相切在作图中的应用的教学方案

在我们的初中教学中都离不开教案，教案是教师安排教学的依据，一份完整的教案有许多内容，怎样写好自己的初中教案呢？为了帮助大家，下面是由小编为大家整理的相切在作图中的应用的教学方案，仅供参考，欢迎大家阅读。

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：使学生理解画“连接”图形的理论依据．它是本节内容的核心，也是今后在实际制图应用中的基础．

难点：①对“连接”图形原理的理解．因为它是应用抽象知识来描述客观问题，学生常常因抽象思维能力较弱，而没有真正理解和掌握；②线段与弧、弧与弧连接时圆心位置的确定．

2、教法建议

（1）在教学中，组织学生寻找一些身边的有关“连接”的实际问题，画出比例图，既调动学生的积极性，培养了兴趣，又获得了知识；

（2）在教学中，以“实际问题——概念引出——理解——实际应用”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．（一）

教学目标：

（1）理解线段与弧、弧与弧连接的概念及连接的原理；

（2）通过对“连接”等概念的教学，培养学生的理解能力；

（3）通过线段与弧的连接，圆弧与圆弧的连接，培养学生的作图能力；

（4）“渗透”世界上很多事物是互相联系着的，并且在一定条件下相互转化．

教学重点:

正确理解连接的原理，初步掌握线段与圆弧连接、圆弧与圆弧连接的实质，会进行各种连接．

教学难点:

连接原理的正确理解和作图时圆心、半径的确定

教学活动设计:

（一）实际问题引出概念

我们在生活中常见到一些机器零件，它的边缘是圆滑的，我们最熟悉的操场上的跑道，它的跑道线也是很圆滑的．

想一想：跑道线是怎样的线组成的?

画一画：跑道的大致图形．

指导学生发现线线的位置关系，引出连接的有关概念：

1、由一条线（线段或圆弧）平滑地过渡到另一条线上，这种平滑地过渡，称圆弧连接，简称连接．

2、连接时，线段与圆弧、圆弧与圆弧在连接处相切．

3、外连接、内连接．

组织学生阅读理解教材内容

（二）深刻理解概念

“连接”是“平滑地过渡”，怎样算“平滑“?像下面图中，实线画出的线段和圆弧，圆弧和圆弧，虽然也有相切的关系，但它们不是连接．

理解：线与线连接有两个必备条件：①连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接处相切．②线段与圆弧应分居在圆心与切点所在直线的两侧；圆弧与圆弧分居在连心线的两侧，二者缺一不可．

（三）圆弧与线段、圆弧与圆弧连接图形的画法

例1：已知：线段AB和r（如图）．

求作：，使它的半径等于r，，并且在点A与线段AB连接．

作法：1、过点A作直线PA⊥AB．

2、在射线AP取AO=r．

3、以O为圆心，r为半径作，使AB、在OA的两侧．

就是所求作的弧．

说明：画圆弧与线段的连接，主要运用了切线的性质定理的推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心，找出了圆心，圆弧也就不难画了．

例2、已知：如图，的半径为R1，圆心为O1；线段R2．

求作：半径为R2的，使与在点A外连接．

作法：1、连结O1A，并且延长到点O2，使O1O2=R1+R2．

2、以O2为圆心，O1O2为半径作，使与在的两侧．

就是所求作的弧．

说明：画圆弧与圆弧的连接，主要运用“两圆相切，切点一定在连心线上”这个结论．

练习题：P148练习，1、2．

（三）小结

主要内容：

1、什么是连接?什么是外连接?什么是内连接?

2、任何一种连接，其实质就是两线相切，在切点处相连接，是切点两侧的线段和圆弧或圆弧与圆弧相连接．

3、对于给出的题目，画出连接图形关键在于确定圆心．

（四）作业

教材P151习题A组16．

课外题：画一个生活中的有关连接图形的比例图，下节课展示．

（二）

教学目标：

（1）进一步理解连接等概念及连接的原理；

（2）进一步培养学生的作图能力；

（3）通过对作图题的分析，培养学生的分析问题能力．

教学重点:

深刻理解连接的意义，能对具体图形熟练地进行弧连接．

教学难点:

作图时圆心、半径的确定

教学活动设计:

(一)概念复习与理解

练习1、下列命题中，正确的是（C）

(A)将一段弧和一条线段连到一起的图形叫连接；

(B)一段给出半径的圆弧可以和一直线连接；

(C)两段给出不等半径的圆弧可以用内、外两种连接方式连接；

(D)两段圆弧内切就是内连接．

练习2、内、外连接的区别是(C)

(A)内连接两弧在连心线同侧，而外连接两弧在连心线两侧；

(B)内连接两弧在切点同旁，外连接两弧在切点两旁；

(C)内连接是内切两圆弧连接，外连接是外切两圆弧连接；

(D)内连接是外切两圆弧连接，外连接是内切两圆弧连接．

（二）连接图形的应用

例3、（教材P148）如图，要把零件中直角A加工成半径为15mm的圆角(即用一条半径为15mm的圆弧连接边AB与边AC)在图上画出这条圆弧．

分析：圆弧的半径已知，要画出这条圆弧，只要求出它的圆心即可．因为圆弧要与AB和AC都相切。所以圆心到边AB和AC的距离都等于15mm，实际上四边形AEOP是正方形，它的顶点O在∠CAB的平分线上．

（参看教材P148）

充分给学生时间让学生自己分析、研究、写出画法，画出图形．

练习：把两边长分别为8cm和5cm的矩形的4个直角改画成圆角，使圆弧的半径等于1cm．

（三）展示作品

对上节课课外作业中较好的连接图形，展示．既提高学生的学习积极性，又激发学生在教学过程中的参与热情．

（四）小结

1、连接在实际生活中的应用，可以改变物体的表面形状．

2、任何一种连接的问题经过分析后都能转化为基本图形：“线段与弧的连接；圆弧与圆弧的内连接；圆弧与圆弧的外连接．

3、连接的关键是确定所求圆弧所在圆的圆心．

4、线段可在一点处与两条弧同时连接．

（五）作业教材P154中18，B组2．

探究活动

问题：如图三圆两两相切，切点分别为C、O、D，与半圆O分别切于点A、E、B，请你找出图中除线段AB和弧以外的6条从A点平滑过渡到B点且没有重复弧的路线，并指出在经过个点处是什么连接（内连接、外连接）．

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数学教案－相切在作图中的应用

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：使学生理解画“连接”图形的理论依据．它是本节内容的核心，也是今后在实际制图应用中的基础．

难点：①对“连接”图形原理的理解．因为它是应用抽象知识来描述客观问题，学生常常因抽象思维能力较弱，而没有真正理解和掌握；②线段与弧、弧与弧连接时圆心位置的确定．

2、教法建议

（1）在教学中，组织学生寻找一些身边的有关“连接”的实际问题，画出比例图，既调动学生的积极性，培养了兴趣，又获得了知识；

（2）在教学中，以“实际问题——概念引出——理解——实际应用”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．相切在作图中的应用（一）

教学目标：

（1）理解线段与弧、弧与弧连接的概念及连接的原理；

（2）通过对“连接”等概念的教学，培养学生的理解能力；

（3）通过线段与弧的连接，圆弧与圆弧的连接，培养学生的作图能力；

（4）“渗透”世界上很多事物是互相联系着的，并且在一定条件下相互转化．

教学重点:

正确理解连接的原理，初步掌握线段与圆弧连接、圆弧与圆弧连接的实质，会进行各种连接．

教学难点:

连接原理的正确理解和作图时圆心、半径的确定

教学活动设计:

（一）实际问题引出概念

我们在生活中常见到一些机器零件，它的边缘是圆滑的，我们最熟悉的操场上的跑道，它的跑道线也是很圆滑的．

想一想：跑道线是怎样的线组成的?

画一画：跑道的大致图形．

指导学生发现线线的位置关系，引出连接的有关概念：

1、由一条线（线段或圆弧）平滑地过渡到另一条线上，这种平滑地过渡，称圆弧连接，简称连接．

2、连接时，线段与圆弧、圆弧与圆弧在连接处相切．

3、外连接、内连接．

组织学生阅读理解教材内容

（二）深刻理解概念

“连接”是“平滑地过渡”，怎样算“平滑“?像下面图中，实线画出的线段和圆弧，圆弧和圆弧，虽然也有相切的关系，但它们不是连接．

理解：线与线连接有两个必备条件：①连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接处相切．②线段与圆弧应分居在圆心与切点所在直线的两侧；圆弧与圆弧分居在连心线的两侧，二者缺一不可．

（三）圆弧与线段、圆弧与圆弧连接图形的画法

例1：已知：线段AB和r（如图）．

求作：，使它的半径等于r，，并且在点A与线段AB连接．

作法：1、过点A作直线PA⊥AB．

2、在射线AP取AO=r．

3、以O为圆心，r为半径作，使AB、在OA的两侧．

就是所求作的弧．

说明：画圆弧与线段的连接，主要运用了切线的性质定理的推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心，找出了圆心，圆弧也就不难画了．

例2、已知：如图，的半径为R1，圆心为O1；线段R2．

求作：半径为R2的，使与在点A外连接．

作法：1、连结O1A，并且延长到点O2，使O1O2=R1+R2．

2、以O2为圆心，O1O2为半径作，使与在的两侧．

就是所求作的弧．

说明：画圆弧与圆弧的连接，主要运用“两圆相切，切点一定在连心线上”这个结论．

练习题：P148练习，1、2．

（三）小结

主要内容：

1、什么是连接?什么是外连接?什么是内连接?

2、任何一种连接，其实质就是两线相切，在切点处相连接，是切点两侧的线段和圆弧或圆弧与圆弧相连接．

3、对于给出的题目，画出连接图形关键在于确定圆心．

（四）作业

教材P151习题A组16．

课外题：画一个生活中的有关连接图形的比例图，下节课展示．

相切在作图中的应用（二）

教学目标：

（1）进一步理解连接等概念及连接的原理；

（2）进一步培养学生的作图能力；

（3）通过对作图题的分析，培养学生的分析问题能力．

教学重点:

深刻理解连接的意义，能对具体图形熟练地进行弧连接．

教学难点:

作图时圆心、半径的确定

教学活动设计:

(一)概念复习与理解

练习1、下列命题中，正确的是（C）

(A)将一段弧和一条线段连到一起的图形叫连接；

(B)一段给出半径的圆弧可以和一直线连接；

(C)两段给出不等半径的圆弧可以用内、外两种连接方式连接；

(D)两段圆弧内切就是内连接．

练习2、内、外连接的区别是(C)

(A)内连接两弧在连心线同侧，而外连接两弧在连心线两侧；

(B)内连接两弧在切点同旁，外连接两弧在切点两旁；

(C)内连接是内切两圆弧连接，外连接是外切两圆弧连接；

(D)内连接是外切两圆弧连接，外连接是内切两圆弧连接．

（二）连接图形的应用

例3、（教材P148）如图，要把零件中直角A加工成半径为15mm的圆角(即用一条半径为15mm的圆弧连接边AB与边AC)在图上画出这条圆弧．

分析：圆弧的半径已知，要画出这条圆弧，只要求出它的圆心即可．因为圆弧要与AB和AC都相切。所以圆心到边AB和AC的距离都等于15mm，实际上四边形AEOP是正方形，它的顶点O在∠CAB的平分线上．

（参看教材P148）

充分给学生时间让学生自己分析、研究、写出画法，画出图形．

练习：把两边长分别为8cm和5cm的矩形的4个直角改画成圆角，使圆弧的半径等于1cm．

（三）展示作品

对上节课课外作业中较好的连接图形，展示．既提高学生的学习积极性，又激发学生在教学过程中的参与热情．

（四）小结

1、连接在实际生活中的应用，可以改变物体的表面形状．

2、任何一种连接的问题经过分析后都能转化为基本图形：“线段与弧的连接；圆弧与圆弧的内连接；圆弧与圆弧的外连接．

3、连接的关键是确定所求圆弧所在圆的圆心．

4、线段可在一点处与两条弧同时连接．

（五）作业教材P154中18，B组2．

探究活动

问题：如图三圆两两相切，切点分别为C、O、D，与半圆O分别切于点A、E、B，请你找出图中除线段AB和弧以外的6条从A点平滑过渡到B点且没有重复弧的路线，并指出在经过个点处是什么连接（内连接、外连接）．

经典初中教案相切在作图中的应用

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：使学生理解画“连接”图形的理论依据．它是本节内容的核心，也是今后在实际制图应用中的基础．

难点：①对“连接”图形原理的理解．因为它是应用抽象知识来描述客观问题，学生常常因抽象思维能力较弱，而没有真正理解和掌握；②线段与弧、弧与弧连接时圆心位置的确定．

2、教法建议

（1）在教学中，组织学生寻找一些身边的有关“连接”的实际问题，画出比例图，既调动学生的积极性，培养了兴趣，又获得了知识；

（2）在教学中，以“实际问题——概念引出——理解——实际应用”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．（一）

教学目标：

（1）理解线段与弧、弧与弧连接的概念及连接的原理；

（2）通过对“连接”等概念的教学，培养学生的理解能力；

（3）通过线段与弧的连接，圆弧与圆弧的连接，培养学生的作图能力；

（4）“渗透”世界上很多事物是互相联系着的，并且在一定条件下相互转化．

教学重点:

正确理解连接的原理，初步掌握线段与圆弧连接、圆弧与圆弧连接的实质，会进行各种连接．

教学难点:

连接原理的正确理解和作图时圆心、半径的确定

教学活动设计:

（一）实际问题引出概念

我们在生活中常见到一些机器零件，它的边缘是圆滑的，我们最熟悉的操场上的跑道，它的跑道线也是很圆滑的．

想一想：跑道线是怎样的线组成的?

画一画：跑道的大致图形．

指导学生发现线线的位置关系，引出连接的有关概念：

1、由一条线（线段或圆弧）平滑地过渡到另一条线上，这种平滑地过渡，称圆弧连接，简称连接．

2、连接时，线段与圆弧、圆弧与圆弧在连接处相切．

3、外连接、内连接．

组织学生阅读理解教材内容

（二）深刻理解概念

“连接”是“平滑地过渡”，怎样算“平滑“?像下面图中，实线画出的线段和圆弧，圆弧和圆弧，虽然也有相切的关系，但它们不是连接．

理解：线与线连接有两个必备条件：①连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接处相切．②线段与圆弧应分居在圆心与切点所在直线的两侧；圆弧与圆弧分居在连心线的两侧，二者缺一不可．

（三）圆弧与线段、圆弧与圆弧连接图形的画法

例1：已知：线段AB和r（如图）．

求作：，使它的半径等于r，，并且在点A与线段AB连接．

作法：1、过点A作直线PA⊥AB．

2、在射线AP取AO=r．

3、以O为圆心，r为半径作，使AB、在OA的两侧．

就是所求作的弧．

说明：画圆弧与线段的连接，主要运用了切线的性质定理的推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心，找出了圆心，圆弧也就不难画了．

例2、已知：如图，的半径为R1，圆心为O1；线段R2．

求作：半径为R2的，使与在点A外连接．

作法：1、连结O1A，并且延长到点O2，使O1O2=R1+R2．

2、以O2为圆心，O1O2为半径作，使与在的两侧．

就是所求作的弧．

说明：画圆弧与圆弧的连接，主要运用“两圆相切，切点一定在连心线上”这个结论．

练习题：P148练习，1、2．

（三）小结

主要内容：

1、什么是连接?什么是外连接?什么是内连接?

2、任何一种连接，其实质就是两线相切，在切点处相连接，是切点两侧的线段和圆弧或圆弧与圆弧相连接．

3、对于给出的题目，画出连接图形关键在于确定圆心．

（四）作业

教材P151习题A组16．

课外题：画一个生活中的有关连接图形的比例图，下节课展示．

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基本作图的教学方案

教学目标：

1、知识目标：

（1）要掌握尺规作图的方法及一般步骤；

（2）掌握五种,明确尺规作图的意义。

2、能力目标：

（1）通过“作图题”练习，提高学生的几何语言表达能力；

（2）通过画图，培养学生的作图能力及动手能力.

3、情感目标：

（1）体验数学语言的简洁严谨。

（2）体会数学作图语言和图形的和谐统一。

教学重点：熟练掌握五个，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形。

教学难点：作图语言的准确应用，作图的规范与准确。

教学用具：直尺，圆规

教学方法：讲练结合法

教学过程：

前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些较简单的几何证明题．在学习中常常感到需要有准确、方便的画图方法，画出符合条件的几何图形．本节我们学习这种几何作图方法．

1、阅读教材，理解概念

学生阅读教材第一部分，并回答问题：

(1)尺规作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图．

(学生使用的尺子都有刻度，这里告诉学生，直尺是用来画直线的，或者延长线段、射线成直线的．我们作图时，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不用它们去度量长度，就是这里所说的直尺)

(2)：最基本、最常用的尺规作图，通常称．

一些复杂的尺规作图，都是由组成的，第一册里曾讲过用尺规作一条线段等于已知线段，这是一种，下面再介绍几种：

练习：作一条线段等于已知线段

2、讲解例题，熟悉语言

教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂。

前面我们学会了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，学习判定两个三角形全等“边边边”公理时曾经已知三边画三角形得到边边边公理而因全等三角形的对应角相等，进而达到角相等的目的．

1．作一个角等于已知角

分析：解作图题的方法与证明题解法不相同，它一般应包括已知，求作。对于作图首先将文字叙述转化为数学语言，即要写出题目的已知、求作、作法、证明。

已知：AOB

求作：使＝AOB

分析：假设∠A'O'B'已作出，且∠A'O'B'=∠AOB，如图2，在OA、OB、O'A'、O'B'上取点C、D、C'、D'，使OC=OD=O'C'=O'D'，那么△COD≌△C'O'D'．

由此可知，要作出∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB，只要作出△O'C'D'，使O'C'=OC，O'D'=OD，C'D'=CD，这就是前面学过的“已知三边画三角形”．

作法：1、作射线

2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D

3、以点为圆心，以OC长为半径作弧，交于

4、以点为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于

5、经过点作射线。就是所求的角

证明：连结CD、C'D'，由作法可知

△C'O'D≌△COD(SSS)

∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形对应角相等)．

即∠A'O'B'=∠AOB．

说明：作图题的证明，常以作法为根据，只要“作法”中写明了作的是什么，证明中就可以用它作根据去证明．注意，在作图题的“证明”中，一般过程都写得比较简单．如这个证明三角形全等的地方，把条件省略了．

练习：如图3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB．

首先要求作图工具——直尺(无刻度)、圆规．

然后引导学生分析题意，弄清已知是什么，求作是什么？画出已知条件(一个角)，写出已知、求作．在求作中先写出什么图形，再写使它合乎什么条件．

作法可让学生或教师作图，学生叙述作法．

让学生写出证明过程．

2．平分已知角

前面我们用量角器作一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来画已知角的平分线呢？

分析：如图4，假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD．这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？

用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？

怎样确定点C呢？不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D．以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？

已知：∠AOB如图5

求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．

作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．

（2）分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C．

(3)作射线OC．

OC就是所求的射线．

证明：连结CD、CE，由作法可知

△ODC≌△OEC

∴∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等)．

即∠AOC=∠BOC．

小结：

(1)1、2有一个不同之点，即2要把射线OC作在∠AOB内部，位置有指定性，1所作的∠A'O'B'并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠A'O'B'作在∠AOB的近旁．

(2)作图工具只限直尺和圆规，用铅笔画图，并保留作图过程中的辅助线(作图痕迹)．

(3)只画图的题，要求画完图，写明所求作的图形．如中要写出“∠A'O'B'就是所求的角．”

3．经过一点作已知直线的垂线

分两种情况来考虑：

(1)经过已知直线上的一点作这条直线的垂线．

(2)经过已知直线外的一点作这条直线的垂线．

引导学生写出解题的全过程：已知、求作、作法、证明．关键地方和疑点要向学生解释清楚．

分析：现在要寻找“经过直线外一点作这条直线的垂线”的方法，能利用角平分线的作法吗？如图6，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OF，如果画出直线DE，那么∠AOB的平分线OF与直线DE垂直吗？为什么？

如果我们把D、E看成一条直线上的两点，那么点O就是这条直线外的一点，图6启发我们经过直线DE外一点O作这条直线的垂线的关键在于确定点F，你会确定点F吗？

①已知：直线AB和AB上一点C，如图7．

求作：AB的垂线，使它经过点C．

作法：证明引导学生写出．

②已知：直线AB和AB外一点C，如图8．

求作：AB的垂线，使它经过点C．

作法：引导学生写出，要向学生说明所取的点K必须要使它和C在AB的两旁，通过反例说明不这样作不行的道理．对教材中略去的证明要让学生补出来．提示：连结CD、CE、FD、FE，设CF与AB交于点O．首先证明△CDF≌△CEF，再证明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO，从而得∠DOF=∠EOF=90°．

4．作线段的垂直平分线

先让学生理解线段垂直平分线的概念．

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．

分析：在图6中OF是线段DE的垂直平分线吗？为什么？

想一想：确定线段DE的垂直平分线的关键是什么？

引导学生写出已知、求作、作法．参照1．让学生补上证明过程．以判定两个三角形全等的公理或推论为根据，做几何作图题的证明，一方面可以使学生确信作图的正确性；另一方面也可以复习巩固证明三角形全等的方法．

因为直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．

小结：

作角平分线、垂线、中垂线从本质上讲是一致的：根据“SSS”公理，确定两点，从而确定所求直(射)线．

至此，共讲了5个，第一章中有一个“作一条线段等于已知线段”，本章又有4个．对于这些应该牢固掌握，灵活运用，因为它是几何作图的基础．反复练习5个，让学生熟悉解作图题的全过程，及时准确总结出几种常见几何作图语言即作图范句

例4、已知：线段

求作：，使

作法：1、作线段BC＝a

2、分别以点B、C为圆心，以为半径作弧，两弧交于点A

3、连结AB、AC

就是所求作的三角形

例5、已知两角和其中一角的对边，求作三角形

已知：

求作：

作法：1、作线段

2、在BC的同侧作

DE、EC交于点A。

为所求的三角形

证明：（略）

让学生补充证明。

3、总结归纳，便于掌握

（一）常用的作图语言：

（1）过点、作线段或射线、直线；（2）连结两点、；（3）在线段或射线上截取＝；（4）以点为圆心，以的长为半径作圆（或画弧），交于点；（5）分别以点，点为圆心，以，的长为半径作弧，两弧相交于点；（6）延长到点，使＝。

（二）作图题说明

在作图中，有属于的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。

(1)作线段＝；（2）作∠＝∠；（3）作（射线）平分∠；

（4）过点作，垂足为点；（5）作线段的垂直平分线；

4、课堂练习，巩固内容

(1)平分已知角

(2)作线段的垂直平分线

学生板书并讲解,教师点评。

5、布置作业：

a、书面作业P88＃1

b、上交作业P88＃3、9

板书设计：

解直角三形应用举例的教学方案

1．知识结构：

2．重点和难点分析

重点和难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．教法建议

本节知识与实际联系密切，这些知识可以直接用来解决一些实际问题，这在几何的许多章节中是做不到的，所以要充分发挥这一特点，通过教学，培养学生应用数学的意识，解决实际问题的能力．要解决实际问题，首先要能够把实际问题抽象为数学问题，然后运用数学知识解决这些问题，为了使学生能够处理一些简单问题，教材中配备一些比较典型的例题，这些例题的教学，要注意以下几个问题：

1．帮助学生弄清实际问题的意义．由于学生接触实际较少，实践经验不足，许多实际问题的意义不清楚，许多术语不熟悉，这些在教学中要向学生说明．例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等，零件图，特别是剖面图的意义，航行中的方位角等．学生懂得了这些常识，才能理解实际问题．

2．帮助学生画出草图．把实际问题抽象为几何问题，关键是画出草图，通过图形反映问题中的已知与未知，以及已知和未知量之间的关系．这里要解决好两个问题：

(1)实际问题基本上是空间三维的问题，要会把它转化为平面问题，画出平面图形．例如飞机在空中俯看地面目标，选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的平面(图1)；机器零件大都画出横断面、纵断面(图2)；在地面上测两点距离，两个方向夹角，可以画平行地面的平面等．

(2)船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，这类问题难点在于确定基准点．例如，说灯塔在船的什么方向上，这时船是基准点，如果说船在岸边某一点的什么方向上，这时岸边的这一点是基准点．有时因为船在航行中观测灯塔，基准点在转移，这些都会给画图增加困难．

在第一册里，介绍过空间里的平行、垂直关系，也介绍过方向角的概念，这些都可以作为学习的基础，教学时可适当复习，帮助学生回忆．

3．帮助学生根据需要作出辅助线．画出的草图，不一定有直角三角形，为了用解直角三角形的方法解决这些问题，常常需要添加辅助线．在这些问题中，辅助线常常是垂线或者平行线，例如图3中的几个问题中，虚线就是所要添加的辅助线．

4．有了直角三角形，还要进一步分析，由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角，题目要求的是哪些边或角，这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题．

一、教学目标

1．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决；

2．通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提高学生分析问题、解决实际问题的能力；

3．通过本节的教学，向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养他们用数学的意识.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．疑点：练习中水位为＋2.63这一条件学生可能不理解，教师最好用实际教具加以说明.

4．解决办法：引导学生体会实际问题中的概念，建立数学模型，从而重难点，以教具演示解决疑点.

三、教学过程

1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在

水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

2．例1

如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地平面控制点B的俯角，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．

解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角报知识来解决，在此之

前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但

不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重语学生画几

何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边（包括已知什么和求什么），会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．

解：在中,

∴（米）．

答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

［例1］小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式

来解决的两个实际问题即已知和斜边，求的对边；以及已知和对边，求斜边．

3．巩固练习P．25．

如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）

为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．

由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化

为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：

1．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．

2．请学生结合图说出已知条件和所求各是什么？

答：已知，求AB．

这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．

对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式，当船继续行驶到D时，测得俯角，当时水位为－1.15m，求观察所A到船只B的水平距离（精确到1m），请学生独立完成.

【例2】如图所示，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD.

此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平等于CD的直线交BD于E，构造出，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD.

设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的.

解：过A作，于是，

在中，

∴（米）.

.

∴（米）.

∴（米）.

（米）.

答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米.

练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角，已知人的高度为1.72米，求树高（精确到0.01米）.

要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它.

探究活动

一、望海岛

如图,要测量海岛高度,立两根高度都是3丈的杆,两杆相距1000步,使前杆、后杆、海岛排成一直线。从前杆往回走123步，脚、前杆顶、岛顶共线。从后杆往回走127步，脚、后杆、岛顶共线。问岛高和岛离前杆分别为多少？(在古代，1里=300步，1步=6尺=0.6丈)

答案:4里55步;102里150步.

二、望松

如下图，求出三顶松的高度.

答案:12丈2尺8寸.

列方程解应用题的教学方案

课题：列方程解应用题

执教人：上海市兴陇中学李炯

教学目标：利用代数与几何图形相结合的思想列方程解应用题；并创设情景解决生活中的数学问题。

重点难点：知识的综合灵活应用

情感目标：激发学生创新思维，培养学生解决问题的能力。

教学过程：

（一）复习：

列方程解应用题的解题步骤。

（二）正课：

本节课我们将研究一下如何用列方程的思想方法解决与几何知识有关的应用题。

例1：在宽为20米长为30米的矩形地面上，修筑同样的两条互相垂直的道路，余下部分作耕地，使耕地面积为375平方米，问道路宽为多少米？

分析：如图1余下部分的面积375M2是

等量关系。但被分为四块求面积有困难。

不妨把道路向两边移，这样余下部分为一

个矩形，求面积就比较容易。

解：略。

练习：《考纲》

例2：有一块矩形耕地，相邻两边的长度如图所示，要在这块地上分别挖如图的4条横向水渠和2条纵向水渠，且使水渠的宽相等，余下的可耕地面积为9600平方米。那么水渠应挖多宽？

例3：在矩形ABCD中，放入8个形状大小相同的小长方形，求阴影部分面积。

练习：《考纲》P85

思考：在一个50米长30米宽的矩形空地上要设计改造成为花坛，并要使花坛所要的面积为荒地面积的一半，诗给出你的设计方案。

小结：我们常用列方程的思想来处理几何图形的计算问题，这种解法也是数形结合思想方法的一种应用。

一次方程组的应用的教学方案

（第一课时）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

会列二元一次方程组解简单的应用题，并能检查结果是否正确、合理．

（二）能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力．

（三）德育渗透点

1．体会代数方法的优越性．

2．向学生进一步渗透把未知转化为已知的思想．

3．向学生进行理论联系实际的教育．

（四）美育渗透点

学习列方程组解应用题时，若能在错综复杂的关系中抓住问题的关键，就能迅速通过相等求解，从而渗透解题的简捷性的数学美，以及解题的奇异美．

二、学法引导

1．教学方法：尝试指导法、观察法、讲练结合法．

2．学生学法：本节主要学习列二元一次方程组和三元一次方程组解应用题的方法，尤其重点要掌握列出二元一次方程组解应用题，其分析方法和解题步骤都与前面学过的列一元一次方程解应用题类似，可在学习中进行类比从而加强理解．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（一）重点与难点

根据简单应用题的题意列出二元一次方程组．

（二）疑点

正确找出表示应用题全部含义的两个相等关系，并把它们表示成两个方程．

（三）解决办法

通过反复读题、审题，分析出题目中存在的两个相等关系是列方程组的关键．

四、课时安排

一课时．

五、教学具学具准备

投影仪、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．通过提问，复习列一元一次方程解应用题的步骤，尤其相等关系的寻找问题．

2．师生共同探索新知识—列二元一次方程组解应用题的一般步骤．

3．通过反馈练习，检查学生掌握知识的情况，以便有针对性地进行差漏补缺．

七、教学步骤

（一）明确目标

本节课主要学习列二元一次方程组解应用题．

（二）整体感知

列二元一次方程组解应用题的关键在于通过准确的审题迅速寻找出两个正确的相等关系来列二元一次方程组．

（三）教学过程

1．创设情境、导入新课

（1）根据下列条件设适当的未知数，列出二元一次方程．

①甲、乙两数的和是10．

②甲地的人数比乙地的人数的2倍还多70．

③买4支铅笔、3支圆珠笔共花了1.6元．

（2）甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制作12件．已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每人每天可制作几件？

①列出一元一次方程和二元一次方程组解题．

②比较一下，两种方法得到的结果是否相同？是列一元一次方程容易，还是列二元一次方程组容易？

学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上完成．

【教法说明】第（1）题为根据相等关系列二元一次方程打下了基础；第（2）题通过两种解法的比较，让学生体会列方程组的优越性，这样引入课题，可以引起学生学习新知识的兴趣．

2．探索新知，讲授新课

例1小华买了80分与2元的邮票共16枚，共花了18元8角，80分与2元的邮票各买了多少枚？

分析：（1）题中有几个未知数？分别是什么？

（2）题中有几个相等关系？分别是什么？

学生活动：观察、分析后回答．

未知数：80分邮票枚数与2元的邮票枚数．

相等关系（1）80分邮票枚数＋2元邮票枚数＝总枚数．

（2）80分邮票总价＋2元邮票总价＝全部邮票总价．

学生活动：设未知数、根据相等关系列方程．

解：设共买枚80分邮票，枚2元邮票，根据题意得

解这个方程组，得

答：80分邮票买了11枚，2元邮票买了5枚．

强调：（1）选定几个未知数，根据问题中的条件找几个相等关系，这几个相等关系正好表示了应用题的全部含义．

（2）列方程组解应用题时，解方程组过程在练习本上完成．

（3）得到结果后，要检验是不是原方程组的解，是不是符合应用题的实际意义，然后再写答句．

反馈练习：P351，2．（只列不解）

例2小兰在玩具工厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分；做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分．平均每1个小狗与1个汽车各用多少时间？

仿照刚才分析例1的方法，分析问题．

学生活动：拟题、自由提问，其他学生抢答．

教师根据学生的拟题板书．

两个未知数：平均做1个小狗的时间与1个小汽车的时间

（1）做4个小狗的时间＋做7个小汽车的时间＝3时42分

（2）做5个小狗的时间＋做6个小汽车的时间＝3时37分

解题过程由学生完成，一个学生板演．

解：设平均做1个小狗用分，做1个小汽车有分，根据题意，得

解这个方程组，得

答：平均做一个小狗用17分，做1个小汽车用22分．

【教法说明】例2用拟题训练的方法让学生自己去尝试分析问题，不但能活跃课堂气氛，而且能促进学生积极思维，培养学生分析问题、解决问题的能力．

反馈练习：P353，4．

学生活动：口答、设未知数、列方程组．

3．变式训练，培养能力

用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？

分析：此题的相等关系不明显，应启发学生认真思考，找到第二个相等关系．

相等关系：（1）制盒身铁皮张数＋制盒底铁皮张数＝150张．

（2）盒底总数＝2×盒身总数．

解：设用张铁皮制盒身，张铁皮制盒底，可以制成整套缺头盒．根据题意，得

（四）总结、扩展

我们这节课学习了二元，你能简单归纳出列二元一次方程组解应用题的步骤吗？

学生发言后，老师适当补充、纠正．

八、布置作业

（一）必做题：P391，2，3．

（二）选做题：P41B组2．

（三）补充题：给定两数5和3，编一道列出二元一次方程组求解的应用题，使得这个方程组的解就是给定的两数．

参考答案

（一）1．到甲地130人，到乙地70人．

2．有28个队参加篮球赛，20个队参加排球赛．

3．长38㎝，宽16㎝．

（二）解：设一辆大车、一辆小车一次分别可运货吨、吨，根据题意，得

解得

∴4×3＋2.5×5＝24.5（吨）

九、板书设计

投影幕

例1例2练习

小结：

一在人群中挺立教案的教学方案

第十一课在人群中挺立第三框教案

教学内容

课题名称

铸就生命信条

学科

思品

总课时数

一课时

版本名称

人民版

年级

九年级

册次

全一册单元章节名称

第四单元第11课第3节页码第130-136页

教学分析

教材分析本框通过故事阅读、模拟通信、拟订道德信条等方法，让学生认识到可以通过自己的努力在生活中进行培养道德，并把道德的关涉群体扩大到国家和社会，教育学生树立“大德”这一更高的追求目标。

教学目标使学生树立自己的道德楷模，坚持道德信条，追求人生的“大德”，在人群挺立。

教学重点理解和体会人生道德信条：“公”“廉”“仁”。追求人生大德。

教学难点人生有大德。教学流程第3课时

教学环节

教师活动

预设

学生活动

预设

设计意图一、导入新课二、讲授新课1、点燃道德明灯。2、书写道德信条。3、人生有大德1、师：生活中美德的形成会遇到哪些困难？（提示学生回忆上节课的内容回答）2上一节课从反面告诉我们美德形成要注意什么，这节课我们将从正面思考怎样培养美好的品德。3、指导学生阅读p131-132的“瑞恩的井”（1）你心目中的道德楷模是谁？（2）他们身上有哪些美好的品德？（3）小瑞恩为什么成为青少年的道德？4、指导学生发现身边同学的闪光点5、指导学生阅读p133-的短文（1）、你认为做人最重要的品质是什么？（2）、你希望自己成为一个什么样的人？6、做人不仅要有基本道德准则，更应追求大德。指导一学生有感情地朗读p135“联合国为他下半旗”一文（1）联合国为什么为周恩来下半旗？（2）请再举一些像周恩来一样有大德的人。（3）每人写一条反映大德的名言生答（或举例或概括阅读课文并思考和回答问题分组活动：互找道德闪光点为自己设计一组道德信条全班静听朗读，准备思考和回答问题。复习巩固旧课，为引入新课以及让学生从整体上把握全课内容奠定基础。通过思考明白道德楷模未必是伟人、名人，平凡人中也不乏有令我们肃然起敬的道德楷模。我们每个人都可以成为道德楷模。通过活动，使每个同学都能找到道德闪光点的自信。使学生牢记做人的基本准则通过这一环节使学生以大德的标准要求自己，作为终身追求的目标。

板书设计课

铸就生命信条

1点燃道德明灯

2书写道德信条

3人生有大德

一元二次方程的应用的教学方案

第一课时

一、教学目标

1．使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。

2．通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。

3．通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。

2．教学难点：根据数与数字关系找等量关系。

3．教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。

4．解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。

三、教学过程

1．复习提问

（1）列方程解应用问题的步骤？

①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答。

（2）两个连续奇数的表示方法是，（n表示整数）

2．例题讲解

例1两个连续奇数的积是323，求这两个数。

分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法）a．设较小的奇数为x，则另一奇数为，b．设较小的奇数为，则另一奇数为；c．设较小的奇数为，则另一个奇数。

以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。

解法（一）设较小奇数为x，另一个为，

据题意，得

整理后，得

解这个方程，得。

由得，由得，

答：这两个奇数是17，19或者－19，－17。

解法（二）设较小的奇数为，则较大的奇数为。

据题意，得

整理后，得

解这个方程，得。

当时，

当时，。

答：两个奇数分别为17，19；或者－19，－17。

解法（三）设较小的奇数为，则另一个奇数为。

据题意，得

整理后，得

解得，，或。

当时，。

当时，。

答：两个奇数分别为17，19；－19，－17。

引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：

1．三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？

2．解题中的x出现了负值，为什么不舍去？

答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数。

3．选出三种方法中最简单的一种。

练习1．两个连续整数的积是210，求这两个数。

2．三个连续奇数的和是321，求这三个数。

3．已知两个数的和是12，积为23，求这两个数。

学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法。

例2有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。

分析：数与数字的关系是：

两位数十位数字个位数字。

三位数百位数字十位数字个位数字。

解：设个位数字为x，则十位数字为，这个两位数是。

据题意，得，

整理，得，

解这个方程，得（不合题意，舍去）

当时，

答：这个两位数是24。

以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价。

注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验。

练习1有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数。（35）

教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会。

四、布置作业

教材P42A1、2

补充：一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数。

五、板书设计

探究活动

将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？

参考答案：

精析：此题属于经营问题.设商品单价为（50+）元，则每个商品得利润元，因每涨1元，其销售量会减少10个，则每个涨价元，其销售量会减少10个，故销售量为（500）个，为赚得8000元利润，则应有（500）.故有=8000

当时，50+=60，500=400

当时，50+=80，500=200

所以，要想赚8000元，若售价为60元，则进货量应为400个，若售价为80元，则进货量应为200个.

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