函数的定义域

高中教师在上课之前最好是准备一份教案，一篇好的教案需要老师的精心构思，一份优质的教学方案往往来自教师长时间的经验累积，如何才能写好高中教案呢？下面是由小编为大家整理的函数的定义域，仅供参考，欢迎大家阅读。

定义域

（高中函数定义）设a，b是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a--b为集合a到集合b的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合a。其中，x叫作自变量，x的取值范围a叫作函数的定义域；

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法

（1）化归法；（2）图象法（数形结合），

（3）函数单调性法，

（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等

关于函数值域误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗？

“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说：“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。

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函数的图象

一、教学目的

1．使学生进一步理解自变量的取值范围和函数值的意义．

2．使学生会用描点法画出简单函数的图象．

二、教学重点、难点

重点：1．理解与认识函数图象的意义．

2．培养学生的看图、识图能力．

难点：在画图的三个步骤的列表中，如何恰当地选取自变量与函数的对应值问题．

三、教学过程

复习提问

1．函数有哪三种表示法？(答：解析法、列表法、图象法．)

2．结合函数y=x的图象，说明什么是函数的图象？

3．说出下列各点所在象限或坐标轴：

新课

1．画函数图象的方法是描点法．其步骤：

(1)列表．要注意适当选取自变量与函数的对应值．什么叫“适当”？——这就要求能选取表现函数图象特征的几个关键点．比如画函数y=3x的图象，其关键点是原点(0，0)，只要再选取另一个点如M(3，9)就可以了．

一般地，我们把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，这就要把自变量与函数的对应值列出表来．

(2)描点．我们把表中给出的有序实数对，看作点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点．

(3)用光滑曲线连线．根据函数解析式比如y=3x，我们把所描的两个点(0，0)，(3，9)连成直线．

一般地，根据函数解析式，我们列表、描点是有限的几个，只需在平面直角坐标系中，把这有限的几个点连成表示函数的曲线(或直线)．

2．讲解画函数图象的三个步骤和例．画出函数y=x+0.5的图象．

小结

本节课的重点是让学生根据函数解析式画函数图象的三个步骤，自己动手画图．

练习：①选用课本练习(前一节已作：列表、描点，本节要求连线)

②补充题：画出函数y=5x－2的图象．

作业：选用课本习题．

四、教学注意问题

1．注意渗透数形结合思想．通过研究函数的图象，对图象所表示的一个变量随另一个变量的变化而变化就更有形象而直观的认识．把函数的解析式、列表、图象三者结合起来，更有利于认识函数的本质特征．

2．注意充分调动学生自己动手画图的积极性．

3．认识到由于计算器和计算机的普及化，代替了手工绘图功能．故在教学中要倾向培养学生看图、识图的能力．

函数的应用举例--精选版

教学目标

1.能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简单的实际问题．

(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义．

(2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题．

(3)能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题．

2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．

3.通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．

教学建议

教材分析

（1）本小节内容是全章知识的综合应用．这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本小节的重点，根据实际问题建立数学模型是本小节的难点．

（2）在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识．

教法建议

（1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．

（2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．

（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．在选题时应以以上几方面问题为主．

教学设计示例

函数初步应用

教学目标

1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关知识解决某些简单的实际问题．

2.通过对实际问题的研究，培养学生分析问题，解决问题的能力

3.通过把实际问题向数学问题的转化，渗透数学建模的思想，提高学生用数学的意识，及学习数学的兴趣．

教学重点，难点

重点是应用问题的阅读分析和解决．

难点是根据实际问题建立相应的数学模型

教学方法

师生互动式

教学用具

投影仪

教学过程

一.提出问题

数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．

问题一：如图，△是边长为2的正三角形，这个三角形在直线的左方被截得图形的面积为，求函数的解析式及定义域．(板书)

(作为应用问题由于学生是初次研究，所以可先选择以数学知识为背景的应用题，让学生研究)

首先由学生自己阅读题目，教师可利用计算机让直线运动起来，观察三角形的变化，由学生提出研究方法．由学生说出由于图形的不同计算方法也不同，应分类讨论．分界点应在，再由另一个学生说出面积的计算方法．

当时，，(采用直接计算的方法)

当时，

．(板书)

(计算第二段时，可以再画一个相应的图形，如图)

综上，有，

此时可以问学生这是什么函数?定义域应怎样计算?让学生明确是分段函数的前提条件下，求出定义域为．(板书)

问题解决后可由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤(1)阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题．

下面我们一起看第二个问题

问题二：某工厂制定了从1999年底开始到2005年底期间的生产总值持续增长的两个三年计划，预计生产总值年平均增长率为，则第二个三年计划生产总值与第一个三年计划生产总值相比，增长率为多少?(投影仪打出)

首先让学生搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题，所以问题转化为已知年增长率为，分别求两个三年计划的总产值．

设1999年总产值为，第一步让学生依次说出2000年到2005年的年总产值，它们分别为：

2000年2003年

2001年2004年

2002年2005年(板书)

第二步再让学生分别算出第一个三年总产值和第二个三年总产值

=++

=．

=++

=．(板书)

第三步计算增长率．

．(板书)

计算后教师可以让学生总结一下关于增长率问题的研究应注意的问题．最后教师再指出关于增长率的问题经常构建的数学模型为，其中为基数，为增长率，为时间．所以经常会用到指数函数有关知识加以解决．

总结后再提出最后一个问题

问题三：一商场批发某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法，试验表明，礼品价格为1元时，销售量可增加10%，且在一定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%．设未赠送礼品时的销售量为件．

(1)写出礼品价值为元时，所获利润(元)关于的函数关系式;

(2)请你设计礼品价值，以使商场获得最大利润．(为节省时间，应用题都可以用投影仪打出)

题目出来后要求学生认真读题，找出关键量．再引导学生找出与利润相关的量．包括销售量，每件的利润及礼品价值等．让学生思考后，列出销售量的式子．再找学生说出每件商品的利润的表达式，完成第一问的列式计算．

解：．(板书)

完成第一问后让学生观察解析式的特点，提出如何求这个函数的最大值(此出最值问题是学生比较陌生的，方法也是学生不熟悉的)所以学生遇到思维障碍，教师可适当提示，如可以先具体计算几个值看一看能否发现规律，若看不出规律，能否把具体计算改进一下，再计算中能体现它是最大?也就是让学生意识到应用最大值的概念来解决问题．最终将问题概括为两个不等式的求解即

(2)若使利润最大应满足

同时成立即解得

当或时，有最大值．

由于这是实际应用问题，在答案的选择上应考虑价值为9元的礼品赠送，可获的最大利润．

三．小结

通过以上三个应用问题的研究，要学生了解解决应用问题的具体步骤及相应的注意事项．

四．作业略

五．板书设计

2．9函数初步应用

问题一：

解：

问题二

分析

问题三

分析

小结：

指数函数、函数奇偶性

指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

可以看到：

（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。

（3）函数图形都是下凹的。

（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于y轴与x轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于y轴的正半轴与x轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于x轴，永不相交。

（7）函数总是通过（0，1）这点。

（8）显然指数函数无界。

奇偶性

注图：（1）为奇函数（2）为偶函数

1．定义

一般地，对于函数f(x)

（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2．奇偶函数图像的特征：

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称

点（x，y）→（-x，-y）

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算

(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.

(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

(5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

函数性质的运用分析【荐】

一、相关背景介绍建构主义理论告诉我们，学习是学生在原有认知经验基础上主动建构新知识的过程。这一建构过程实际上需要学生将原有知识与新知识（包括思想、观点、方法）进行有效组合与沟通。而学生知识、方法的迁移，水平、能力的提高均依赖于这个过程。从这个意义上说，数学学习实际上是指学生对数学现象的领悟和实质理解。抽象函数这部分内容，体现了数学的高度抽象性和简洁性，近几年高考几乎每年都有类似的题目。由于它的提干都是由抽象的数学符号给出，因此它对学生阅读理解数学语言和符号的能力要求很高。对学生的思维能力是一个大的挑战。二、本节课教学目标1、知识与技能①使学生深刻理解函数的奇偶性、周期性、对称性等性质。掌握代数变换的方法。②学会阅读理解数学语言和符号，会综合运用函数性质解题。2、过程与方法通过让学生经历阅读、理解、探索求解的过程，渗透化归转化的思想、数形结合的思想。寻求合理、有效的途径，解决数学问题。3、情感、态度、价值观使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神。4、重点：综合运用函数性质解题难点：对文字语言、符号语言、图形语言三种语言的理解和相互转换。三、设计理念1、首先通过复习函数的性质导入，训练学生对数学的文字语言、符号语言和图形语言这三种语言的相互转换2、例1的设计的意图是：加深学生对函数概念、性质的理解。教学生学会阅读、理解数学语言、符号；学会文字语言、图形语言、符号语言的相互转化。通过一题多解、一题多思，渗透化归转化和数形结合的思想，以及代数变换的方法，培养他们的思维能力。课堂形式是：分组讨论。3、例2的设计主要让学生独立思考解答探求多种解法，思考、交流、表达，体现学生主体参与合作学习。要求学生综合运用函数性质解题，提高他们抽象思维能力，问题延伸思考，主要针对较好学生，让他们课后继续钻研，提高分析问题、解决问题能力，也体现了分层教学的思想。四、下面是课堂实录《函数性质的运用》师：前面我们已经分别复习了函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性等。今天我们学习函数性质的综合运用。请先思考回答以下问题：①若函数f（x）是奇函数，如何用符号表示？用图形表示？②若给出图形请用文字语言叙述它的对称性，用符号如何表示？③若f（x+2）=f（x），你能有何结论？如何用文字语言叙述，用符号表示？生1：①f（-x）=-f（x）生2：②函数f（x）关于x=1对称，即f（1+x）=f（1-x）生3：③f（x）是周期函数，周期为T=2，示意图：师：由f（x+2）=-f（x）你能说出什么信息？生：f（x）的周期是T=4师：为什么？能否用图象解释？生：将式中的x用x+2来替代，得到：f（x+4）=-f（x+2）又因为-f（x+2）=f（x），所以f（x+4）=f（x）即：T=4但是不太用图像来解释师：提示：从图示看出f（x+4）=f（x）的周期为4。总结：通过对函数的奇偶性、对称性、周期性等性质的复习，我们要熟悉数学的文字语言，符号语言，图形语言三种语言的转换。好，下面我们来看例1例1：设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）=?生1：利用周期性由f（x+2）=-f（x）可得到f（x+4）=f（x）所以f（7.5）=f(8-0.5)=f(-0.5)=-0.5生2：直接利用f（x+2）=-f（x）f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f[-f(3.5)]=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-0.5师：还有其他方法吗？f（x）是奇函数且f（x+2）=-f（x），除了能说出周期T=4外，还能说出哪些信息？（师提示）生：f（x+2）=-f（x）=f（-x）而f（x+2）=f（-x）得到f（x）关于直线x=1对称师：很好，你能否根据函数的对称性、周期性及奇偶性，画出它的图象？从而利用图象来解题呢？生：从图中可以看出f（7.5）=f(-0.5)=-0.5师：我们在解题的过程中，应善于利用数形结合的思想方法，有时能收到意想不到的效果的。师总结：方法一：主要要求对符号的深刻理解及获取信息方法二：利用f（x+2）=-f（x），通过转化达到解题的目的，渗透了转化的思想方法三：利用函数的几何性质，通过作图，利用数形结合的思想来解题。下面我们来将这道题目进行变化：变化1：已知条件不变，问题变为当x∈[-1，0]时，求f（x）的解析式生1：设x∈[-1，0]则-x∈[0，1]∴f（-x）=-x，又∵f（-x）=-f（x）∴f（x）=x∴当x∈[-1，0]时，f（x）=x师：能否总结一下解题步骤？生2：小结：首先要“问啥设啥”，不要把变量设错了区间；第二，把变量转化到已知区间上去最后，再利用函数的奇偶性、周期性求出f（x）的解析式。变化2：当-1≤x≤1时，f（x）的解析式生：由已知和变化1可知当-1≤x≤1时，f（x）=x变化3：当x∈[3，5]时，求f（x）的解析式生：设x∈[3，5]，则x-4∈[-1，1]∴f（x-4）=x-4∵T=4∴f（x）=x-4变化4：当x∈[1，3]时，求f（x）的解析式生：设x∈[1，3]，则x-2∈[-1，1]∴f（x-2）=x-2∵T=4∴f（x-2）=f（x+4-2）=f（x+2）=-f（x）∴-f（x）=x-2∴f（x）=2-x师：小结：上面这四个变化训练要求我们要掌握代数变换这种数学方法，体会化归转化的思想在解题过程中的运用。例2：定义在（-∞，+∞）上的偶函数y=f（x）满足关系f（x+2）=-f（x）且f（x）在区间[-2，0]上是增函数，那么以下结论正确的有①y=f（x）是周期函数②y=f（x）的图象关于直线x=2对称③y=f（x）在区间[2，4]上是减函数④f（）=f（）生1：①f（x）是周期函数，T=4师：②分析：要证明直线x=2是y=f（x）图象的对称轴，只需要证明什么关系式成立？生：只需证f（2-x）=f（2+x）或证f（-x）=f（4+x）或证f（x）=f（4-x）师：那我们选择证第三个等式f（x）=f（4-x）成立生：∵f（x）的周期T=4，且f（x）是偶函数∴f（4-x）=f（-x）=f（x）即f（x）=f（4-x）∴y=f（x）图象的对称轴x=2③：生1：有已知在区间[-2，0]上，y=f（x）是增函数，由于y=f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，那么在[0，2]上y=f（x）是减函数，又由于y=f（x）图象关于直线x=2对称，所以y=f（x）在区间[2，4]上是增函数所以结论错误生2：也可以借助于图象（示意图）证明③是错误的④：生3：由于f（x）在区间[0，2]上是递减的∴f（）>f（）∴结论错误师：请同学们课后对问题进行延伸思考：通过以上两个例题，我们发现这样一个结论：如果f（x）具备奇偶性，同时f（x）的图象还关于某条直线对称，则f（x）是周期函数，你认为这个结论成立吗？请证明。课堂总结：（师生共同完成）要求对函数性质有深刻的理解及三种数学语言的理解转化掌握代表变换的方法，体会数形结合、化归思想在解题过程中的应用进一步培养学生的抽象思维能力课堂检测：已知定义在R上的周期函数y=f（x），周期T=4，若y=f（x）的图象关于直线x=2成轴对称图形求证：y=f（x）是偶函数五、课后反思这节课的教学环节，设计比较合理。特别是课前的复习导入，加强学生对数学的文字语言、符号语言、图形语言三种语言理解和相互转换，为突破本节课的难点做了有益的铺垫。例1的三种解法和四种变化，从不同的角度和方面加深了学生对函数有关概念性质的理解，对数学语言阅读能力的培养，同时对提高他们的抽象思维能力是极有好处的学生课堂上的反映热烈，积极参与，回答问题踊跃。特别是一些平时成绩偏下的学生也积极发言，很想表现自己，渴望得到来势和同学的认可。看来，如果平时也经常关注这部分学生，多给他们成功的机会，调动他们参与课堂的积极性，那么他们一定回愿意学，乐于学，学好的从课堂小测反馈的情况看，有少数学生对这部分内容的掌握还有困难，不会阅读，理解数学符号，因此运用起来感到比较困难，无从下手解题，因此对这部分学生还得加强课后的辅导督促其落实课堂上程序基本上是老师设计安排好的，没有让学生发现问题、提出问题，从而解决问题，这对培养学生的创新意识和能力是有碍的，这也是本人感到困惑的地方，在高三的复习时间紧迫的情况下，在课堂上，如何既让学生有一定的时间体会探索，发散思维，甚至充分暴露思维的错误，又能按时完成课时进度，落实各个知识点，不影响应试考试的成绩。这实在是太难了啊！

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