一个数乘以小数

我相信每一位高中教师都接触过教案，撰写教案有利于教研活动的进行，要想在教学中不断进取，其秘诀之一就是编写好教案。优秀的高中教案是什么样子的？《一个数乘以小数》是小编为大家精心挑选的范文，希望你喜欢。

一个数乘以小数

教学内容

教材第2页的例2，第3页的小数乘法法则和“做一做”，练习一的第5—9题。

素质教育目标

（一）知识教学点

1.使学生理解一个数乘以小数的意义。

2.掌握小数乘法的计算法则。

（二）能力训练点

1.能说出小数乘法算式所表示的意义。

2.能比较正确地计算小数乘法，提高计算能力。

3.培养学生的迁移类推能力和概括能力以及运用所学知识解决新问题的能力。

（三）德育渗透点

继续渗透转化思想。

教学重点：理解一个数乘以小数的意义，会应用小数乘法的计算法则正确地进行计算。

教学难点：理解一个数乘以小数的意义和小数乘法中积的小数点的定位。

教具学具准备：口算卡片、投影片。

教学步骤

一、铺垫孕伏

1.口算：

0.3×60.8×47.2×04.2×8

0.25×43.6×34.3×50.6×9

2.说出下列小数表示的意义：

0.20.50.450.824

使学生明确一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……

3.复习例1，花布每米6.5元，买5米要用多少元？

（1）指名列式计算，然后说一说小数乘以整数的意义和小数乘以整数的计算方法。

（2）引导学生知道：每米6.5元是单价，5米是数量，求的是总价。根据单价×数量=总价也可以列出乘法算式。

二、探究新知

1.理解一个数乘以小数的意义。

（1）教学例2

①出示例2花布每米6.5元，买0.5米用多少元？

②读题，理解题意，从题中你知道了什么？

引导学生知道：每米6.5元是单价，0.5米是买的数量，求的是总价。根据单价×数量=总价可以列式为6.5×0.5。

教师板书：

6.5×0.5

③用线段图表示题中的数量关系：

④启发学生理解：0.5米是1米的十分之五，6.5×0.5就是求6.5的十分之五是多少。

教师板书：

求6.5的十分之五

引导学生类推：

6.5×0.4就是求6.5的十分之四是多少，

6.5×0.7就是求6.5的十分之七是多少，

……

一个数乘以零点几就是求这个数的十分之几是多少。

互相讨论得出结论：一个数乘以一位小数的意义是求这个数的十分之几。

（2）补充例2，买0.82米用多少元？

①引导学生用线段图表示：

②启发学生理解：每米6.5元是布的单价，0.82米是买布的数量，求的是总价，列式为6.5×0.82。

教师板书：

6.5×0.82

0.82米是1米的百分之八十二，6.5×0.82就是求6.5的百分之八十二。

教师板书：

求6.5的百分之八十二

仿照6.5×0.5的教学方法，引导学生类推得出：

一个数乘以两位小数的意义就是求这个数的百分之几。

③师生共同小结：一个数乘以一位小数的意义是求这个数的十分之几，乘以两位小数的意义是求这个数的百分之几。

④引导学生类推：一个数乘以三位小数就是求这个数的千分之几，一个数乘以四位小数就是求这个数的万分之几，……

最后概括板书：一个数乘以小数的意义是求这个数的十分之几，百分之几，千分之几……

2.探究一个数乘以小数的计算方法。

（1）提出问题，学生讨论：

计算小数乘以整数，是把小数转化成整数计算的，6.5×0.5和6.5×0.82这两个算式中，被乘数和乘数都含有小数位，应该怎样计算？

（2）通过讨论汇报，使学生明白：把6.5×0.5变成整数乘法，6.5变成65扩大了10倍，0.5变成5也扩大了10倍，这样乘出来的积就扩大了10×10=100倍，要求原来的积，应把乘出来的积再缩小100倍。同时教师板书：

把6.5×0.82变成整数乘法，6.5变成65扩大10倍，0.82变成82扩大100倍，这样乘出来的积就扩大了10×100=1000倍。要求原来的积，应把乘出来的积再缩小1000倍。教师板书：

说明书写的格式，并提示学生：要先点小数点，再把小数末尾的“0”划掉。

3.总结小数乘法的计算法则。

（1）引导学生观察算式得出：两个因数中一共有两位小数，积中就有两位小数；两个因数中一共有三位小数，积中就有三位小数。

（2）想一想：6.05×0.82的积中有几位小数？6.052×0.82的积中有几位小数？

（3）引导学生概括：两个因数中一共有几位小数，积中就几位小数。

（4）在小数乘以整数的计算方法的基础上，师生共同归纳总结出小数乘法的计算法则。

（5）完成法则下面的“做一做”。

出示67×0.32.14×6.20.375×12.42.16×3.52先判断积里应该有几位小数，再让学生独立计算，然后集体订正。订正时学生说一说是怎样计算的。

三、巩固发展

1.练习一5题

（1）题，先引导学生理解“十分之三”和“一半”分别用什么数表示，然后学生独立列式。

（2）题，学生独立列式，订正时，说一说根据什么列式的。

2.说出下列算式表示的意义：

2.54×0.813×0.3616.2×1524×0.035

3.练习一6题

4.在下面各式的积中点上小数点。

5.练习一8题。学生独立填书，订正时指名说一说是怎样想的。

四、全课小结：引导学生回忆这节课学习了什么知识？

五、布置作业：练习一7题、9题。

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高中教案一个数乘以小数 精选版

教学目标

（一）理解的意义，掌握的计算方法。

（二）掌握转化的数学思想，提高抽象概括的能力。

教学重点和难点

重点：掌握的意义和计算方法。

难点：理解的算理。

教学过程设计

（一）复习准备

1．说一说。

（1）0.4表示什么？（2）1.2表示什么？

（3）0.85表示什么？（4）1.06表示什么？

2．口算：

3×2=30×20=30×200=3000×2000=

观察上面的算式，从上往下看，被乘数和乘数发生了什么变化？积发生了什么变化？积扩大的倍数与被乘数、乘数扩大的倍数有什么关系？

通过讨论得出：积扩大的倍数，就是被乘数和乘数扩大的倍数的乘积。

根据这一规律，你能很快说出下组题的积吗？

18×4=1800×400=180×40=18000×4000=

3．写出数量关系，并列式计算。

花布每米6.5元，买2米、3米、4米各用多少元？

（1）总价=单价×数量。

列式：6.5×2=13（元）6.5×3=19.5（元）6.5×4=26（元）

（2）说出上面各算式的意义。（6.5×2表示2个6.5是多少或6.5的2倍是多少。）

（二）学习新课

1．出示例2：花布每米6.5元，买0.5米和0.82米各用多少元？

（1）根据上面的数量关系列式：

6.5×0.56.5×0.82

观察例2与复习题3有何不同？（复习题中的乘数都是整数。例2中的乘数都是小数。）

这就是我们今天要研究的。（板书课题）

（2）理解的意义。

思考：乘数是小数与乘数是整数的意义能相同吗？

学生试着画图理解6.5×0.5和6.5×0.82的意义

。

6.5×0.5和6.5×0.82各表示什么？

0.5米的总价：6.5×0.5表示求6.5的十分之五。

0.82米的总价：6.5×0.82表示求6.5的百分之八十二。

说出下列算式的意义：

1.5×0.73.5×0.254.5×0.43.2×0.125

小结：的意义是什么？（的意义是求这个数的十分之几，百分之几，千分之几，……）

（3）探讨的计算方法。

怎样计算6.5×0.5呢？

讨论：怎样把小数乘法转化成整数乘法呢？

学生试做后讲解算理：

（被乘数、乘数分别扩大了10倍，积就扩大了10×10=10O倍，要使积不变，就要把积缩小100倍。）

计算6.5×0.82。

学生计算后讲算理。（被乘数扩大10倍，乘数扩大100倍，积扩大了10×100=1000倍，要使积不变，就要把积缩小1000倍。）

2．小结：

（1）比较因数和积的小数位数，它们有什么联系？（积的小数位数是因数的小数位数之和。）

（2）的计算方法是什么？（先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。）

（3）比较的计算方法与小数乘以整数的计算方法有什么关系？（它们的计算方法是一致的。）

从而得出小数乘法的计算法则：计算小数乘法，先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。

（三）巩固反馈

1．课本P4：6；P5：8。

2．根据36×24=864，很快说出下面各题的积。

36×2.4=360×0.24＝0.36×0.24＝

3.6×2.4=0.36×2.4=0.036×2400=

3．先判断积中有几位小数，再计算：

78×0.6=3.24×5.2=

4．说出下列算式的意义：

0.25×0.6=0.25×6=0.78×0.35=0.78×35=

思考：乘法算式的意义由什么数决定？（乘法算式的意义由乘数决定。当乘数是整数时，是求几个相同加数的和的简便运算；当乘数是纯小数时，是求这个数的十分之几，百分之几，千分之几，……）

5．作业：课本P4：5，7；P5：9。

课堂教学设计说明

是小数乘以整数知识的扩展和延伸，教学中充分利用了已有知识和技能，重点分析了积的小数点位置的确定。首先从观察整数乘法算式得出积的变化规律，即整数相乘的积扩大的倍数为两个因数扩大的倍数的乘积。为理解小数乘法中积的小数位数就是两个因数的小数位数的和奠定了基础。

教学中重视引导学生运用转化的思想及知识的迁移规律，在充分理解算理的基础上，逐步总结出小数乘法的计算法则。

关于小数乘以整数的高中教案推荐

教学重点和难点

掌握的计算方法，并理解“被乘数有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点”计算方法的道理。

教学过程设计

（一）复习准备

1．先说出下列算式的意义，再口算：

17×25×164×30126×1

56×1028×10015×465×0

小结：

（1）整数乘法的意义是什么？

（2）整数乘法的计算方法是什么？

2．口算下列各题，并观察积的变化有什么规律？

观察思考：

（1）从左往右看，积有什么变化？为什么会发生这样的变化？积的变化有什么规律？

（2）从右往左看，积有什么变化？积的变化有什么规律？

小结：积的变化规律是怎样的？（在乘法里，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）10倍、100倍、1000倍、……积也扩大（或缩小）10倍、100倍、1000倍、……）

3．填空：

（1）1.5扩大10倍是（）；（2）2.25扩大（）倍是225；

（3）1.2扩大（）倍是12；（4）38缩小10倍是（）；

（5）85缩小（）倍是0.85；（6）270缩小（）倍是27。

（二）学习新课

1．创设情境

同学们，你们经常为家里买东西吗？你会算帐吗？请举例。

一天，妈妈要小芳去买5米花布，小芳来到商店，选中了一种带有弯弯的月亮和星空的图案的花布。每米6.5元，买5米要用多少元？谁来帮小芳算算？（教师口述，同时板书例1。）

2．引导发现

（1）通过列式，理解的意义。

学生根据题意列式：6.5＋6.5＋6.5＋6.5＋6.5。

这个加法算式有什么特点？（加数相同。）

根据这一特点，你还能用别的方法表示吗？

6.5×5。

6.5×5表示什么？（6.5×5表示5个6.5的和或6.5的5倍。）

你能说出下列算式表示什么？

2.7×55.8×43.54×21.63×11

小结：

的意义是什么？（求几个相同加数的和的简便运算。）

的意义与什么算式的意义相同？（的意义与整数乘法的意义相同。）

说明整数乘法的意义也适用于。

（2）计算：

思考、讨论：6.5×5应如何计算呢？

提示：能不能把6.5转比成整数呢？转化后积会发生什么变化？

学生试做。

用投影打出学生做的过程，并由学生讲解：

①6.5×5=6.5+6.5+6.5＋6.5+6.5=32.5（元）；

讨论以上几种算法，哪种对，哪种不对，为什么？（①结果正确，方法不简便；②不对，因为325是65×5的积，不是6.5×5的积；③对，把6.5扩大10倍是65，用135×5=325，积325也扩大了10倍；要使积不变，325必须要缩小10倍，才是6.5×5的积。）

学生重点讲解法③的道理，教师板书：

（先把6.5扩大10倍成65，再按照整数乘法的计算方法计算65×5=325，再把乘出来的积325缩小10倍是32.5。）

答：5米要用32.5元。

小结：

计算的思路是什么？（把小数乘法转化成整数乘法计算。）

转化的方法是怎样的？（先把小数扩大成整数，按照整数乘法去计算，因数扩大了多少倍，积就要缩小多少倍。）

（3）填空，并讲出道理。

（4）小结，引导学生得出计算方法。

①观察以上各题，你发现积的小数位数与什么有关？有什么关系？为什么？（积的小数位数与被乘数的小数位数有关，被乘数有几位小数，积就有几位小数。因为要把小数乘法转化成整数乘法，被乘数扩大了多少倍，乘数不变，积也随着扩大了多少倍。因此必须再把积缩小多少倍。）

②的计算方法是什么？

计算，先按照整数乘法的计算方法算出积，再看被乘数中有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。

（三）巩固反馈

1．说出下面各算式中积应有几位小数：

25.4×362.37×1250.15×3

1.032×243.506×10.017×21

2．在积的适当位置上添上小数点：

观察：积的小数位数是否与被乘数的小数位数相同？为什么？（积中小数部分末尾的零省略不写，被划去了，积的小数位数与被乘数的小数位数不同。）

3．看谁算得又对又快。

25×4=18×5=2.5×4=1.8×5=

0.25×4=0.18×5=0.025×4=0.018×5=

注意：计算的结果，小数部分末尾的零要去掉，把小数化简；小数部分位数不够时，要用“0”占位。

4．列出乘法算式，再算出来。

（1）14个9.76是多少？（2）6个3.25是多少？

（3）5.24的5倍是多少？（4）1.6的8倍是多少？

5．课后作业：P4：l，2，3，4。

课堂教学设计说明

是在整数乘法的意义和法则的基础上进行教学的。为了使学生能够顺利地利用知识的迁移规律，掌握的意义和计算方法，我们在复习中设计了整数乘法的意义和计算方法，小数点位置的移动引起小数大小的变化规律以及积与因数的变化规律。

在新课的引入上，注意联系学生的生活，使学生很自然地参与到新知识的探索之中。通过带有思考性的问题，引导学生思考，并大胆让学生尝试，讲解、讨论，把学生引导到算理的探究过程之中。在学生理解算理的基础上，通过观察比较总结出计算方法，提高学生的抽象、概括能力。

练习的设计由易到难，思维过程既有展开，又有压缩，突出重点和难点，有助于学生形成技能技巧，提高学生的计算能力。

一个文官的死教学设计【荐】

《一个文官的死》

一、教学目标：

1、了解作者及其主要作品；

2、了解作者作品的主要特点；

3、学习通过小说的三要素分析小说；

4、体悟作品中人物的感情和感情变化；

5、认识反复写作手法在文中的作用，学习使用这一写作手法；

6、探索人物性格形成的原因。

二、重点难点：

1、学习通过小说的三要素分析小说；

2、认识反复写作手法在文中的作用，学习使用这一写作手法；

3、探索人物性格形成的原因。

三、教学方法：

教师引导，学生自主解决，师生共同总结。

四、课时安排：

1个课时（45分钟）

五、教学过程：

[一]导入新课：

法国作家莫泊桑说：“生活是多么奇怪，多么变幻无常啊！一件微不足道的小事可以把你断送，也可以把你拯救出来！”本文讲述了“一个喷嚏导致一个人死亡的故事”。（要强调“担心致死”这一强烈的反差，以此来引起学生阅读的兴趣）（控制在2分钟以内）

[二]学生自由朗读课文，初步感知文章内容，（5分钟）学生间交流阅读体会。（2分钟）

[三]指导阅读：

[1]阅读要求：细读；

[2]阅读目标：筛选文中用来塑造人物形象的关键词句；（提示塑造人物形象的方法：肖像描写，语言描写，动作描写，心理描写等等）

[3]阅读方法：在读书过程中圈、点、画。

（5分钟）

[四]学生展示筛选结果，共同总结人物形象。（5分钟）

[五]速读课文，

[1]总结故事情节（提示：小说的故事情节：序幕，开端，发展，高潮，结局，尾声）

[2]学生展示：

序幕

开端

发展

高潮

结局

尾声

文官看戏

一个喷嚏

反复道歉

文官之死

文官之死

无

（5分钟）

[六]“反复道歉”是小说的主体，分析“反复”在文中的作用。

[1]强调，突出文官的心理，塑造人物形象；

[2]反复中有变化，推动故事情节的发展；

[3]支撑文章的结构，成为文章的主体。

（5分钟）

[七]分角色朗读，体悟在“反复道歉”过程中人物感情的变化。

[1]筛选出对话的内容；

[2]分角色朗读；（可分组对比）

[3]体会人物的感情变化。

将军

客气

无奈

气愤

暴怒

文官

隐隐不安

心慌意乱

惶惶不可终日

精神崩溃

（7分钟）

[八]分析典型人物（切尔维亚科夫）的典型性格（忧惧）形成的原因。（由果索因）

死亡←忧惧←人生经历←生活环境（社会环境）←沙皇统治

（5分钟）

[九]总结：

[1]本篇小说的特点；

[2]契诃夫小说的普遍特点，简单介绍作者的情况；

[3]契诃夫的代表作，推荐与本文风格相似的作品给学生扩展阅读。

（3分钟）

高中教案一个文官的死导学案

《一个文官的死》

文题解读

《一个文官的死》讲述了“一个喷嚏导致一个人死亡的故事”。一百多年过去了，这个死去的文官的形象却仍然活在很多人的心里。在官场中对上司是一副奴才相的切尔维亚科夫的形象并没有随着时间的流逝而消失，这是因为社会虽然变了，但始终有一些人甘于做奴才。

走近作者

契诃夫（1860—1904），19世纪末俄国伟大的批判现实主义作家，情趣隽永、文笔犀利的幽默讽刺大师，短篇小说的巨匠，著名剧作家。他早期作品多是短篇小说，如《胖子和瘦子》《小公务员之死》《苦恼》《万卡》，再现了“小人物”的不幸和软弱。1890年，他被流放地库页岛考察后，创作出表现重大社会课题的作品，如《第六病室》。其代表作《变色龙》《套中人》堪称俄国文学史上精湛而完美的艺术珍品。契诃夫后期转向戏剧创作，主要作品有《伊凡诺夫》《三姊妹》《樱桃园》。

背景纵览

小说写于19世纪80年代。当时沙皇政府为了镇压民粹派而实行高压政策，警察和官僚飞扬跋扈，社会非常黑暗。当时的社会处在沙皇统治之下，官贵民贱，官官相卫，大官压小官，小官欺小民，社会上等级制度森严，官场中强者倨傲专横，弱者唯唯诺诺。正是这种环境造成了胆小怕事的小人物性格以及惶惶不可终日的心理状态，专制导致了人民的恐惧和心理的扭曲与压抑。作者对在社会的重压下人们普遍存在的奴性心理以及造成这种心理的沙皇专制制度进行了无情的嘲讽和深刻的鞭挞。

字词梳理

1.字音

庶务（shù）喷嚏（tì）搅扰（rǎo）契诃夫（hē）

喉咙（hóu）嘴唇（chún）胆怯（qiè）嘟哝（nóng）

唾沫（tuò）懊恼（ào）愣住（lèng）啐（cuì）

2.多音字

3.形近字

高中教案算术平均数与几何平均数（一）

教学目标

（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；

（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；

（3）能够解决一些简单的实际问题；

（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；

（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；

教学建议

1．教材分析

（1）知识结构

本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式：，根据这个结论，又得到了一个定理：，并指出了为的算术平均数，为的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。

（2）重点、难点分析

本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．

㈠定理教学的注意事项

在公式以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：

（1）和成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数。

例如成立，而不成立。

（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：

当时取等号，其含义就是：

仅当时取等号，其含义就是：

综合起来，其含义就是：是的充要条件。

（二）关于用定理证明不等式

当用公式，证明不等式时，应该使学生认识到：

它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明。

（三）应用定理求最值的条件

应用定理时注意以下几个条件：

（1）两个变量必须是正变量；

（2）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值；

（3）当且仅当两个数相等时取最值．

即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．

在求某些函数的最值时，还要注意进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数．

（四）应用定理解决实际问题的分析

在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意；

（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

（4）正确写出答案。

2．教法建议

（1）导入新课建议采用学生比较熟悉的问题为背景，这样容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机．使得学生学习本节课知识自然且合理．

（2）在新授知识过程中，教师应力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构．对有关概念使学生理解准确，尽量以多种形式反映知识结构，使学生在比较中得到深刻理解．

（3）教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

（4）可以设计解法的正误讨论，这样能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中．

（5）注意培养应用意识．教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用干客观世界．为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”．

高中教案算术平均数与几何平均数（一）【精】

教学目标

（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；

（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；

（3）能够解决一些简单的实际问题；

（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；

（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；

教学建议

1．教材分析

（1）知识结构

本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式：，根据这个结论，又得到了一个定理：，并指出了为的算术平均数，为的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。

（2）重点、难点分析

本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．

㈠定理教学的注意事项

在公式以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：

（1）和成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数。

例如成立，而不成立。

（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：

当时取等号，其含义就是：

仅当时取等号，其含义就是：

综合起来，其含义就是：是的充要条件。

（二）关于用定理证明不等式

当用公式，证明不等式时，应该使学生认识到：

它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明。

（三）应用定理求最值的条件

应用定理时注意以下几个条件：

（1）两个变量必须是正变量；

（2）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值；

（3）当且仅当两个数相等时取最值．

即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．

在求某些函数的最值时，还要注意进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数．

（四）应用定理解决实际问题的分析

在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意；

（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

（4）正确写出答案。

2．教法建议

（1）导入新课建议采用学生比较熟悉的问题为背景，这样容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机．使得学生学习本节课知识自然且合理．

（2）在新授知识过程中，教师应力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构．对有关概念使学生理解准确，尽量以多种形式反映知识结构，使学生在比较中得到深刻理解．

（3）教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

（4）可以设计解法的正误讨论，这样能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中．

（5）注意培养应用意识．教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用干客观世界．为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”．

第12页

算术平均数与几何平均数

进货次数问题探讨

题目某公司某年需要某种计算机元件8000个，在一年内连续作业组装成整机卖出（每天需同样多的元件用手组装，并随时运出整机至市场），该元件向外购买进货，每次（不论购买多少件）须花手续费500元，如一次进货，可少花手续费，但8000个元件的保管费很有观，如果多次进货，手续费多了，但可节省保管费，请你帮该公司出个主意，每年进货几次为宜，该公司的库存保管费可按下述方法计算：每个元件每年2元，并可按比例折算成更短的时间：如每个元件保管一天的费用为元（一年按360天计算）。每个元件的买价、运输费及其他费用假设为一常数。

解：设购进8000个元件的总费用为F，一年总保管费为E，手续费为H，元件买价、运输费及其他费用为C（C为常数），则

如果每年进货次，则每次进货个，用完这些元件的时间是年。进货后，因连续作业组装，一天后保管数量只有个（为一天所需元件），两天后只有个，……，因此年中个元件的保管费可按平均数计算，即相当于个保管了年，每个元件保管须元，做这年中个元件的保管费为

每进货一次，花保管费元，一共次，故

，

，

所以

当且仅当，即时，总费用最少，故以每年进货4次为宜。

说明这道寻求最佳进货次数的问题，是北京市首届“方正杯“中学生数学知识应用竞赛初赛试题（1993．11），求解的关键数学知识是“的极小值是”

算术平均数与几何平均数（二）

第一课时

一、教材分析

（一）教材所处的地位和作用

“算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第二册（上）“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材二同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．

（二）教学目标

1．知识目标：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的重要不等式的证明及其几何解释；掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；掌握应用平均值定理解决一些简单的应用问题．

2．能力目标：培养学生数形结合、化归等数学思想．

（三）教学重点、难点、关键

重点：用平均值定理求某些函数的最值及有关的应用问题．

难点：定理的使用条件，合理地应用平均值定理．

关键：理解定理的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键．

（四）教材处理

依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理及它们的几何解释．掌握应用定理解决某些数学问题．第二课时讲解应用平均值定理解决某些实际问题．为了讲好平均值定理这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．

二、教法分析

（－）教学方法

为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标．在探索结论时，采用发现法教学；在定理的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行．

（二）教学手段

根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机辅导教学．

三、教学过程设计

6．2算术平均数与几何平均数（第一课时）

（一）导入新课

（教师活动）1．教师打出字幕（提出问题）；2．组织学生讨论，并点评．

（学生活动）学生分组讨论，解决问题．

[字幕]某种商品分两次降价，降价的方案有三种：方案甲是第一次9折销售，第二次再8折销售；方案乙是第一次8折销售，第二次再9折销售；方案丙是两次都是折销售．试问降价最少的方案是哪一种？

［讨论］

①设物价为t元，三种降价方案的销售物价分别是：

方案甲：（元）；

方案乙：（元）；

方案丙：（元）．

故降价最少的方案是丙．

②若将问题变为第一次a折销售，第二次b折销售．显然可猜想有不等式成立，即，当时，

设计意图：提出一个商品降价问题，要求学生讨论哪一种方案降价最少．学生对问题的背景较熟悉，可能感兴趣，从而达到说明学习本节知识的必要，激发学生求知欲望，合理引出新课．

（二）新课讲授

【尝试探索，建立新知】

（教师活动）打出字幕（重要不等式），引导学生分析、思考，讲解重要不等式的证明．点评有关问题．

（学生活动）参与研究重要不等式的证明，理解有关概念．

［字幕］如果，那么（当且仅当时取“=”号）．

证明：见课本

［点评］

①强调的充要条件是

②解释“当且仅当”是充要条件的表达方式（“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的）．

③几何解释，如图。

[字幕]定理如果a，b是正数，那么（当且仅当时取“=”号）．

证明：学生运用“”自己证明．

［点评］

①强调；

②解释“算术平均数”和“几何平均数”的概念，并叙述它们之间的关系；

②比较上述两个不等式的特征（强调它们的限制条件）；

④几何解释（见课本）；

＠指出定理可推广为“n个（）正数的算术平均数不小干它们的几何平均数”．

设计意图：加深对重要不等式的认识和理解；培养学生数形结合的思想方法和对比的数学思想，多方面思考问题的能力．

【例题示范，学会应用】

（教师活动）教师打出字幕（例题），引导学生分析，研究问题，点拨正确运用定理，构建证题思路．

（学生活动）与教师一道完成问题的论证．

［字幕］例题已知a，b，c，d都是正数，求证：

［分析］

①应用定理证明；

②研究问题与定理之间的联系；

③注意应用定理的条件和应用不等式的性质．

证明：见课本．

设计意图：巩固对定理的理解，学会应用定理解决某些数学问题．

【课堂练习】

（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；巡视学生解题情况，对正确的解法给予肯定和鼓励，对偏差给予纠正；请甲、乙两学生板演；点评练习解法．

（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、动两位同学板演．

［字幕］练习：已知都是正数，求证：

（1）；

（2）

设计意图：掌握定理及应用，反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用定理解决有关数学问题的解题方法．

（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上．

1．重要不等式可以用来证明某些不等式．

2．应用重要不等式证明不等式时要注意不等式的结构特征：①满足定理的条件；②不等式一边为和的形式，另一边为积或常数的形式．

3．用重要不等式证明有关不等式时注意与不等式性质结合．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握应用重要不等式解决有关数学问题的方

法．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．

（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．

1．本节课学习了两个重要不等式及它们在解决数学问题中的应用．

2．注意：①两个重要不等式使用的条件；②不等式中“=”号成立的条件．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

1．课本作业；习题．1，3

2．思考题：已知，求证：

3．研究性题：设正数，，试尽可能多的给出含有a和b的两个元素的不等式．

设计意图：课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生完成，灵活掌握重要不等式的应用；研究性题是一道结论开放性题，培养学生创新意识．

（五）课后点评

1．导入新课采用学生比较熟悉的问题为背景，容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机．使得学生学习本节课知识自然且合理．

2．在建立新知过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构．对有关概念使学生理解难确，尽量以多种形式反映知识结构，使学生在比较中得到深刻理解．

3．通过变式训练，使学生在对知识初步理解和掌握后，得到进一步深化，对所学的知识得到巩固与提高，同时反馈信息，调整课堂教学．

4．本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

作业答案

思考题证明：因为，所以

．又因为，，，所以，，所以

研究性题①．由条件得，…（A）利用公式…（B）．得，即．②．由（A）、（B）之和即得．③．可利用．再利用①，即可得．④．利用立方和公式得到：．利用①可得．利用①②可得．还有……

第二课时

（－）导入新课

（教师活动）1．教师打出字幕（引例）；2．设置问题，引导学生思考，启发学生应用平均值定理解决有关实际问题．

（学生活动）思考、回答教师设置的问题，构建应用平均值定理解决实际问题的思路．

［字幕］引例．如图，用篱笆围一块面积为50的一边靠墙的矩形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少时，所用篱笆最省？此时，篱笆墙长为多少米？

[设问]

①这是一个实际问题，如何把它转化成为一个数学问题？

（学生口答：设篱笆墙长为y，则（）．问

题转化成为求函数y的最小值及取得最值时的的值．）

②求这个函数的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函数的最小值？

（学生口答：利用函数的单调性或判别式法，也可用平均值定理．）

设计意图：从学生熟悉的实际问题出发，激发学生应用数学知识解决问题的兴趣，通过设问，引导和启发学生用所学的平均值定理解决有关实际问题，引入课题．

（二）新课讲授

【尝试探索、建立新知】

（教师活动）教师打出字幕（课本例题1），引导学生研究和解决问题，帮助学生建立用平均值定理求函数最值的知识体系．

（学生活动）尝试完成问题的论证，构建应用平均值定理求函数最值的方法．

[字幕]已知都是正数，求证：

（1）如果积是定值P，那么当时，和有最小值；

（2）如果和是定值S，那么当时，积有最大值

证明：运用，证明（略）．

［点评］

①（l）的结论即，（2）的结论即

②上述结论给出了一类函数求最值的方法，即平均值定理求最值法．

③应用平均值定理求最值要特别注意：两个变元都为正值；两个变元之积（或和）为定值；当且仅当，这三个条件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同时成立．

设计意图：引导学生分析和研究问题，建立新知——应用平均值定理求最值的方法．

【例题示范，学会应用】

（教师活动）打出字幕（例题），引导学生分析问题，研究问题的解法．

（学生活动）分析、思考，尝试解答问题．

[字幕]例题1求函数（）的最小值，并求相应的的值．

［分析］因为这个函数中的两项不都是正数且又与的积也不是常数，所以不能直接用定理求解．但把函数变形为后，正数，的积是常数1，可以用定理求得这个函数的最小值．

解：，由，知，，且．当且仅当，即时，（）有最小值，最小值是。

[点评]要正确理解的意义，即方程要有解，且解在定义域内．

[字幕]例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800，深为3m，如果池底每l的造价为150元，池壁每1的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

［分析］设水池底面一边的长为m，水池的总造价为y，建立y关干的函数．然后用定理求函数y的最小值．

解：设水池底面一边的长度为m，则另一边的长度为m，又设水池总造价为y元，根据题意，得

（）

所以

当，即时，y有最小值297600．因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时．水池的总造价最低，最低总造价是297600元．

设计意图：加深理解应用平均值定理求最值的方法，学会应用平均值定理解决某些函数最值问题和实际问题，并掌握分析变量的构建思想．培养学生用数学知识解决实际问题的能力，化归的数学思想．

【课堂练习】

（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请三位同学板演；巡视学生解题情况，对正确的给予肯定，对偏差进行纠正；讲评练习．

（学生活动）在笔记本且完成练习、板演．

［字幕〕练习

A组

1．求函数（）的最大值．

2求函数（）的最值．

3．求函数（）的最大值．

B组

1．设，且，求的最大值．

2．求函数的最值，下面解法是否正确？为什么？

解：，因为，则．所以

[讲评]A组1．；2．；3．

B组1．；2．不正确①当时，；②当时，，而函数在整个定义域内没有最值．

设计意图；A组题训练学生掌握应用平均值定理求最值．B组题训练学生掌握平均值定理的综合应用，并对一些易出现错误的地方引起注意．同时反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用平均值定理解决有关函数最值问题和实际问题的解题方法．

（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．

1．应用平均值定理可以解决积为定值或和为定值条件下，两个正变量的和或积的最值问题．

2．应用定理时注意以下几个条件：（ⅰ）两个变量必须是正变量．（ⅱ）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值．（iii）当且仅当两个数相等时取最值，即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．

3．在求某些函数的最值时，会恰当的恒等变形——分析变量、配置系数．

4．应用平均值定理解决实际问题时，应注意：（l）先理解题意，没变量，把要求最值的变量定为函数．（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题，确定函数的定义域．（3）在定义域内，求出函数的最值，正确写出答案．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．

（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

这节课学习了利用平均值定理求某些函数的最值问题．现在我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值方法．这是平均值定理的一个重要应用，也是本节的重点内容，同学们要牢固掌握．

应用定理时要注意定理的适用条件，即“正数、定值、相等”三个条件同时成立，且会灵活转化问题，达到化归的目的．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

1．课本作业：P，6，7．

2．思考题：设，求函数的最值．

3．研究性题：某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽车费用9千元；汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年递增．问这种汽车最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的平均费用最少）？

设计意图：课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生练习，使学生能灵活运用定理解决某些数学问题；研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．

（五）课后点评

1．关于新课引入设计的想法：

导入这一环节是调动学生学习的积极性，激发学生探究精神的重要环节，本节课开始给出一个引例，通过探究解决此问题的各种解法，产生用平均值定理求最值，点明课题．事实上，在解决引例问题的过程中也恰恰突出了教学重点．

2．关于课堂练习设计的想法：

正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值是教学难点．为突破难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，发现使用定理的三个条件缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，设计解法正误讨论能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深了对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中．

3．培养应用意识．

教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用干客观世界．为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学．本节课中设计了两道应用问题，用刚刚学过的数学知识解决了问题，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”．

作业解答

思考题：

．当且仅当，即时，上式取等号．所以当时，函数y有最小值9，无最大值．

研究性题：设使用年报废最合算，由题意有；

年平均费用

当且仅当，即时，取得最小值，即使用10年报废最合算，年平均费用3万元．

算术平均数与几何平均数【推荐】

进货次数问题探讨

题目某公司某年需要某种计算机元件8000个，在一年内连续作业组装成整机卖出（每天需同样多的元件用手组装，并随时运出整机至市场），该元件向外购买进货，每次（不论购买多少件）须花手续费500元，如一次进货，可少花手续费，但8000个元件的保管费很有观，如果多次进货，手续费多了，但可节省保管费，请你帮该公司出个主意，每年进货几次为宜，该公司的库存保管费可按下述方法计算：每个元件每年2元，并可按比例折算成更短的时间：如每个元件保管一天的费用为元（一年按360天计算）。每个元件的买价、运输费及其他费用假设为一常数。

解：设购进8000个元件的总费用为F，一年总保管费为E，手续费为H，元件买价、运输费及其他费用为C（C为常数），则

如果每年进货次，则每次进货个，用完这些元件的时间是年。进货后，因连续作业组装，一天后保管数量只有个（为一天所需元件），两天后只有个，……，因此年中个元件的保管费可按平均数计算，即相当于个保管了年，每个元件保管须元，做这年中个元件的保管费为

每进货一次，花保管费元，一共次，故

，

，

所以

当且仅当，即时，总费用最少，故以每年进货4次为宜。

说明这道寻求最佳进货次数的问题，是北京市首届“方正杯“中学生数学知识应用竞赛初赛试题（1993．11），求解的关键数学知识是“的极小值是”

算术平均数与几何平均数【精】

进货次数问题探讨

题目某公司某年需要某种计算机元件8000个，在一年内连续作业组装成整机卖出（每天需同样多的元件用手组装，并随时运出整机至市场），该元件向外购买进货，每次（不论购买多少件）须花手续费500元，如一次进货，可少花手续费，但8000个元件的保管费很有观，如果多次进货，手续费多了，但可节省保管费，请你帮该公司出个主意，每年进货几次为宜，该公司的库存保管费可按下述方法计算：每个元件每年2元，并可按比例折算成更短的时间：如每个元件保管一天的费用为元（一年按360天计算）。每个元件的买价、运输费及其他费用假设为一常数。

解：设购进8000个元件的总费用为F，一年总保管费为E，手续费为H，元件买价、运输费及其他费用为C（C为常数），则

如果每年进货次，则每次进货个，用完这些元件的时间是年。进货后，因连续作业组装，一天后保管数量只有个（为一天所需元件），两天后只有个，……，因此年中个元件的保管费可按平均数计算，即相当于个保管了年，每个元件保管须元，做这年中个元件的保管费为

每进货一次，花保管费元，一共次，故

，

，

所以

当且仅当，即时，总费用最少，故以每年进货4次为宜。

说明这道寻求最佳进货次数的问题，是北京市首届“方正杯“中学生数学知识应用竞赛初赛试题（1993．11），求解的关键数学知识是“的极小值是”

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