教学目标
1.掌握等差数列前项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)了解等差数列前项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;
(2)用方程思想认识等差数列前项和的公式,利用公式求;等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;
(3)会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值.
2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法.
3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.
4.通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.
教学建议
(1)知识结构
本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用,首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.
(2)重点、难点分析
教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.
推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼一般方法,再试图运用这一方法解决一般情况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前项和公式有两种形式,应根据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.
高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为公式推导及简单应用,一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用.
②前项和公式的推导,建议由具体问题引入,使学生体会问题源于生活.
③强调从特殊到一般,再从一般到特殊的思考方法与研究方法.
④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题.
⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式.
等差数列的前项和公式教学设计示例
教学目标
1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题.
2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.
教学重点,难点
教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讲授法.
教学过程
一.新课引入
提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课件展示)
问题就是(板书)“”
这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.
我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?
二.讲解新课
(板书)等差数列前项和公式
1.公式推导(板书)
问题(幻灯片):设等差数列的首项为,公差为,由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
思路一:运用基本量思想,将各项用和表示,得
,有以下等式
,问题是一共有多少个,似乎与的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二:
上面的等式其实就是,为回避个数问题,做一个改写,,两式左右分别相加,得
,
于是有:.这就是倒序相加法.
思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得,于是.
于是得到了两个公式(投影片):和.
2.公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前项和的两个公式.
3.公式的应用
公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.
例1.求和:(1);
(2)(结果用表示)
解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.
例2.等差数列中前多少项的和是9900?
本题实质是反用公式,解一个关于的一元二次函数,注意得到的项数必须是正整数.
三.小结
1.推导等差数列前项和公式的思路;
2.公式的应用中的数学思想.
四.板书设计
教学目标
1.掌握等差数列前项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)了解等差数列前项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;
(2)用方程思想认识等差数列前项和的公式,利用公式求;等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;
(3)会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值.
2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法.
3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.
4.通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.
教学建议
(1)知识结构
本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用,首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.
(2)重点、难点分析
教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.
推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼一般方法,再试图运用这一方法解决一般情况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前项和公式有两种形式,应根据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.
高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为公式推导及简单应用,一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用.
②前项和公式的推导,建议由具体问题引入,使学生体会问题源于生活.
③强调从特殊到一般,再从一般到特殊的思考方法与研究方法.
④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题.
⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式.
等差数列的前项和公式教学设计示例
教学目标
1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题.
2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.
教学重点,难点
教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讲授法.
教学过程
一.新课引入
提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课件展示)
问题就是(板书)“”
这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.
我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?
二.讲解新课
(板书)等差数列前项和公式
1.公式推导(板书)
问题(幻灯片):设等差数列的首项为,公差为,由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
思路一:运用基本量思想,将各项用和表示,得
,有以下等式
,问题是一共有多少个,似乎与的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二:
上面的等式其实就是,为回避个数问题,做一个改写,,两式左右分别相加,得
,
于是有:.这就是倒序相加法.
思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得,于是.
于是得到了两个公式(投影片):和.
2.公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前项和的两个公式.
3.公式的应用
公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.
例1.求和:(1);
(2)(结果用表示)
解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.
例2.等差数列中前多少项的和是9900?
本题实质是反用公式,解一个关于的一元二次函数,注意得到的项数必须是正整数.
三.小结
1.推导等差数列前项和公式的思路;
2.公式的应用中的数学思想.
四.板书设计
教材:(一)目的:要求学生掌握等差数列的意义,通项公式及等差中项的有关概念、计算公式,并能用来解决有关问题。过程:
一、引导观察数列:4,5,6,7,8,9,10,……3,0,-3,-6,……,,,,……12,9,6,3,……特点:从第二项起,每一项与它的前一项的差是常数—“等差”
二、得出等差数列的定义:注意:从第二项起,后一项减去前一项的差等于同一个常数。1.名称:首项公差2.若则该数列为常数列3.寻求等差数列的通项公式:由此归纳为当时(成立)注意:1°等差数列的通项公式是关于的一次函数2°如果通项公式是关于的一次函数,则该数列成ap证明:若它是以为首项,为公差的ap。3°公式中若则数列递增,则数列递减4°图象:一条直线上的一群孤立点三、例题:注意在中,,,四数中已知三个可以求出另一个。例一(见教材)例二(见教材)
四、关于等差中项:如果成等差数列则证明:设公差为,则∴例四《教学与测试》p77例一:在-1与7之间顺次插入三个数使这五个数成ap,求此数列。五、小结:等差数列的定义、通项公式、等差中项六、作业:
教学目标
1.理解的概念,掌握的通项公式,并能运用通项公式解决简单的问题.
(1)了解公差的概念,明确一个数列是的限定条件,能根据定义判断一个数列是,了解等差中项的概念;
(2)正确认识使用的各种表示法,能灵活运用通项公式求的首项、公差、项数、指定的项;
(3)能通过通项公式与图像认识的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题.
2.通过的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过通项公式的运用,渗透方程思想.
3.通过概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识;通过对的研究,使学生明确与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.
关于的教学建议
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
①教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用,是特殊的数列,定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括,准确把握定义是正确认识,解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系,是研究一个数列的重要工具,的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关,通过函数图象研究数列性质成为可能.
②通过不完全归纳法得出的通项公式,所以是教学中的一个难点;另外,出现在一个等式中,运用方程的思想,已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多,学生应用时会有一定的困难,通项公式的灵活运用是教学的有一难点.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为的定义与表示法,一节为通项公式的应用.
②定义的引出可先给出几组,让学生观察、比较,概括共同规律,再由学生尝试说出的定义,对程度差的学生可以提示定义的结构:“……的数列叫做”,由学生把限定条件一一列举出来,为等比数列的定义作准备.如果学生给出的定义不准确,可让学生研究讨论,用符合学生的定义但不是的数列作为反例,再由学生修改其定义,逐步完善定义.
③的定义归纳出来后,由学生举一些的例子,以此让学生思考确定一个的条件.
④由学生根据一般数列的表示法尝试表示,前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点,根据图像观察项随项数的变化规律;再看通项公式,项可看作项数的一次型()函数,这与其图像的形状相对应.
⑤有穷的末项与通项是有区别的,数列的通项公式是数列第项与项数之间的函数关系式,有穷的项数未必是,即其末项未必是该数列的第项,在教学中一定要强调这一点.
⑥前项和的公式推导离不开的性质,所以在本节课应补充一些重要的性质;另外可让学生研究的子数列,有规律的子数列会引起学生的兴趣.
⑦是现实生活中广泛存在的数列的数学模型,如教材中的例题、习题等,还可让学生去搜集,然后彼此交流,提出相关问题,自己尝试解决,为学生提供相互学习的机会,创设相互研讨的课堂环境.
通项公式的教学设计示例
教学目标
1.通过教与学的互动,使学生加深对通项公式的认识,能参与编拟一些简单的问题,并解决这些问题;
2.利用通项公式求的项、项数、公差、首项,使学生进一步体会方程思想;
3.通过参与编题解题,激发学生学习的兴趣.
教学重点,难点
教学重点是通项公式的认识;教学难点是对公式的灵活运用.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
研探式.
教学过程一.复习提问前一节课我们学习了的概念、表示法,请同学们回忆的定义,其表示法都有哪些?的概念是从相邻两项的关系加以定义的,这个关系用递推公式来表示比较简单,但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.二.主体设计通项公式反映了项与项数之间的函数关系,当的首项与公差确定后,数列的每一项便确定了,可以求指定的项(即已知求).找学生试举一例如:“已知中,首项,公差,求.”这是通项公式的简单应用,由学生解答后,要求每个学生出一些运用通项公式的题目,包括正用、反用与变用,简单、复杂,定量、定性的均可,教师巡视将好题搜集起来,分类投影在屏幕上.1.方程思想的运用(1)已知中,首项,公差,则-397是该数列的第______项.(2)已知中,首项,则公差(3)已知中,公差,则首项这一类问题先由学生解决,之后教师点评,四个量,在一个等式中,运用方程的思想方法,已知其中三个量的值,可以求得第四个量.2.基本量方法的使用(1)已知中,,求的值.(2)已知中,,求.若学生的题目只有这两种类型,教师可以小结(最好请出题者、解题者概括):因为已知条件可以化为关于和的二元方程组,所以这些是确定的,由和写出通项公式,便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件(等式)化为关于和的二元方程组,以求得和,和称作基本量.教师提出新的问题,已知的一个条件(等式),能否确定一个?学生回答后,教师再启发,由这一个条件可得到关于和的二元方程,这是一个和的制约关系,从这个关系可以得到什么结论?举例说明(例题可由学生或教师给出,视具体情况而定).如:已知中,…由条件可得即,可知,这是比较显然的,与之相关的还能有什么结论?若学生答不出可提示,一定得某一项的值么?能否与两项有关?多项有关?由学生发现规律,完善问题(3)已知中,求;;;;….类似的还有(4)已知中,求的值.以上属于对数列的项进行定量的研究,有无定性的判断?引出3.研究的单调性,考察随项数的变化规律.着重考虑的情况.此时是的一次函数,其单调性取决于的符号,由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.4.研究项的符号这是为研究前项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如(1)已知数列的通项公式为,问数列从第几项开始小于0?(2)从第________项起以后每项均为负数.三.小结1.用方程思想认识通项公式;2.用函数思想解决问题.四.板书设计通项公式1.方程思想的运用2.基本量方法的使用3.研究的单调性4.研究项的符号
教学目标
1.掌握等比数列前项和公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)理解公式的推导过程,体会转化的思想;
(2)用方程的思想认识等比数列前项和公式,利用公式知三求一;与通项公式结合知三求二;
2.通过公式的灵活运用,进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
3.通过公式推导的教学,对学生进行思维的严谨性的训练,培养他们实事求是的科学态度.
教学建议
教材分析
(1)知识结构
先用错位相减法推出等比数列前项和公式,而后运用公式解决一些问题,并将通项公式与前项和公式结合解决问题,还要用错位相减法求一些数列的前项和.
(2)重点、难点分析
教学重点、难点是等比数列前项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法(如分类讨论思想,错位相减法等),这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及,所以对等比数列前项和公式的要求,不单是要记住公式,更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前项和公式是分情况讨论的,在运用中要特别注意和两种情况.
教学建议
(1)本节内容分为两课时,一节为等比数列前项和公式的推导与应用,一节为通项公式与前项和公式的综合运用,另外应补充一节数列求和问题.
(2)等比数列前项和公式的推导是重点内容,引导学生观察实例,发现规律,归纳总结,证明结论.
(3)等比数列前项和公式的推导的其他方法可以给出,提高学生学习的兴趣.
(4)编拟例题时要全面,不要忽略的情况.
(5)通项公式与前项和公式的综合运用涉及五个量,已知其中三个量可求另两个量,但解指数方程难度大.
(6)补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.
教学设计示例
课题:等比数列前项和的公式
教学目标
(1)通过教学使学生掌握等比数列前项和公式的推导过程,并能初步运用这一方法求一些数列的前项和.
(2)通过公式的推导过程,培养学生猜想、分析、综合能力,提高学生的数学素质.
(3)通过教学进一步渗透从特殊到一般,再从一般到特殊的辩证观点,培养学生严谨的学习态度.
教学重点,难点
教学重点是公式的推导及运用,难点是公式推导的思路.
教学用具
幻灯片,课件,电脑.
教学方法
引导发现法.
教学过程
一、新课引入:
(问题见教材第129页)提出问题:(幻灯片)
二、新课讲解:
记,式中有64项,后项与前项的比为公比2,当每一项都乘以2后,中间有62项是对应相等的,作差可以相互抵消.
(板书)即,①
,②
②-①得即.
由此对于一般的等比数列,其前项和,如何化简?
(板书)等比数列前项和公式
仿照公比为2的等比数列求和方法,等式两边应同乘以等比数列的公比,即
(板书)③两端同乘以,得
④,
③-④得⑤,(提问学生如何处理,适时提醒学生注意的取值)
当时,由③可得(不必导出④,但当时设想不到)
当时,由⑤得.
于是
反思推导求和公式的方法——错位相减法,可以求形如的数列的和,其中为等差数列,为等比数列.
(板书)例题:求和:.
设,其中为等差数列,为等比数列,公比为,利用错位相减法求和.
解:,
两端同乘以,得
,
两式相减得
于是.
说明:错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.
公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.
三、小结:
1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用;
2.用错位相减法求一些数列的前项和.
四、作业:略.
五、板书设计:
等比数列前项和公式例题
教学目标
1.掌握等比数列前项和公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)理解公式的推导过程,体会转化的思想;
(2)用方程的思想认识等比数列前项和公式,利用公式知三求一;与通项公式结合知三求二;
2.通过公式的灵活运用,进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
3.通过公式推导的教学,对学生进行思维的严谨性的训练,培养他们实事求是的科学态度.
教学建议
教材分析
(1)知识结构
先用错位相减法推出等比数列前项和公式,而后运用公式解决一些问题,并将通项公式与前项和公式结合解决问题,还要用错位相减法求一些数列的前项和.
(2)重点、难点分析
教学重点、难点是等比数列前项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法(如分类讨论思想,错位相减法等),这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及,所以对等比数列前项和公式的要求,不单是要记住公式,更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前项和公式是分情况讨论的,在运用中要特别注意和两种情况.
教学建议
(1)本节内容分为两课时,一节为等比数列前项和公式的推导与应用,一节为通项公式与前项和公式的综合运用,另外应补充一节数列求和问题.
(2)等比数列前项和公式的推导是重点内容,引导学生观察实例,发现规律,归纳总结,证明结论.
(3)等比数列前项和公式的推导的其他方法可以给出,提高学生学习的兴趣.
(4)编拟例题时要全面,不要忽略的情况.
(5)通项公式与前项和公式的综合运用涉及五个量,已知其中三个量可求另两个量,但解指数方程难度大.
(6)补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.
教学设计示例
课题:等比数列前项和的公式
教学目标
(1)通过教学使学生掌握等比数列前项和公式的推导过程,并能初步运用这一方法求一些数列的前项和.
(2)通过公式的推导过程,培养学生猜想、分析、综合能力,提高学生的数学素质.
(3)通过教学进一步渗透从特殊到一般,再从一般到特殊的辩证观点,培养学生严谨的学习态度.
教学重点,难点
教学重点是公式的推导及运用,难点是公式推导的思路.
教学用具
幻灯片,课件,电脑.
教学方法
引导发现法.
教学过程
一、新课引入:
(问题见教材第129页)提出问题:(幻灯片)
二、新课讲解:
记,式中有64项,后项与前项的比为公比2,当每一项都乘以2后,中间有62项是对应相等的,作差可以相互抵消.
(板书)即,①
,②
②-①得即.
由此对于一般的等比数列,其前项和,如何化简?
(板书)等比数列前项和公式
仿照公比为2的等比数列求和方法,等式两边应同乘以等比数列的公比,即
(板书)③两端同乘以,得
④,
③-④得⑤,(提问学生如何处理,适时提醒学生注意的取值)
当时,由③可得(不必导出④,但当时设想不到)
当时,由⑤得.
于是
反思推导求和公式的方法——错位相减法,可以求形如的数列的和,其中为等差数列,为等比数列.
(板书)例题:求和:.
设,其中为等差数列,为等比数列,公比为,利用错位相减法求和.
解:,
两端同乘以,得
,
两式相减得
于是.
说明:错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.
公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.
三、小结:
1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用;
2.用错位相减法求一些数列的前项和.
四、作业:略.
五、板书设计:
等比数列前项和公式例题
教学目标
1.理解的概念,掌握的通项公式,并能运用通项公式解决简单的问题.
(1)了解公差的概念,明确一个数列是的限定条件,能根据定义判断一个数列是,了解等差中项的概念;
(2)正确认识使用的各种表示法,能灵活运用通项公式求的首项、公差、项数、指定的项;
(3)能通过通项公式与图像认识的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题.
2.通过的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过通项公式的运用,渗透方程思想.
3.通过概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识;通过对的研究,使学生明确与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.
关于的教学建议
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
①教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用,是特殊的数列,定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括,准确把握定义是正确认识,解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系,是研究一个数列的重要工具,的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关,通过函数图象研究数列性质成为可能.
②通过不完全归纳法得出的通项公式,所以是教学中的一个难点;另外,出现在一个等式中,运用方程的思想,已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多,学生应用时会有一定的困难,通项公式的灵活运用是教学的有一难点.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为的定义与表示法,一节为通项公式的应用.
②定义的引出可先给出几组,让学生观察、比较,概括共同规律,再由学生尝试说出的定义,对程度差的学生可以提示定义的结构:“……的数列叫做”,由学生把限定条件一一列举出来,为等比数列的定义作准备.如果学生给出的定义不准确,可让学生研究讨论,用符合学生的定义但不是的数列作为反例,再由学生修改其定义,逐步完善定义.
③的定义归纳出来后,由学生举一些的例子,以此让学生思考确定一个的条件.
④由学生根据一般数列的表示法尝试表示,前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点,根据图像观察项随项数的变化规律;再看通项公式,项可看作项数的一次型()函数,这与其图像的形状相对应.
⑤有穷的末项与通项是有区别的,数列的通项公式是数列第项与项数之间的函数关系式,有穷的项数未必是,即其末项未必是该数列的第项,在教学中一定要强调这一点.
⑥前项和的公式推导离不开的性质,所以在本节课应补充一些重要的性质;另外可让学生研究的子数列,有规律的子数列会引起学生的兴趣.
⑦是现实生活中广泛存在的数列的数学模型,如教材中的例题、习题等,还可让学生去搜集,然后彼此交流,提出相关问题,自己尝试解决,为学生提供相互学习的机会,创设相互研讨的课堂环境.
通项公式的教学设计示例
教学目标
1.通过教与学的互动,使学生加深对通项公式的认识,能参与编拟一些简单的问题,并解决这些问题;
2.利用通项公式求的项、项数、公差、首项,使学生进一步体会方程思想;
3.通过参与编题解题,激发学生学习的兴趣.
教学重点,难点
教学重点是通项公式的认识;教学难点是对公式的灵活运用.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
研探式.
教学过程一.复习提问前一节课我们学习了的概念、表示法,请同学们回忆的定义,其表示法都有哪些?的概念是从相邻两项的关系加以定义的,这个关系用递推公式来表示比较简单,但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.二.主体设计通项公式反映了项与项数之间的函数关系,当的首项与公差确定后,数列的每一项便确定了,可以求指定的项(即已知求).找学生试举一例如:“已知中,首项,公差,求.”这是通项公式的简单应用,由学生解答后,要求每个学生出一些运用通项公式的题目,包括正用、反用与变用,简单、复杂,定量、定性的均可,教师巡视将好题搜集起来,分类投影在屏幕上.1.方程思想的运用(1)已知中,首项,公差,则-397是该数列的第______项.(2)已知中,首项,则公差(3)已知中,公差,则首项这一类问题先由学生解决,之后教师点评,四个量,在一个等式中,运用方程的思想方法,已知其中三个量的值,可以求得第四个量.2.基本量方法的使用(1)已知中,,求的值.(2)已知中,,求.若学生的题目只有这两种类型,教师可以小结(最好请出题者、解题者概括):因为已知条件可以化为关于和的二元方程组,所以这些是确定的,由和写出通项公式,便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件(等式)化为关于和的二元方程组,以求得和,和称作基本量.教师提出新的问题,已知的一个条件(等式),能否确定一个?学生回答后,教师再启发,由这一个条件可得到关于和的二元方程,这是一个和的制约关系,从这个关系可以得到什么结论?举例说明(例题可由学生或教师给出,视具体情况而定).如:已知中,…由条件可得即,可知,这是比较显然的,与之相关的还能有什么结论?若学生答不出可提示,一定得某一项的值么?能否与两项有关?多项有关?由学生发现规律,完善问题(3)已知中,求;;;;….类似的还有(4)已知中,求的值.以上属于对数列的项进行定量的研究,有无定性的判断?引出3.研究的单调性,考察随项数的变化规律.着重考虑的情况.此时是的一次函数,其单调性取决于的符号,由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.4.研究项的符号这是为研究前项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如(1)已知数列的通项公式为,问数列从第几项开始小于0?(2)从第________项起以后每项均为负数.三.小结1.用方程思想认识通项公式;2.用函数思想解决问题.四.板书设计通项公式1.方程思想的运用2.基本量方法的使用3.研究的单调性4.研究项的符号
教学目标
1.掌握等比数列前项和公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)理解公式的推导过程,体会转化的思想;
(2)用方程的思想认识等比数列前项和公式,利用公式知三求一;与通项公式结合知三求二;
2.通过公式的灵活运用,进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
3.通过公式推导的教学,对学生进行思维的严谨性的训练,培养他们实事求是的科学态度.
教学建议
教材分析
(1)知识结构
先用错位相减法推出等比数列前项和公式,而后运用公式解决一些问题,并将通项公式与前项和公式结合解决问题,还要用错位相减法求一些数列的前项和.
(2)重点、难点分析
教学重点、难点是等比数列前项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法(如分类讨论思想,错位相减法等),这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及,所以对等比数列前项和公式的要求,不单是要记住公式,更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前项和公式是分情况讨论的,在运用中要特别注意和两种情况.
教学建议
(1)本节内容分为两课时,一节为等比数列前项和公式的推导与应用,一节为通项公式与前项和公式的综合运用,另外应补充一节数列求和问题.
(2)等比数列前项和公式的推导是重点内容,引导学生观察实例,发现规律,归纳总结,证明结论.
(3)等比数列前项和公式的推导的其他方法可以给出,提高学生学习的兴趣.
(4)编拟例题时要全面,不要忽略的情况.
(5)通项公式与前项和公式的综合运用涉及五个量,已知其中三个量可求另两个量,但解指数方程难度大.
(6)补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.
教学设计示例
课题:等比数列前项和的公式
教学目标
(1)通过教学使学生掌握等比数列前项和公式的推导过程,并能初步运用这一方法求一些数列的前项和.
(2)通过公式的推导过程,培养学生猜想、分析、综合能力,提高学生的数学素质.
(3)通过教学进一步渗透从特殊到一般,再从一般到特殊的辩证观点,培养学生严谨的学习态度.
教学重点,难点
教学重点是公式的推导及运用,难点是公式推导的思路.
教学用具
幻灯片,课件,电脑.
教学方法
引导发现法.
教学过程
一、新课引入:
(问题见教材第129页)提出问题:(幻灯片)
二、新课讲解:
记,式中有64项,后项与前项的比为公比2,当每一项都乘以2后,中间有62项是对应相等的,作差可以相互抵消.
(板书)即,①
,②
②-①得即.
由此对于一般的等比数列,其前项和,如何化简?
(板书)等比数列前项和公式
仿照公比为2的等比数列求和方法,等式两边应同乘以等比数列的公比,即
(板书)③两端同乘以,得
④,
③-④得⑤,(提问学生如何处理,适时提醒学生注意的取值)
当时,由③可得(不必导出④,但当时设想不到)
当时,由⑤得.
于是
反思推导求和公式的方法——错位相减法,可以求形如的数列的和,其中为等差数列,为等比数列.
(板书)例题:求和:.
设,其中为等差数列,为等比数列,公比为,利用错位相减法求和.
解:,
两端同乘以,得
,
两式相减得
于是.
说明:错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.
公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.
三、小结:
1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用;
2.用错位相减法求一些数列的前项和.
四、作业:略.
五、板书设计:
等比数列前项和公式例题
教学目标
1.理解的概念,掌握的通项公式,并能运用通项公式解决简单的问题.
(1)了解公差的概念,明确一个数列是的限定条件,能根据定义判断一个数列是,了解等差中项的概念;
(2)正确认识使用的各种表示法,能灵活运用通项公式求的首项、公差、项数、指定的项;
(3)能通过通项公式与图像认识的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题.
2.通过的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过通项公式的运用,渗透方程思想.
3.通过概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识;通过对的研究,使学生明确与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.
关于的教学建议
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
①教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用,是特殊的数列,定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括,准确把握定义是正确认识,解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系,是研究一个数列的重要工具,的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关,通过函数图象研究数列性质成为可能.
②通过不完全归纳法得出的通项公式,所以是教学中的一个难点;另外,出现在一个等式中,运用方程的思想,已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多,学生应用时会有一定的困难,通项公式的灵活运用是教学的有一难点.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为的定义与表示法,一节为通项公式的应用.
②定义的引出可先给出几组,让学生观察、比较,概括共同规律,再由学生尝试说出的定义,对程度差的学生可以提示定义的结构:“……的数列叫做”,由学生把限定条件一一列举出来,为等比数列的定义作准备.如果学生给出的定义不准确,可让学生研究讨论,用符合学生的定义但不是的数列作为反例,再由学生修改其定义,逐步完善定义.
③的定义归纳出来后,由学生举一些的例子,以此让学生思考确定一个的条件.
④由学生根据一般数列的表示法尝试表示,前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点,根据图像观察项随项数的变化规律;再看通项公式,项可看作项数的一次型()函数,这与其图像的形状相对应.
⑤有穷的末项与通项是有区别的,数列的通项公式是数列第项与项数之间的函数关系式,有穷的项数未必是,即其末项未必是该数列的第项,在教学中一定要强调这一点.
⑥前项和的公式推导离不开的性质,所以在本节课应补充一些重要的性质;另外可让学生研究的子数列,有规律的子数列会引起学生的兴趣.
⑦是现实生活中广泛存在的数列的数学模型,如教材中的例题、习题等,还可让学生去搜集,然后彼此交流,提出相关问题,自己尝试解决,为学生提供相互学习的机会,创设相互研讨的课堂环境.
通项公式的教学设计示例
教学目标
1.通过教与学的互动,使学生加深对通项公式的认识,能参与编拟一些简单的问题,并解决这些问题;
2.利用通项公式求的项、项数、公差、首项,使学生进一步体会方程思想;
3.通过参与编题解题,激发学生学习的兴趣.
教学重点,难点
教学重点是通项公式的认识;教学难点是对公式的灵活运用.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
研探式.
教学过程一.复习提问前一节课我们学习了的概念、表示法,请同学们回忆的定义,其表示法都有哪些?的概念是从相邻两项的关系加以定义的,这个关系用递推公式来表示比较简单,但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.二.主体设计通项公式反映了项与项数之间的函数关系,当的首项与公差确定后,数列的每一项便确定了,可以求指定的项(即已知求).找学生试举一例如:“已知中,首项,公差,求.”这是通项公式的简单应用,由学生解答后,要求每个学生出一些运用通项公式的题目,包括正用、反用与变用,简单、复杂,定量、定性的均可,教师巡视将好题搜集起来,分类投影在屏幕上.1.方程思想的运用(1)已知中,首项,公差,则-397是该数列的第______项.(2)已知中,首项,则公差(3)已知中,公差,则首项这一类问题先由学生解决,之后教师点评,四个量,在一个等式中,运用方程的思想方法,已知其中三个量的值,可以求得第四个量.2.基本量方法的使用(1)已知中,,求的值.(2)已知中,,求.若学生的题目只有这两种类型,教师可以小结(最好请出题者、解题者概括):因为已知条件可以化为关于和的二元方程组,所以这些是确定的,由和写出通项公式,便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件(等式)化为关于和的二元方程组,以求得和,和称作基本量.教师提出新的问题,已知的一个条件(等式),能否确定一个?学生回答后,教师再启发,由这一个条件可得到关于和的二元方程,这是一个和的制约关系,从这个关系可以得到什么结论?举例说明(例题可由学生或教师给出,视具体情况而定).如:已知中,…由条件可得即,可知,这是比较显然的,与之相关的还能有什么结论?若学生答不出可提示,一定得某一项的值么?能否与两项有关?多项有关?由学生发现规律,完善问题(3)已知中,求;;;;….类似的还有(4)已知中,求的值.以上属于对数列的项进行定量的研究,有无定性的判断?引出3.研究的单调性,考察随项数的变化规律.着重考虑的情况.此时是的一次函数,其单调性取决于的符号,由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.4.研究项的符号这是为研究前项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如(1)已知数列的通项公式为,问数列从第几项开始小于0?(2)从第________项起以后每项均为负数.三.小结1.用方程思想认识通项公式;2.用函数思想解决问题.四.板书设计通项公式1.方程思想的运用2.基本量方法的使用3.研究的单调性4.研究项的符号
教学目标
1.使学生理解的概念,了解通项公式的意义,了解递推公式是给出的一种方法,并能根据递推公式写出的前几项.
(1)理解是按一定顺序排成的一列数,其每一项是由其项数唯一确定的.
(2)了解的各种表示方法,理解通项公式是第项与项数的关系式,能根据通项公式写出的前几项,并能根据给出的一个的前几项写出该的一个通项公式.
(3)已知一个的递推公式及前若干项,便确定了,能用代入法写出的前几项.
2.通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力和抽象概括能力.
3.通过由求的过程,培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯.
教学建议
(1)为激发学生学习的兴趣,体会知识在实际生活中的作用,可由实际问题引入,从中抽象出要研究的问题,使学生对所要研究的内容心中有数,如书中所给的例子,还有物品堆放个数的计算等.
(2)中蕴含的函数思想是研究的指导思想,应及早引导学生发现与函数的关系.在教学中强调的项是按一定顺序排列的,“次序”便是函数的自变量,相同的数组成的,次序不同则就是不同的.函数表示法有列表法、图象法、解析式法,类似地,就有列举法、图示法、通项公式法.由于的自变量为正整数,于是就有可能相邻的两项(或几项)有关系,从而就有其特殊的表示法——递推公式法.
(3)由的通项公式写出的前几项是简单的代入法,教师应精心设计例题,使这一例题为写通项公式作一些准备,尤其是对程度差的学生,应多举几个例子,让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系,尽量为写通项公式提供帮助.
(4)由的前几项写出的一个通项公式使学生学习中的一个难点,要帮助学生分析各项中的结构特征(整式,分式,递增,递减,摆动等),由学生归纳一些规律性的结论,如正负相间用来调整等.如果学生一时不能写出通项公式,可让学生依据前几项的规律,猜想该的下一项或下几项的值,以便寻求项与项数的关系.
(5)对每个都有求和问题,所以在本节课应补充前项和的概念,用表示的问题是重点问题,可先提出一个具体问题让学生分析与的关系,再由特殊到一般,研究其一般规律,并给出严格的推理证明(强调的表达式是分段的);之后再到特殊问题的解决,举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况.
(6)给出一些简单的通项公式,可以求其最大项或最小项,又是函数思想与方法的体现,对程度好的学生应提出这一问题,学生运用函数知识是可以解决的.
教学设计示例
的概念
教学目标
1.通过教学使学生理解的概念,了解的表示法,能够根据通项公式写出的项.
2.通过定义的归纳概括,初步培养学生的观察、抽象概括能力;渗透函数思想.
3.通过有关实际应用的介绍,激发学生学习研究的积极性.
教学重点,难点
教学重点是的定义的归纳与认识;教学难点是与函数的联系与区别.
教学用具:电脑,课件(媒体资料),投影仪,幻灯片
教学方法:讲授法为主
教学过程一.揭示课题今天开始我们研究一个新课题.先举一个生活中的例子:场地上堆放了一些圆钢,最底下的一层有100根,在其上一层(称作第二层)码放了99根,第三层码放了98根,依此类推,问:最多可放多少层?第57层有多少根?从第1层到第57层一共有多少根?我们不能满足于一层层的去数,而是要但求如何去研究,找出一般规律.实际上我们要研究的是这样的一列数(板书)象这样排好队的数就是我们的研究对象——.(板书)第三章(一)的概念二.讲解新课要研究先要知道何为,即先要给下定义,为帮助同学概括出的定义,再给出几列数:(幻灯片)①自然数排成一列数:②3个1排成一列:③无数个1排成一列:④的不足近似值,分别近似到排列起来:⑤正整数的倒数排成一列数:⑥函数当依次取时得到一列数:⑦函数当依次取时得到一列数:⑧请学生观察8列数,说明每列数就是一个,中的每个数都有自己的特定的位置,这样就是按一定顺序排成的一列数.(板书)1.的定义:按一定次序排成的一列数叫做.为表述方便给出几个名称:项,项数,首项(以幻灯片的形式给出).以上述八个为例,让学生练习指出某一个的首项是多少,第二项是多少,指出某一个的一些项的项数.由此可以看出,给定一个,应能够指明第一项是多少,第二项是多少,……,每一项都是确定的,即指明项数,对应的项就确定.所以中的每一项与其项数有着对应关系,这与我们学过的函数有密切关系.(板书)2.与函数的关系可以看作特殊的函数,项数是其自变量,项是项数所对应的函数值,的定义域是正整数集,或是正整数集的有限子集.于是我们研究就可借用函数的研究方法,用函数的观点看待.遇到数学概念不单要下定义,还要给其数学表示,以便研究与交流,下面探讨的表示法.(板书)3.的表示法可看作特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,首先请学生回忆函数的表示法:列表法,图象法,解析式法.相对于列表法表示一个函数,有这样的表示法:用表示第一项,用表示第一项,……,用表示第项,依次写出成为(板书)(1)列举法.(如幻灯片上的例子)简记为.一个函数的直观形式是其图象,我们也可用图形表示一个,把它称作图示法.(板书)(2)图示法启发学生仿照函数图象的画法画的图形.具体方法是以项数为横坐标,相应的项为纵坐标,即以为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的为例,做出一个的图象),所得的的图形是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在轴的右侧,而点的个数取决于的项数.从图象中可以直观地看到的项随项数由小到大变化而变化的趋势.有些函数可以用解析式来表示,解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系,类似地有一些的项能用其项数的函数式表示出来,即,这个函数式叫做的通项公式.(板书)(3)通项公式法如的通项公式为;的通项公式为;的通项公式为;的通项公式具有双重身份,它表示了的第项,又是这个中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个项与项数的函数关系,给了的通项公式,这个便确定了,代入项数就可求出的每一项.例如,的通项公式,则.值得注意的是,正如一个函数未必能用解析式表示一样,不是所有的都有通项公式,即便有通项公式,通项公式也未必唯一.除了以上三种表示法,某些相邻的两项(或几项)有关系,这个关系用一个公式来表示,叫做递推公式.(板书)(4)递推公式法如前面所举的钢管的例子,第层钢管数与第层钢管数的关系是,再给定,便可依次求出各项.再如中,,这个就是.像这样,如果已知的第1项(或前几项),且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系用一个公式来表示,这个公式叫做这个的递推公式.递推公式是所特有的表示法,它包含两个部分,一是递推关系,一是初始条件,二者缺一不可.可由学生举例,以检验学生是否理解.三.小结1.的概念2.的四种表示四.作业略五.板书设计(一)的概念涉及的及表示1.的定义2.与函数的关系3.的表示法(1)列举法(2)图示法(3)通项公式法(4)递推公式法探究活动将边长为厘米的正方形分成个边长为1厘米的正方形,数出其中所有正方形的个数.解:当时,共有正方形个;当时,共有正方形个;当时,共有正方形个;当时,共有正方形个;当时,共有正方形个;归纳猜想边长为厘米的正方形中的正方形共有个.
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