交集、并集【精】

当我们提起高中的教学工作，接触最多的就是教案了吧。老师可以通过教案来对学生进行更好的教学，用心编写教案才能促进教学进一步发展，你是否在烦恼高中教案怎么写呢？可以看看本站收集的《交集、并集【精】》，希望能够为您提供参考。

教学目标：

（1）理解交集与并集的概念；

（2）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；

（3）能用图示法表示集合之间的关系；

（4）掌握两个较简单集合的的求法；

（5）通过对概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使学生认识由具体到抽象的思维过程；

（6）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习习惯．

教学重点：交集和并集的概念

教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系

教学过程设计

一、导入新课

【提问】

试叙述子集、补集的概念？它们各涉及几个集合？

补集涉及三个集合，补集是由一个集合及其一个子集而产生的第三个集合．由两个集合产生第三个集合不仅有补集，在实际中还有许多其他情形，我们今天就来学习另外两种．

回忆．

倾听．集中注意力．激发求知欲．

巩固旧知．为导入新课作准备．

渗透集合运算的意识．

二、新课

【引入】我们看下面图（用投影仪打出，软片做成左右两向遮启式，便于同学在“动态”中进行观察）．

【设问】

1．第一次看到了什么？

2．第二次看到了什么

3．第三次又看到了什么？

4．阴影部分的周界线是一条封闭曲线，它的内部（阴影部分）当然表示一个新的集合，试问这个新集合中的元素与集A、集B元素有何关系？

【介绍】这又是一种由两个集合产生第三个集合的情况，在今后学习中会经常出现，为方便起见，称集A与集B的公共部分为集A与集B的交集．

【设问】请大家从元素与集合的关系试叙述文集的概念．

【助学】“且”的含义是“同时”，“又”．

“所有”的含义是A与B的公共元素一个不能少．

【介绍】集合A与集合B的交集记作．读做“A交B”·

【助学】符号“”形如帽子戴在头

上，产生“交”的感觉，所以开口向下．切记该符号不要与表示子集的符号“”、“”混淆．

【设问】集A与集B的交集除上面看到的用图示法表示交集外，还可以用我们学习过的哪种方法表示？如何表示？

【设问】与A有何关系？如何表示？与B有何关系？如何表示？

【随练】写出，的交集．

【设问】大家是如何写出的？

我们再看下面的图．

【设问】

1．第一次看到了什么？

2．第二次除看到集B和外，还看到了什么集合？

3．第三次看到了什么？如何用有关集合的符号表示？

4．第四次看到了什么？这与刚才看到的集合类似，请用有关集合的符号表示．

5．第五次同学看出上面看到的集A、集B、集、集、集，它们都可以用我们已经学习过的集合有关符号来表示．除此之外，大家还可以发现什么集合？

6．第六次看到了什么？

7．阴影部分的周界是一条封闭曲线，它的内部（阴影部分）表示一个新的集合，试问它的元素与集A集B的元素有何关系？

【注】若同学直接观察到，第二、三、四次和第五次部分观察活动可不进行．

【介绍】这又是由两个集合产生第三个集合的情形，在今后学习中也经常出现，它给我们由集A集B并在一起的感觉，称为集A集B的并．

【设问】请大家从元素与集合关系仿照交集概念的叙述方法试叙述并集的概念？

【助学】并集与交集的概念仅一字之差，即将“且”改为“或”．或的含义是集A中的所有元素要取，集B中的所有元素也要取．

【介绍】集A与集B的并集记作（读作A并B）．

【助学】符号“”形如“碰杯”时的杯子，产生并的感觉，所以开口向上．切记，不要与“”混淆，更不能与“”等符号混淆．

观察．产生兴趣．

答：图示法表示的集A．

答：图示法表示集B．集A集B的公共部分·

答：公共部分出现阴影．

倾听．观察

思考．答：该集合中所有元素属于集合A且属于集合B．

倾听．理解．

思考．答：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集．

倾听．记忆．

倾听．兴趣记忆．

思考：“列举法还是描述法？”答：描述法．

思考．议论．

口答结合板书．

想象交集的图示，或回忆交集的概念．

口答结合板书：是A的子集．A．是

B的子集．

口答结合板书．

口答：从一个集合开始，依次用其每个元素与另一个集合中的元素对照，取出相同的元素组成的集合即为所求．

答：图示法表示的集A．

答：集A中子集A交B的补集．

答：上述区域出现阴影．

口答结合板书

答：出现阴影．

口答结合板书

认真、仔细、整体的进行观察、想象．答：表示集A集B的两条封闭曲线除去表示交集的封闭曲线剩余部分组成一条封闭曲线的内部所表示的集合．

答：出现阴影．

思考：答：该集合中所有元素属于集合A或属于集合B．

倾听，理解．

回忆交集概念，思考．答：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集．

倾听．比较．记忆．

倾听，记忆．

倾听．兴趣记忆．比较记忆，．

直观性原则．多媒体助学．

用直观、感性的例子为引入交集做铺垫．

渗透集合运算意识．

直观的感知交集．

培养从直观、感性到理性的概括抽象能力．

解决难点．

兴趣激励．比较记忆

培养用描述法表示集合的能力．

培养想象能力．

以新代旧．

突出重点．

概念迁移为能力．

进一步培养观察能力．

培养观察能力

以新代旧．

培养整体观察能力．

培养从直观、感性到理性的概括抽象能力．

解决难点．比较记忆．

兴趣激励，辩易混．比较记忆．

【设问】集A与集B的并集除上面看到的用图示法表示外，还可以用我们学习过的哪种方法表示？如何表示？

【设问】与A有何关系？如何表示？与B有何关系？如何表示？

【随练】写出，的并集．

【设问】大家是如何写出的？

【例1】设，，求（以下例题用投影仪打出，随用随启）．

【助练】本例实为解不等式组，用数轴法找出公共部分，写出即可．

【例2】设，

，求

【例3】设，，求

【例4】设，

，求

【助学】数轴法（略）．想象前面集A集B并集的图示法，类似地，将两个不等式区域并到一起，即为所求．其中元素2虽不属于集A倮属于集B，所以要取，元素1虽不属于集B但属于集A，所以要取，因此，只要将集A的左端点，集B的右端点组成新的不等式区域即为所求（两端点取否维持题设条件）．

【助练】以上例题，当理解并较熟练后，且结果可进一步简化时，中间一步或两步可省略．如例4．

【练习】教材第12页练习1～5．

【助练】

1．全集与其某个子集的交集是哪个集合？

2．全集与其某个子集的并集是哪个集合？

3．两个无公共元素的集合的交集是什么集合？

4．两个无公共元素的集合A、B，它们的并集如何表示？

5．任意集合A与其本身的分别是什么集合？如何表示？

6．任意集A与空集的分别是什么集合？如何表示？

7．与的关系如何表示？与的关系如何表示？

【例5】设，，求

【助思】

1．集A、集B各是什么集合？

2．如何理解

3．本例实为求两条直线的交点或解二元一次方程组，只不过是从集合的角度提出问题解决问题．

【例6】已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，求，，，，

，

【助学】

1．偶数包括哪些数？任意偶数如何表示？偶数集（全体偶数的集合）如何表示？

2．奇数包括哪些数？任意奇数如何表示？奇数集（全体奇数的集合？如何表示？）

【例7】设，，，求，，，．

思考：“列举法还是描述法？”

答：描述法．

思考．议论．

口答结合板书．

或

想象并集的图示，或回忆并集的概念．

口答结合板书：A和B都是的子集．，

口答结合板书：

口答：综合考虑两个集合，从最小数开始，哪个集合的元素都取，一个不能丢，相同元素由集合中元素的互异性只取一次．

审清题意．笔练结合板书．

解：

倾听．理解．

审清题意．口答结合板书．

解：

是直角三角形，且是直角三角形是等腰三角形．

审清题意．口答结合板书．

解：是锐角三角形是钝角三角形是锐角三角形，或是钝角三角形是斜三角形．

审清题意．

画数轴．画出不等式区域．倾听．解：

倾听．理解．

口答结合笔练和板演．

思考．答：子集．

思考．答：全集．

思考．答：空集

思考．议论．答：，或

思考．答：A．，

思考．答：分别是空集和A．

，

思考．答：

审清题意．

思考．议论．答：分别是直线或直线上的点集．或者分别是二元一次方程和二元一次方程的解集．

思考：答：求这两条直线的交点，或求这两个二元一次方程的公共解，即求由这两个二元一次方程组成的二元一次方程组的解．

倾听．理解．掌握．

解：

审题中发现未见过的集合．

思索．

答：0，，等．（）

或{偶数}

答：，等．（）

或（奇数）

解：{奇数}{偶数}

{奇数}Z={奇数}=A．

{偶数}Z={偶数}=B．

{奇数}{偶数}=Z．

{奇数}

{偶数}

审清题意．口答结合板书．

解：

培养用描述法表示集合的能力．

以新代旧．

培养想象能力．

以新代旧．

突出重点．

概念迁移为能力．

突出重点．培养能力．

落实教学目标．

突出重点．培养能力．

三、课堂练习

教材第13页练习1、2、3、4．

【助练习】第13页练习4（1）中用一个方向的斜平行线段表示，用另一方向的平行线段表示如图：

凡有阴影部分即为所求．

【讲解】看图，所得结果实际上还可以看作全集U中子集的补集则有第13页练习4（2）仿上，如图，凡有双向阴影部分即为所求．

【讲解】看图，所得结果实际上还可以看作全集U中子集的补集．则有：以上两个等式称反演律．简记为“先补后并等于先交后补”和“先补后交等于先并后补”．反演律在今后类似问题中给我们带来方便，因为它将三步工作简化为两步工作．

四、小结

提纲式（略）．再一次突出交集和并集两个概念中“且”，“或”的含义的不同．

五、作业

习题1至8．

笔练结合板书．

倾听．修改练习．掌握方法．

观察．思考．倾听．理解．记忆．

倾听．理解．记忆．

回忆、再现学习内容．

落实教学目标

介绍解题技能技巧．

学习内容条理化．

课堂教学设计说明

1．本教学设计方案除继续遵循“集合”方案中的“主体教学思想”外，着力研究直观性原则在教学中的应用及多媒体（投影仪）的助学作用．

2．反演律可根据学生实际酌情使用．

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子集、全集、补集【精】

教学目标：

（1）理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念；

（2）了解全集、空集的意义，

（3）掌握有关的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力；

（4）会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集；

（5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想；

（6）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．

教学重点：子集、补集的概念

教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别

教学用具：幻灯机

教学过程设计

（一）导入新课

上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识．

【提出问题】（投影打出）

已知，，，问：

1．哪些集合表示方法是列举法．

2．哪些集合表示方法是描述法．

3．将集M、集从集P用图示法表示．

4．分别说出各集合中的元素．

5．将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来．将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来．

6．集M中元素与集N有何关系．集M中元素与集P有何关系．

【找学生回答】

1．集合M和集合N；（口答）

2．集合P；（口答）

3．（笔练结合板演）

4．集M中元素有－1，1；集N中元素有－1，1，3；集P中元素有－1，1．（口答）

5．，，，，，，，（笔练结合板演）

6．集M中任何元素都是集N的元素．集M中任何元素都是集P的元素．（口答）

【引入】在上面见到的集M与集N；集M与集P通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题．

（二）新授知识

1．子集

（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。

记作：读作：A包含于B或B包含A

当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：AB或BA．

性质：①（任何一个集合是它本身的子集）

②（空集是任何集合的子集）

【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？

【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．

因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的．

（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

例：，可见，集合，是指A、B的所有元素完全相同．

（3）真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：（或），读作A真包含于B或B真包含A。

【思考】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”

集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B．

【提问】

（1）写出数集N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示。

（2）判断下列写法是否正确

①A②A③④AA

性质：

（1）空集是任何非空集合的真子集。若A，且A≠，则A；

（2）如果，，则．

例1写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．

解：集合的所有的子集是，，，，其中，，是的真子集．

【注意】（1）子集与真子集符号的方向。

（2）易混符号

①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如R，{1}{1，2，3}

②{0}与：{0}是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合。

如：{0}。不能写成={0}，∈{0}

例2见教材P8（解略）

例3判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正．

（1）表示空集；

（2）空集是任何集合的真子集；

（3）不是；

（4）的所有子集是；

（5）如果且，那么B必是A的真子集；

（6）与不能同时成立．

解：（1）不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确；

（2）不正确．空集是任何非空集合的真子集；

（3）不正确．与表示同一集合；

（4）不正确．的所有子集是；

（5）正确

（6）不正确．当时，与能同时成立．

例4用适当的符号（，）填空：

（1）；；；

（2）；；

（3）；

（4）设，，，则ABC．

解：（1）00；

（2）＝，；

（3），∴；

（4）A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C．

【练习】教材P9

用适当的符号（，）填空：

（1）；（5）；

（2）；（6）；

（3）；（7）；

（4）；（8）．

解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）＝；（6）；（7）；（8）．

提问：见教材P9例子

（二）全集与补集

1．补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，即

．

A在S中的补集可用右图中阴影部分表示．

性质：S（SA）=A

如：（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则SA={2，4，6}；

（2）若A={0}，则NA=N*；

（3）RQ是无理数集。

2．全集：

如果集合S中含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示．

注：是对于给定的全集而言的，当全集不同时，补集也会不同．

例如：若，当时，；当时，则．

例5设全集，，，判断与之间的关系．

解：∵

∴

∵

∴

∴

练习：见教材P10练习

1．填空：

，，，那么，．

解：，

2．填空：

（1）如果全集，那么N的补集；

（2）如果全集，，那么的补集（）=．

解：（1）；（2）．

（三）小结：本节课学习了以下内容：

1．五个概念（子集、集合相等、真子集、补集、全集，其中子集、补集为重点）

2．五条性质

（1）空集是任何集合的子集。ΦA

（2）空集是任何非空集合的真子集。ΦA（A≠Φ）

（3）任何一个集合是它本身的子集。

（4）如果，，则．

（5）S（SA）=A

3．两组易混符号：（1）“”与“”：（2）{0}与

（四）课后作业：见教材P10习题1.2

（五）板书设计：

课题

一、知识点

（一）

（二）

例题：

子集、全集、补集【推荐】

教学目标：

（1）理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念；

（2）了解全集、空集的意义，

（3）掌握有关的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力；

（4）会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集；

（5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想；

（6）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．

教学重点：子集、补集的概念

教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别

教学用具：幻灯机

教学过程设计

（一）导入新课

上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识．

【提出问题】（投影打出）

已知，，，问：

1．哪些集合表示方法是列举法．

2．哪些集合表示方法是描述法．

3．将集M、集从集P用图示法表示．

4．分别说出各集合中的元素．

5．将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来．将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来．

6．集M中元素与集N有何关系．集M中元素与集P有何关系．

【找学生回答】

1．集合M和集合N；（口答）

2．集合P；（口答）

3．（笔练结合板演）

4．集M中元素有－1，1；集N中元素有－1，1，3；集P中元素有－1，1．（口答）

5．，，，，，，，（笔练结合板演）

6．集M中任何元素都是集N的元素．集M中任何元素都是集P的元素．（口答）

【引入】在上面见到的集M与集N；集M与集P通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题．

（二）新授知识

1．子集

（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。

记作：读作：A包含于B或B包含A

当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：AB或BA．

性质：①（任何一个集合是它本身的子集）

②（空集是任何集合的子集）

【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？

【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．

因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的．

（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

例：，可见，集合，是指A、B的所有元素完全相同．

（3）真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：（或），读作A真包含于B或B真包含A。

【思考】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”

集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B．

【提问】

（1）写出数集N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示。

（2）判断下列写法是否正确

①A②A③④AA

性质：

（1）空集是任何非空集合的真子集。若A，且A≠，则A；

（2）如果，，则．

例1写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．

解：集合的所有的子集是，，，，其中，，是的真子集．

【注意】（1）子集与真子集符号的方向。

（2）易混符号

①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如R，{1}{1，2，3}

②{0}与：{0}是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合。

如：{0}。不能写成={0}，∈{0}

例2见教材P8（解略）

例3判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正．

（1）表示空集；

（2）空集是任何集合的真子集；

（3）不是；

（4）的所有子集是；

（5）如果且，那么B必是A的真子集；

（6）与不能同时成立．

解：（1）不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确；

（2）不正确．空集是任何非空集合的真子集；

（3）不正确．与表示同一集合；

（4）不正确．的所有子集是；

（5）正确

（6）不正确．当时，与能同时成立．

例4用适当的符号（，）填空：

（1）；；；

（2）；；

（3）；

（4）设，，，则ABC．

解：（1）00；

（2）＝，；

（3），∴；

（4）A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C．

【练习】教材P9

用适当的符号（，）填空：

（1）；（5）；

（2）；（6）；

（3）；（7）；

（4）；（8）．

解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）＝；（6）；（7）；（8）．

提问：见教材P9例子

（二）全集与补集

1．补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，即

．

A在S中的补集可用右图中阴影部分表示．

性质：S（SA）=A

如：（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则SA={2，4，6}；

（2）若A={0}，则NA=N*；

（3）RQ是无理数集。

2．全集：

如果集合S中含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示．

注：是对于给定的全集而言的，当全集不同时，补集也会不同．

例如：若，当时，；当时，则．

例5设全集，，，判断与之间的关系．

解：∵

∴

∵

∴

∴

练习：见教材P10练习

1．填空：

，，，那么，．

解：，

2．填空：

（1）如果全集，那么N的补集；

（2）如果全集，，那么的补集（）=．

解：（1）；（2）．

（三）小结：本节课学习了以下内容：

1．五个概念（子集、集合相等、真子集、补集、全集，其中子集、补集为重点）

2．五条性质

（1）空集是任何集合的子集。ΦA

（2）空集是任何非空集合的真子集。ΦA（A≠Φ）

（3）任何一个集合是它本身的子集。

（4）如果，，则．

（5）S（SA）=A

3．两组易混符号：（1）“”与“”：（2）{0}与

（四）课后作业：见教材P10习题1.2

（五）板书设计：

课题

一、知识点

（一）

（二）

例题：

子集、全集、补集__万能通用篇

教学目标：

（1）理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念；

（2）了解全集、空集的意义，

（3）掌握有关的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力；

（4）会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集；

（5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想；

（6）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．

教学重点：子集、补集的概念

教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别

教学用具：幻灯机

教学过程设计

（一）导入新课

上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识．

【提出问题】（投影打出）

已知，，，问：

1．哪些集合表示方法是列举法．

2．哪些集合表示方法是描述法．

3．将集M、集从集P用图示法表示．

4．分别说出各集合中的元素．

5．将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来．将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来．

6．集M中元素与集N有何关系．集M中元素与集P有何关系．

【找学生回答】

1．集合M和集合N；（口答）

2．集合P；（口答）

3．（笔练结合板演）

4．集M中元素有－1，1；集N中元素有－1，1，3；集P中元素有－1，1．（口答）

5．，，，，，，，（笔练结合板演）

6．集M中任何元素都是集N的元素．集M中任何元素都是集P的元素．（口答）

【引入】在上面见到的集M与集N；集M与集P通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题．

（二）新授知识

1．子集

（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。

记作：读作：A包含于B或B包含A

当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：AB或BA．

性质：①（任何一个集合是它本身的子集）

②（空集是任何集合的子集）

【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？

【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．

因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的．

（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

例：，可见，集合，是指A、B的所有元素完全相同．

（3）真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：（或），读作A真包含于B或B真包含A。

【思考】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”

集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B．

【提问】

（1）写出数集N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示。

（2）判断下列写法是否正确

①A②A③④AA

性质：

（1）空集是任何非空集合的真子集。若A，且A≠，则A；

（2）如果，，则．

例1写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．

解：集合的所有的子集是，，，，其中，，是的真子集．

【注意】（1）子集与真子集符号的方向。

（2）易混符号

①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如R，{1}{1，2，3}

②{0}与：{0}是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合。

如：{0}。不能写成={0}，∈{0}

例2见教材P8（解略）

例3判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正．

（1）表示空集；

（2）空集是任何集合的真子集；

（3）不是；

（4）的所有子集是；

（5）如果且，那么B必是A的真子集；

（6）与不能同时成立．

解：（1）不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确；

（2）不正确．空集是任何非空集合的真子集；

（3）不正确．与表示同一集合；

（4）不正确．的所有子集是；

（5）正确

（6）不正确．当时，与能同时成立．

例4用适当的符号（，）填空：

（1）；；；

（2）；；

（3）；

（4）设，，，则ABC．

解：（1）00；

（2）＝，；

（3），∴；

（4）A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C．

【练习】教材P9

用适当的符号（，）填空：

（1）；（5）；

（2）；（6）；

（3）；（7）；

（4）；（8）．

解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）＝；（6）；（7）；（8）．

提问：见教材P9例子

（二）全集与补集

1．补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，即

．

A在S中的补集可用右图中阴影部分表示．

性质：S（SA）=A

如：（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则SA={2，4，6}；

（2）若A={0}，则NA=N*；

（3）RQ是无理数集。

2．全集：

如果集合S中含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示．

注：是对于给定的全集而言的，当全集不同时，补集也会不同．

例如：若，当时，；当时，则．

例5设全集，，，判断与之间的关系．

解：∵

∴

∵

∴

∴

练习：见教材P10练习

1．填空：

，，，那么，．

解：，

2．填空：

（1）如果全集，那么N的补集；

（2）如果全集，，那么的补集（）=．

解：（1）；（2）．

（三）小结：本节课学习了以下内容：

1．五个概念（子集、集合相等、真子集、补集、全集，其中子集、补集为重点）

2．五条性质

（1）空集是任何集合的子集。ΦA

（2）空集是任何非空集合的真子集。ΦA（A≠Φ）

（3）任何一个集合是它本身的子集。

（4）如果，，则．

（5）S（SA）=A

3．两组易混符号：（1）“”与“”：（2）{0}与

（四）课后作业：见教材P10习题1.2

（五）板书设计：

课题

一、知识点

（一）

（二）

例题：

硝酸【精】

知识目标：

使学生掌握的化学性质（酸性、不稳定性、氧化性）；

使学生了解的用途。

能力目标：

培养学生根据的性质解释日常见到的现象、学以致用，解决各种实际问题的能力（如：常温下可用铝槽车装运浓，王水可溶解铂、金等）。

情感目标：

通过的浓度变化—量变引起质变对学生进行辩证唯物主义教育。通过课后的“阅读”和“选学”资料对学生进行发奋学习的教育和安全教育。

教材分析

在初中曾经介绍过具有酸的通性，对于的氧化性只是简单提及。本节是在初中的基础上进一步介绍的一些性质。教材从与金属反应不生成氢气引入，介绍了的两种特性—氧化性和不稳定性。

的氧化性是全章的重点内容，也是本节的教学难点。教材在处理这部分内容时从实验入手，通过引导学生观察铜与浓和稀反应时的不同现象。加深学生对氧化性的认识及对反应产物的记忆，同时也解开了学生在初中时学习实验室制氢气时不能选用的疑惑。并且还从反应中氮元素的化合价变化和电子得失，来简单分析与金属的反应，使学生理解反应的实质，同时也复习了氧化还原反应的知识。

本节教学重点：的氧化性。

本节教学难点：的氧化性。

教法建议

是在学习了浓硫酸后，再次接触到的一种强氧化性酸。因此，建议本节的教学在复习浓硫酸物理性质、特性的基础上，找出和浓硫酸性质上的相同点和不同点，以训练学生学习化学的方法。

一、的物理性质

通过学习阅读教材和观察实物和实验，归纳的性质，并引导学生与浓硫酸、浓盐酸进行比较。

二、的化学性质

1．的不稳定性

可采用如下的教学过程：

实验结论问题（受热分解）

此方法通过实验培养学生分析问题和解决问题的能力。

2．的氧化性。

可先复习浓硫酸与不活泼金属铜的反应，以引导学生学习与金属的反应。通过演示[实验1—7]由实验现象引导学生分析反应产物并写出浓、稀与铜反应的化学方程式。

（1）引导学生观察实验现象①剧烈程度；②产生气体的颜色（若为敞开体系稀产生的气体在管口处变为红棕色，说明无色气体不是。）③溶液的颜色。

（2）由实验观察引导学生分析①的还原产物及氮元素的化合价；②铜的氧化产物；③写出反应的化学方程式。

（3）师生共同归纳浓、稀的化学性质①浓、稀均具有强氧化性；②金属与反应均不产生氢气；③金属与浓反应，还原产物一般为；金属与稀反应，还原产物一般为NO；而金属被氧化为相应的盐。

此外，教师应指出：的氧化性强弱不应根据被还原的产物的化合价改变的大小来决定，而在根据其得电子的难易程度来决定，的浓度越大，氧化性越强。

与非金属的反应，可启发学生联想浓硫酸与碳的反应，写出与碱反应的化学方程式。对于学有余力的学生，可引导他们归纳①浓与某些非金属反应时，还原产物一般为；②非金属一般被氧化为最高价氧化物，若最高价氧化物易溶于水，则生成相应的含氧酸。

在介绍王水时，可结合阅读材料对学生进行德育渗透。

一、教学目标

知识目标使学生掌握的化学性质并了解其用途。

能力目标提高理论联系实际、学以致用的能力及类比学习的方法。

情感目标激发学生学习兴趣，对学生进行辩证唯物主义和爱国主义教育。

二、教学重点的不稳定性和氧化性。

三、教学难点的氧化性。

四、实验准备浓、稀硫酸、铜片、锌片、铁片、铝片、木炭、烧杯、试管、滴管、石棉网、铁架台（带铁圈）、酒精灯、无色透明塑料袋。

五、课时安排1课时

六、教学方法启发—掌握法

七、教学过程

教师活动

学生活动

【引言】三大强酸中的盐酸、硫酸我们已学过，今天来学习，除了具有酸性外，还有些我们所不了解的性质，这些我们所不熟知的性质就是这节课学习的重点。

【板书】第三节

【展示】两瓶不同浓度的（一瓶浓，

一瓶稀）。

【板书】一、的物理性质

【指导阅读】要知道“发烟”及常用浓的质量分数，并比较三大强酸的物理特性。

【投影】右边表格

【实验】一位同学上台，通过实验（闻气味，打开瓶塞观雾，与水混合放热）总结、归纳。

【分析、总结】

硫酸

盐酸

挥发性

（易）

（难）

（易）

沸点

（低）

（高）

（低）

【过渡】是一种强酸，在水中完全电离出和。因为有，所以具有酸的通性。

【板书】二、的化学性质

1．酸性

【书写】

【设问】从来看，推测具有哪些性

质？

【质疑】浓硫酸能氧化Cu和C等，是否也可以？

【演示实验1－7】的氧化性。观察实验现象。推测产物，试写出反应的化学方程式，并标出电子转移方向和数目。

【讲述】Cu与浓、稀在常温下都可发生化学反应，说明具有强氧化性。

【分析、讨论、回答】

在中，氮元素呈现其最高价态＋5价，在氧化还原反应中，具有氧化性。

【观察、回答】

加浓的试管，反应剧烈，放出红棕色气体，溶液变为绿色。

加稀的试管，反应较缓慢，放出无色气体，进入空气气体变为红棕色，溶液变为蓝色。

Cu与稀反应生成了无色NO，NO遇空气后又生成了红棕色NO2。

【板书】2．强氧化性

【质疑】由于的浓度不同，反应产物就不同，说明了什么？

【演示Zn、Al、Fe分别与浓反应】（增加）将Zn片插入一盛有少量浓的烧杯中，有红棕色气体放出，立即拿出。再将Al片、Fe片放入浓中。观察现象。

【思考、回答】

物质的量变能引起物质的质变。

【观察、分析、回答】

无明显变化。像浓硫酸能使Al、Fe钝化一样，在常温下浓也能使之钝化。

【讲解】大多数金属（除金、铂等少数金属外）都可被氧化，由于浓度不同，被还原为NO2或NO。

【指导阅读】浓和浓盐酸按体积比1：3混合后的混合物，氧化能力极强，可溶解金和铂。阅读课本（玻尔的诺贝尔金质奖章）。

【阅读、领悟】

【演示木炭与浓反应】（增加）

在烧杯里盛10mL浓，用酒精灯加热。把一块烧红热的木炭浸入热的浓中。

【提示】观察加热浓和加入红热木炭后的现象？写出化学方程式。

【提问】这个实验说明什么？

【板书】3．不稳定性

【展示】一瓶久置而发黄的浓，为何出现这种现象？

【板书】3．不稳定性

【观察、回答】

加热浓有红棕色气体产生。

加入红热木炭后，木炭继续燃烧，同时产生大量红棕色气体。

【分析、书写】

【讨论、总结】

①进一步证明有强氧化性。

②不稳定，分解。

【分析、讨论、回答】

可能有NO2产生，并溶于中。

【启发】有NO2生成，那么的分解产物还有什么物质？

【分析、讨论、回答】

【追问】应如何保存？

【强调】应放在棕色瓶中保存。

在中，氢元素化合价为＋1价，氮元素为＋5价，均为其最高价态，氧元素为－2价，又因为生成NO2，氮元素化合价降低了，只有氧元素化合价升高，因而有O2产生。

【回答】

隔热、隔光处。

【指导阅读】的用途

【板书】三、的用途

【阅读、归纳】

（1）化工原料

（2）化学试剂

【引导学生总结】

【小结】

的性质，强氧化性和不稳定性。

【课堂练习—投影】

1．如何洗净内壁有铜附着的试管？

2．如何贮存和运输大量的浓？

3．用以下三种途径来制取相等质量的铜：（1）铜跟浓反应；（2）铜跟稀反应；（3）铜先跟氧气反应生成氧化铜，氧化铜再跟反应。

以下叙述正确的是（）

A．三种途径所消耗铜的物质的量相等

B．三种途径所消耗的物质的量相等

C．所消耗铜的物质的量：途径（3）＞途径（2）＞途径（1）

D．所消耗的物质的量：途径（1）＞途径（2）＞途径（3）

4．在反应中，被氧化的氮原子与被还原的氮原子的原子个数比为（）

A．3：5B．5：5C．5：3D．5：8

八、板书设计

第三节

一、的物理性质

通常状况，无色有刺激性气味的气体，与水任意比互溶，易挥发。

二、的化学性质

1．酸性

2．强氧化性

3．不稳定性

三、的用途

化工原料化学试剂

磁场【精】

教学目标

知识目标

1、了解磁场的产生和磁现象．

2、理解磁场的方向性，知道用磁感线反映磁场的方向．掌握直线电流、环形电流和通电螺线管产生磁场的磁感线空间分布情况．

3、掌握安培定则，并能用安培定则熟练地判定电流、以及电流产生的磁场方向．

能力目标

1、通过磁场现象的学习，培养学生的观察能力、分析能力和空间想象能力．

2、利用电场和磁场的类比教学，培养学生的比较推理能力．

情感目标

1、让学生了解我国古代对磁现象的研究（如指南针的发明），培养学生爱国主义思想，鼓励他们学习科学的热情．

2、通过对磁感线的引进，使得学生了解如何将抽象的概念转化为形象的模型进行研究的方法．

教学建议

教材分析

由于学生在初中时已经对磁场概念有了初步的了解，又由于前面学习了电学的有关知识，因此在学习磁场知识时会比较容易的接受．但是在学习用磁感线来描述磁场以及相关的几个特殊磁场的磁感线分布时会感到一定的困难，教材给了有关的插图，在“媒体资料”中，提供了相关的磁感线分布的三维动画，教师可以参考使用，有助于学生对磁感线空间形象的准确把握．

教法建议

教师在讲解磁场的有关概念时，可以参考电场的相关内容进行类比，如：电场线描述电场————磁感线描述磁场．在以后几节的学习上，可以大量采用这种方法，分析电场与磁场的相同之处，找出不同，帮助学生加深对“磁场”这一抽象概念的理解．

教学设计示例

第一节、磁场磁感线

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1、了解磁场的产生和磁现象．

2、理解磁场有方向性，知道用磁感线反映磁场的方向．

3、能用安培定则熟练地判定电流磁场的方向．

4、掌握常见几种磁场的磁感线分布情况．

（二）能力训练点

1、通过观察演示实验，培养学生的观察能力、分析能力和空间想象能力．

2、利用电场和磁场的类比教学，培养学生的比较推理能力．

（三）德育渗透点

1、了解我国古代对磁现象的研究（如指南针的发明），培养学生爱国主义思想，鼓励他们学习科学的热情．

2、通过引进虚拟的磁感线教学，对学生进行物理问题变抽象为形象的方法论教育．

（四）美育渗透点

让学生体会磁感线图像的对称美、形式美．

二、学法引导

1、教师采用演示实验法引入，直观教学、利用电场对比教学．

2、学生认真观察实验现象，理解磁场的存在，类比电场理解磁场的性质及磁场的描绘．

三、重点·难点·疑点及解决办法

1、重点

（1）理解磁场的基本性质——力的作用和方向性．

（2）掌握安培定则及常见几种磁场的磁感线分布．

2、难点

磁场的空间分布与磁感线的对应联系．

3、疑点

（1）看不见、摸不着的磁场是客观存在的．

（2）描绘磁场的磁感线是虚拟的曲线．

4、解决办法

（1）通过演示实验，直观地反映磁场的存在，突破本节教学的重点和疑点．

（2）利用与电场的对比教学，帮助学生理解几种常见磁场磁感线的空间分布．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

条形磁铁；蹄形磁铁；小磁针；导线和开关；电源；铁架台；细铁屑；玻璃板．

六、师生互动活动设计

1、教师先演示实验．直观引入磁场的存在，再通过实验演示，学生思考总结磁极之间、电流之间、电流与磁极之间的相互作用是通过磁场来传递的．通过类比电场、演示实验使学生理解磁感线的意义及分布规律．

2、课外组织学生阅读材料“电流磁效应的发现”深化对磁场的认识．

利用课外时间，要求学生做一做“验证环形电流的磁场方向”实验．

七、教学步骤

（一）明确目标

（略）

（二）整体感知

本节的教学分为两部分：1、理解磁场客观存在．电磁极间相互作用，推理磁场的客观存在，由演示实验进一步得出电流周围也存在着磁场，磁极与磁极、磁极与电流、电流与电流之间发生相互作用都是通过磁场来传递的、2、对磁场进行描述、通过演示实验得出磁场是有方向性的，用磁感线可以形象地描述磁场的方向性，通过演示实验形象直观显示条形磁铁和蹄形磁铁的磁感线、电流的磁场的磁感线可用安培定则来反映．

（三）重点、难点的学习与目标完成过程

1、引入新课

我国是世界上最早发现磁现象的国家，早在战国末年就有磁铁的记载，我国古代的四大发明之一的指南针就是其中之一，指南针的发明为世界的航海业作出了巨大的贡献．在现代生活中，利用磁场的仪器或工具随处可见，如我们将要学习的电流表、质谱仪、回旋加速器等等．进入21世纪后，科技的发展突飞猛进，一日千里，作为新世纪的主人，肩负着民族振兴的重任，希望同学们勤奋学习，为攀登科学高峰打好扎实的基础．今天，我们首先认识磁场．

2、磁场的产生

在玻璃板上放两辆小车，小车上各放置一条形磁铁，通过演示实验（如图）观察到，磁体同名磁极相斥，异名磁极相吸，且不需要接触就可以发生力的作用，显然这一力是场力，但磁铁并不带电，不存在电场，它就是另一种场——磁场、磁体周围存在着磁场，常见的条形磁铁、蹄形磁铁周围都存在着磁场、除磁体周围有磁场外，丹麦物理学家奥斯特首先发现电流周围也存在着磁场、观察演示实验（如图）看出，当通入电流时，小磁针转动，说明电流周围也有磁场、磁极与磁极之间、电流与磁极之间、电流与电流之间通过演示实验看出都会发生相互作用，这种作用都是通过磁场这种特殊物质发生作用的．

3、磁场的性质

在磁铁周围的不同位置放置一些小磁针，发现小磁针静止时，指向各不相同如图所示，这表明磁场中不同位置力的作用方向不同，因此磁场具有方向性．

与电场对比，在电场中，我们利用检验电荷的受力情况来反映电场的方向性，规定正电荷受的电场力方向为电场方向．

在磁场中，我们利用小磁针来规定磁场的方向，规定在磁场中的任意一点小磁针北极受力的方向亦即小磁针静止时北极所指的方向，就是那一点的磁场方向．

4、磁感线

为了形象地反映电场的方向性，我们引进了电场线的概念．同理，在研究磁场时，我们引进磁感线来反映磁场的方向性，磁感线是一些有方向的曲线，在这些曲线上，每一点的切线方向都跟该点的磁场方向相同（即为小磁针的北极指向）．利用磁感线，我们就可以比较直观地描述磁场的方向性．

不同的磁场，磁感线的空间分布是不一样的，常见的磁场的磁感线空间分布情况如下：

（1）条形磁铁的磁场

取一块玻璃板，在其上面撤上碎铁屑，下面放条形磁铁，轻轻敲击玻璃板，碎铁屑等效于无数个小磁针，形象地显现出磁场的方向，即为磁感线的平面分布情况（如图），所以条形磁铁的磁感线分布如图．

（2）蹄形磁铁的磁感线分布情况见图．

（3）电流磁场的磁感线分布情况见图．

a、通电直导线电流磁场（用右手螺旋定则判定）．

b、通电环形电流磁场（用右手螺旋定则判定）．

（4）磁感线的特点

a、磁感线是不相交的封闭曲线．

b、磁感线某点的切线方向表示该点的磁场方向．

c、磁感线的疏密可以反映磁场的强弱．

（四）总结、扩展

1、磁体周围，电流周围都有磁场，磁场是物质存在的一种形式，其性质是对放入其中的电流和磁体有力的作用．

2、磁场是有方向性的，可用磁感线直观形象地反映常见磁场的方向，但须注意磁感线是虚拟的曲线．

3、通电螺旋管内部的磁感线是平行轴线分布的．其外部磁感线由N极出发至S极，其内部是由S极重新回到N极的封闭曲线，所以螺旋管内部磁感线最密、磁场最强．

八、布置作业

九、板书设计

第一节磁场

一、磁场的产生

1、磁场的客观存在．

2、磁场的产生．

（1）磁体周围．（2）电流周围．

3、磁场的基本性质——力的作用．

二、磁场的方向

1、规定小磁针静止时北极的指向为磁场方向．

三、磁感线

1、磁感线的概念．

2、常见几种磁场的磁感线分布．

3、电流磁场的磁感线可用安培定则判定．

密度【精】

(一)教学目的

1.掌握的概念。

2.知道的公式并能用公式进行计算。

3.知道单位的写法、读法及换算。

(二)教具

演示实验用具：1分米3的木块1个，小黑板1块(画有课本上的实验表格)，体积相同的长方铁块、铝块、木块(4厘米×3厘米×1厘米)各1个，体积相同的长方铁块、松木块(4厘米×3厘米×2厘米)各1个，托盘天平(最大秤量值200克)和砝码1套，刻度尺1只。

学生实验用具：每2人1个1厘米3的木块。

(三)教学过程

一、复习小学学过的体积单位

提问：小学数学在表示物体体积时常用哪些单位?

学生答：米3、分米3、厘米3。

教师出示1分米3的实物并让每位学生观察课桌上1厘米3的实物。指出1分米3=1升，1厘米3=1毫升。

提问：谁能记得体积单位之间的换算关系?

板书：体积的单位：米3、分米3(升)、厘米3(毫升)，1米3=103分米3=106厘米3

教师出示上节课所用的体积相同的长方铁块、铝块、木块，告诉学生它们的体积都是12厘米3。提问：这三个物体哪个质量最大?哪个质量最小?

学生回答，教师归纳：由此可见，不同的物体体积相同时，质量不相等。这是什么原因?

教师接着出示体积分别为12厘米3和24厘米3的铁。提问：由生活经验知道哪个质量大?

学生答：体积较大的铁块质量大。

讲述并引入课题：同一种物质组成的物体，体积增大，它的质量也增大；它的质量跟体积又有什么关系呢?学了后我们就能知道这些问题。

(板书：第三节)

二、的概念

1.演示实验：研究同一种物质的物体，它的质量与体积的关系

(1)用天平称小铁块的质量，将右盘所用每个砝码的质量及游码的位置告诉学生，请学生算出小铁块的质量，填入小黑板的表格内。

(2)用最小刻度为毫米的尺量出该铁块的长、宽、厚分别为4.00厘米、3.00厘米和1.00厘米，请学生算出它的体积，填入表格中。

(3)用天平称大铁块的质量。重复步骤(1)。

(4)测大铁块的体积，与步骤(2)相同。

(5)用两个体积不同的长方松木块重做上面的实验，将得到的数据填入表格里。

(实验表格见下)

质量(克)体积(厘米3)质量／体积(克／厘米3)铁块194.812.007.9铁块2189.624.007.9松木块1612.000.5松木块21224.000.5

(6)全班学生计算表格内“质量／体积”，将结果填入表中。

2.师生分析实验表格，引出的概念

引导学生看表格，得到下面的结论。

(1)铁块的体积增大2倍，它的质量也增大2倍，可见铁块的质量跟它的体积成正比；铁块1与铁块2的质量跟体积的比值是一定的。

(2)同理可得：松木块的质量跟它的体积也成正比；松木块质量跟体积的比值也是一定的。

(3)松木块质量跟体积的值与铁块质量跟体积的比值不同。

讲解：质量跟体积的比值就是单位体积的质量：同种物质单位体积的质量相同，不同物质单位体积的质量一般不同，由此可知，单位体积的质量反映了物质的一种特性，物理学中用表示物质的这种特性。

(板书：1.定义：某种物质单位体积的质量叫做这种物质的。)

教师指出：理解的概念时，要注意：(1)单位体积就是有一定大小的体积，如国际单位制中的“1米3、1分米3、1厘米3等。(2)反映了物质的一种特性，每种物质都有一定的，如将铁块锉成铁屑，铁的都不变。

提问：课本练习2。

三、的公式

提问：知道物体的质量和总体积，如何求出这种物质的?

学生答：由定义知道，算出这种物质单位体积的质量，就是它的。即等于质量跟体积的比值。

讲解：ρ表示；m表示质量：V表示体积。

(板书：2.公式：=质量／体积ρ=mV)

教师指出：要注意：(1)ρ的写法、读法。(2)只与物质种类有关，与物体的质量、体积无关。

提问：课本练习3。

引导学生看课本［例题］，讲解：解题思路与格式。

四、的单位

(1)单位的组成

提问：由例题看出：的单位由哪些单位组成?

答：由质量单位和体积单位组成。

讲解：如质量单位用千克，体积单位必须用米3，单位就是千克／米3，读做千克每立方米；如质量单位用克，体积单位必须用厘米3，单位就是克／厘米3。

提问：(1)克／厘米3读作什么?(2)克／厘米3与千克／米3之间有什么关系?

(板书：3.单位：千克／米3，克／厘米3。1千克／米3=1×103克/106厘米3=10-3克／厘米3，1克/厘米3=1×10-3千克/10-6米3=103千克/米3)

提问：课本例题中铁的是多少克／厘米3?

指出：同一种物质的用不同的单位，数字不一样，可见，写物质时一定要写出具体的单位。

请二位学生上黑板完成课本练习1，其余人在笔记本上完成。

四、复习小结，巩固新课

五、布置作业：章后习题2、3。

排列【精】

教学目标

（1）正确理解的意义。能利用树形图写出简单问题的所有；

（2）了解和数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的；

（3）掌握数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的数；

（4）会分析与数字有关的问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

（5）通过对应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，以培养学生严谨的学习态度。

教学建议

一、知识结构

二、重点难点分析

本小节的重点是的定义、数及数的公式，并运用这个公式去解决有关数的应用问题．难点是导出数的公式和解有关的应用题．突破重点、难点的关键是对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决应用问题当中．

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中任取m个元素的一个．因此，两个相同，当且仅当他们的元素完全相同，并且元素的顺序也完全相同．数是指从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素的所有不同的种数，只要弄清相同、不同，才有可能计算相应的数．与数是两个概念，前者是具有m个元素的，后者是这种的不同种数．从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的有序集，相当于一个，而这种有序集的个数，就是相应的数．

公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．要重点分析好的推导．

的应用题是本节教材的难点，通过本节例题的分析，应注意培养学生解决应用问题的能力．

在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用．

在教学应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求．

三、教法建议

①在讲解数的概念时，要注意区分“数”与“一个”这两个概念．一个是指“从n个不同元素中，任取出m个元素，按照一定的顺序摆成一排”，它不是一个数，而是具体的一件事；数是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有的个数”，它是一个数．例如，从3个元素a，b，c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一排，有如下几种：

ab，ac，ba，bc，ca，cb，

其中每一种都叫一个，共有6种，而数字6就是数，符号表示数．

②的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序”．

从定义知，只有当元素完全相同，并且元素的顺序也完全相同时，才是同一个，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的，都不是同一。叫不同．

在定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．

在的定义中，如果有的书上叫选，如果，此时叫全．

要特别注意，不加特殊说明，本章不研究重复问题．

③关于数公式的推导的教学．公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．课本上用的是不完全归纳法，先推导，，…，再推广到，这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的．

导出公式后要分析这个公式的构成特点，以便帮助学生正确地记忆公式，防止学生在“n”、“m”比较复杂的时候把公式写错．这个公式的特点可见课本第229页的一段话：“其中，公式右边第一个因数是n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是，共m个因数相乘．”这实际是讲三个特点：第一个因数是什么？最后一个因数是什么？一共有多少个连续的自然数相乘．

公式是在引出全数公式后，将数公式变形后得到的公式．对这个公式指出两点：（1）在一般情况下，要计算具体的数的值，常用前一个公式，而要对含有字母的数的式子进行变形或作有关的论证，要用到这个公式，教材中第230页例2就是用这个公式证明的问题；（2）为使这个公式在时也能成立，规定，如同时一样，是一种规定，因此，不能按阶乘数的原意作解释．

④建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解．

⑤学生在开始做应用题的作业时，应要求他们写出解法的简要说明，而不能只列出算式、得出答数，这样有利于学生得更加扎实．随着学生解题熟练程度的提高，可以逐步降低这种要求．

教学设计示例

教学目标

（1）正确理解的意义。能利用树形图写出简单问题的所有；

（2）了解和数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的；

（3）会分析与数字有关的问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

教学重点难点

重点是的定义、数并运用这个公式去解决有关数的应用问题。

难点是解有关的应用题。

教学过程设计

一、复习引入

上节课我们学习了两个基本原理，请大家完成以下两题的练习（用投影仪出示）：

1．书架上层放着50本不同的社会科学书，下层放着40本不同的自然科学的书．

（1）从中任取1本，有多少种取法？

（2）从中任取社会科学书与自然科学书各1本，有多少种不同的取法？

2．某农场为了考察三个外地优良品种A，B，C，计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的土地上分别进行引种试验，问共需安排多少个试验小区？

找一同学谈解答并说明怎样思考的的过程

第1（1）小题从书架上任取1本书，有两类办法，第一类办法是从上层取社会科学书，可以从50本中任取1本，有50种方法；第二类办法是从下层取自然科学书，可以从40本中任取1本，有40种方法．根据加法原理，得到不同的取法种数是50+40=90．第（2）小题从书架上取社会科学、自然科学书各1本（共取出2本），可以分两个步骤完成：第一步取一本社会科学书，第二步取一本自然科学书，根据乘法原理，得到不同的取法种数是：50×40=2000．

第2题说，共有A，B，C三个优良品种，而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区，在乙类型的土地上有三个小区……所以共需3×5=15个实验小区．

二、讲授新课

学习了两个基本原理之后，现在我们继续学习问题，这是我们本节讨论的重点．先从实例入手：

1．北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票？

由学生设计好方案并回答．

（1）用加法原理设计方案．

首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票．

（2）用乘法原理设计方案．

首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法．即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选．那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序不同方法共有3×2=6种．

根据以上分析由学生（板演）写出所有种飞机票

再看一个实例．

在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？

找学生谈自己对这个问题的想法．

事实上，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、绿这三面旗子的所有不同顺序的排法总数．

首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；

其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．

根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3×2×1=6（种）．

根据学生的分析，由另外的同学（板演）写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况．（包括每个位置情况）

第三个实例，让全体学生都参加设计，把所有情况（包括每个位置情况）写出来．

由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？写出这些所有的三位数．

根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有4×3×2=24（个）．

请板演的学生谈谈怎样想的？

第一步，先确定百位上的数字．在1，2，3，4这四个数字中任取一个，有4种取法．

第二步，确定十位上的数字．当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字去取，有3种方法．

第三步，确定个位上的数字．当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字中去取，有2种方法．

根据乘法原理，所以共有4×3×2=24种．

下面由教师提问，学生回答下列问题

（1）以上我们讨论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方？

都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象．

（2）取出的这些研究对象又做些什么？

实质上按着顺序排成一排，交换不同的位置就是不同的情况．

（3）请大家看书，第×页、第×行．我们把被取的对象叫做双元素，如上面问题中的民航站、旗子、数字都是元素．

上面第一个问题就是从3个不同的元素中，任取2个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，后来又写出所有排法．

第二个问题，就是从3个不同元素中，取出3个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少排法和写出所有排法．

第三个问题呢？

从4个不同的元素中，任取3个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，并写出所有的排法．

给出定义

请看课本，第×页，第×行．一般地说，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按着一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个．

下面由教师提问，学生回答下列问题

（1）按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是相同的？什么是不同的？

从的定义知道，如果两个相同，不仅这两个的元素必须完全相同，而且的顺序（即元素所在的位置）也必须相同．两个条件中，只要有一个条件不符合，就是不同的．

如第一个问题中，北京—广州，上海—广州是两个，第三个问题中，213与423也是两个．

再如第一个问题中，北京—广州，广州—北京；第二个问题中，红黄绿与红绿黄；第三个问题中231和213虽然元素完全相同，但顺序不同，也是两个．

（2）还需要搞清楚一个问题，“一个”是不是一个数？

生：“一个”不应当是一个数，而应当指一件具体的事．如飞机票“北京—广州”是一个，“红黄绿”是一种信号，也是一个．如果问飞机票有多少种？能表示出多少种信号．只问种数，不用把所有情况罗列出来，才是一个数．前面提到的第三个问题，实质上也是这样的．

三、课堂练习

大家思考，下面的问题怎样解？

有四张卡片，每张分别写着数码1，2，3，4．有四个空箱，分别写着号码1，2，3，4．把卡片放到空箱内，每箱必须并且只能放一张，而且卡片数码与箱子号码必须不一致，问有多少种放法？（用投影仪示出）

分析：这是从四张卡片中取出4张，分别放在四个位置上，只要交换卡片位置，就是不同的放法，是个附有条件的问题．

解法是：第一步把数码卡片四张中2，3，4三张任选一个放在第1空箱．

第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱．

第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱．

第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱．具体排法，用下面图表表示：

所以，共有9种放法．

四、作业

课本：P232练习1，2，3，4，5，6，7．

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