数学教案－直线的倾斜角斜率(小编推荐)

做为高中教师，我们经常会接触到教案的撰写，教案可以围绕我们教学的多方面来写，老师经常会为写教案感到苦恼，高中教案应该从哪方面来写呢？本站收集了《数学教案－直线的倾斜角斜率(小编推荐)》，供您参考。

教学目标

（1）了解直线方程的概念．

（2）正确理解直线倾斜角和斜率概念．理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率．

（3）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

（4）通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

（5）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

教学建议

1．教材分析

（1）知识结构

本节内容首先根据一次函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式．这些充分体现了解析几何的思想方法．

（2）重点、难点分析

①本节的重点是斜率的概念和斜率公式．直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用．因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键．

②本节的难点是对斜率概念的理解．学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受．

2．教法建议

（1）本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式．学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立．相应的教学过程也有三个阶段

①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念．

②本节的难点是对斜率概念的理解．学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样．学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗．再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题，就要求教师帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程（一次函数的形式，下同）中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切．为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计：

(1)α变化→直线变化→中的系数变化（同时注意的变化）．

(2)中的系数变化→直线变化→α变化（同时注意的变化）．

运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中系数与倾斜角正切的内在关系，这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的．

③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作一定的复习准备．

④在学习直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两个条件，最好能用充要条件叙述直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系．为将来学习曲线方程做好准备．

（2）本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式．学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的．在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展．教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价．

教学设计示例

直线的倾斜角和斜率

教学目标：

（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，

（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

（3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

（4）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

教学重点、难点：直线斜率的概念和公式

教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

（一）直线方程的概念

如图1，对于一次函数，和它的图像——直线有下面关系：

（1）有序数对（0，1）满足函数，则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）．

（2）反过来，直线上点B（1，3），则有序实数对（1，3）就满足．

一般地，满足函数式的每一对，的值，都是直线上的点的坐标（，）；

反之，直线上每一点的坐标（，）都满足函数式，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对x，y的值为坐标的点构成的．

从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程，这样满足一次函数的每一对，的值“变成了”二元一次方程的解，使方程和直线建立了联系．

定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．

以上定义改用集合表述：，的二元一次方程的解为坐标的集合，记作．若（1）（2），则．

问：你能用充要条件叙述吗？

答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．

（二）直线的倾斜角

【问题1】

请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．

过定点，方向不同．

如何确定一条直线？

两点确定一条直线．

还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？

学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．

【导入】

今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．

【问题2】

在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．

学生：展开讨论．

学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导．

通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．

【板书】

定义：一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角．

（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角．）

特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．

由此定义，角的范围如何？

0°≤α＜180°或0≤α＜π如图3

至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的．

（三）直线的斜率

【问题3】

下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：

直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？

学生：在练习本上画出直线，写出方程．

30°ß--à＝

45°ß--à＝

135°ß--à＝

（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）

【演示动画】

观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中系数变化的关系

(1)直线变化→α变化→中的系数变化（同时注意α的变化）．

(2)中的x系数k变化→直线变化→α变化（同时注意α的变化）．

教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与的系数的关系：倾斜角不同，方程中的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！

【板书】

定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作，即．

这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．

指出下列直线的倾斜角和斜率：

(2)＝tg60°(3)＝tg(-30°)

学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°；（2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)

画图，指出倾斜角和斜率．

结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．

注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．

α＝0°ß--à＝0

0°＜α＜90°ß--à＞0

α＝90°ß--à不存在

90°＜α＜180°ß--à＜0

（四）直线过两点斜率公式的推导

【问题4】

如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义＝tgα求出直线的斜率；

如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？

即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率．

思路分析：

首先由学生提出思路，教师启发、引导：

运用正切定义，解决问题．

(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．）

(2)角α是“标准位置”吗？（不是．）

(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量，使P1与原点重合，得到新向量．）

(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）

(5)直线的斜率是多少？＝tgα=（x1≠x2）

(6)如果P1和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．

评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角．

【练习】

(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为α？

(2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？

(3)直线(-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？

(4)求经过两点(0，0)、(-1，)直线的倾斜角和斜率．

(5)课本第37页练习第2、4题．

教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）．

【总结】

教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题：

(1)直线倾斜角的概念要注意什么？

(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？

(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？

学生边讨论边总结：

(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时，α不存在．

【作业】

1．课本第37页习题7．1第3、4、5题．

2．思考题

（1）方程是单位圆的方程吗？

（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？

（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？

（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？

板书设计

7．1直线的倾斜角和斜率

一、直线方程

二、直线的倾斜角

三、直线的斜率

四、斜率公式

练习

小结

作业

jK251.COm精选阅读

直线的倾斜角斜率 精选版

教学目标

（1）了解直线方程的概念．

（2）正确理解直线倾斜角和斜率概念．理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率．

（3）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

（4）通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

（5）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

教学建议

1．教材分析

（1）知识结构

本节内容首先根据一次函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式．这些充分体现了解析几何的思想方法．

（2）重点、难点分析

①本节的重点是斜率的概念和斜率公式．直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用．因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键．

②本节的难点是对斜率概念的理解．学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受．

2．教法建议

（1）本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式．学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立．相应的教学过程也有三个阶段

①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念．

②本节的难点是对斜率概念的理解．学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样．学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗．再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题，就要求教师帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程（一次函数的形式，下同）中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切．为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计：

(1)α变化→直线变化→中的系数变化（同时注意的变化）．

(2)中的系数变化→直线变化→α变化（同时注意的变化）．

运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中系数与倾斜角正切的内在关系，这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的．

③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作一定的复习准备．

④在学习直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两个条件，最好能用充要条件叙述直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系．为将来学习曲线方程做好准备．

（2）本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式．学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的．在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展．教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价．

教学设计示例

教学目标：

（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，

（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

（3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

（4）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

教学重点、难点：直线斜率的概念和公式

教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

（一）直线方程的概念

如图1，对于一次函数，和它的图像——直线有下面关系：

（1）有序数对（0，1）满足函数，则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）．

（2）反过来，直线上点B（1，3），则有序实数对（1，3）就满足．

一般地，满足函数式的每一对，的值，都是直线上的点的坐标（，）；

反之，直线上每一点的坐标（，）都满足函数式，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对x，y的值为坐标的点构成的．

从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程，这样满足一次函数的每一对，的值“变成了”二元一次方程的解，使方程和直线建立了联系．

定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．

以上定义改用集合表述：，的二元一次方程的解为坐标的集合，记作．若（1）（2），则．

问：你能用充要条件叙述吗？

答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．

（二）直线的倾斜角

【问题1】

请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．

；；

过定点，方向不同．

如何确定一条直线？

两点确定一条直线．

还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？

学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．

【导入】

今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．

【问题2】

在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．

学生：展开讨论．

学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导．

通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．

【板书】

定义：一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角．

（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角．）

特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．

由此定义，角的范围如何？

0°≤α＜180°或0≤α＜π如图3

至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的．

（三）直线的斜率

【问题3】

下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：

直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？

学生：在练习本上画出直线，写出方程．

30°ß--à＝

45°ß--à＝

135°ß--à＝

（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）

【演示动画】

观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中系数变化的关系

(1)直线变化→α变化→中的系数变化（同时注意α的变化）．

(2)中的x系数k变化→直线变化→α变化（同时注意α的变化）．

教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与的系数的关系：倾斜角不同，方程中的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！

【板书】

定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作，即．

这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．

指出下列：

(1)＝-(2)＝tg60°(3)＝tg(-30°)

学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°；（2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)

画图，指出倾斜角和斜率．

结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．

注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．

α＝0°ß--à＝0

0°＜α＜90°ß--à＞0

α＝90°ß--à不存在

90°＜α＜180°ß--à＜0

（四）直线过两点斜率公式的推导

【问题4】

如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义＝tgα求出直线的斜率；

如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？

即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率．

思路分析：

首先由学生提出思路，教师启发、引导：

运用正切定义，解决问题．

(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．）

(2)角α是“标准位置”吗？（不是．）

(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量，使P1与原点重合，得到新向量．）

(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）

(5)直线的斜率是多少？＝tgα=（x1≠x2）

(6)如果P1和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．

评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角．

【练习】

(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为α？

(2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？

(3)直线(-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？

(4)求经过两点(0，0)、(-1，)．

(5)课本第37页练习第2、4题．

教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）．

【总结】

教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题：

(1)直线倾斜角的概念要注意什么？

(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？

(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？

学生边讨论边总结：

(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时，α不存在．

(3)＝（），没有．

【作业】

1．课本第37页习题7．1第3、4、5题．

2．思考题

（1）方程是单位圆的方程吗？

（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？

（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？

（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？

板书设计

7．1

一、直线方程

二、直线的倾斜角

三、直线的斜率

四、斜率公式

练习

小结

作业

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教学目标

（1）了解直线方程的概念．

（2）正确理解直线倾斜角和斜率概念．理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率．

（3）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

（4）通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

（5）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

教学建议

1．教材分析

（1）知识结构

本节内容首先根据一次函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式．这些充分体现了解析几何的思想方法．

（2）重点、难点分析

①本节的重点是斜率的概念和斜率公式．直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用．因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键．

②本节的难点是对斜率概念的理解．学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受．

2．教法建议

（1）本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式．学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立．相应的教学过程也有三个阶段

①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念．

②本节的难点是对斜率概念的理解．学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样．学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗．再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题，就要求教师帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程（一次函数的形式，下同）中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切．为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计：

(1)α变化→直线变化→中的系数变化（同时注意的变化）．

(2)中的系数变化→直线变化→α变化（同时注意的变化）．

运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中系数与倾斜角正切的内在关系，这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的．

③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作一定的复习准备．

④在学习直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两个条件，最好能用充要条件叙述直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系．为将来学习曲线方程做好准备．

（2）本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式．学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的．在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展．教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价．

教学设计示例

教学目标：

（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，

（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

（3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

（4）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

教学重点、难点：直线斜率的概念和公式

教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

（一）直线方程的概念

如图1，对于一次函数，和它的图像——直线有下面关系：

（1）有序数对（0，1）满足函数，则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）．

（2）反过来，直线上点B（1，3），则有序实数对（1，3）就满足．

一般地，满足函数式的每一对，的值，都是直线上的点的坐标（，）；

反之，直线上每一点的坐标（，）都满足函数式，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对x，y的值为坐标的点构成的．

从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程，这样满足一次函数的每一对，的值“变成了”二元一次方程的解，使方程和直线建立了联系．

定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．

以上定义改用集合表述：，的二元一次方程的解为坐标的集合，记作．若（1）（2），则．

问：你能用充要条件叙述吗？

答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．

（二）直线的倾斜角

【问题1】

请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．

；；

过定点，方向不同．

如何确定一条直线？

两点确定一条直线．

还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？

学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．

【导入】

今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．

【问题2】

在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．

学生：展开讨论．

学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导．

通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．

【板书】

定义：一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角．

（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角．）

特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．

由此定义，角的范围如何？

0°≤α＜180°或0≤α＜π如图3

至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的．

（三）直线的斜率

【问题3】

下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：

直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？

学生：在练习本上画出直线，写出方程．

30°ß--à＝

45°ß--à＝

135°ß--à＝

（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）

【演示动画】

观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中系数变化的关系

(1)直线变化→α变化→中的系数变化（同时注意α的变化）．

(2)中的x系数k变化→直线变化→α变化（同时注意α的变化）．

教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与的系数的关系：倾斜角不同，方程中的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！

【板书】

定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作，即．

这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．

指出下列：

(1)＝-(2)＝tg60°(3)＝tg(-30°)

学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°；（2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)

画图，指出倾斜角和斜率．

结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．

注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．

α＝0°ß--à＝0

0°＜α＜90°ß--à＞0

α＝90°ß--à不存在

90°＜α＜180°ß--à＜0

（四）直线过两点斜率公式的推导

【问题4】

如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义＝tgα求出直线的斜率；

如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？

即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率．

思路分析：

首先由学生提出思路，教师启发、引导：

运用正切定义，解决问题．

(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．）

(2)角α是“标准位置”吗？（不是．）

(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量，使P1与原点重合，得到新向量．）

(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）

(5)直线的斜率是多少？＝tgα=（x1≠x2）

(6)如果P1和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．

评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角．

【练习】

(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为α？

(2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？

(3)直线(-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？

(4)求经过两点(0，0)、(-1，)．

(5)课本第37页练习第2、4题．

教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）．

【总结】

教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题：

(1)直线倾斜角的概念要注意什么？

(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？

(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？

学生边讨论边总结：

(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时，α不存在．

(3)＝（），没有．

【作业】

1．课本第37页习题7．1第3、4、5题．

2．思考题

（1）方程是单位圆的方程吗？

（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？

（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？

（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？

板书设计

7．1

一、直线方程

二、直线的倾斜角

三、直线的斜率

四、斜率公式

练习

小结

作业

数学教案－直线的方程(小编推荐)

教学目标

（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．

（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程．

（3）掌握直线方程各种形式之间的互化．

（4）通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力．

（5）通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点．

（6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法．

教学建议

1．教材分析

（1）知识结构

由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特殊式．

（2）重点、难点分析

①本节的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出直线的方程．

解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线．本节内容就是求直线的方程，因此是非常重要的内容，它对以后学习用方程讨论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用．

直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特殊形式的源头．学生对点斜式学习的效果将直接影响后继知识的学习．

②本节的难点是直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系证明．

2．教法建议

（1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显．教学中各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬．

（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础．

直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证．教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点

（3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解．

（4）教学中要使学生明白两个独立条件确定一条直线，如两个点、一个点和一个方向或其他两个独立条件．两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率．因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式（斜截式和截距式仅是它们的特例），因此点斜式最重要．教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮．

求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程．根据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程．

（5）注意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线（也是曲线）与坐标轴交点的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；距离是线段的长度，是一个正实数（或非负实数）．

（6）本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直线的重要知识交汇点之一，教学中要适当选择一些有关的问题指导学生练习，培养学生的综合能力．

（7）直线方程的理论在其他学科和生产生活实际中有大量的应用．教学中注意联系实际和其它学科，教师要注意引导，增强学生用数学的意识和能力．

（8）本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能更好地掌握，而不是仅停留在观念上．

教学设计示例

直线方程的一般形式

教学目标：

（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化．

（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明

（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点．

教学重点、难点：直线方程的一般式．直线与二元一次方程（不同时为0）的对应关系及其证明．

教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

下面给出教学实施过程设计的简要思路：

教学设计思路：

（一）引入的设计

前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：

问：说出过点（2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？

答：直线方程是，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．

肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述．再看一个问题：

问：求出过点，的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？

答：直线方程是（或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．

肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次”．

启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论．

学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：

【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”

（二）本节主体内容教学的设计

这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路．

学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导．

经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论．首先让学生陈述解决思路或解决方案：

思路一：…

思路二：…

……

教师组织评价，确定最优方案（其它待课下研究）如下：

按斜率是否存在，任意直线的位置有两种可能，即斜率存在或不存在．

当存在时，直线的截距也一定存在，直线的方程可表示为，它是二元一次方程．

当不存在时，直线的方程可表示为形式的方程，它是二元一次方程吗？

学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：

平面直角坐标系中直线上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的．

综合两种情况，我们得出如下结论：

在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于、的二元一次方程．

至此，我们的问题1就解决了．简单点说就是：直线方程都是二元一次方程．而且这个方程一定可以表示成或的形式，准确地说应该是“要么形如这样，要么形如这样的方程”．

同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？

学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式．

这样上边的结论可以表述如下：

在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如（其中、不同时为0）的二元一次方程．

启发：任何一条直线都有这种形式的方程．你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？

【问题2】任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？

不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面．这是显然的吗？不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论．那么如何研究呢？

师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：

回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程（其中、不同时为0）系数是否为0恰好对应斜率是否存在，即

（1）当时，方程可化为

这是表示斜率为、在轴上的截距为的直线．

（2）当时，由于、不同时为0，必有，方程可化为

这表示一条与轴垂直的直线．

因此，得到结论：

在平面直角坐标系中，任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线．

为方便，我们把（其中、不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的．

【动画演示】

演示“直线各参数．gsp”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线．

至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系．

（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计在此从略

数学教案－复数的向量表示(小编推荐)

教学目标

（1）掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；

（2）理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系；

（3）掌握复数的模的定义及其几何意义；

（4）通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想；

（5）通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法．

教学建议

一、知识结构

本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式．

二、重点、难点分析

本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解；难点是复数模的概念．复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视．在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点．复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离．

三、教学建议

1．在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视．

2．理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系

如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成—一对应关系，而点又与复平面的向量构成—一对应关系．因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形成—一对应关系．因此，我们常把复数说成点Z或说成向量．点、向量是复数的另外两种表示形式，它们都是复数的几何表示．

相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量相成—一对应关系．复数集只能与复平面上以原点为起点的向量集合构成—一对应关系．

2．

这种对应关系的建立，为我们用解析几何方法解决复数问题，或用复数方法解决几何问题创造了条件．

3．向量的模，又叫向量的绝对值，也就是其有向线段的长度．它的计算公式是，当实部为零时，根据上面复数的模的公式与以前关于实数绝对值及算术平方根的规定一致．这些内容必须使学生在理解的基础上牢固地掌握．

4．讲解教材第182页上例2的第（1）小题建议．在讲解教材第182页上例2的第（1）小题时．如果结合提问的图形，可以帮助学生正确理解教材中的“圆”是指曲线而不是指圆面（曲线所包围的平面部分）．对于倒2的第（2）小题的图形，画图时周界（两个同心圆）都应画成虚线．

5．讲解复数的模．讲复数的模的定义和计算公式时，要注意与向量的有关知识联系，结合复数与复平面内以原点为起点，以复数所对应的点为终点的向量之间的一一对应关系，使学生在理解的基础上记忆。向量的模，又叫做向量的绝对值，也就是有向线段OZ的长度．它也叫做复数的模或绝对值．它的计算公式是．

教学设计示例

复数的向量表示

教学目的

1掌握复数的向量表示，复数模的概念及求法，复数模的几何意义．

2通过数形结合研究复数．

3培养学生辩证唯物主义思想．

重点难点

复数向量的表示及复数模的概念．

教学学具

投影仪

教学过程

1复习提问：向量的概念；模；复平面．

2新课：

一、复数的向量表示：

在复平面内以原点为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ，由点Z（a，b）唯一确定．

因此复平面内的点集与复数集C之间存在一一对应关系，而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应．

常把复数z=a+bi说成点Z（a，b）或说成向量OZ，并规定相等向量表示同一复数．

二、复数的模

向量OZ的模（即有向线段OZ的长度）叫做复数z=a+bi的模（或绝对值）记作|Z|或|a+bi|

|Z|=|a+bi|=a+b

例1求复数z1=3+4i及z2=-1+2i的模，并比较它们的大小．

解：∵|Z1|2=32+42=25|Z2|2=（-1）2+22=5

∴|Z1|＞|Z2|

练习：1已知z1=1+3iz2=-2iZ3=4Z4=-1+2i

⑴在复平面内，描出表示这些向量的点，画出向量．

⑵计算它们的模．

三、复数模的几何意义

复数Z=a+bi，当b=0时z∈R|Z|=|a|即a在实数意义上的绝对值复数模可看作点Z（a，b）到原点的距离．

例2设Z∈C满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

⑴|Z|=4⑵2≤|Z|＜4

解：（略）

练习：⑴模等于4的虚数在复平面内的点集．

⑵比较复数z1=－5+12iz2=―6―6i的模的大小．

⑶已知：|Z|=|x+yi|=1求表示复数x+yi的点的轨迹．

教学后记：

板书设计：

一、复数的向量表示：三、复数模的几何意义

二、复数的模例2

例1

探究活动

已知要使，还要增加什么条件？

解：要使，即由此可知，点到两个定点和的距离之和为6，如把看成动点，则它的轨迹是椭圆．

因此，所要增加的条件是：点应满足条件．

说明此题是属于缺少条件的探索性问题，解决这类问题的一般做法是从结论出发，并采用逆推的方法得出终结的结论，便理所求的条件．

(小编推荐)

课题：1.1集合

教学目的：知识目标：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的

概念及其记法

.（2）使学生初步了解“属于”关系的意义

.（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力

的培养；

（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立

思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概

括能力和逻辑思维能力；

教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示

一些简单的集合

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习导入：

1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；

2．教材中的章头引言；

3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）；

4．“物以类聚”，“人以群分”；

5．教材中例子（P4）。

二、新课讲解：

阅读教材第一部分，问题如下：

（1）有那些概念？是如何定义的？

（2）有那些符号？是如何表示的？

（3）集合中元素的特性是什么？

（一）集合的有关概念（例题见课本）：

1、集合的概念

（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

2、常用数集及其表示方法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N+

（3）整数集：全体整数的集合。记作Z

（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q

（5）实数集：全体实数的集合。记作R

注意：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括

数0。

（2）非负整数集内排除0的集。记作N*或N+。Q、Z、R等其它

数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0

的集，表示成Z*

3、元素对于集合的隶属关系

（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

4、集合中元素的特性

（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，

或者不在，不能模棱两可。

（2）互异性：集合中的元素没有重复。

（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

2、“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。

练习题

1、教材P5练习

2、下列各组对象能确定一个集合吗？

（1）所有很大的实数。（不确定）

（2）好心的人。（不确定）

（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）

阅读教材第二部分，问题如下：

1．集合的表示方法有几种？分别是如何定义的？

2．有限集、无限集、空集的概念是什么？试各举一例。

（二）集合的表示方法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的

方法。

例如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}

注：（1）有些集合亦可如下表示：

从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}

所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}

（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只

有一个元素。

描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条

件写在大括号内表示集合的方法。

格式：{x∈A|P（x）}

含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。

例如，不等式的解集可以表示为：或

所有直角三角形的集合可以表示为：

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。

如：{直角三角形}；{大于104的实数}

（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}

3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

注：何时用列举法？何时用描述法？

（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。

如：集合

（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

如：集合；集合{1000以内的质数}

注：集合与集合是同一个集合

吗？

答：不是。

集合是点集，集合=是数集。

（三）有限集与无限集

1、有限集：含有有限个元素的集合。

2、无限集：含有无限个元素的集合。

3、空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如：

练习题：

1、P6练习

2、用描述法表示下列集合

①{1，4，7，10，13}

②{-2，-4，-6，-8，-10}

3、用列举法表示下列集合

①{x∈N|x是15的约数}{1，3，5，15}

②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}

注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}

③

④{-1，1}

⑤{（0，8）（2，5），（4，2）}

⑥

{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}

三、小结：本节课学习了以下内容：

1．集合的有关概念

（集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集）

2．集合的表示方法

（列举法、描述法、文氏图共3种）

3．常用数集的定义及记法

四、课后作业：教材P7习题1.1

光的干涉(小编推荐)

教学目标

（一）知识目标

1、知道现象，了解相干条件，知道光的双缝干涉现象是如何产生的以及产生明暗条纹间距与波长的关系；

2、知道薄膜干涉是如何产生的，了解薄膜干涉的现象及技术上的应用。

（二）能力目标

通过观察实验现象，与以前学过的机械波的干涉进行类比，培养学生的自主学习的能力以及对问题的分析、推理能力。

教学建议

是本章的重点之一．讲解前先引导学生回忆机械波的有关内容．

在的教学中，一个值得注意的问题是相干条件的讲述（有关内容可以参见扩展资料）．相对于机械波--比较容易的获得连续振动的波源、满足相干波的条件，两个独立光源发出的光，即使是"频率相同的单色光"(实际上严格的单色光并不存在)，也不能保持恒定的相差．考虑到学生的知识基础和接受水平，讲解中可以不提出相干光的概念，只强调利用"单孔双缝"使得一束光"成了两个振动情况总是相同的波源"，这同机械波中提到的振源的"振动步调相同"的要求是一致的．

做好演示实验．让学生通过观察白光的双缝干涉和单色光的双缝干涉加深知识的理解．

双缝干涉的教学虽不要求定量讨论，但是在讲条纹间距与波长的关系时，要让学生知道公式中每一项的意义，配合彩图让学生将白光、单色图样的特点记住．并要知道不同色光具有不同的频率，光的频率只由光源决定而与介质无关．在狭缝间的距离和狭缝与屏间的距离不变的条件下，单色光产生的干涉条纹间距跟光的波长成正比，这个关系是应该让学生知道的．知道了这一点，学生才能理解不同色光具有不同的频率和波长．

薄膜干涉的教学，可以结合实验、演示来进行，只要求学生初步认识这种现象，不必做进一步的分析．除了肥皂膜的干涉外，两片玻璃之间的空气膜的干涉、浮在水面上的油膜的干涉，都可以让学生观察．如果有牛顿环的实验装置，也可以让学生观察．

关于在技术上的应用，教材中举了用干涉法检查平面和增透膜的例子．对此只要求学生初步了解其原理，可不再补充．

关于演示实验的教学建议

（1）演示实验可以用激光光学演示仪、实验时使激光束的行进方向正对学生的观察方向，用毛玻璃屏接收干涉条纹．让光屏到双缝的距离保持一定（L不变），让光束通过不同间距（d）的双缝，可观察到屏上的条纹间距不同，d大的条纹间距窄，保持d不变，使双缝到屏的距离增大，则条纹间距变宽．

（2）学生实验用双缝干涉仪测光的波长．实验时可以用灯丝为线状的灯泡作光源，在双缝前加一滤光片（红、绿均可），让双缝对准光源且双缝平行于灯丝，这样通过双缝的为单色光．然后调节双缝的卡脚，即可在筒内带有刻波的光屏上得到单色条纹，再从观察到的条纹中选若干条清晰的条纹，从屏上的刻度读出他们的间距之和，求出相邻两条纹的间距：，

由

可以求出

d在双缝上已标出，L从仪器上可得到，为测量到的值，即可求出，本实验除了测波长，还可以让学生用其观察白条纹（不加滤光片，直接观察灯丝发出的光），在屏上可看到彩色条纹

（3）薄膜干涉可采用随堂实验．用生物实验用的盖玻片、酒精灯、食盐．将少许食盐撒在酒精灯的灯芯上点燃，然后将盖玻片置于火焰后方，用眼睛从前面着盖玻片即可看到明、暗相间的条纹

（4）用激光演示仪加牛顿圈配件可以在屏上得到牛顿环

教学设计示例

（－）引入新课

通过机械波的干涉和衍射现象产生的条件和现象引入和衍射

（二）教学过程（需要重点强调的主要知识点）

1、实现新旧知识迁移是掌握双缝干涉的关键

干涉和衍射是波的特有现象，确定某种物理过程是不是波动，就看它有没有干涉现象和衍射现象产生，只有观察到现象和衍射现象，才能确认光具有波动性在学习双缝干涉前，应回顾下列有关机械波的知识：

A、两列波彼此相遇后，仍像相遇以前一样，各自保持原有的波形，继续向前传播；

B、在两列波重叠的区域里，任何一个质点的总位移都等于两列波分别引起的位移矢量和；

C、频率相同的两列波叠加，使某些区域的振动加强，某些区域的振动减弱，并且振动加强和振动减弱的区域互相间隔，这种现象叫波的干涉；

D、要得到稳定的干涉图样，两个波源必须是相干波源

2、掌握了上述波的共同性后，再分析光的特殊性．

由于物质发光的特殊性，任何两个独立的光源发出的光相叠加均不能产生干涉现象怎样才能得到相干光源呢？双缝干涉就是成功的一例．在双缝干涉实验中，光从单缝射到双缝上，形成了两个振动情况总是相同的相干光源，它们在光屏上叠加就出现干涉图样．

上述思维过程，不仅能顺利地掌握双缝干涉，同时为研究薄膜干涉打好了基础

（1）双缝干涉

两个独立的光源发出的光不是相干光，双缝干涉的装置使一束光通过双缝后变为两束相干光，在光屏上相通形成稳定的干涉条纹．

在双缝干涉实验中，光屏上某点到双缝的路程差为半波长的偶数倍时，该点出现亮条纹；光屏上某点到双缝的路程差为半波长的奇数倍时，该点出现暗条纹．

A、对干涉图样的研究可知：相邻两条明条纹（暗条纹）中心距离与屏到双缝的距离L成正比；与双缝间距离d成反比；与照射光的波长成正比．

B、在实验装置不变的情况下化、d不变），由于红光的波长大于紫光的波长，所以红光产生的干涉条纹间距较大，紫光产生的干涉条纹间距较小；初步了解通过双缝干涉测波长的原理．

C、用白光进行干涉实验，各种单色光在光屏中央均为明纹，中央亮纹是各色光复合而成，所以是白色的．各色光由于波长不同，在光屏上产生的其它各级亮纹的位置均不相同，所以其它各级亮纹是彩色的．

（2）薄膜干涉

让一束光经薄膜的两个表面反射后，形成的两束反射光产生的干涉现象叫薄膜干涉．

A、在薄膜干涉中，前、后表面反射光的路程差由膜的厚度决定，所以薄膜干涉中同一明条纹（暗条纹）应出现在膜的厚度相等的地方．由于光波波长极短，所以微薄膜干涉时，介质膜应足够薄，才能观察到干涉条纹．

B、用手紧压两块玻璃板看到彩色条纹，阳光下的肥皂泡和水面飘浮油膜出现彩色等都是薄膜干涉．

C、薄膜于涉在技术上可以检查镜面和精密部件表面形状；精密光学过镜上的增透膜（当增透膜的厚度是入射光在膜中波长的1/4时，透镜上透光损失的能量最小，增强了透镜的透光能力．）

3、光的衍射

光离开直线路径绕到障碍物几何阴影里去的现象叫光的衍射．只有当小孔、单缝或小屏的尺寸小于波长或和波长差不多时，才能观察到明显的衍射现象．

A、白光通过小孔或单缝时，屏上出现的衍射图样中央是白色亮纹，它各级亮纹是彩色的；用单色光进行单缝衍射时，屏上出现明暗相间的衍射条纹．

B、光的衍射现象中出现明暗相间的条纹，实际上是干涉的结果，说明和衍射现象有密切关系．

C、干涉和衍射是波的基本特性，和衍射现象征明了光是一种波．干涉和衍射现象产生的机理不同，产生的图样也有区别．干涉图样的中央亮纹和其它各级亮纹的宽度基本相等，而衍射图样各级亮纹的宽度各不相同，中央亮纹的宽度差不多是其它各级亮纹宽度的两倍．

D、白光干涉、衍射现象中出现的彩色条纹与白光色散的彩色条纹产生的机理不同，前者由光的叠加产生的，后者由光的折射产生的．

探究活动

1、查阅资料：有关的内容

2、实验：观察薄膜干涉和牛顿环

3、了解等厚干涉和等倾干涉．

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