经典初中教案数学教案－直线圆的位置关系

作为初中老师，你一定写过教案吧，教案能够安排教学的方方面面，每一位初中老师都要慎重考虑教案的设计，初中教案该怎么写？小编为大家收集整理了经典初中教案数学教案－直线圆的位置关系，希望能够帮助到您。

公开课教案

授课时间：2004.11.17早上第二节授课班级：初三、1班授课教师：

教学内容：7.7直线和圆的位置关系

教学目标：

知识与技能目标：1、理解直线和圆相交、相切、相离的概念。

2.初步掌握直线和圆的位置关系的性质和判定及其灵活的应用。

过程与方法目标：1．通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透分类、数形结合的思

想，培养学生观察、分析、概括、知识迁移的能力；

2.通过例题教学，培养学生灵活运用知识的解决能力。

情感与态度目标：让学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、关注知识的生成，发展与变化的过程,主动探索，勇于发现。从而领悟世界上的一切物体都是运动变化着的，并且在一定的条件下可以转化的辩证唯物主义观点。

教学重点：直线和圆的位置关系的判定方法和性质

教学难点：直线和圆的三种位置关系的研究及运用

教学程序设计：

程序

教师活动

学生活动

备注

创设

问题

情景

利用多媒体放映落日的动画。引导学生从公共点个数和圆心到直线的距离两方面体会直线和圆的不同位置关系。

学生看投影并思考问题

调动学生积极主动参与数学活动中．

探

究

新

知

今天我们学习7.7直线和圆的位置关系。

1、通过观察直线和圆的公共点个数得出直线和圆相离、相交、相切的定义。

2、观察圆心到直线的距离d与r的大小变化，类比点和圆的位置关系由圆半径和点与圆心的距离的数量关系来判定，总结得出直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离与圆半径之间的数量关系来判定。得到直线和圆的位置关系的判定方法和性质。

例1（课本第89页例）

例2如图，正方形ABCD，边长

为5，AC与BD交于点O，过点

O作EF∥AB分别交AD、BC于

点E、F。以A为圆心，为

半径作圆，则⊙A与直线BD、EF、BC位置关系怎样，说明理由。

学生观察、讨论、概括、总结后回答

学生讨论试解看清条件与图形做出正确的判断

问题的提出及解决，为深刻理解直线和圆的概念做好铺垫

类比点和圆的位置关系来得到新知识

从多个角度对所学知识加以运用

反馈

训练

应用

提高

练习1：教材P．90中1，2．

练习2：在Rt△ABC中，∠C＝900，AC=3，AB=5，若以C为圆心、r为半径作圆，那么（）

（1）当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是

（1）当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是

（1）当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是

学生在练习本上笔答，互相帮助、纠正

培养了团结协作，相互交流的精神，也培养了学生正确的书写习惯

小结

提高

直线和圆的位置关系：

指导学生回答

探究

活动

问题：如图，正三角形ABC的边长为6厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着线路AB一BC一CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动．在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下，r的取值范围及相应的切点个数

．

布置

作业

1、课本第101页7.3A组第2、3题

2、课余时间，留心观察周围事物，找出直线和圆相交，相切，相离的实例，说给大家听。

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数学教案－两圆的位置关系初中教案精选

课题:两圆的位置关系

教学目的：掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；

教学重点：两圆的五种位置的判定．

教学难点：知识的综合运用．

教学过程：一,复习引入：

请说出直线和圆的位置关系有哪几种？

研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，⑴直线和圆的公共点个数；⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，

直线和圆的位置关系

相离

相切

相交

直线和圆的公共点个数

0

1

2

d与r的关系

d>r

d=r

d

二.讲解:圆和圆位置关系.

⑴两圆的公共点个数；

⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．

两圆的位置关系

外离

外切

相交

内切

内含

两圆的交点个数

0

1

2

1

0

d与R、r的关系

d>R+r

d=R+r

R-r

d=R-r

d

定理设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则

⑴d>R+rÛ两圆外离；

⑵d=R+rÛ两圆外切；

⑶R-r

⑷d=R-r（R>r）Û两圆内切；

⑸dr)Û两圆内含．

三.巩固：

⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）

（A）外离（B）相切（C）内含（D）相离

⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（）

（A）外切（B）内切（C）外切或内切（D）不确定

⒊已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1和⊙2的位置关系．

⑴O1O2=8cm；⑵O1O2=7cm；⑶O1O2=5cm；

⑷O1O2=1cm；⑸O1O2=0.5cm；⑹O1O2=0，即⊙O1和⊙O2重合；

四作业:P1372.3.4.5

直线圆的位置关系

教学目标：

1．使学生理解直线和圆的相交、相切、相离的概念。

2．掌握直线与圆的位置关系的性质与判定并能够灵活运用来解决实际问题。

3．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力及分类和化归的能力。

重点难点：

1．重点：直线与圆的三种位置关系的概念。

2．难点：运用直线与圆的位置关系的性质及判定解决相关的问题。

教学过程：

一．复习引入

1．提问：复习点和圆的三种位置关系。

（目的：让学生将点和圆的位置关系与直线和圆的位置关系进行类比，以便更好的掌握直线和圆的位置关系）

2．由日出升起过程中的三个特殊位置引入直线与圆的位置关系问题。

（目的：让学生感知直线和圆的位置关系，并培养学生把实际问题抽象成数学模型的能力）

二．定义、性质和判定

1．结合关于日出的三幅图形，通过学生讨论，给出直线与圆的三种位置关系的定义。

（1）线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。这时直线叫做圆的割线。

（2）直线和圆有唯一的公点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线。唯一的公共点叫做切点。

（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

2．直线和圆三种位置关系的性质和判定：

如果⊙O半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

（1）线l与⊙O相交d＜r

（2）直线l与⊙O相切d=r

（3）直线l与⊙O相离d＞r

三．例题分析：

例（1）在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径。

①当r=时，圆与AB相切。

②当r=2cm时，圆与AB有怎样的位置关系，为什么？

③当r=3cm时，圆与AB又是怎样的位置关系，为什么？

④思考：当r满足什么条件时圆与斜边AB有一个交点？

四．小结（学生完成）

五、随堂练习：

(1)直线和圆有种位置关系，是用直线和圆的个数来定义的；这也是判断直线和圆的位置关系的重要方法。

(2)已知⊙O的直径为13cm，直线L与圆心O的距离为d。

①当d=5cm时，直线L与圆的位置关系是；

②当d=13cm时，直线L与圆的位置关系是；

③当d=6.5cm时，直线L与圆的位置关系是；

（目的：直线和圆的位置关系的判定的应用）

(3)⊙O的半径r=3cm，点O到直线L的距离为d，若直线L与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（）

(A)d=3(B)d≤3(C)d3

（目的：直线和圆的位置关系的性质的应用）

(4)⊙O半径=3cm.点P在直线L上，若OP=5cm，则直线L与⊙O的位置关系是（）

(A)相离(B)相切(C)相交(D)相切或相交

（目的：点和圆，直线和圆的位置关系的结合，提高学生的综合、开放性思维）

想一想：

在平面直角坐标系中有一点A(-3，-4)，以点A为圆心，r长为半径时，

思考：随着r的变化，⊙A与坐标轴交点的变化情况。(有五种情况)

六、作业：P100—2、3

直线圆的位置关系教案模板

授课时间：2004.11.17早上第二节授课班级：初三、1班授课教师：

教学内容：7.7直线和圆的位置关系

教学目标：

知识与技能目标：1、理解直线和圆相交、相切、相离的概念。

2.初步掌握直线和圆的位置关系的性质和判定及其灵活的应用。

过程与方法目标：1．通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透分类、数形结合的思

想，培养学生观察、分析、概括、知识迁移的能力；

2.通过例题教学，培养学生灵活运用知识的解决能力。

情感与态度目标：让学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、关注知识的生成，发展与变化的过程,主动探索，勇于发现。从而领悟世界上的一切物体都是运动变化着的，并且在一定的条件下可以转化的辩证唯物主义观点。

教学重点：直线和圆的位置关系的判定方法和性质

教学难点：直线和圆的三种位置关系的研究及运用

教学程序设计：

程序

教师活动

学生活动

备注

创设

问题

情景

利用多媒体放映落日的动画。引导学生从公共点个数和圆心到直线的距离两方面体会直线和圆的不同位置关系。

学生看投影并思考问题

调动学生积极主动参与数学活动中．

探

究

新

知

今天我们学习7.7直线和圆的位置关系。

1、通过观察直线和圆的公共点个数得出直线和圆相离、相交、相切的定义。

2、观察圆心到直线的距离d与r的大小变化，类比点和圆的位置关系由圆半径和点与圆心的距离的数量关系来判定，总结得出直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离与圆半径之间的数量关系来判定。得到直线和圆的位置关系的判定方法和性质。

例1（课本第89页例）

例2如图，正方形ABCD，边长

为5，AC与BD交于点O，过点

O作EF∥AB分别交AD、BC于

点E、F。以A为圆心，为

半径作圆，则⊙A与直线BD、EF、BC位置关系怎样，说明理由。

学生观察、讨论、概括、总结后回答

学生讨论试解看清条件与图形做出正确的判断

问题的提出及解决，为深刻理解直线和圆的概念做好铺垫

类比点和圆的位置关系来得到新知识

从多个角度对所学知识加以运用

反馈

训练

应用

提高

练习1：教材P．90中1，2．

练习2：在Rt△ABC中，∠C＝900，AC=3，AB=5，若以C为圆心、r为半径作圆，那么（）

（1）当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是

（1）当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是

（1）当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是

学生在练习本上笔答，互相帮助、纠正

培养了团结协作，相互交流的精神，也培养了学生正确的书写习惯

小结

提高

直线和圆的位置关系：

指导学生回答

探究

活动

问题：如图，正三角形ABC的边长为6厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着线路AB一BC一CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动．在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下，r的取值范围及相应的切点个数

．

布置

作业

1、课本第101页7.3A组第2、3题

2、课余时间，留心观察周围事物，找出直线和圆相交，相切，相离的实例，说给大家听。

直线与圆的位置关系

一、素质教育目标

㈠知识教学点

⒈使学生理解直线和圆的位置关系。

⒉初步掌握直线和圆的位置关系的数量关系定理及其运用。

㈡能力训练点

经典初中教案两圆的位置关系

课题:两圆的位置关系

教学目的：掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；

教学重点：两圆的五种位置的判定．

教学难点：知识的综合运用．

教学过程：一,复习引入：

请说出直线和圆的位置关系有哪几种？

研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，⑴直线和圆的公共点个数；⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，

直线和圆的位置关系

相离

相切

相交

直线和圆的公共点个数

0

1

2

d与r的关系

d>r

d=r

d

二.讲解:圆和圆位置关系.

⑴两圆的公共点个数；

⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．

两圆的位置关系

外离

外切

相交

内切

内含

两圆的交点个数

0

1

2

1

0

d与R、r的关系

d>R+r

d=R+r

R-r

d=R-r

d

定理设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则

⑴d>R+rÛ两圆外离；

⑵d=R+rÛ两圆外切；

⑶R-r

⑷d=R-r（R>r）Û两圆内切；

⑸dr)Û两圆内含．

三.巩固：

⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）

（A）外离（B）相切（C）内含（D）相离

⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（）

（A）外切（B）内切（C）外切或内切（D）不确定

⒊已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1和⊙2的位置关系．

⑴O1O2=8cm；⑵O1O2=7cm；⑶O1O2=5cm；

⑷O1O2=1cm；⑸O1O2=0.5cm；⑹O1O2=0，即⊙O1和⊙O2重合；

四作业:P1372.3.4.5

课题:两圆的位置关系

教学目的：掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；

教学重点：两圆的五种位置的判定．

教学难点：知识的综合运用．

教学过程：一,复习引入：

请说出直线和圆的位置关系有哪几种？

研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，⑴直线和圆的公共点个数；⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，

直线和圆的位置关系

相离

相切

相交

直线和圆的公共点个数

0

1

2

d与r的关系

d>r

d=r

d

二.讲解:圆和圆位置关系.

⑴两圆的公共点个数；

⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．

两圆的位置关系

外离

外切

相交

内切

内含

两圆的交点个数

0

1

2

1

0

d与R、r的关系

d>R+r

d=R+r

R-r

d=R-r

d

定理设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则

⑴d>R+rÛ两圆外离；

⑵d=R+rÛ两圆外切；

⑶R-r

⑷d=R-r（R>r）Û两圆内切；

⑸dr)Û两圆内含．

三.巩固：

⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）

（A）外离（B）相切（C）内含（D）相离

⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（）

（A）外切（B）内切（C）外切或内切（D）不确定

⒊已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1和⊙2的位置关系．

⑴O1O2=8cm；⑵O1O2=7cm；⑶O1O2=5cm；

⑷O1O2=1cm；⑸O1O2=0.5cm；⑹O1O2=0，即⊙O1和⊙O2重合；

四作业:P1372.3.4.5

直线与圆的位置关系相关教学方案

《直线和圆的位置关系》的教学设计

太平溪九四中学何风光

一、素质教育目标

㈠知识教学点

⒈使学生理解直线和圆的位置关系。

⒉初步掌握直线和圆的位置关系的数量关系定理及其运用。

㈡能力训练点

经典初中教案数学教案－圆

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：①点和圆的三种位置关系，圆的有关概念，因为它们是研究圆的基础；②五种常见的点的轨迹，一是对几何图形的深刻理解，二为今后立体几何、解析几何的学习作重要的准备.

难点：①圆的集合定义，学生不容易理解为什么必须满足两个条件，内容本身属于难点；②点的轨迹，由于学生形象思维较强，抽象思维弱，而这部分知识比较抽象和难懂.

2、教法建议

本节内容需要4课时

第一课时：圆的定义和点和圆的位置关系

（1）让学生自己画圆，自己给圆下定义，进行交流，归纳、概括，调动学生积极主动的参与教学活动；对于高层次的学生可以直接通过点的集合来研究，给圆下定义（参看教案圆（一））；

（2）点和圆的位置关系，让学生自己观察、分类、探究，在“数形”的过程中，学习新知识.

第二课时：圆的有关概念

（1）对（A）层学生放开自学，对（B）层学生在老师引导下自学，要提高学生的学习能力，特别是概念较多而没有很多发挥的内容，老师没必要去讲；

（2）课堂活动要抓住：由“数”想“形”，由“形”思“数”，的主线.

第三、四课时：点的轨迹

条件较好的学校可以利用电脑动画来加深和帮助学生对点的轨迹的理解，一般学校可让学生动手画图，使学生在动手、动脑、观察、思考、理解的过程中，逐步从形象思维较强向抽象思维过度.但我的观点是不管怎样组织教学，都要遵循学生是学习的主体这一原则.

第一课时：圆（一）

教学目标：

1、理解圆的描述性定义，了解用集合的观点对圆的定义；

2、理解点和圆的位置关系和确定圆的条件；

3、培养学生通过动手实践发现问题的能力；

4、渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法.

教学重点：点和圆的关系

教学难点：以点的集合定义圆所具备的两个条件教学方法：自主探讨式教学过程设计(总框架)：

一、创设情境，开展学习活动

1、让学生画圆、描述、交流，得出圆的第一定义：

定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.记作⊙O，读作“圆O”.

2、让学生观察、思考、交流，并在老师的指导下，得出圆的第二定义.

从旧知识中发现新问题

观察：

共性：这些点到O点的距离相等

想一想：在平面内还有到O点的距离相等的点吗？它们构成什么图形？

（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径的长r）；

（2）到定点距离等于定长的点都在圆上.

定义2：圆是到定点距离等于定长的点的集合.

3、点和圆的位置关系

问题三：点和圆的位置关系怎样？（学生自主完成得出结论）

如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：

点在圆上d=r；

点在圆内d

点在圆外d>r.

“数”“形”

二、例题分析，变式练习

练习：已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A在⊙O________；当OP=10cm时，点A在⊙O________；当OP=18cm时，点A在⊙O___________.

例1求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.

已知（略）

求证（略）

分析：四边形ABCD是矩形

A=OC，OB=OD；AC=BDOA=OC=OB=OD要证A、B、C、D4个点在以O为圆心的圆上证明：∵四边形ABCD是矩形∴OA=OC，OB=OD；AC=BD∴OA=OC=OB=OD∴A、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上.符号的应用（要求学生了解）证明：四边形ABCD是矩形OA=OC=OB=ODA、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上.小结：要证几个点在同一个圆上，可以证明这几个点与一个定点的距离相等.问题拓展研究：我们所研究过的基本图形中（平行四边形，菱形，，正方形，等腰梯形）哪些图形的顶点在同一个圆上.（让学生探讨）练习1求证：菱形各边的中点在同一个圆上.（目的：培养学生的分析问题的能力和逻辑思维能力.A层自主完成）练习2设AB=3cm，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.(1)和点A的距离等于2cm的点的集合；(2)和点B的距离等于2cm的点的集合；(3)和点A，B的距离都等于2cm的点的集合；(4)和点A，B的距离都小于2cm的点的集合；（A层自主完成）三、课堂小结问：这节课学习的主要内容是什么？在学习时应注意哪些问题？在学生回答的基础上，强调：(1)主要学习了圆的两种不同的定义方法与圆的三种位置关系；(2)在用点的集合定义圆时，必须注意应具备两个条件，二者缺一不可；(3)注重对数学能力的培养四、作业82页2、3、4.第二课时：圆（二）教学目标1、使学生理解弦、弧、弓形、同心圆、等圆、等孤的概念；初步会运用这些概念判断真假命题。2、逐步培养学生阅读教材、亲自动手实践，总结出新概念的能力；进一步指导学生观察、比较、分析、概括知识的能力。3、通过动手、动脑的全过程，调动学生主动学习的积极性，使学生从积极主动获得知识。教学重点、难点和疑点1、重点：理解圆的有关概念．2、难点：对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解．3、疑点：学生容易把长度相等的两条弧看成是等弧。让学生阅读教材、理解、交流和与教师对话交流中排除疑难。教学过程设计：（一）阅读、理解重点概念：1、弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2、直径：经过圆心的弦是直径．3、圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．简称弧．半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．4、弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．5、同心圆：即圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．6、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．7、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（二）小组交流、师生对话问题：1、一个圆有多少条弦？最长的弦是什么？2、弧分为哪几种？怎样表示？3、弓形与弦有什么区别？在一个圆中一条弦能得到几个弓形？4、在等圆、等弧中，“互相重合”是什么含义？（通过问题，使学生与学生，学生与老师进行交流、学习，加深对概念的理解，排除疑难）（三）概念辨析：判断题目：（1）直径是弦（）（2）弦是直径（）（3）半圆是弧（）（4）弧是半圆（）（5）长度相等的两段弧是等弧（）（6）等弧的长度相等（）（7）两个劣弧之和等于半圆（）（8）半径相等的两个半圆是等弧（）（主要理解以下概念：（1）弦与直径；（2）弧与半圆；（3）同心圆、等圆指两个图形；（4）等圆、等弧是互相重合得到，等弧的条件作用．）（四）应用、练习例1、已知：如图，AB、CB为⊙O的两条弦，试写出图中的所有弧．解：一共有6条弧．、、、、、．（目的：让学生会表示弧，并加深理解优弧和劣弧的概念）例2、已知：如图，在⊙O中，AB、CD为直径．求证：AD∥BC．（由学生分析，学生写出证明过程，学生纠正存在问题．锻炼学生动口、动脑、动手实践能力，调动学生主动学习的积极性，使学生从积极主动获得知识．）巩固练习：教材P66练习中2题(学生自己完成)．（五）小结教师引导学生自己做出总结：1、本节所学似的知识点；2、概念理解：①弦与直径；②弧与半圆；③同心圆、等圆指两个图形；④等圆和等弧．3、弧的表示方法．（六）作业教材P66练习中3题，P82习题l(3)、(4)．第三、四课时圆（三）——点的轨迹教学目标1、在了解用集合的观点定义圆的基础上，进一步使学生了解轨迹的有关概念以及熟悉五种常用的点的轨迹；2、培养学生从形象思维向抽象思维的过渡；3、提高学生数学来源于实践，反过来又作用于实践的辩证唯物主义观点的认识。重点、难点1、重点：对圆点的轨迹的认识。2、难点：对点的轨迹概念的认识，因为这个概念比较抽象。教学活动设计（在老师与学生的交流对话中完成教学目标）（一）创设学习情境1、对“圆”的形成观察——理解——引出轨迹的概念（使学生在老师的引导下从感性知识到理性知识）观察：圆是到定点的距离等于定长的的点的集合；（电脑动画）理解：圆上的点具有两个性质：(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径的长r)；(2)到定点距离等于定长的的点都在圆上；（结合下图）引出轨迹的概念：我们把符合某一条件的所有的点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上．（轨迹的概念非常抽象，是教学的难点，这里教师要精讲，细讲）上面左图符合（1）但不符合（2）；中图不符合（1）但符合（2）；只有右图（1）（2）都符合．因此“到定点距离等于定长的点的轨迹”是圆．轨迹1：“到定点距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆”。（研究圆是轨迹概念的切入口、基础和关键）（二）类比、研究1（在老师指导下，通过电脑动画，学生归纳、整理、概括、迁移，获得新知识）轨迹2：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；轨迹3：到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线；（三）巩固概念练习：画图说明满足下列条件的点的轨迹：(1)到定点A的距离等于3cm的点的轨迹；(2)到∠AOC的两边距离相等的点的轨迹；(3)经过已知点A、B的圆O，圆心O的轨迹．（A层学生独立画图，回答满足这个条件的轨迹是什么?归纳出每一个题的点的轨迹属于哪一个基本轨迹；B、C层学生在老师的指导或带领下完成）（四）类比、研究2（这是第二次“类比”，目的：使学生的知识和能力螺旋上升．这次通过电脑动画，使A层学生自己做，进一步提高学生归纳、整理、概括、迁移等能力）轨迹4：到直线l的距离等于定长d的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的两条直线；轨迹5：到两条平行线的距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线．（五）巩固训练练习题1：画图说明满足下面条件的点的轨迹：1．到直线l的距离等于2cm的点的轨迹；2．已知直线AB∥CD，到AB、CD距离相等的点的轨迹．（A层学生独立画图探索；然后回答出点的轨迹是什么，对B、C层学生回答有一定的困难，这时教师要从规律上和方法上指导学生）练习题2：判断题1、到一条直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于这条直线到这条直线的距离等于定长的直线．()2、和点B的距离等于5cm的点的轨迹，是到点B的距离等于5cm的圆．()3、到两条平行线的距离等于8cm的点的轨迹，是和这两条平行线的平行且距离等于8cm的一条直线．()4、底边为a的等腰三角形的顶点轨迹，是底边a的垂直平分线．()(这组练习题的目的，训练学生思维的准确性和语言表达的正确性．题目由学生自主完成、交流、反思)(教材的练习题、习题即可，因为这部分知识属于选学内容，而轨迹概念又比较抽象，不要对学生要求太高，了解就行、理解就高要求)（六）理解、小结（1）轨迹的定义两层意思；（2）常见的五种轨迹。（七）作业教材P82习题2、6．探究活动爱尔特希问题在平面上有四个点，任意三点都可以构成等腰三角形，你能找到这样的四点吗?分析与解：开始自然是尝试、探索，主要应以如何构造出这样的点来考虑．最容易想到的是，使一个点到另三个点等距离，换句话说，以一个点为圆心，作一个圆，其他三个点在此圆上寻找，只要使这圆上的三点构成等腰三角形即可，于是得到如图中的上面两种形式.其次，取边长都相等的四边形，即为菱形的四个顶点(见图中第3个图).最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是这样苛刻条件的梯形存在吗?实际上，只要将任一圆周5等分，取其中任意四点即可(见图中的第4个图)．综上所述，符合题意的四点有且仅有三种构形：①任意等腰三角形的三个顶点及其外接圆圆心(即外心)；②任意菱形的4个顶点；③任意正五边形的其中4个顶点．上述问题是大数学家爱尔特希(P．Erdos)提出的：“在平面内有n个点，其中任意三点都能构成等腰三角形”中n＝4的情形．当n＝3、4、5、6时，爱尔特希问题都有解．已经证明，时，问题无解．

直线圆的位置关系的教学方案

1.知识结构

2.重点、难点分析

重点：的性质和判定．因为它是本单元的基础（如：“切线的判断和性质定理”是在它的基础上研究的），也是高中解析几何中研究的基础．

难点：在对性质和判定的研究中，既要有归纳概括能力，又要有转换思想和能力，所以是本节的难点；另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同（这一点到直线和曲线相切时很重要），学生较难理解．

3.教法建议

本节内容需要一个课时．

（1）教师通过电脑演示，组织学生自主观察、分析，并引导学生把“点和圆的位置关系”研究的方法迁移过来，指导学生归纳、概括；

（2）在教学中，以“形”归纳“数”，以“数”判断“形”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．

第12页

直线圆的位置关系相关教学方案

1.知识结构

2.重点、难点分析

重点：的性质和判定．因为它是本单元的基础（如：“切线的判断和性质定理”是在它的基础上研究的），也是高中解析几何中研究的基础．

难点：在对性质和判定的研究中，既要有归纳概括能力，又要有转换思想和能力，所以是本节的难点；另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同（这一点到直线和曲线相切时很重要），学生较难理解．

3.教法建议

本节内容需要一个课时．

（1）教师通过电脑演示，组织学生自主观察、分析，并引导学生把“点和圆的位置关系”研究的方法迁移过来，指导学生归纳、概括；

（2）在教学中，以“形”归纳“数”，以“数”判断“形”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．

教学目标：

1、使学生理解直线和圆的三种位置关系，掌握其判定方法和性质；

2、通过的探究，向学生渗透分类、数形结合的思想，培养学生

观察、分析和概括的能力；

3、使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩证唯物主义观点．

教学重点：的判定方法和性质．

教学难点：直线和圆的三种位置关系的研究及运用．

教学设计：

（一）基本概念

1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）

2、归纳：（引导学生完成）

（1）直线与圆有两个公共点；（2）直线和圆有唯一公共点（3）直线和圆没有公共点

3、概念：（指导学生完成）

由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：

（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

研究与理解：

①直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同．

②直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否多于两个?为什么?

（二）直线与圆的位置关系的数量特征

1、迁移：点与圆的位置关系

（1）点P在⊙O内d

（2）点P在⊙O上d=r；

（3）点P在⊙O外d>r．

2、归纳概括：

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么

(1)直线l和⊙O相交d

(2)直线l和⊙O相切d=r；

(3)直线l和⊙O相离d>r．

（三）应用

例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？

（1）r=2cm；（2）r=2.4cm；（3）r=3cm．

学生自主完成，老师指导学生规范解题过程．

解：（图形略）过C点作CD⊥AB于D，

在Rt△ABC中，∠C=90°，

AB=，

∵，∴AB·CD=AC·BC，

∴（cm），

（1）当r=2cm时CD＞r，∴圆C与AB相离；

（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；

（3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．

练习P105，1、2．

（四）小结：

1、知识：（指导学生归纳）

2、能力：观察、归纳、概括能力，知识迁移能力，知识应用能力．

（五）作业：教材P115，1（1）、2、3．

探究活动

问题：如图，正三角形ABC的边长为6厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着线路AB一BC一CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动．在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下，r的取值范围及相应的切点个数．

略解：由正三角形的边长为6厘米，可得它一边上的高为9厘米．

①∴当⊙O的半径r＝9厘米时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次，即切点个数为3．

②当0＜r＜9时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切六次，即

经典初中教案圆圆的位置关系

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质．它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识．

难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用．由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．”看成是真命题．

2、教法建议

本节内容需要两个课时．第一课时主要研究；第二课时相交两圆的性质．

（1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识；

（2）要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力；

（3）在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程．

第一课时

教学目标：

1．掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质；

2．通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力；

3．通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力．

教学重点：

两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系．

教学难点：

两圆位置关系及判定．

（一）复习、引出问题

1．复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?

（教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交．各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的

2．引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?

（二）观察、分类，得出概念

1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义：

(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．(图(1))

(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(2))

(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．(图(3))

(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(4))

(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5))．两圆同心是两圆内含的一个特例．(图(6))

2、归纳：

(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点．

(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一

(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切)．

教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?

结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系．

（三）分析、研究

1、相切两圆的性质．

让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．

这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明

2、两圆位置关系的数量特征．

设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．（图形略）

两圆外切d＝R+r；

两圆内切d＝R-r(R＞r);

两圆外离d＞R+r；

两圆内含d＜R-r(R＞r);

两圆相交R-r＜d＜R+r．

说明：注重“数形结合”思想的教学．

（四）应用、练习

例1：如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米

求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少?

(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少?

解：（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则

PA=PO-OA

∴PA=3cm．

（2）设⊙P与⊙O内切与点B，则

PB=PO+OB

∴PB=13cm．

例2：已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作．

求证：⊙O与⊙B相外切．

证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12，

∴⊙O的半径，且O是AC的中点

∴，∵∠C=90°且BC=8，

∴，

∵⊙O的半径，⊙B的半径，

∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切．

练习(P138)

（五）小结

知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含；

②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系；

③两圆相切时切点在连心线上的性质．

能力：观察、分析、分类、数形结合等能力．

思想方法：分类思想、数形结合思想．

（六）作业

教材P151中习题A组2，3，4题．

第二课时相交两圆的性质

教学目标1、掌握相交两圆的性质定理；2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法；3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力；4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美．教学重点相交两圆的性质及应用．教学难点应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线．教学活动设计（一）图形的对称美相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形．相交两圆具有什么性质呢?（二）观察、猜想、证明1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形．2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”．3、证明：对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织；对B、C层在教师引导下完成．已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B．求证：Q1O2是AB的垂直平分线．分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B．证明：连结O1A、O1B、O2A、O2B，∵O1A=O1B，∴O1点在AB的垂直平分线上．又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上．因此O1O2是AB的垂直平分线．也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴．∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上．∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点，∴连心线O1O2是AB的垂直平分线．定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．（三）应用、反思例1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。求∠OlAB的度数．分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线，又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙Ol和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形．从而可由∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°．解：⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆∴OlA=O1O2=AO2∴∠O1AO2=60°，又AB⊥O1O2∴∠OlAB=30°．例2、已知，如图，A是⊙Ol、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙Ol、⊙O2于M、N。求证：AM=AN．证明：过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足为C、D，则OlC∥PA∥O2D，且AC=AM，AD=AN．∵OlP=O2P，∴AD=AM，∴AM=AN．例3、已知：如图，⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，C为⊙Ol上一点，AC交⊙O2于D，过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F．求证：EC∥DF证明：连结AB∵在⊙O2中∠F=∠CAB，在⊙Ol中∠CAB=∠E，∴∠F=∠E，∴EC∥DF．反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解．（四）小结知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据．能力与方法：①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用；②圆的对称性的应用．（五）作业教材P152习题A组7、8、9题；B组1题．探究活动问题1：已知AB是⊙O的直径，点O1、O2、…、On在线段AB上，分别以O1、O2、…、On为圆心作圆，使⊙O1与⊙O内切，⊙O2与⊙O1外切，⊙O3与⊙O2外切，…，⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切．设⊙O的周长等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn．(1)当n=2时，判断Cl+C2与C的大小关系；(2)当n=3时，判断Cl+C2+C3与C的大小关系；(3)当n取大于3的任一自然数时，Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?证明你的结论．提示：假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn，通过周长计算，比较可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C．问题2：有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转？提示：1、实验：用硬币作初步实验；结果硬币一共转了4转．2、分析：当你把动圆无滑动地沿着圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转转，但是，这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说法就不正确了．在我们这个题目中，那动圆绕着相当于它的圆周长的的弧线旋转的时候，一共走过的不是转；而是转，因此，它绕过六个这样的弧形的时，就转了转

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