和化简通常与如勾股定理等几何方面的知识综合在一起.

本节难点是与积的算术平方根的关系及应用.积的算术平方根在应用时既要强调这部分题目中的字母为正数，但又要注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识.要让学生认识到积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的关系。综合应用性质或乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.

教法建议：

1.由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，因此要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要逐步有序的展开.在讲解时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系。

2.积的算术平方根的性质和（）及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算一组具体的式子，引导他们做出一般的结论。由于归纳是通过对一些个别的、特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论，这种思维过程对于初中学生认识、研究和发现事物的规律有着重要的作用，所以在教学中对于培养的思维品质有着重要的作用。

教学设计示例

(一)

一、教学目标

1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．

2．会进行简单的运算．

3．使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题．

4．使学生了解比较二次根式的大小的方法．

二、教学重点和难点

1．重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的运算．

2．难点：与积的算术平方根的关系及应用．

三、教学方法

从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法．

四、教学手段

利用投影仪．

五、教学过程

(一)引入新课

观察下面的例子：

于是可得到：

又如：

类似地可以得到：

(二)新课

积的算术平方根．

由前面所举特殊的例子，引导学生总结出：一般地，有(a≥0，b≥0)．

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．

要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a≥0、b≥0．在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积．

根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．

例1把下面各数分解因数：

(1)20；(2)42；(3)63；(4)128．

说明：通过本题复习分解因数，为利用积的算术平方根公式化简二次根式打下基础．

解：略．

例2化简：

（1）（2）

（3）（4）

分析：本题需要用积的算术平方根公式进行化简，题目中的被开方数都是具体数字，学生便于理解，在讲完例2后可以总结化简的方法．

解：（1）

（2）

（3）

（4）

说明：①(a≥0，b≥0)可以推广为(a≥0，b≥0，c≥0)．

②这个小题与本章章头图与章序言的内容有联系，解答了章序言中提出的一个问题．

③(4)小题要首先用平方差公式分解成积的形式，才可以用积的算术平方根公式进行化简．

④通过例2可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简．

通过例2，我们根据算术平方根的定义，可得出：，，等结果，于是可以总结出：一般地，有

（a≥0）

关于a＜0时，，这种情况将在本章最后一小节专门研究.

例3化简：

（1）；（2）

分析：由例3，让学生注意，在本章中，未加特别说明时，字母一般表示正数，但在实际问题中不一定非是正数不可，如第(1)小题，a可以是负数，根据学生实际情况，可适当引导学生展开小组的讨论，渗透分类讨论的思想．

解：（1）

（2）

说明：x2+y2这个式子不能再开方了，进一步强调积的算术平方根公式的特点．

例4如右图，在△ABC中，∠C=90°，4C=10cm，BC=24cm．求AB．

解：∵AB2=AC2+BC2

∴

(cm)

答：AB长26cm．

(三)小结

1．本节课讲了积的算术平方根的性质

(a≥0，b≥0)．

通过分式的应用，让学生进一步总结，为什么必须有a≥0、b≥0这个条件，而没有这个条件上述性质不成立．

问学生：当a＜0，b＜0，也有意义，为什么一定要a≥0、b≥0呢？

引导学生说出：若a＜0，b＜0，，在实数范围内没有意义.公式显然不成立．

2．利用积的算术平方根的性质，化简二次根式的方法．

3．结合几何课学习的勾股定理，提高学生解决实际问题的能力．

(四)练习

1．化简：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）;(6)；

（7）；（8）

2．计算：

（1）；（2）；

（3）；（4）

3．已知一个直角三角形的斜边c=21，一条直角边b＝4，求另一条直角边a．

六、作业

教材P．177习题11．2；A组1、2、3、4、5．

七、板书设计

二次根式教案模板

一、教学过程

(一)复习提问

1．什么叫二次根式？

2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：

(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值为任意实数．

(二)二次根式的简单性质

上节课我们已经学习了二次根式的定义，并了解了第一个简单性质

我们知道，正数a有两个平方根，分别记作零的平方根是零。引导学生总结出，其中，就是一个非负数a的算术平方根。将符号看作开平方求算术平方根的运算，看作将一个数进行平方的运算，而开平方运算和平方运算是互为逆运算，因而有：

这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0，提问学生，a可以代表一个代数式吗？

请分析：引导学生答如时才成立。

时才成立，即a取任意实数时都成立。

我们知道

如果我们把，同学们想一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了．

例1计算：

分析：这个例题中的四个小题，主要是运用公式。其中(2)、(3)、(4)题又运用了整式乘除中学习的积的幂的运算性质．结合第（2）小题中的，说明，这与带分数。因此，以后遇到，应写成，而不宜写成。

例2把下列非负数写成一个数的平方的形式：

(1)5；(2)11；(3)1.6；(4)0.35．

例3把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：

(1)4x2-1；(2)a4-9；

(3)3a2-10；(4)a4-6a2+9．

解：(1)4x2-1

=(2x)2-12

=(2x+1)(2x-1)．

(2)a4-9

=(a2)2-32

=(a2+3)(a2-3)

(3)3a2-10

(4)a4-6a2+32

=(a2)2-6a2+32

=(a2-3)2

(三)小结

1．继续巩固二次根式的定义，及二次根式中被开方数的取值范围问题．

2．关于公式的应用。

(1)经常用于乘法的运算中．

(2)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式，解决在实数范围内因式分解等方面的问题．

(四)练习和作业

练习：

1．填空

注意第(4)题需有2m≥0，m≥0，又需有-3m≥0，即m≤0，故m=0．

2．实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：

分析：通过本题渗透数形结合的思想，进一步巩固二次根式的定义、性质，引导学生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．

3．计算

二、作业

教材P．172习题11．1；A组2、3；B组2．

补充作业：

下列各式中的字母满足什么条件时，才能使该式成为二次根式？

分析：要使这些式成为二次根式，只要被开方式是非负数即可，启发学生分析如下：

(1)由-｜a-2b｜≥0，得a-2b≤0，

但根据绝对值的性质，有｜a-2b｜≥0，

∴｜a-2b｜=0，即a-2b=0，得a=2b．

(2)由(-m2-1)(m-n)≥0，-(m2+1)(m-n)≥0

∴(m2+1)(m-n)≤0，又m2+1＞0，

∴m-n≤0，即m≤n．

说明：本题求解较难些，但基本方法仍是由二次根式中被开方数(式)大于或等于零列出不等式．通过本题培养学生对于较复杂的题的分析问题和解决问题的能力，并且进一步巩固二次根式的概念．

三、板书设计

二次根式

一、教学过程

(一)复习提问

1．什么叫二次根式？

2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：

(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值为任意实数．

(二)二次根式的简单性质

上节课我们已经学习了二次根式的定义，并了解了第一个简单性质

我们知道，正数a有两个平方根，分别记作零的平方根是零。引导学生总结出，其中，就是一个非负数a的算术平方根。将符号看作开平方求算术平方根的运算，看作将一个数进行平方的运算，而开平方运算和平方运算是互为逆运算，因而有：

这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0，提问学生，a可以代表一个代数式吗？

请分析：引导学生答如时才成立。

时才成立，即a取任意实数时都成立。

我们知道

如果我们把，同学们想一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了．

例1计算：

分析：这个例题中的四个小题，主要是运用公式。其中(2)、(3)、(4)题又运用了整式乘除中学习的积的幂的运算性质．结合第（2）小题中的，说明，这与带分数。因此，以后遇到，应写成，而不宜写成。

例2把下列非负数写成一个数的平方的形式：

(1)5；(2)11；(3)1.6；(4)0.35．

例3把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：

(1)4x2-1；(2)a4-9；

(3)3a2-10；(4)a4-6a2+9．

解：(1)4x2-1

=(2x)2-12

=(2x+1)(2x-1)．

(2)a4-9

=(a2)2-32

=(a2+3)(a2-3)

(3)3a2-10

(4)a4-6a2+32

=(a2)2-6a2+32

=(a2-3)2

(三)小结

1．继续巩固二次根式的定义，及二次根式中被开方数的取值范围问题．

2．关于公式的应用。

(1)经常用于乘法的运算中．

(2)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式，解决在实数范围内因式分解等方面的问题．

(四)练习和作业

练习：

1．填空

注意第(4)题需有2m≥0，m≥0，又需有-3m≥0，即m≤0，故m=0．

2．实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：

分析：通过本题渗透数形结合的思想，进一步巩固二次根式的定义、性质，引导学生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．

3．计算

二、作业

教材P．172习题11．1；A组2、3；B组2．

补充作业：

下列各式中的字母满足什么条件时，才能使该式成为二次根式？

分析：要使这些式成为二次根式，只要被开方式是非负数即可，启发学生分析如下：

(1)由-｜a-2b｜≥0，得a-2b≤0，

但根据绝对值的性质，有｜a-2b｜≥0，

∴｜a-2b｜=0，即a-2b=0，得a=2b．

(2)由(-m2-1)(m-n)≥0，-(m2+1)(m-n)≥0

∴(m2+1)(m-n)≤0，又m2+1＞0，

∴m-n≤0，即m≤n．

说明：本题求解较难些，但基本方法仍是由二次根式中被开方数(式)大于或等于零列出不等式．通过本题培养学生对于较复杂的题的分析问题和解决问题的能力，并且进一步巩固二次根式的概念．

三、板书设计

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