空间几何体直观图【荐】

无论何时，撰写教案都是我们教学必不可少的一步，教案能够详细安排教学的方方面面，好的教案能更好地提高中学生的学习能力，写高中教案要注意哪些方面呢？希望《空间几何体直观图【荐】》能够为您提供帮助。

数学必修2教案

1.2.2空间几何体的直观图

一、教学目标：

1、知识与技能：掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。

2、过程与方法：学生观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图

3、情感态度与价值观：感受空间几何体，增强学生学习的积极性，同时体会对比在学习中的作用，提高学生的观察能力。

二、重点与难点：

重点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。

难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。

三、课前学习：

用斜二测画法画空间几何值的直观图，从中能发现什么？

四、课中学习：

一）创设情景，揭示课题

1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱。

2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。

（二）研探新知

1．例1，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。

画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。

根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检查。

2．例2，用斜二测画法画水平放置的圆的直观图

教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一些点。

3．探求空间几何体的直观图的画法

（1）例3，用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体abcd-a’b’c’d’的直观图。

（2）投影出示几何体的三视图、课本p15图1.2-9，请说出三视图表示的几何体？并用斜二测画法画出它的直观图。教师组织学生思考，讨论和交流完成，教师巡视帮不懂的同学解疑，引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系。

4．平行投影与中心投影

投影出示课本p17图1.2-12，让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形的各自特点。。

（三）巩固练习

课本p16练习1（1），2，3，4

五、课后反思

对这一节的收获是什么？有什么问题期待解决？

六、作业设计：。

课本p17练习第5题

课本p16，探究（1）（2）

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导体绝缘体教案示例之一【推荐】

(一)教学目的

1.知道导体和绝缘体的区别，知道常见的导体和绝缘体。

2.常识性了解导体导电、绝缘体不导电的原因。

3.知道在一定的条件下，绝缘体可以转化为导体。

(二)教具

验电器两个，橡胶棒、玻璃棒、带绝缘柄的金属棒各一根，毛皮一块，干电池一节，小灯泡、开关各一个，金属夹两个，导体、绝缘体示教板、导线几根，磁性黑板一块。

(三)教学过程

1.复习

提问1：电流是怎么形成的？

2：电流方向是怎样规定的？

3：维持电路中有持续电流的条件是什么？

2.引入新课：

电路中是否有了电源，合上开关，电路中就一定有电流呢？

实验l：取两个相同的验电器A和B，用毛皮摩擦过橡胶棒接触验电器A，使A带上电，B不带电。用玻璃棒连接验电器A和B，结果B的金属箔片并不张开。表明没有电荷传到B上。

换用带绝缘柄的金属棒连接A和B，B的金属箔片张开，表明此时有电荷通过金属棒传向B。

这个实验说明，有的物体能够传导电荷，有的物体不能传导电荷。

实验2：在磁性黑板上按照本节教材上的第1幅图连接电路，合上开关，在两金属夹A和B之间依次连入示教板上的导体（如：铜丝、铝丝、铁丝、碳棒、及酸、碱、盐的水溶液等）和绝缘体（如：橡胶、塑料、玻璃、松香、胶木、煤油、纯水等），观察小灯泡的发光情况。

由实验结果可知，接入铜丝、铝丝等物质，小灯泡发光，说阻电荷能够通过这些物质，它们能够导电；接入橡胶、塑料等物质小灯泡不发光，说明电荷不能通过这些物质，它们不导电。

3.进行新课

(l)导体

能够导电的物体叫导体。如金属、大地、石墨以及酸、碱、盐的水溶液都是导体。

当电路中有了电源，还必须用导体（导线）把电源和小灯泡连接起来，合上开关后，电路中才会有电流通过，小灯泡才能发光。

(2)绝缘体

不容易导电的物体叫绝缘体，如橡胶、玻璃、陶瓷、塑料、油等都是绝缘体。

观察：一段导线，看看电线心是用什么材料做的？电线的外皮又是用什么材料做的？说一说这样做的道理。

(3)导体和绝缘体的应用

①指导同学看课本中“绝缘体应用的几个实例”的图。

②请同学们举出几个日常生活中见过的导体和绝缘体的实例。

(4)导体容易导电的原因

以铝原子为例：如图所示。

①铝原子核内有13个单位的正电荷，核外有13个电子按2n2排列；最外层轨道有3个电子，它们绕核高速运转。

②由于最外层的3个电子离校较远，它们很容易因某种原因而脱离原子核的束缚。

③脱离了原子核束缚的电子在原子间做无规则的运动，叫做自由电子。在金属导体中存在着大量的自由电子。

在酸、碱、盐的溶液中也存在着能自由移动的电荷，叫做正、负离子。

在绝缘体里，电荷几乎都被束缚在原子的范围内，不能自由移动。

由此可知，任何物体里都存在正负电荷，导体容易导电，是因为导体里有大量的自由电荷，绝缘体不容易导电，是绝缘体里几乎没有可以自由移动的电荷。

思考与讨论：

①橡胶、塑料等材料是很好的绝缘体，这是因为它们：[]

A.不带电；B.没有电子；

C.没有电荷；D.几乎没有可以自由移动的电荷。

②手拿一根铜棒与毛皮或丝绸摩擦，则铜棒；[]

A.一定带正电；B.一定带负电；

C.一定不带电；D.可能带正电，也可能带负电。

(5)绝缘体在一定的条件下可以转化为导体

实验：找一个废灯泡，取出里面的玻璃心，按课本图412连接好。常温下玻璃不导电，小灯泡不发光。用酒精灯给玻璃加热到红炽状态，玻璃变成导体，电路接通，小灯泡发光。

这个实验表明，导体和绝缘体之间没有严格的界限，在一定的条件下，绝缘体可以转化为导体。

例如：玻璃在加热的情况下可以变为导体；

木头在潮湿的情况下可以变为导体；

空气在强电力的作用下可以变为导体；

水在掺有杂质的情况下可以变为导体。

指导同学看课本图411“各种物体的导电和绝缘能力的顺序排列”图。

4.小结：

这节课我们学习了导体和绝缘体的知识，通过实验和讨论，知道了什么是导体，什么是绝缘体，明白了导体能够导电和绝缘体不能够导电的原因。好的导体和绝缘体都是重要的电工材料。但是导体和绝缘体之间没有严格的界限，本来是很好的绝缘体在一定的条件下也会转化为导体。因此我们在平时接触开关等元件上的绝缘体时，也不能粗心大意。

5.布置作业

思考题

1.用什么方法可以检验一个物体是导体还是绝缘体？

2.为什么用摩擦的方法可以使拿在手中的胶木棒带电，却不能使拿在手中的金属棒带电？

怎样才能使拿在手中的金属棒带电？

备注：本教案依据的教材是人民教育出版社初中物理第二册第四章第四节。

函数的图象

一、教学目的

1．使学生进一步理解自变量的取值范围和函数值的意义．

2．使学生会用描点法画出简单函数的图象．

二、教学重点、难点

重点：1．理解与认识函数图象的意义．

2．培养学生的看图、识图能力．

难点：在画图的三个步骤的列表中，如何恰当地选取自变量与函数的对应值问题．

三、教学过程

复习提问

1．函数有哪三种表示法？(答：解析法、列表法、图象法．)

2．结合函数y=x的图象，说明什么是函数的图象？

3．说出下列各点所在象限或坐标轴：

新课

1．画函数图象的方法是描点法．其步骤：

(1)列表．要注意适当选取自变量与函数的对应值．什么叫“适当”？——这就要求能选取表现函数图象特征的几个关键点．比如画函数y=3x的图象，其关键点是原点(0，0)，只要再选取另一个点如M(3，9)就可以了．

一般地，我们把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，这就要把自变量与函数的对应值列出表来．

(2)描点．我们把表中给出的有序实数对，看作点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点．

(3)用光滑曲线连线．根据函数解析式比如y=3x，我们把所描的两个点(0，0)，(3，9)连成直线．

一般地，根据函数解析式，我们列表、描点是有限的几个，只需在平面直角坐标系中，把这有限的几个点连成表示函数的曲线(或直线)．

2．讲解画函数图象的三个步骤和例．画出函数y=x+0.5的图象．

小结

本节课的重点是让学生根据函数解析式画函数图象的三个步骤，自己动手画图．

练习：①选用课本练习(前一节已作：列表、描点，本节要求连线)

②补充题：画出函数y=5x－2的图象．

作业：选用课本习题．

四、教学注意问题

1．注意渗透数形结合思想．通过研究函数的图象，对图象所表示的一个变量随另一个变量的变化而变化就更有形象而直观的认识．把函数的解析式、列表、图象三者结合起来，更有利于认识函数的本质特征．

2．注意充分调动学生自己动手画图的积极性．

3．认识到由于计算器和计算机的普及化，代替了手工绘图功能．故在教学中要倾向培养学生看图、识图的能力．

导体绝缘体教案示例之二

教学要求：

1.理解导体和绝缘体的区别。

2.知道常见的导体和绝缘体。

实验器材：6V电池组，小灯泡（6.3V），硬币、铅笔芯、橡皮、塑料尺（各1件），开关1个，废电灯泡芯1个，酒精灯1盏，导线6根（其中两根带金属夹、两根焊于废电灯泡灯头上）。

教学过程：

引人新课：

提问：连接电路的导线是用什么材料制成的？

用其他材料可以代替金属线吗？

演示课本图4－9实验，（电路先固定在示教板上）通过实验让学生回答：

1.哪些可以代替金属线？

2.哪些不可以代替金属线？

金属、石墨可以导电，叫导体；橡胶、塑料不能导电，叫绝缘体。

板书：四、导体和绝缘体

(一)导体和绝缘体的区别与应用

导体和绝缘体是根据导电作用来区分的。

介绍几种绝缘体应用实例，结合实验以及课本图4－10加以说明。

提问：为什么导体能导电、绝缘体不导电？

让学生阅读课本有关内容后回答，教师纠正不妥之处。训练学生的口头概括、表达能力。

小结并板书：

导体能导电是由于有可以自由移动的电荷；绝缘体不导电是由于几乎没有可以自由移动的电荷。

(二)导体与绝缘体没有绝对的界线

介绍各种物体的导电和绝缘能力的排列顺序（课本图4－11）。

演示课本图4－12实验。

演示后让学生讨论：常温下玻璃不导电灯泡不发光。将玻璃烧成红炽状态后，玻璃导电，灯泡发光。说明了什么问题？

教师根据学生回答，引导得出结论：

1.玻璃烧成红炽状态后能导电是由于产生了可以自由移动的电荷；

2.在一定条件下绝缘体可以转化成导体。（结合进行辩证唯物论思想教育）

导体和绝缘体沿有绝对的界线，当条件改变时，原来不导电的物体也可能会导电。

四、布置作业

1.第四节练习。

2.“想想议议”内容，写观察记录。

备注：本教案依据的教材为人民教育出版社初中物理第二册第四章第四节。

电路电路图教案示例【推荐】

(一)教学目的

1.知道电路各组成部分的基本作用，知道什么是电路的通路、开路，知道短路及其危害。

2.能画出常见的电路元件的符号和简单的电路图。

(二)教具

电池两节，电灯、开关、电铃各一个，磁性黑板一块，导线若干根，电路常用元件示教板块，投影仪，投影片，手电筒。

(三)教学过程

1.复习

(1)维持电路中有持续电流存在的条件是什么？

(2)电源在电路中的作用是什么？

2.引入新课

实验：在磁性黑板上连接如图1所示电路，合上开关，小灯泡发光。先后取走电路中任一元件，观察小灯泡是否还能继续发光。将小灯泡换成电铃，重复上面的实验。

通过观察实验，让同学思考一个正确的电路都是由哪几部分构成的？

3.进行新课

(1)电路的组成

①由电源、用电器、开关和导线等元件组成的电流路径叫电路。

一个正确的电路，无论多么复杂，也无论多么简单，都是由这几部分组成的，缺少其中的任一部分，电路都不会处于正常工作的状态。

②各部分元件在电路中的作用

电源维持电路中有持续电流，为电路提供电能。

导线连接各电路元件的导体，是电流的通道。

用电器利用电流来工作的设备，在用电器工作时，将电能转化成其他形式的能。

开关控制电路通、断。

③电路的通路、开路和短路

继续刚才实验1的演示，重做图44的实验，合上开关，小灯泡发光。这种处处连通的电路叫通路。

打开开关，或将电路中的某一部分断开，小灯泡都不会发光，说明电路中没有电流。这种因某一处断开而使电路中没有电流的电路叫开路。

将小灯泡取下，即用导线直接把电源的正、负极连接起来，过一会儿手摸导线会感觉到导线发热。这种电路中没有用电器，直接用导线将电源正负极相连的电路叫短路。短路是非常危险的，可能把电源绕坏，是不允许的。

观察：观察手电筒电路。看看这个电路是由几部分组成的？（可让学生自带手电筒，作随堂观察）。

思考：手电筒电路的开关与我们演示实验中所用的开关是否相同？你在家里和日常生活中还见过哪些与此不同的开关？它们在电路中的作用是否相同？

(2)电路中各元件的符号在设计、安装、修理各种实际电路的时候，常常需要画出表示电路连接情况的图。为了简便，通常不画实物图，而用国家统一规定的符号来代表电路中的各种元件。出示示教板或画有各电路元件符号的投影片，并作说明。

(3)电路图

用规定的符号表示电路连接情况的图叫电路图。

①示范：画出图46的电路图（图2）。

②让同学画出用电铃做实验时的电路图。让同学说明电路中的电流方向。

③变换一下图46实验中元件的位置，再让同学们练习画出电路图。注意纠正错误的画法。

④根据同学们画电路图的情况，进行小结，提出画电路图应注意的问题元件位置安排要适当，分布要均匀，元件不要画在拐角处。整个电路图最好呈长方形，有棱有角，导线横平竖直。

4.小结（略）

5.布置作业

1.完成本节教材后的练习。

2.思考题：一个实际电路中的用电器往往不只一个，有时有许多个。例如实验1中的小灯泡和电铃要同时在一个电路里工作，用同一个开关来控制。这个电路应怎样连接？你有几种方法？请试着画出电路图。

备注：本教案依据的教材为人民教育出版社九年义务教育初中物理第四章第五节。

高中教案椭圆的简单几何性质知识点总结

椭圆的简单几何性质中的考查点:

（一）、对性质的考查：

1、范围：要注意方程与函数的区别与联系；与椭圆有关的求最值是变量的取值范围；作椭圆的草图。

2、对称性：椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。

3、顶点：椭圆的顶点坐标；一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点；椭圆中a、b、c的几何意义（椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示）。

4、离心率：离心率的定义；椭圆离心率的取值范围：（0，1）；椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平；当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。

（二）、课本例题的变形考查：

1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点p（x，y）到椭圆一焦点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点p的坐标；

2、椭圆的第二定义及其应用；椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。

3、已知椭圆内一点m，在椭圆上求一点p，使点p到点m与到椭圆准线的距离的和最小的求法。

4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用：

5、直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。

关于椭圆的简单几何性质听课实录的高中教案推荐

在预习教材中的例4的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点p（）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在y轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）

本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。

本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。

在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。

但也有不足的地方：在对具体例子的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。

感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。

高中教案波的图象 精选版

教学目标

1、明确波图象的物理意义．

2、能够从中求解：

①波长和振幅；

②已知波的传播方向求各个质点的振动方向，或已知某一质点的振动方向确定波的传播方向；

③会画出经过一段时间后的波形图；

④质点通过的路程和位移．

3、明确振动图象与波动图形的区别．

4、通过学习使学生能用图象描述波的特点．

教学建议

本节难点是理解横波图象的物理意义，要求会“识读”横波图象，能够弄清横波图象和振动图象的区别．掌握波有三个基本要素，即某一时刻的波形图、质点的振动方向和波的传播方向；波还有两个特性，即双向性(在不注明波的传播方向的情况下，波的传播方向有两种可能)和重复性(经过周期的整数倍时间后，波形图是完全一样的)．研究波的“三要素”之间的关系时，注意波的“两个特性”，这是我们解决波的问题的关键．

由可以求什么?

(1)从图象上可以直接读出振幅(注意单位)．

(2)从图象上可直接读出波长(注意单位)．

(3)可求任一质点在该时刻相对平衡位置的位移(包括大小和方向)．

(4)在波传播方向已知(或已知波源方位)时可确定各质点在该时刻的振动方向．

(5)可确定各质点振动的加速度方向．

教学设计示例

教学目标：

1、明确的物理意义。

2、从中会求：①波长和振幅；②已知波的传播方向求各个质点的振动方向，或已知某一质点的振动方向确定波的传播方向；③会画出经过一段时间后的波形图；④质点通过的路程和位移。

3、明确振动图象与波动图形的区别。

4、通过学习使学生能用图象描述波的特点。

教学重点：的物理意义

教学难点：的应用

教学过程

(一)引入新课：

机械波是机械振动在介质里的传播过程（如绳波），从波源开始，随着波的传播，介质中的大量质点先后开始振动起来，虽然这些质点只在平衡位置附近做重复波源的振动。但由于它们振动步调不一致，所以，在某一时刻介质中各质点对平衡位置的位移各不相同。（如右图：是绳波在某一时刻的形状，即）为了从总体上形象地描绘出波的运动情况，物理学中采用了。

同学们可以思考，是什么？

学生举例：足球赛场上的“世界波”，也可请同学集体表演“世界波”

教师举例：水波，演示水波的实验，让学生理解是某一时刻的“照片”。

教师提问：那么怎样画图象呢？

(二)新授课：

1、：

在直角坐标系中：

横坐标——表示在波的传播方向上各质点的平衡位置与参考点的距离。

纵坐标——表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移。

请学生把绳表示出来。

在某一时刻连接各位移矢量的末端所得到的曲线就形成了，横与纵形状相似，又叫波形图。简谐是一条正弦或余弦曲线。

2、的物理意义：

表示介质中各质点在某一时刻(同一时刻)偏离平衡位置的位移的空间分布情况。在不同时刻质点振动的位移不同，波形也随之改变，不同时刻的波形曲线是不同的。图2表示经过丛时间后的波的形状和各质点的位移。

从某种意义上讲，可以看作是“位移对空间的展开图”，即具有空间的周期性；同时每经过一个周期波就向前传播一个波长的距离，虽然不同时刻波的形状不同，但每隔一个周期又恢复原来的形状，所以波在时间上也具有周期性。

3、从上可获取的物理信息

例1、如图3所示为一列简谐波在某一时刻的。

求：(1)该波的振幅和波长。

(2)已知波向右传播，说明A、B、C、D质点的振动方向。

(3)画出经过T／4后的。

解：(1)振幅是质点偏离平衡位置的最大位移，波长是两个相邻的峰峰或谷谷之间的距离，所以振幅A＝5cm，波长＝20m。

(2)根据波的传播方向和波的形成过程，可以知道质点B开始的时间比它左边的质点A要滞后一些，质点A已到达正向最大位移处，所以质点月此时刻的运动方向是向上的，同理可判断出C、D质点的运动方向是向下的。

(3)由于波是向右传播的，由此时刻经T／4后，即为此时刻的波形沿波的传播方向推进T／4的，如图4所示。

请学生讨论：1.若已知波速为20m／s，从图示时刻开始计时，说出经过5s，C点的位移和通过的路程。

2、若波是向左传播的，以上问题的答案应如何?

3、从可以知道什么?

总结：从上可获取的物理信息是：

(1)波长和振幅。

(2)已知波的传播方向可求各个质点的振动方向。(若已知某一质点的振动方向也可确定波的传播方向。可以提出问题，启发学生思考。)

(3)经过一段时间后的波形图。

(4)质点在一段时间内通过的路程和位移。

例题2、一列简谐横波，在t=0时波形如图7—8所示，P、Q两点的坐标分别为-1m、-7m，波的传播方向由右向左，已知t=0.7s时，P点第二次出现波峰，则：①此波的周期是多少？②此波的波长是多少？③当t=1.2s时P点的位移？④从t=0到t=1.2s质点P的路程是多少？

思路分析：由t=0时刻的波形图

由右向左传播可知：以后每个质点开始振动时应向上振动，而波传播到P点需半个周期，当t=0.7s时，P点第二次出现波峰，可见P点在0.7s内完成了次全振动，则可求得波的周期。质点在一个周期内的路程是4A。

解：①由分析可知：T=0.7T=0.4s。

②由可知：λ=4cm

③由分析可得：x=0

④由分析可得：s=1.5×4A=1.5×4×2=12cm

布置作业：练习一的1、2、3。

高中教案算术平均数与几何平均数（二）

第一课时

一、教材分析

（一）教材所处的地位和作用

“算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第二册（上）“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材二同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．

（二）教学目标

1．知识目标：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的重要不等式的证明及其几何解释；掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；掌握应用平均值定理解决一些简单的应用问题．

2．能力目标：培养学生数形结合、化归等数学思想．

（三）教学重点、难点、关键

重点：用平均值定理求某些函数的最值及有关的应用问题．

难点：定理的使用条件，合理地应用平均值定理．

关键：理解定理的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键．

（四）教材处理

依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理及它们的几何解释．掌握应用定理解决某些数学问题．第二课时讲解应用平均值定理解决某些实际问题．为了讲好平均值定理这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．

二、教法分析

（－）教学方法

为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标．在探索结论时，采用发现法教学；在定理的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行．

（二）教学手段

根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机辅导教学．

三、教学过程设计

6．2算术平均数与几何平均数（第一课时）

（一）导入新课

（教师活动）1．教师打出字幕（提出问题）；2．组织学生讨论，并点评．

（学生活动）学生分组讨论，解决问题．

[字幕]某种商品分两次降价，降价的方案有三种：方案甲是第一次9折销售，第二次再8折销售；方案乙是第一次8折销售，第二次再9折销售；方案丙是两次都是折销售．试问降价最少的方案是哪一种？

［讨论］

①设物价为t元，三种降价方案的销售物价分别是：

方案甲：（元）；

方案乙：（元）；

方案丙：（元）．

故降价最少的方案是丙．

②若将问题变为第一次a折销售，第二次b折销售．显然可猜想有不等式成立，即，当时，

设计意图：提出一个商品降价问题，要求学生讨论哪一种方案降价最少．学生对问题的背景较熟悉，可能感兴趣，从而达到说明学习本节知识的必要，激发学生求知欲望，合理引出新课．

（二）新课讲授

【尝试探索，建立新知】

（教师活动）打出字幕（重要不等式），引导学生分析、思考，讲解重要不等式的证明．点评有关问题．

（学生活动）参与研究重要不等式的证明，理解有关概念．

［字幕］如果，那么（当且仅当时取“=”号）．

证明：见课本

［点评］

①强调的充要条件是

②解释“当且仅当”是充要条件的表达方式（“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的）．

③几何解释，如图。

[字幕]定理如果a，b是正数，那么（当且仅当时取“=”号）．

证明：学生运用“”自己证明．

［点评］

①强调；

②解释“算术平均数”和“几何平均数”的概念，并叙述它们之间的关系；

②比较上述两个不等式的特征（强调它们的限制条件）；

④几何解释（见课本）；

＠指出定理可推广为“n个（）正数的算术平均数不小干它们的几何平均数”．

设计意图：加深对重要不等式的认识和理解；培养学生数形结合的思想方法和对比的数学思想，多方面思考问题的能力．

【例题示范，学会应用】

（教师活动）教师打出字幕（例题），引导学生分析，研究问题，点拨正确运用定理，构建证题思路．

（学生活动）与教师一道完成问题的论证．

［字幕］例题已知a，b，c，d都是正数，求证：

［分析］

①应用定理证明；

②研究问题与定理之间的联系；

③注意应用定理的条件和应用不等式的性质．

证明：见课本．

设计意图：巩固对定理的理解，学会应用定理解决某些数学问题．

【课堂练习】

（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；巡视学生解题情况，对正确的解法给予肯定和鼓励，对偏差给予纠正；请甲、乙两学生板演；点评练习解法．

（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、动两位同学板演．

［字幕］练习：已知都是正数，求证：

（1）；

（2）

设计意图：掌握定理及应用，反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用定理解决有关数学问题的解题方法．

（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上．

1．重要不等式可以用来证明某些不等式．

2．应用重要不等式证明不等式时要注意不等式的结构特征：①满足定理的条件；②不等式一边为和的形式，另一边为积或常数的形式．

3．用重要不等式证明有关不等式时注意与不等式性质结合．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握应用重要不等式解决有关数学问题的方

法．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．

（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．

1．本节课学习了两个重要不等式及它们在解决数学问题中的应用．

2．注意：①两个重要不等式使用的条件；②不等式中“=”号成立的条件．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

1．课本作业；习题．1，3

2．思考题：已知，求证：

3．研究性题：设正数，，试尽可能多的给出含有a和b的两个元素的不等式．

设计意图：课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生完成，灵活掌握重要不等式的应用；研究性题是一道结论开放性题，培养学生创新意识．

（五）课后点评

1．导入新课采用学生比较熟悉的问题为背景，容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机．使得学生学习本节课知识自然且合理．

2．在建立新知过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构．对有关概念使学生理解难确，尽量以多种形式反映知识结构，使学生在比较中得到深刻理解．

3．通过变式训练，使学生在对知识初步理解和掌握后，得到进一步深化，对所学的知识得到巩固与提高，同时反馈信息，调整课堂教学．

4．本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

作业答案

思考题证明：因为，所以

．又因为，，，所以，，所以

研究性题①．由条件得，…（A）利用公式…（B）．得，即．②．由（A）、（B）之和即得．③．可利用．再利用①，即可得．④．利用立方和公式得到：．利用①可得．利用①②可得．还有……

第二课时

（－）导入新课

（教师活动）1．教师打出字幕（引例）；2．设置问题，引导学生思考，启发学生应用平均值定理解决有关实际问题．

（学生活动）思考、回答教师设置的问题，构建应用平均值定理解决实际问题的思路．

［字幕］引例．如图，用篱笆围一块面积为50的一边靠墙的矩形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少时，所用篱笆最省？此时，篱笆墙长为多少米？

[设问]

①这是一个实际问题，如何把它转化成为一个数学问题？

（学生口答：设篱笆墙长为y，则（）．问

题转化成为求函数y的最小值及取得最值时的的值．）

②求这个函数的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函数的最小值？

（学生口答：利用函数的单调性或判别式法，也可用平均值定理．）

设计意图：从学生熟悉的实际问题出发，激发学生应用数学知识解决问题的兴趣，通过设问，引导和启发学生用所学的平均值定理解决有关实际问题，引入课题．

（二）新课讲授

【尝试探索、建立新知】

（教师活动）教师打出字幕（课本例题1），引导学生研究和解决问题，帮助学生建立用平均值定理求函数最值的知识体系．

（学生活动）尝试完成问题的论证，构建应用平均值定理求函数最值的方法．

[字幕]已知都是正数，求证：

（1）如果积是定值P，那么当时，和有最小值；

（2）如果和是定值S，那么当时，积有最大值

证明：运用，证明（略）．

［点评］

①（l）的结论即，（2）的结论即

②上述结论给出了一类函数求最值的方法，即平均值定理求最值法．

③应用平均值定理求最值要特别注意：两个变元都为正值；两个变元之积（或和）为定值；当且仅当，这三个条件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同时成立．

设计意图：引导学生分析和研究问题，建立新知——应用平均值定理求最值的方法．

【例题示范，学会应用】

（教师活动）打出字幕（例题），引导学生分析问题，研究问题的解法．

（学生活动）分析、思考，尝试解答问题．

[字幕]例题1求函数（）的最小值，并求相应的的值．

［分析］因为这个函数中的两项不都是正数且又与的积也不是常数，所以不能直接用定理求解．但把函数变形为后，正数，的积是常数1，可以用定理求得这个函数的最小值．

解：，由，知，，且．当且仅当，即时，（）有最小值，最小值是。

[点评]要正确理解的意义，即方程要有解，且解在定义域内．

[字幕]例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800，深为3m，如果池底每l的造价为150元，池壁每1的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

［分析］设水池底面一边的长为m，水池的总造价为y，建立y关干的函数．然后用定理求函数y的最小值．

解：设水池底面一边的长度为m，则另一边的长度为m，又设水池总造价为y元，根据题意，得

（）

所以

当，即时，y有最小值297600．因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时．水池的总造价最低，最低总造价是297600元．

设计意图：加深理解应用平均值定理求最值的方法，学会应用平均值定理解决某些函数最值问题和实际问题，并掌握分析变量的构建思想．培养学生用数学知识解决实际问题的能力，化归的数学思想．

【课堂练习】

（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请三位同学板演；巡视学生解题情况，对正确的给予肯定，对偏差进行纠正；讲评练习．

（学生活动）在笔记本且完成练习、板演．

［字幕〕练习

A组

1．求函数（）的最大值．

2求函数（）的最值．

3．求函数（）的最大值．

B组

1．设，且，求的最大值．

2．求函数的最值，下面解法是否正确？为什么？

解：，因为，则．所以

[讲评]A组1．；2．；3．

B组1．；2．不正确①当时，；②当时，，而函数在整个定义域内没有最值．

设计意图；A组题训练学生掌握应用平均值定理求最值．B组题训练学生掌握平均值定理的综合应用，并对一些易出现错误的地方引起注意．同时反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用平均值定理解决有关函数最值问题和实际问题的解题方法．

（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．

1．应用平均值定理可以解决积为定值或和为定值条件下，两个正变量的和或积的最值问题．

2．应用定理时注意以下几个条件：（ⅰ）两个变量必须是正变量．（ⅱ）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值．（iii）当且仅当两个数相等时取最值，即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．

3．在求某些函数的最值时，会恰当的恒等变形——分析变量、配置系数．

4．应用平均值定理解决实际问题时，应注意：（l）先理解题意，没变量，把要求最值的变量定为函数．（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题，确定函数的定义域．（3）在定义域内，求出函数的最值，正确写出答案．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．

（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

这节课学习了利用平均值定理求某些函数的最值问题．现在我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值方法．这是平均值定理的一个重要应用，也是本节的重点内容，同学们要牢固掌握．

应用定理时要注意定理的适用条件，即“正数、定值、相等”三个条件同时成立，且会灵活转化问题，达到化归的目的．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

1．课本作业：P，6，7．

2．思考题：设，求函数的最值．

3．研究性题：某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽车费用9千元；汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年递增．问这种汽车最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的平均费用最少）？

设计意图：课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生练习，使学生能灵活运用定理解决某些数学问题；研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．

（五）课后点评

1．关于新课引入设计的想法：

导入这一环节是调动学生学习的积极性，激发学生探究精神的重要环节，本节课开始给出一个引例，通过探究解决此问题的各种解法，产生用平均值定理求最值，点明课题．事实上，在解决引例问题的过程中也恰恰突出了教学重点．

2．关于课堂练习设计的想法：

正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值是教学难点．为突破难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，发现使用定理的三个条件缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，设计解法正误讨论能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深了对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中．

3．培养应用意识．

教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用干客观世界．为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学．本节课中设计了两道应用问题，用刚刚学过的数学知识解决了问题，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”．

作业解答

思考题：

．当且仅当，即时，上式取等号．所以当时，函数y有最小值9，无最大值．

研究性题：设使用年报废最合算，由题意有；

年平均费用

当且仅当，即时，取得最小值，即使用10年报废最合算，年平均费用3万元．

算术平均数与几何平均数

进货次数问题探讨

题目某公司某年需要某种计算机元件8000个，在一年内连续作业组装成整机卖出（每天需同样多的元件用手组装，并随时运出整机至市场），该元件向外购买进货，每次（不论购买多少件）须花手续费500元，如一次进货，可少花手续费，但8000个元件的保管费很有观，如果多次进货，手续费多了，但可节省保管费，请你帮该公司出个主意，每年进货几次为宜，该公司的库存保管费可按下述方法计算：每个元件每年2元，并可按比例折算成更短的时间：如每个元件保管一天的费用为元（一年按360天计算）。每个元件的买价、运输费及其他费用假设为一常数。

解：设购进8000个元件的总费用为F，一年总保管费为E，手续费为H，元件买价、运输费及其他费用为C（C为常数），则

如果每年进货次，则每次进货个，用完这些元件的时间是年。进货后，因连续作业组装，一天后保管数量只有个（为一天所需元件），两天后只有个，……，因此年中个元件的保管费可按平均数计算，即相当于个保管了年，每个元件保管须元，做这年中个元件的保管费为

每进货一次，花保管费元，一共次，故

，

，

所以

当且仅当，即时，总费用最少，故以每年进货4次为宜。

说明这道寻求最佳进货次数的问题，是北京市首届“方正杯“中学生数学知识应用竞赛初赛试题（1993．11），求解的关键数学知识是“的极小值是”

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