圆心角弧弦弦心距之间的关系的教学方案
时间：2022-02-06 伯牙绝弦教学设计 弦动我心观看心得第一课时（一）
教学目标：
（1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用；
（2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力；
（3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲．
教学重点、难点：
重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论．
难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养．
教学活动设计
教学内容设计
（一）圆的对称性和旋转不变性
学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性.
引出圆心角和弦心距的概念：
圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．
弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
（二）
应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性.
定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
（三）剖析定理得出推论
问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.（学生分小组讨论、交流）
举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但ABCD，.（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.）
问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？（学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（推论包含了定理，它是定理的拓展）
（四）应用、巩固和反思
例1、如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD.
解（略，教材87页）
例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？
（让学生自主思考，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题）
练习：（教材88页练习）
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：．
（1）如果AB＝CD，那么______，______，______；
（2）如果OE＝OG，那么______，______，______；
（3）如果=，那么______，______，______；
（4）如果∠AOB＝∠COD，那么______，______，______．
（目的：巩固基础知识）
2、（教材88页练习3题，略．定理的简单应用）
（五）小结：学生自己归纳，老师指导．
知识：①圆的对称性和旋转不变性；②圆心角、弧、弦、弦心距之间关系，它反映出在圆中相等量的灵活转换．
能力和方法：①增加了证明角相等、线段相等以及弧相等的新方法；②实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力．
（六）作业：教材P99中1（1）、2、3．
第二课时（二）
教学目标：
（1）理解1°弧的概念，能熟练地应用本节知识进行有关计算；
（2）进一步培养学生自学能力，应用能力和计算能力；
（3）通过例题向学生渗透数形结合能力．
教学重点、难点：
重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系的应用．
难点：理解1°弧的概念．
教学活动设计：
（一）阅读理解
学生独立阅读P89中，1°的弧的概念，使学生从感性的认识到理性的认识．
理解：
（1）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．
（2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．
（3）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
（二）概念巩固
1、判断题：
（1）等弧的度数相等（）；
（2）圆心角相等所对应的弧相等（）；
（3）两条弧的长度相等，则这两条弧所对应的圆心角相等（）
2、解得题：
（1）度数是5°的圆心角所对的弧的度数是多少?为什么?
（2）5°的圆心角对着多少度的弧？5°的弧对着多少度的圆心角?
（3）n°的圆心角对着多少度的弧?n°的弧对着多少度的圆心角?
（三）疑难解得
对于①弧相等；②弧的长度相等；③弧的度数相等；④圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．学生在学习中有疑难的老师要及时解得．
特别是对于“圆心角的度数和它们对的弧的度数相等”，一定让学生弄清楚这里说的相等指的是“角与弧的度数”相等，而不是“角与弧”相等，因为角与弧是两个不同的概念，不能比较和度量．
（四）应用、归纳、反思
例1、如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，求AB的长．
学生自主分析，写出解题过程，交流指导．
解：（参看教材P89）
注意：学生往往重视计算结果，而忽略推理和解题步骤的严密性，教师要特别关注和指导．
反思：向学生渗透数形结合的重要的数学思想．所谓数形结合思想就是数与形互相转化，图形带有直观性，数则有精确性，两者有机地结合起来才能较好地完成这个例题．
例2、如图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，=40°，求∠BOD的度数．
题目从“分析——解得”让学生积极主动进行，此时教师只需强调解题要规范，书写要准确即可．
（解答参考教材P90）
题目拓展：
1、已知：如上图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，求证：＝．
2、已知：如上图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦＝，求证：CE∥AB．
目的：是培养学生发散思维能力，由学生自己分析证明思路，引导学生思考出不同的方法，最后交流、概括、归纳方法．
（五）小节（略）
（六）作业：教材P100中4、5题．
探究活动
我们已经研究过：已知点O是∠BPD的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，则AB=CD；现在，若⊙O与∠EPF的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，请你结合图形，添加一个适当的条件，使OP为∠BPD的平分线.
解（略）
①AB=CD；
②=．（等等）
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经典初中教案圆心角弧弦弦心距之间的关系
第一课时（一）
教学目标：
（1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用；
（2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力；
（3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲．
教学重点、难点：
重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论．
难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养．
教学活动设计
教学内容设计
（一）圆的对称性和旋转不变性
学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性.
引出圆心角和弦心距的概念：
圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．
弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
（二）
应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性.
定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
（三）剖析定理得出推论
问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.（学生分小组讨论、交流）
举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但ABCD，.（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.）
问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？（学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（推论包含了定理，它是定理的拓展）
（四）应用、巩固和反思
例1、如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD.
解（略，教材87页）
例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？
（让学生自主思考，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题）
练习：（教材88页练习）
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：．
（1）如果AB＝CD，那么______，______，______；
（2）如果OE＝OG，那么______，______，______；
（3）如果=，那么______，______，______；
（4）如果∠AOB＝∠COD，那么______，______，______．
（目的：巩固基础知识）
2、（教材88页练习3题，略．定理的简单应用）
（五）小结：学生自己归纳，老师指导．
知识：①圆的对称性和旋转不变性；②圆心角、弧、弦、弦心距之间关系，它反映出在圆中相等量的灵活转换．
能力和方法：①增加了证明角相等、线段相等以及弧相等的新方法；②实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力．
（六）作业：教材P99中1（1）、2、3．
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数学教案－圆心角弧弦弦心距之间的关系初中教案精选
第一课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）
教学目标：
（1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用；
（2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力；
（3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲．
教学重点、难点：
重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论．
难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养．
教学活动设计
教学内容设计
（一）圆的对称性和旋转不变性
学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性.
引出圆心角和弦心距的概念：
圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．
弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
（二）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性.
定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
（三）剖析定理得出推论
问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.（学生分小组讨论、交流）
举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但ABCD，.（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.）
问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？（学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（推论包含了定理，它是定理的拓展）
（四）应用、巩固和反思
例1、如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD.
解（略，教材87页）
例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？
（让学生自主思考，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题）
练习：（教材88页练习）
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：．
（1）如果AB＝CD，那么______，______，______；
（2）如果OE＝OG，那么______，______，______；
（3）如果=，那么______，______，______；
（4）如果∠AOB＝∠COD，那么______，______，______．
（目的：巩固基础知识）
2、（教材88页练习3题，略．定理的简单应用）
（五）小结：学生自己归纳，老师指导．
知识：①圆的对称性和旋转不变性；②圆心角、弧、弦、弦心距之间关系，它反映出在圆中相等量的灵活转换．
能力和方法：①增加了证明角相等、线段相等以及弧相等的新方法；②实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力．
（六）作业：教材P99中1（1）、2、3．
第二课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）
教学目标：
（1）理解1°弧的概念，能熟练地应用本节知识进行有关计算；
（2）进一步培养学生自学能力，应用能力和计算能力；
（3）通过例题向学生渗透数形结合能力．
教学重点、难点：
重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系的应用．
难点：理解1°弧的概念．
教学活动设计：
（一）阅读理解
学生独立阅读P89中，1°的弧的概念，使学生从感性的认识到理性的认识．
理解：
（1）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．
（2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．
（3）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
（二）概念巩固
1、判断题：
（1）等弧的度数相等（）；
（2）圆心角相等所对应的弧相等（）；
（3）两条弧的长度相等，则这两条弧所对应的圆心角相等（）
2、解得题：
（1）度数是5°的圆心角所对的弧的度数是多少?为什么?
（2）5°的圆心角对着多少度的弧？5°的弧对着多少度的圆心角?
（3）n°的圆心角对着多少度的弧?n°的弧对着多少度的圆心角?
（三）疑难解得
对于①弧相等；②弧的长度相等；③弧的度数相等；④圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．学生在学习中有疑难的老师要及时解得．
特别是对于“圆心角的度数和它们对的弧的度数相等”，一定让学生弄清楚这里说的相等指的是“角与弧的度数”相等，而不是“角与弧”相等，因为角与弧是两个不同的概念，不能比较和度量．
（四）应用、归纳、反思
例1、如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，求AB的长．
学生自主分析，写出解题过程，交流指导．
解：（参看教材P89）
注意：学生往往重视计算结果，而忽略推理和解题步骤的严密性，教师要特别关注和指导．
反思：向学生渗透数形结合的重要的数学思想．所谓数形结合思想就是数与形互相转化，图形带有直观性，数则有精确性，两者有机地结合起来才能较好地完成这个例题．
例2、如图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，=40°，求∠BOD的度数．
题目从“分析——解得”让学生积极主动进行，此时教师只需强调解题要规范，书写要准确即可．
（解答参考教材P90）
题目拓展：
1、已知：如上图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，求证：＝．
2、已知：如上图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦＝，求证：CE∥AB．
目的：是培养学生发散思维能力，由学生自己分析证明思路，引导学生思考出不同的方法，最后交流、概括、归纳方法．
（五）小节（略）
（六）作业：教材P100中4、5题．
探究活动
我们已经研究过：已知点O是∠BPD的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，则AB=CD；现在，若⊙O与∠EPF的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，请你结合图形，添加一个适当的条件，使OP为∠BPD的平分线.
解（略）
①AB=CD；
②=．（等等）
数学教案－垂直于弦的直径的教学方案
第一课时垂直于弦的直径（一）
教学目标：
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．
教学重点、难点：
重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．
难点：垂径定理的证明．
教学学习活动设计：
（一）实验活动，提出问题：
1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．
（二）垂径定理及证明：
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．
求证：AE=EB，=，=．
证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．因此，AE=BE，=，=．从而得到圆的一条重要性质．
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
组织学生剖析垂径定理的条件和结论：
CD为⊙O的直径，CD⊥ABAE=EB，=，=.
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.
（三）应用和训练
例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．
解：连结OA，作OE⊥AB于E．
则AE=EB．
∵AB=8cm，∴AE=4cm．
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm)．
∴⊙O的半径为5cm．
说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r=h+d；r2=d2+(a/2)2
例2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）
说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．
练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流．
指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
（四）小节与反思
教师组织学生进行：
知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．
（五）作业
教材P84中11、12、13．
第二课时垂直于弦的直径（二）
教学目标：
（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；
（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力．促进学生创造思维水平的发展和提高
（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系．
教学重点、难点：
重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法．
难点：垂径定理的推论1．
学习活动设计：
(一)分解定理（对定理的剖析）
1、复习提问：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.
2、剖析：
（教师指导）
(二)新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导）
，，……（包括原定理，一共有10种）
(三)探究新问题，归纳新结论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（4）圆的两条平行线所夹的弧相等.
(四)巩固练习：
练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?
（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件．）
练习2、按图填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则则________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；
（4）若=，MN为直径，则________，________，________．
（此题目的：巩固定理和推论）
（五）应用、反思
例、四等分．
（A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）
教材P80中的第3题图，是典型的错误作.
此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解．培养学生的思维能力．
（六）小结：
知识：垂径定理的两个推论．
能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图．
（七）作业：教材P84中14题．
第三课时垂径定理及推论在解题中的应用
教学目的：
⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.
⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.
⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用
教学难点：如何进行辅助线的添加
教学内容：
(一)复习
1．垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴直线过圆心；⑵垂直于弦；⑶平分弦；⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
2．应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）
涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r=h+d;r2=d2+(a/2)2
3．常添加的辅助线：（学生归纳）
⑴作弦心距；⑵作半径.------构造直角三角形
4．可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.
(二)应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）
例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米)．
说明：①对学生进行爱国主义的教育；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题．
例2、已知：⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8.求：AB与CD间的距离.（让学生画图）
解：分两种情况：
（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧
过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，
又∵AB∥CD，∴EF⊥CD．（作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）
由EF过圆心O，EF⊥AB，AB=6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7．
（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3．
∴．
说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力．
例3、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB，AB=24，OC=15.求：BC的长.
解：（略，过O作OE⊥AE于E，过B作BF⊥OC于F，连结OB.BC=）
说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.
（三）应用训练：
P8l中1题．
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后．截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．
学生分析，教师适当点拨．
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决．
（四）小结：
1.垂径定理及其推论的应用注意指明条件.
2.应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.
(五)作业：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题．
探究活动
如图，直线MN与⊙O交于点A、B，CD是⊙O的直径，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.
（1）线段AE、BF之间存在怎样的关系？线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系？并说明理由.
（2）当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.
（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足）
垂直于弦的直径
第一课时（一）
教学目标：
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．
教学重点、难点：
重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．
难点：垂径定理的证明．
教学学习活动设计：
（一）实验活动，提出问题：
1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．
（二）垂径定理及证明：
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．
求证：AE=EB，=，=．
证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．因此，AE=BE，=，=．从而得到圆的一条重要性质．
垂径定理：平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
组织学生剖析垂径定理的条件和结论：
CD为⊙O的直径，CD⊥ABAE=EB，=，=.
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.
（三）应用和训练
例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．
解：连结OA，作OE⊥AB于E．
则AE=EB．
∵AB=8cm，∴AE=4cm．
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm)．
∴⊙O的半径为5cm．
说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r=h+d；r2=d2+(a/2)2
例2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）
说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．
练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流．
指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
（四）小节与反思
教师组织学生进行：
知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．
（五）作业
教材P84中11、12、13．
第二课时（二）
教学目标：
（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；
（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力．促进学生创造思维水平的发展和提高
（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系．
教学重点、难点：
重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法．
难点：垂径定理的推论1．
学习活动设计：
(一)分解定理（对定理的剖析）
1、复习提问：定理：平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.
2、剖析：
（教师指导）
(二)新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导）
，，……（包括原定理，一共有10种）
(三)探究新问题，归纳新结论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（4）圆的两条平行线所夹的弧相等.
(四)巩固练习：
练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?
（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件．）
练习2、按图填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则则________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；
（4）若=，MN为直径，则________，________，________．
（此题目的：巩固定理和推论）
（五）应用、反思
例、四等分．
（A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）
教材P80中的第3题图，是典型的错误作.
此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解．培养学生的思维能力．
（六）小结：
知识：垂径定理的两个推论．
能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图．
（七）作业：教材P84中14题．
第三课时垂径定理及推论在解题中的应用
教学目的：
⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.
⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.
⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用
教学难点：如何进行辅助线的添加
教学内容：
(一)复习
1．垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴直线过圆心；⑵垂直于弦；⑶平分弦；⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
2．应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）
涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r=h+d;r2=d2+(a/2)2
3．常添加的辅助线：（学生归纳）
⑴作弦心距；⑵作半径.------构造直角三角形
4．可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.
(二)应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）
例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米)．
说明：①对学生进行爱国主义的教育；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题．
例2、已知：⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8.求：AB与CD间的距离.（让学生画图）
解：分两种情况：
（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧
过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，
又∵AB∥CD，∴EF⊥CD．（作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）
由EF过圆心O，EF⊥AB，AB=6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7．
（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3．
∴．
说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力．
例3、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB，AB=24，OC=15.求：BC的长.
解：（略，过O作OE⊥AE于E，过B作BF⊥OC于F，连结OB.BC=）
说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.
（三）应用训练：
P8l中1题．
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后．截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．
学生分析，教师适当点拨．
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决．
（四）小结：
1.垂径定理及其推论的应用注意指明条件.
2.应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.
(五)作业：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题．
探究活动
如图，直线MN与⊙O交于点A、B，CD是⊙O的直径，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.
（1）线段AE、BF之间存在怎样的关系？线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系？并说明理由.
（2）当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.
（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足）
经典初中教案垂直于弦的直径
第一课时（一）
教学目标：
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．
教学重点、难点：
重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．
难点：垂径定理的证明．
教学学习活动设计：
（一）实验活动，提出问题：
1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．
（二）垂径定理及证明：
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．
求证：AE=EB，=，=．
证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．因此，AE=BE，=，=．从而得到圆的一条重要性质．
垂径定理：平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
组织学生剖析垂径定理的条件和结论：
CD为⊙O的直径，CD⊥ABAE=EB，=，=.
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.
（三）应用和训练
例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．
解：连结OA，作OE⊥AB于E．
则AE=EB．
∵AB=8cm，∴AE=4cm．
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm)．
∴⊙O的半径为5cm．
说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r=h+d；r2=d2+(a/2)2
例2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）
说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．
练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流．
指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
（四）小节与反思
教师组织学生进行：
知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．
（五）作业
教材P84中11、12、13．
第123页
反射反射弧的教学方案
指导看书
布置任务当你的手指无意间碰到灼热的物体时，会立即缩回手臂，这一反应使你及时避开了造成伤害性刺激的物体。人体通过神经系统对刺激做出的规律性反应，叫做反射上述反应就是一个具体的反射过程，可叫做‘缩手反射”。
第2节反射和反射弧
反射是神经活动的基本方式
完成某一反射过程的结构，叫做反射弧。每一反射弧都由五个部分组成：感受器、传入神经元、神经中枢、传出神经元效应器。感受器受到刺激后即产生冲动，由传入神经元将冲动传导到神经中枢（如缩手反射的感受器就在受刺激部位的皮肤里;神经中枢再发出冲动，由传出神经元将冲动传达到效应器，使效应器作出反应（如缩手反射的效应器就是手臂相应的肌肉）。神经中枢则是反射弧位于中枢神经内的有关联系结构。这种联系结构大多要在传人与传出神经元之间加入若干“中间神经元”来联络，但也有的反射弧神经中枢上没有中间神经元，只是借传入神经元轴突末端与传出神经元树突或胞体来联系，例如，“膝反射’就是这种“两神经元反射”。
反射除了能通过骨骼肌运动对刺激作出反应之外，还能够通过平滑肌和腺体的活动来调节相应内脏器官的功能状态。例如当膀胱内尿液积累达到一定量时，会使膀胱壁内感受器感受到刺激，进而通过神经调节使膀胱壁平滑肌收缩、尿道内四周围控制尿道开放的肌肉舒张，尿液就从膀胱经尿道排出体外，这叫做排尿反射。又如，当口腔内一些感受器受到食物等造成的刺激时，也会通过神经调节使唾液腺分泌唾液，这称为唾液分泌反射。总之，神经系统就是通过每一个具体的反射活动来实现其调节功能的，反射是神经调节的基本方式。
反射可分为非条件反射和条件反射
非条件反射是生来就已建立的先天性反射。引起非条件反射的刺激称为非条件刺激。例如，由于食物等刺激直接作用于口腔黏膜上的感受器，引起唾液分泌反射，就属于非条件反射。条件反射是在出生以后个体生活中逐渐形成的后天性反射。引起条件反射的刺激叫做条件刺激。像经过训练后，狗能对铃声做出分泌唾液的反应，这就属于条件反射，此时的铃声就是条件刺激。
如果要使已经建立的条件反射长时间保持下去，还需要经常使非条件刺激与之结合。否则，已建条件反射将逐渐减弱。甚至消失。当然，条件反射还可以改建或
重建。这些都说明。条件反射不像非条件反射那么固定，而是有着相当的“可塑性，这些特点对于人或动物适应环境的能力来说，显然要比非条件反射有着更为积极的意义。
条件反射的神经中枢远比一段非条件反射的要复杂。进一步的实验研究还证明，人和高等动物的许多非条件反射在大脑皮层以下（脑干或脊髓）的各个中枢即可完成，而条件反射则一般要在神经系统的最高级中枢—大脑皮层参与下才能实现。
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垂直于弦的直径初中教案精选
第一课时（一）
教学目标：
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．
教学重点、难点：
重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．
难点：垂径定理的证明．
教学学习活动设计：
（一）实验活动，提出问题：
1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．
（二）垂径定理及证明：
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．
求证：AE=EB，=，=．
证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．因此，AE=BE，=，=．从而得到圆的一条重要性质．
垂径定理：平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
组织学生剖析垂径定理的条件和结论：
CD为⊙O的直径，CD⊥ABAE=EB，=，=.
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.
（三）应用和训练
例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．
解：连结OA，作OE⊥AB于E．
则AE=EB．
∵AB=8cm，∴AE=4cm．
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm)．
∴⊙O的半径为5cm．
说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r=h+d；r2=d2+(a/2)2
例2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）
说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．
练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流．
指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
（四）小节与反思
教师组织学生进行：
知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．
（五）作业
教材P84中11、12、13．
第二课时（二）
教学目标：
（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；
（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力．促进学生创造思维水平的发展和提高
（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系．
教学重点、难点：
重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法．
难点：垂径定理的推论1．
学习活动设计：
(一)分解定理（对定理的剖析）
1、复习提问：定理：平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.
2、剖析：
（教师指导）
(二)新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导）
，，……（包括原定理，一共有10种）
(三)探究新问题，归纳新结论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（4）圆的两条平行线所夹的弧相等.
(四)巩固练习：
练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?
（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件．）
练习2、按图填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则则________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；
（4）若=，MN为直径，则________，________，________．
（此题目的：巩固定理和推论）
（五）应用、反思
例、四等分．
（A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）
教材P80中的第3题图，是典型的错误作.
此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解．培养学生的思维能力．
（六）小结：
知识：垂径定理的两个推论．
能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图．
（七）作业：教材P84中14题．
第三课时垂径定理及推论在解题中的应用
教学目的：
⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.
⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.
⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用
教学难点：如何进行辅助线的添加
教学内容：
(一)复习
1．垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴直线过圆心；⑵垂直于弦；⑶平分弦；⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
2．应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）
涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r=h+d;r2=d2+(a/2)2
3．常添加的辅助线：（学生归纳）
⑴作弦心距；⑵作半径.------构造直角三角形
4．可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.
(二)应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）
例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米)．
说明：①对学生进行爱国主义的教育；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题．
例2、已知：⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8.求：AB与CD间的距离.（让学生画图）
解：分两种情况：
（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧
过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，
又∵AB∥CD，∴EF⊥CD．（作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）
由EF过圆心O，EF⊥AB，AB=6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7．
（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3．
∴．
说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力．
例3、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB，AB=24，OC=15.求：BC的长.
解：（略，过O作OE⊥AE于E，过B作BF⊥OC于F，连结OB.BC=）
说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.
（三）应用训练：
P8l中1题．
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后．截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．
学生分析，教师适当点拨．
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决．
（四）小结：
1.垂径定理及其推论的应用注意指明条件.
2.应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.
(五)作业：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题．
探究活动
如图，直线MN与⊙O交于点A、B，CD是⊙O的直径，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.
（1）线段AE、BF之间存在怎样的关系？线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系？并说明理由.
（2）当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.
（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足）
角的教学方案
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
的定义既是本节教学的重点，也是难点．本节知识建立在射线、线段等相关知识的基础上，同时也是进一步学习的度量、比较、画法，以及深入研究平面几何图形的基础．
1．的定义是由实际生活中具有的形象的物体抽象出来的，理解的定义一定要明确的边为射线，为平面内的点集．也可认为是一条射线绕它的端点从一个位置旋转到另一个位置而形成的图形，这里的线动成体现了运动变化的思想．
2．的表示法，小学没有介绍，这里首先说明用三个字母记．对此，要特别强调表示顶点的字母一定要写在中间，唯有在顶点处只有一个的情况，才可只用顶点一个字母来记这个，否则分不清这个字母究竟表示哪一个．在讲往数字或希腊字母来记时，可再让学生作些练习，说出所记的怎样用三个字母来表示．
三、教法建议
1．本节教学可以在简单复习直线、射线、线段的基础上引入，将问题的研究方向转向这些最基本的几何图形与点结合以及互相结合能够组成什么图形．可以尝试让同学们摆火柴，重点应在具有的形象的图形，然后可以在列举、观察、分析学习、生活、生产中同样具有的形象的物体的基础上，让同学们尝试给出的定义．
2．关于的另一种定义，也可以通过实物演示的方式得出，冽如一手扯住线的一端，另一手拉住线的另一端旋转．重点应是对运动变化的观点的渗透．平和周也可以让学生给出，真正理解“平”与“直”的含义．
3．教学过程中可以给出一些判别给定图形是不是的练习，帮助学生理解的相关概念．同时将的知识与学生的生活实践紧密的结合起来．可以充分发挥多媒体教学的优势，结合图片、动画、课件辅助教学．
教学设计示例
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．理解、周、平及的顶点、的边等概念．
2．掌握的表示方法．
（二）能力训练点
1．通过由学生观察实物图形抽象出的定义，培养学生的抽象概括能力．通过学生独立阅读总结的几种表示方法，培养学生的阅读理解能力．
2．通过的两个定义的得出，培养学生多度分析考虑问题的能力．
（三）德育渗透点
1．通过日常生活中具体的的形象概括出的定义，说明几何来源于生活，又反过来为生产、生活服务．鼓励学生努力学好文化知识，为社会做贡献．
2．通过旋转观点定义，说明事物是不断变化和相互转化的，我们不能用一成不变的观点去看待某些事物．
（四）美育渗透点
通过学习使学生体会几何图形的对称美和动态美，培养学生的审美意识，提高学生对几何的学习兴趣．
二、学法引导
1．教师教法：引导发现，尝试指导与阅读理解相结合．
2．学生学法：主动发现，自我理解与阅读法相结合．
三、重点·难点·疑点及解决办法
（一）重点
的概念及的表示方法．
（二）难点
周、平概念的理解．
（三）疑点
平与直线、周与射线的区别．
（四）解决办法
通过演示法使学生正确理解平、周的概念，适当加以解释，简明扼要，条理清楚即可，不必做过多的解释．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪（电脑、实物投影）、三板、圆规、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．教师创设情境，学生进入．
2．教师步步设问，提出问题，学生在回答问题、自己画图、观察图形的过程中掌握的静态定义．
3．教师指导，学生阅读、归纳四种表示的方法．
4．教师用电脑直观演示展示的旋转定义．
5．反馈练习．
6．师生讨论总结．
7．测试．
七、教学步骤
（一）明确目标
使学生能正确认识的两种定义及相关概念，掌握的表示方法，正确理解平、周的概念，并能从图形上进行识别．
（二）整体感知
以现代化教学为手段，调动学生主动参与的积极性，使学生在动手过程中自觉地掌握知识点．
（三）教学过程
创设情境，引出课题
师：前几节我们具体研究了小学时初步认识的直线、射线、线段．另外，小学时我们还认识了另一种几何图形——．你能说出几个日常生活中给我们的形象的物体吗？（学生会很快说出周围的课桌、门窗、墙壁的；圆规张开两脚；钟表的时针与分针间形成的等等．）
【教法说明】为了更形象、更直观用实物投影显示一些实物图形．
让学生说出口常生活中给我们的形象的物体，充分发挥学生的想像力，培养其观察事物的习惯，同时，活跃课堂气氛，调动学生学习积极性．也培养了学生从具体实物图形中抽象出几何图形的能力．
师：的确如此，在我们日常生活中，的形象可以说无处不在．因此，一些图案的设计；机械零件的制图等等，常常用到的画法、的度量、的大小比较等知识．从这节课开始我们就具体地研究．希望同学们认真学习，掌握真本领，将来为社会做贡献．
探究新知
1．的静止观点定义的得出
提出问题：通过以上举例和小学时你对的认识，你能画出几个不同形状的吗？
学生活动：在练习本上，画出几个不同形状的，找一个学生到黑板上画图．可能出现下列情况：
师：根据小学所学你能指出所画的边和顶点吗？（学生结合自己理解和小学所学，会很快指出的边和顶点．）
师：同学们请观察，的两边是前面我们学过的什么图形？它们的位置关系如何？你能否根据自己的理解和刚才老师的提问，描述一下怎样的几何图形叫做吗？
学生活动：学生讨论，然后找代表回答．
教师在学生回答的基础上，给予纠正和补充，最后给出的正确定义．
［板书］：有公共端点的两条射线组成的图形叫做，这个公共端点叫的顶点，这两条射线叫的两边．
（出示投影1）
指出以上图形，的顶点和的边．
提出问题：的大小与两边的长短有关系吗？
学生讨论并演示：拿大小不同的两副三板或学生的三板与教师的三板对比演示．让学生尽可能地发表自己的看法和观点．不要拘泥于课堂上的形式，充分调动学生回答问题的积极性．
教师对学生的回答给予肯定或否定后小结：的两边既然是射线，则可以向一方无限延长，所以的大小与所画的两边长短无关，仅与的两边张开的程度有关．
【教法说明】的定义的得出，不是教师以枯燥的形式强加给学生，而是让学生自己在画图、观察图形的过程中，由教师引导提出问题，步步追问，自觉地去认识．在问题解决的过程中，在复习旧知识中，不知不觉学到了新知识——．这样缩短了新旧知识间的距离，减轻了学生心理上的压力，使他们感到新知识并不难，在轻松愉快中学到了知识．同时也会感受到新旧知识之间的联系．对发展学生用普遍联系的观点看待事物有很好的作用．
2．的表示方法
师：研究，像直线、射线、线段一样，可以用字母表示．下面我们阅读课本第25负第三自然段，总结的表示方法有几种，你能否准确地表示一个并读出来．
学生活动：学生看书，可以相互讨论，然后归纳出的几种表示方法．
【教法说明】的四种表示方法，课本中用一自然段说明，语言通俗，很易理解，学生完全可以通过阅读，分出四个层次，四种表示的方法．因此教师要大胆放手，培养学生阅读理解能力，归纳总结能力．
学生阅读后，多找几个学生回答．最后通过不断补充、完善，归纳整理得出的四种表示方法，教师整理板书．
［板书］
图1图2图3
【教法说明】总结以上四种表示方法时，对前两种表示方法，应注意的问题要加以强调．第一种表示方法必须注意：顶点字母在中间．第二种表示方法只限于顶点只有一个．这是以后学生书写过程中最易出错的地方．另外，让学生区分的符号与小于号．这些应注意的问题最好由学生讨论，学生发现后归纳总结．
反馈练习：投影打出以下题目
指出图中有几个，并用适当的方法表示它们．
3．用旋转的观点定义
师：同学们看老师从另一个度提出新问题．前面我们给下过定义，是在静止的情况下，观察是由怎样的两条射线组成．下面，我们从运动的观点观察一下的形成．
图1
演示：教师由电脑显示一条射线，然后射线绕其端点旋转，到另一个位置停止则形成一个，如图1所示．举例帮助学生理解：钟摆看成一条射线，从一个位置摆到另一个位置则形成一个．
学生讨论并试述定义：学生叙述不会太严密，教师纠正、补充后板书．
【板书】：还可以看成是一条射线从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
说明：射线旋转时，经过的部分是的内部．让学生说明平面内除了的内部外还有几部分，分别是什么？（的边与的外部）
【教法说明】的旋转观点的定义是教学中的一个难点，学生不易理解．因此，结合电脑的显示，举出实例等手段加强教学的直观性．
4．平、周的概念
师：可以看成是一射线绕其端点旋转所形成的图形．那么，旋转时有无特殊情况呢？
由电脑演示并说明：
射线绕点旋转，终止位置和起始位置成一条直线时，所成的叫平，如图2所示．同样可表示为，顶点，两边为射线和射线．继续旋转，回到起始位置时，所成的叫做周，如图3所示．周的顶点为，两边重合成一条射线．
图1图2
师说明：（1）平与直线、周与射线是两个不同的概念，它们的图形表面上看一样，但本质上不同．如：直线上取点表示点在直线上的位置，而平是由顶点和边组成的这一几何图形．
（2）在这一书中，所说的，除非特殊注明，都是指没有旋转到成为平的．
【教法说明】平、周概念学生不容易理解，所以要通过直观演示后教师加以解释，但也不要解释得过多．否则，学生会更糊涂，简明扼要，条理清楚即可．
反馈练习：投影显示
1．指出图中以为顶点的平的两边
2．指出图中（包含平在内）的有几个，并分别读出它们
对以上练习发现问题及时纠正．
变式练习，培养能力
投影出示：
1．如图1：可以记作吗？为什么？
图1
2．如图2：、分别是、上的点
①与是同一个吗？
②与是同一个吗？
3．如图3：是什么？顶点、边分别是什么？
图2图3
【教法说明】为活跃课堂气氛，以上练习可以抢答．
（四）总结、扩展
学生看书，回答本节学了哪些主要内容，同桌可以相互讨论．最后教师按学生的回答归纳出本节知识脉络．投影显示：
八、布置作业
预习下节内容．
九、板书设计
同七、（四）中的格式，在表示方法中加上图形．
