二次根式的乘法教案模板

在我们的初中教学中都离不开教案，教案在我们的教学生活当中十分常见，一份优质的教学方案往往来自教师长时间的经验累积，写初中教案要注意哪些方面呢？本站收集了《二次根式的乘法教案模板》，供您参考。

教学建议

知识结构：

重点难点分析：

本节的教学重点是利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.积的算术平方根的性质是本节的中心内容，化简和运算都是围绕其进行的，而运用此性质计算化简又是二次根式的化简和混合运算的基础.二次根式的计算和化简通常与如勾股定理等几何方面的知识综合在一起.

本节难点是与积的算术平方根的关系及应用.积的算术平方根在应用时既要强调这部分题目中的字母为正数，但又要注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识.要让学生认识到积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的关系。综合应用性质或乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.

教法建议：

1.由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，因此要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要逐步有序的展开.在讲解时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系。

2.积的算术平方根的性质和（）及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算一组具体的式子，引导他们做出一般的结论。由于归纳是通过对一些个别的、特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论，这种思维过程对于初中学生认识、研究和发现事物的规律有着重要的作用，所以在教学中对于培养的思维品质有着重要的作用。

教学设计示例

(一)

一、教学目标

1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．

2．会进行简单的运算．

3．使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题．

4．使学生了解比较二次根式的大小的方法．

二、教学重点和难点

1．重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的运算．

2．难点：与积的算术平方根的关系及应用．

三、教学方法

从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法．

四、教学手段

利用投影仪．

五、教学过程

(一)引入新课

观察下面的例子：

于是可得到：

又如：

类似地可以得到：

(二)新课

积的算术平方根．

由前面所举特殊的例子，引导学生总结出：一般地，有(a≥0，b≥0)．

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．

要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a≥0、b≥0．在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积．

根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．

例1把下面各数分解因数：

(1)20；(2)42；(3)63；(4)128．

说明：通过本题复习分解因数，为利用积的算术平方根公式化简二次根式打下基础．

解：略．

例2化简：

（1）（2）

（3）（4）

分析：本题需要用积的算术平方根公式进行化简，题目中的被开方数都是具体数字，学生便于理解，在讲完例2后可以总结化简的方法．

解：（1）

（2）

（3）

（4）

说明：①(a≥0，b≥0)可以推广为(a≥0，b≥0，c≥0)．

②这个小题与本章章头图与章序言的内容有联系，解答了章序言中提出的一个问题．

③(4)小题要首先用平方差公式分解成积的形式，才可以用积的算术平方根公式进行化简．

④通过例2可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简．

通过例2，我们根据算术平方根的定义，可得出：，，等结果，于是可以总结出：一般地，有

（a≥0）

关于a＜0时，，这种情况将在本章最后一小节专门研究.

例3化简：

（1）；（2）

分析：由例3，让学生注意，在本章中，未加特别说明时，字母一般表示正数，但在实际问题中不一定非是正数不可，如第(1)小题，a可以是负数，根据学生实际情况，可适当引导学生展开小组的讨论，渗透分类讨论的思想．

解：（1）

（2）

说明：x2+y2这个式子不能再开方了，进一步强调积的算术平方根公式的特点．

例4如右图，在△ABC中，∠C=90°，4C=10cm，BC=24cm．求AB．

解：∵AB2=AC2+BC2

∴

(cm)

答：AB长26cm．

(三)小结

1．本节课讲了积的算术平方根的性质

(a≥0，b≥0)．

通过分式的应用，让学生进一步总结，为什么必须有a≥0、b≥0这个条件，而没有这个条件上述性质不成立．

问学生：当a＜0，b＜0，也有意义，为什么一定要a≥0、b≥0呢？

引导学生说出：若a＜0，b＜0，，在实数范围内没有意义.公式显然不成立．

2．利用积的算术平方根的性质，化简二次根式的方法．

3．结合几何课学习的勾股定理，提高学生解决实际问题的能力．

(四)练习

1．化简：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）;(6)；

（7）；（8）

2．计算：

（1）；（2）；

（3）；（4）

3．已知一个直角三角形的斜边c=21，一条直角边b＝4，求另一条直角边a．

六、作业

教材P．177习题11．2；A组1、2、3、4、5．

七、板书设计

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经典初中教案二次根式的乘法

教学建议

知识结构：

重点难点分析：

本节的教学重点是利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.积的算术平方根的性质是本节的中心内容，化简和运算都是围绕其进行的，而运用此性质计算化简又是二次根式的化简和混合运算的基础.二次根式的计算和化简通常与如勾股定理等几何方面的知识综合在一起.

本节难点是与积的算术平方根的关系及应用.积的算术平方根在应用时既要强调这部分题目中的字母为正数，但又要注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识.要让学生认识到积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的关系。综合应用性质或乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.

教法建议：

1.由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，因此要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要逐步有序的展开.在讲解时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系。

2.积的算术平方根的性质和（）及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算一组具体的式子，引导他们做出一般的结论。由于归纳是通过对一些个别的、特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论，这种思维过程对于初中学生认识、研究和发现事物的规律有着重要的作用，所以在教学中对于培养的思维品质有着重要的作用。

教学设计示例

(一)

一、教学目标

1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．

2．会进行简单的运算．

3．使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题．

4．使学生了解比较二次根式的大小的方法．

二、教学重点和难点

1．重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的运算．

2．难点：与积的算术平方根的关系及应用．

三、教学方法

从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法．

四、教学手段

利用投影仪．

五、教学过程

(一)引入新课

观察下面的例子：

于是可得到：

又如：

类似地可以得到：

(二)新课

积的算术平方根．

由前面所举特殊的例子，引导学生总结出：一般地，有(a≥0，b≥0)．

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．

要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a≥0、b≥0．在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积．

根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．

例1把下面各数分解因数：

(1)20；(2)42；(3)63；(4)128．

说明：通过本题复习分解因数，为利用积的算术平方根公式化简二次根式打下基础．

解：略．

例2化简：

（1）（2）

（3）（4）

分析：本题需要用积的算术平方根公式进行化简，题目中的被开方数都是具体数字，学生便于理解，在讲完例2后可以总结化简的方法．

解：（1）

（2）

（3）

（4）

说明：①(a≥0，b≥0)可以推广为(a≥0，b≥0，c≥0)．

②这个小题与本章章头图与章序言的内容有联系，解答了章序言中提出的一个问题．

③(4)小题要首先用平方差公式分解成积的形式，才可以用积的算术平方根公式进行化简．

④通过例2可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简．

通过例2，我们根据算术平方根的定义，可得出：，，等结果，于是可以总结出：一般地，有

（a≥0）

关于a＜0时，，这种情况将在本章最后一小节专门研究.

例3化简：

（1）；（2）

分析：由例3，让学生注意，在本章中，未加特别说明时，字母一般表示正数，但在实际问题中不一定非是正数不可，如第(1)小题，a可以是负数，根据学生实际情况，可适当引导学生展开小组的讨论，渗透分类讨论的思想．

解：（1）

（2）

说明：x2+y2这个式子不能再开方了，进一步强调积的算术平方根公式的特点．

例4如右图，在△ABC中，∠C=90°，4C=10cm，BC=24cm．求AB．

解：∵AB2=AC2+BC2

∴

(cm)

答：AB长26cm．

(三)小结

1．本节课讲了积的算术平方根的性质

(a≥0，b≥0)．

通过分式的应用，让学生进一步总结，为什么必须有a≥0、b≥0这个条件，而没有这个条件上述性质不成立．

问学生：当a＜0，b＜0，也有意义，为什么一定要a≥0、b≥0呢？

引导学生说出：若a＜0，b＜0，，在实数范围内没有意义.公式显然不成立．

2．利用积的算术平方根的性质，化简二次根式的方法．

3．结合几何课学习的勾股定理，提高学生解决实际问题的能力．

(四)练习

1．化简：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）;(6)；

（7）；（8）

2．计算：

（1）；（2）；

（3）；（4）

3．已知一个直角三角形的斜边c=21，一条直角边b＝4，求另一条直角边a．

六、作业

教材P．177习题11．2；A组1、2、3、4、5．

七、板书设计

二次根式教案模板

一、教学过程

(一)复习提问

1．什么叫二次根式？

2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：

(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值为任意实数．

(二)二次根式的简单性质

上节课我们已经学习了二次根式的定义，并了解了第一个简单性质

我们知道，正数a有两个平方根，分别记作零的平方根是零。引导学生总结出，其中，就是一个非负数a的算术平方根。将符号看作开平方求算术平方根的运算，看作将一个数进行平方的运算，而开平方运算和平方运算是互为逆运算，因而有：

这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0，提问学生，a可以代表一个代数式吗？

请分析：引导学生答如时才成立。

时才成立，即a取任意实数时都成立。

我们知道

如果我们把，同学们想一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了．

例1计算：

分析：这个例题中的四个小题，主要是运用公式。其中(2)、(3)、(4)题又运用了整式乘除中学习的积的幂的运算性质．结合第（2）小题中的，说明，这与带分数。因此，以后遇到，应写成，而不宜写成。

例2把下列非负数写成一个数的平方的形式：

(1)5；(2)11；(3)1.6；(4)0.35．

例3把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：

(1)4x2-1；(2)a4-9；

(3)3a2-10；(4)a4-6a2+9．

解：(1)4x2-1

=(2x)2-12

=(2x+1)(2x-1)．

(2)a4-9

=(a2)2-32

=(a2+3)(a2-3)

(3)3a2-10

(4)a4-6a2+32

=(a2)2-6a2+32

=(a2-3)2

(三)小结

1．继续巩固二次根式的定义，及二次根式中被开方数的取值范围问题．

2．关于公式的应用。

(1)经常用于乘法的运算中．

(2)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式，解决在实数范围内因式分解等方面的问题．

(四)练习和作业

练习：

1．填空

注意第(4)题需有2m≥0，m≥0，又需有-3m≥0，即m≤0，故m=0．

2．实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：

分析：通过本题渗透数形结合的思想，进一步巩固二次根式的定义、性质，引导学生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．

3．计算

二、作业

教材P．172习题11．1；A组2、3；B组2．

补充作业：

下列各式中的字母满足什么条件时，才能使该式成为二次根式？

分析：要使这些式成为二次根式，只要被开方式是非负数即可，启发学生分析如下：

(1)由-｜a-2b｜≥0，得a-2b≤0，

但根据绝对值的性质，有｜a-2b｜≥0，

∴｜a-2b｜=0，即a-2b=0，得a=2b．

(2)由(-m2-1)(m-n)≥0，-(m2+1)(m-n)≥0

∴(m2+1)(m-n)≤0，又m2+1＞0，

∴m-n≤0，即m≤n．

说明：本题求解较难些，但基本方法仍是由二次根式中被开方数(式)大于或等于零列出不等式．通过本题培养学生对于较复杂的题的分析问题和解决问题的能力，并且进一步巩固二次根式的概念．

三、板书设计

二次根式的混合运算教案模板

一、教学目标

1．理解分母有理化与除法的关系．

2．掌握二次根式的分母有理化．

3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．

4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想

二、教学设计

小结、归纳、提高

三、重点、难点解决办法

1．教学重点：分母有理化．

2．教学难点：分母有理化的技巧．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

七、教学过程

【复习提问】

二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式．

例1说出下列算式的运算步骤和顺序：

（1）（先乘除，后加减）．

（2）（有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．

（3）辨别有理化因式：

有理化因式：与，与，与…

不是有理化因式：与，与…

化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）．

例如，、、等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？

引入新课题．

【引入新课】

化简式子，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以的有理化因式，而这个式子就是，从而可将式子化简．

例2把下列各式的分母有理化：

（1）；（2）；（3）

解：略．

注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据．式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单．

（二）随堂练习

1．把下列各式的分母有理化：

（1）；（2）；

（3）；（4）．

解：（1）．

（2）．

另解：．

（3）

．

另解：．

通过以上例题和练习题，可以看出，有关二次根式的除法，可先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算，例如：

，现将分母有理化，就可以了．

，学生易发生如下错误，将式子变形为，而正确的做法是．

2．计算：

（1）；

（2）；

（3）．

解：（1）

．

（2）

．

（3）

．

（三）小结

1．强调二次根式混合运算的法则；

2．注意对有理化因式的概括并寻找出它的规律．

（1）如单独一项的有理化因式就是它本身．（2）如出现和、差形式的：的有理化因式为，的有理数化因式为．

（2）练习：教材P202中1、2．

（四）布置作业

教材P205中4、5．

（五）板书设计

标题

1．复习内容3．练习题一

2．例44．练习题二

数学教案－二次根式的乘法的教学方案

教学建议

知识结构：

重点难点分析：

本节的教学重点是利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.积的算术平方根的性质是本节的中心内容，化简和运算都是围绕其进行的，而运用此性质计算化简又是二次根式的化简和混合运算的基础.二次根式的计算和化简通常与如勾股定理等几何方面的知识综合在一起.

本节难点是二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.积的算术平方根在应用时既要强调这部分题目中的字母为正数，但又要注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识.要让学生认识到积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的关系。综合应用性质或乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.

教法建议：

1.由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，因此要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要逐步有序的展开.在讲解二次根式的乘法时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系。

2.积的算术平方根的性质和（）及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算一组具体的式子，引导他们做出一般的结论。由于归纳是通过对一些个别的、特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论，这种思维过程对于初中学生认识、研究和发现事物的规律有着重要的作用，所以在教学中对于培养的思维品质有着重要的作用。

教学设计示例

二次根式的乘法(一)

一、教学目标

1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．

2．会进行简单的二次根式的乘法运算．

3．使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题．

4．使学生了解比较二次根式的大小的方法．

二、教学重点和难点

1．重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的二次根式的乘法运算．

2．难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．

三、教学方法

从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法．

四、教学手段

利用投影仪．

五、教学过程

(一)引入新课

观察下面的例子：

于是可得到：

又如：

类似地可以得到：

(二)新课

积的算术平方根．

由前面所举特殊的例子，引导学生总结出：一般地，有(a≥0，b≥0)．

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．

要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a≥0、b≥0．在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积．

根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．

例1把下面各数分解因数：

(1)20；(2)42；(3)63；(4)128．

说明：通过本题复习分解因数，为利用积的算术平方根公式化简二次根式打下基础．

解：略．

例2化简：

（1）（2）

（3）（4）

分析：本题需要用积的算术平方根公式进行化简，题目中的被开方数都是具体数字，学生便于理解，在讲完例2后可以总结化简的方法．

解：（1）

（2）

（3）

（4）

说明：①(a≥0，b≥0)可以推广为(a≥0，b≥0，c≥0)．

②这个小题与本章章头图与章序言的内容有联系，解答了章序言中提出的一个问题．

③(4)小题要首先用平方差公式分解成积的形式，才可以用积的算术平方根公式进行化简．

④通过例2可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简．

通过例2，我们根据算术平方根的定义，可得出：，，等结果，于是可以总结出：一般地，有

（a≥0）

关于a＜0时，，这种情况将在本章最后一小节专门研究.

例3化简：

（1）；（2）

分析：由例3，让学生注意，在本章中，未加特别说明时，字母一般表示正数，但在实际问题中不一定非是正数不可，如第(1)小题，a可以是负数，根据学生实际情况，可适当引导学生展开小组的讨论，渗透分类讨论的思想．

解：（1）

（2）

说明：x2+y2这个式子不能再开方了，进一步强调积的算术平方根公式的特点．

例4如右图，在△ABC中，∠C=90°，4C=10cm，BC=24cm．求AB．

解：∵AB2=AC2+BC2

∴

(cm)

答：AB长26cm．

(三)小结

1．本节课讲了积的算术平方根的性质

(a≥0，b≥0)．

通过分式的应用，让学生进一步总结，为什么必须有a≥0、b≥0这个条件，而没有这个条件上述性质不成立．

问学生：当a＜0，b＜0，也有意义，为什么一定要a≥0、b≥0呢？

引导学生说出：若a＜0，b＜0，，在实数范围内没有意义.公式显然不成立．

2．利用积的算术平方根的性质，化简二次根式的方法．

3．结合几何课学习的勾股定理，提高学生解决实际问题的能力．

(四)练习

1．化简：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）;(6)；

（7）；（8）

2．计算：

（1）；（2）；

（3）；（4）

3．已知一个直角三角形的斜边c=21，一条直角边b＝4，求另一条直角边a．

六、作业

教材P．177习题11．2；A组1、2、3、4、5．

七、板书设计

二次根式

一、教学过程

(一)复习提问

1．什么叫二次根式？

2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：

(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值为任意实数．

(二)二次根式的简单性质

上节课我们已经学习了二次根式的定义，并了解了第一个简单性质

我们知道，正数a有两个平方根，分别记作零的平方根是零。引导学生总结出，其中，就是一个非负数a的算术平方根。将符号看作开平方求算术平方根的运算，看作将一个数进行平方的运算，而开平方运算和平方运算是互为逆运算，因而有：

这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0，提问学生，a可以代表一个代数式吗？

请分析：引导学生答如时才成立。

时才成立，即a取任意实数时都成立。

我们知道

如果我们把，同学们想一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了．

例1计算：

分析：这个例题中的四个小题，主要是运用公式。其中(2)、(3)、(4)题又运用了整式乘除中学习的积的幂的运算性质．结合第（2）小题中的，说明，这与带分数。因此，以后遇到，应写成，而不宜写成。

例2把下列非负数写成一个数的平方的形式：

(1)5；(2)11；(3)1.6；(4)0.35．

例3把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：

(1)4x2-1；(2)a4-9；

(3)3a2-10；(4)a4-6a2+9．

解：(1)4x2-1

=(2x)2-12

=(2x+1)(2x-1)．

(2)a4-9

=(a2)2-32

=(a2+3)(a2-3)

(3)3a2-10

(4)a4-6a2+32

=(a2)2-6a2+32

=(a2-3)2

(三)小结

1．继续巩固二次根式的定义，及二次根式中被开方数的取值范围问题．

2．关于公式的应用。

(1)经常用于乘法的运算中．

(2)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式，解决在实数范围内因式分解等方面的问题．

(四)练习和作业

练习：

1．填空

注意第(4)题需有2m≥0，m≥0，又需有-3m≥0，即m≤0，故m=0．

2．实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：

分析：通过本题渗透数形结合的思想，进一步巩固二次根式的定义、性质，引导学生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．

3．计算

二、作业

教材P．172习题11．1；A组2、3；B组2．

补充作业：

下列各式中的字母满足什么条件时，才能使该式成为二次根式？

分析：要使这些式成为二次根式，只要被开方式是非负数即可，启发学生分析如下：

(1)由-｜a-2b｜≥0，得a-2b≤0，

但根据绝对值的性质，有｜a-2b｜≥0，

∴｜a-2b｜=0，即a-2b=0，得a=2b．

(2)由(-m2-1)(m-n)≥0，-(m2+1)(m-n)≥0

∴(m2+1)(m-n)≤0，又m2+1＞0，

∴m-n≤0，即m≤n．

说明：本题求解较难些，但基本方法仍是由二次根式中被开方数(式)大于或等于零列出不等式．通过本题培养学生对于较复杂的题的分析问题和解决问题的能力，并且进一步巩固二次根式的概念．

三、板书设计

最简二次根式教案模板

教学建议

1．教材分析

本节是在前两节的基础上，从实际运算的客观需要出发，引出的概念，然后通过一组例题介绍了化简二次根式的方法．本小节内容比较少（求学生了解的概念并掌握化简二次根式的方法），但是本节知识在全章中却起着承上启下的重要枢纽作用，二次根式性质的应用、二次根式的化简以及二次根式的运算都需要来联接．

(1)知识结构

(2)重难点分析

①本节的重点Ⅰ．概念

Ⅱ．利用二次根式的性质把二次根式化简为．

重点分析本章的主要内容是二次根式的性质和运算，但自始至终围绕着二次根式的化简和运算．二次根式化简的最终目标就是；而二次根式的运算则是合并同类二次根式，怎样判定同类二次根式，是在化简为的基础上进行的．因此本节以二次根式的概念和二次根式的性质为基础，内容虽然简单，在本章中却起着穿针引线的作用，教师在教学中应给于极度重视，不可因为内容简单而采取弱化处理；同时初二学生代数成绩的分化一般是由本节开始的，分化的根本原因就是对概念理解不够深刻，遇到相关问题不知怎样操作，具体操作到哪一步．

②本节的难点是化简二次根式的方法与技巧．

难点分析化简二次根式，实际上是二次根式性质的综合运用．化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分．所以对初学者来说，这一过程容易出现符号和计算出错的问题．熟练掌握化简二次根式的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力．

③重难点的解决办法是对于这一概念，并不要求学生能否背出定义，关键是遇到实际式子能够加以判断．因此建议在教学过程中对概念本身采取弱化处理，让学生在反复练习中熟悉这个概念；同时教学中应充分对概念理解后应用具体的实例归纳总结出把一个二次根式化为的方法，在观察对比中引导学生总结具体解决问题的方法技巧．

另外，化简运算在本节既是重点也是难点，学生在简洁性和准确性上都容易出现问题，因此建议在教学过程中多要求学生观察二次根式的特点――根据其特点分析运用哪条性质、哪种方法来解答，培养学生的分析能力和观察能力――多要求学生注意每步运算的根据，培养学生的严谨习惯．

2．教法建议

素质教育和新的教改精神的根本是增强学生学习的自主性和学生的参与意识，使每一个学生想学、爱学、会学。因此教师设计教学时要充分考虑到学生心理特点和思维特点，充分发挥情感因素，使学生完全参与到整个教学中来。

⑴在复习引入时要注意每个学生的反映，对预备知识掌握比较好的学生要用适当的方式给于表扬，掌握差一些的学生要给予鼓励和适当的指导，使每一个学生愉快的进入下一个环节。

⑵学生自主学习时段，教师要注意学生的反馈情况，根据学生的反馈情况和学生的层次采取适当的方式对需要帮助的学生给予帮助，中上等的学生可以启发，中等的学生可以与他探讨，偏后的学生可以帮他分析．

一．教学目标

1．了解的意义，并能作出准确判断．

2．能熟练地把二次根式化为．

3．了解把二次根式化为在实际问题中的应用．

4．进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力．

5．通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点．

6．通过本节的学习，渗透转化的数学思想．

二．重点难点

1．教学重点会把二次根式化简为

2．教学难点准确运用化二次根式为的方法

三．教学方法

程序式教学

四．课时安排

2课时

五．教学过程1．复习引入教师准备本节内容需要的二次根式的性质和与性质相关例题、练习题以及引入材料．【预备资料】⑴．二次根式的性质⑵．二次根式性质例题⑶．二次根式性质练习题【引入材料】看下面的问题：已知：＝1.732，如何求出的近似值?解法1：解法2：比较两种解法，解法1很繁，解法2较简便，比例说明，将二次根式化简，有时会带来方便．2．概念讲解与巩固满足下列条件的二次根式，叫做：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．如:都不是，因为被开方数的因数(或系数)为分数或因式为分式，不符合条件(1)，条件(1)实际上就是要求被开方数的分母中不带根号．又如也不是，因为被开方数中含有能开得尽方的因数或因式，不满足条件(2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因数或分解成因式后而言的，如．判断一个二次根式是不是的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是．【概念理解学习材料1】例1下列二次根式中哪些是？哪些不是？为什么？分析：判断一个二次根式是不是的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是．解：有，因为被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是．说明：判断一个二次根式是否为主要方法是根据的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。【概念理解巩固材料1】正选练习题1判断下列各式是否是？备选选练习题1判断下列各式是否是？【概念理解学习材料2】例2判断下列各式是否是？分析：（1）显然满足的两个条件．（2）或解：只有，因为或说明：应该分母里没根式，根式里没分母（或小数）．【概念理解巩固材料2】正选练习题2判断下列各式是否是？备选选练习题2判断下列各式是否是？【概念理解学习材料3】例3判断下列各式是否是？分析：应该分母里没根式，根式里没分母（或小数）来进行判断发现和是，而不是，因为在根据定义知也不是，因为解：有和，因为，．【概念理解巩固材料3】正选练习题3判断下列各式是否是？备选选练习题3判断下列各式是否是？题目可根据学生实际情况选择2－3道．【概念理解学习材料4】例4判断下列各式是否是？分析：被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断．（1）不能分解因式，显然满足的两个条件．（2）解：只有，因为．说明：被开方数比较复杂时，应先进行因式分解再观察．【概念理解巩固材料4】正选练习题4判断下列各式是否是？备选选练习题4判断下列各式是否是？题目可根据学生实际情况选择2－3道．3．化简二次根式为方法学习与巩固学生阅读教师预备的材料，理解后自主完成教师准备的正选练习题，每完成一套与教师交流一次，在教师的指示下继续进行．教师要及时了解学生对二次根式化简的反馈情况，如果掌握比较理想，则要求进入下一步操作，否则应与学生进行适当沟通，如需要可从备选练习题选择巩固．【化简方法学习材料1】例1把下列二次根式化为分析：本例题中的2道题都是基础题，只要将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面即可．解：【化简方法巩固材料1】正选练习题1化简备选练习题1化简题目可由教师根据学生情况准备．【化简方法学习材料2】例2把下列二次根式化为分析：本例题中的2道题被开方数都是多项式，应先进行因式分解．解：说明：被开方数中能开的尽方的因数或因式的算术平方根移到根号外面后要注意符号问题．在化简二次根式时，要防止出现如下的错误:等等．化简二次根式的步骤是：(1)把被开方数(或式)化成积的形式，即分解因式．(2)化去根号内的分母，即分母有理化．(3)将根号内能开得尽方的因数(式)开出来．【化简方法巩固材料2】正选练习题2化简备选练习题2化简题目可由教师根据学生情况准备．【化简方法学习材料3】例3把下列二次根式化为分析：被开方式比较复杂时，要先对被开方式进行处理。解：说明：运算中要注意运算的准确性和合理性．【化简方法巩固材料3】正选练习题3化简备选练习题3化简题目可由教师根据学生情况准备．4．小结⑴概念⑵二次根式的化简化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分．

二次根式的化简

（第1课时）

一、教学目标

1.掌握二次根式的性质

2.能够利用二次根式的性质化简二次根式

3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法

二、教学设计

对比、归纳、总结

三、重点和难点

1.重点：理解并掌握二次根式的性质

2.难点：理解式子中的可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

七、教学步骤

（一）教学过程

【复习引入】

1．求值、、、…

求值、、、…

结论：当时，；

当时，．

2．求值、…

结论：当时，式子有意义，，对于，不能为负数．

3．求值、…

结论：当时，．

问：若根号内这个式子中的底数，根式还有意义吗？其值等于什么？

例如，，其中－2与2互为相反数；，其中－3与3互为相反数；，其中与互为相反数．

【讲解新课】

提出问题：等于什么？引导学生讨论、猜测、联想，得到结论：

教师可结合学生的具体情况，将上面公式用最简练的语句表达，并反复提问中差学生，加深其印象，进一步提问：若时，能否等于，以增强学生的辨别能力，加强学生对公式的理解和记忆．

例1化简：

（1）；（2）．

解：（略）．

注：可看作，把先写为；

可看作，把先写为．

例2化简：．

分析：底数是非负数还是负数将直接影响结果，这时要注意条件，由条件，可得．

∴．

解：（略）．

例3化简下列各式：

（1）（）；（2）（）；

（3）（）；（4）（）．

解：（1）∵

∴．

∴

．

（2）∵

∴，即．

∴

．

（3）∵

∴，即．

∴

．

（4）∵，

∵，即．

∴．

注：要从条件出发，判断根号下面式子的底数是非负数还是负数，再根据公式计算出结果，因此在解题过程中，也是先写出条件，后进行变形，判断底数的正、负．

在写解题步骤上，尽量完整，以减少失误，并训练学生的逻辑思维能力．

（二）随堂练习

1．求值：

（1）；（2）；（3）（）；

（4）；（5）．

解：（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

（5）．

注：，学生易与相混淆．

2．化简：

（1）；（2）；（3）；

（4）（）；（5）（）．

解：（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

（5）．

（三）总结、扩展

对公式，一定要在理解在基础上牢固掌握，要准确地运用公式进行二次根式的化简，关键是对根号内式子的底数的判断．

（四）布置作业

教材P213中1（2）、（3）；2（1）、（2）．

（五）板书设计

标题

1．复习题4．练习题

2．公式

3．例题

二次根式的除法

教学建议

知识结构：

重点难点分析：

是商的二次根式的性质及利用性质进行二次根式的化简与运算,利用分母有理化化简.商的算术平方根的性质是本节的主线，学生掌握性质在二次根使得化简和运算的运用是关键，从化简与运算由引出初中重要的内容之一分母有理化，分母有理化的理解决定了最简二次根式化简的掌握.

教学难点是与商的算术平方根的关系及应用.与乘法既有联系又有区别，强调根式除法结果的一般形式，避免分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性大，要让学生首先理解分母有理化的意义及计算结果形式.

教法建议：

1.本节内容是在有积的二次根式性质的基础后学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质.教师在此过程中给与适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向.

2.本节内容可以分为三课时，第一课时讨论商的算术平方根的性质，并运用这一性质化简较简单的二次根式（被开方数的分母可以开得尽方的二次根式）；第二课时讨论法则，并运用这一法则进行简单的运算以及二次根式的乘除混合运算，这一课时运算结果不包括根号出现内出现分式或分数的情况；第三课时讨论分母有理化的概念及方法，并进行二次根式的乘除法运算，把运算结果分母有理化.这样安排使内容由浅入深，各部分相互联系，因此及彼，层层展开.

3.引导学生思考“想一想”中的内容，培养学生思维的深刻性，教师组织学生思考、讨论过程中，鼓励中国学习联盟胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法激发学生创造性的思维.

教学设计示例

一、教学目标

1．掌握商的算术平方根的性质，能利用性质进行二次根式的化简与运算；

2．会进行简单的运算;

3．使学生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算问题；

4.培养学生利用公式进行化简与计算的能力；

5.通过二次根式公式的引入过程，渗透从特殊到一般的归纳方法，提高学生的归纳总结能力；

6.通过分母有理化的教学，渗透数学的简洁性.

二、教学重点和难点

1．重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的运算，还要使学生掌握采用分母有理化的方法进行．

2．难点：与商的算术平方根的关系及应用．

三、教学方法

从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，在学习了二次根式乘法的基础上本小节

内容可引导学生自学，进行总结对比．

四、教学手段

利用投影仪．

五、教学过程

(一)引入新课

学生回忆及得算数平方根和性质：（a≥0，b≥0）是用什么样的方法引出的？(上述积的算术平方根的性质是由具体例子引出的．)

学生观察下面的例子，并计算：

由学生总结上面两个式的关系得：

类似地，每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：

(二)新课

商的算术平方根．

一般地，有（a≥0，b＞0）

商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．

让学生讨论这个式子成立的条件是什么？a≥0，b＞0，对于为什么b＞0，要使学生通过讨论明确，因为b＝0时分母为0，没有意义．

引导学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，根据商的算术平方根的性质可以进行简单的二次根式的化简与运算．

例1化简：

（1）；（2）；（3）；

解∶（1）

（2）

（3）

说明：如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数；本节根号下的字母均为正数.

例2化简：

（1）；(2)；

解：（1）

（2）

让学生观察例题中分母的特点，然后提出，的问题怎样解决？

再总结：这一小节开始讲的二次根式的化简，只限于所得结果的式子中分母可以完全开的尽方的情况，的问题，我们将在今后的学习中解决.

学生讨论本节课所学内容，并进行小结．

(三)小结

1．商的算术平方根的性质．(注意公式成立的条件)

2．会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简．

(四)练习

1．化简：

（1）；（2）；（3）.

2．化简：

（1）；（2）；(3)

六、作业

教材P．183习题11．3；A组1．

七、板书设计

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