教学建议
根据本节内容的特点和与平行四边形的关系,建议教师在教学过程中注意以下问题:
1.正方形的知识,学生在小学时接触过一些,可由小学学过的知识作为引入。
2.正方形在现实中的实例较多,在讲解正方形的性质和判定时,教师可自行准备或由学生准备一些生活实例来进行判别应用了哪些性质和判定,既增加了学生的参与感又巩固了所学的知识.
3.如果条件允许,教师在讲授这节内容前,可指导学生按照教材145页图4-30所示,制作一个平行四边形作为教学过程中的道具,既增强了学生的动手能力和参与感,有在教学中有切实的体例,使学生对知识的掌握更轻松些.
4.在对性质的讲解中,教师可将学生分成若干组,每个学生分别对事先准备后的图形进行边、角、对角线的测量,然后在组内进行整理、归纳.
5.由于正方形的性质定理证明比较简单,教师可引导学生分析思路,由学生来进行具体的证明.
6.在正方形性质应用讲解中,为便于理解掌握,教师要注意题目的层次安排。
教学引入
师:前面我们已经学习过平行四边形、矩形和菱形,知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形,他们都具有平行四边形的性质,同时又都具有各自独特的性质。
师:现在我们来学习一种新的特殊的平行四边形----正方形。
讲授新课
师:正方形我们在小学就已经接触过,首先我们来看正方形的定义。
动画演示:
场景一:正方形定义
师:正方形的定义我们可以分成俩部分来理解:
(1)有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
(2)有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
师:根据这两部分我们会想起什么?
[学生活动:积极思考,回想学过定义,大部分学生会想起矩形和菱形,小声议论甚至抢答。]
生:有一个角是直角的平行四边形是矩形,(1)说的是矩形;有一组邻边相等的平行四边形是菱形,(2)说的是菱形。
生:正方形既是矩形又是菱形。
生:正方形还是平行四边形。
师:大家想得都不错。正方形既是矩形又是菱形,根据定义,他还是平行四边形。
师:正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形。
动画演示:
场景二:正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系
师:正方形、平行四边形、矩形、菱形他们之间的关系还可以用图1来表示:
图1
师:请同学们回想一下,我们在学习矩形、菱形时,知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形,他们都具有平行四边形的性质,同时又都具有各自独特的性质。
师:那么,根据正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系,正方形应具有什么样的性质?
[学生活动:回忆矩形、菱形的性质,并逐个验证在正方形上。]
师在学生活动时要注意观察学生的情况,有疑惑时要注意及时反馈。
师:我们来归纳总结正方形的性质。
动画演示:
场景三:矩形的性质
场景四:菱形的性质
¿场景五:正方形的性质
例题讲解
例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG,求证:BG=CE
分析:据已知条件画出图形,如图2所示,要证明线段相等,与图形可以证明二个三角形全等,即只需证明△ABG≌△AEC.
证明:∵四边形ABDE和ACFG都是正方形
∴AB=AE,AG=AC
∠BAE=∠CAG=90°
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC
即∠BAG=∠EAC
∴△ABG≌△AEC∴BG=CE
图2
说明:应用正方形的性质,可以为证明全等提供条件,要注意等式性质的应用,这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同,证法是可以借鉴的。
巩固练习
巩固练习题目可有教师根据学生情况自主选择。
讲解新课
师:正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形,那么根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系,怎么判定一个矩形是正方形?
生:证一组邻边相等。
师:怎么判定一个菱形是正方形?
生:证有一个角是直角。
师:怎么判定一个平行四边形是正方形?
生:根据定义,证有一组邻边相等且有一个角是直角。
师:那么,刚才的结论如果用图来表示,是不是如图3所示?
师:图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。这是我们根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的,但似乎有缺憾,能不能同样根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全?
[学生活动:积极思考,部分学生疑惑不解。]
师点取上等学生回答问题,根据回答得图4。
生恍然大悟。
学生思路得到启发,中上等及上等学生意犹未尽,鼓励他们根据矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路,并要求其举出简单示例。
就势跟进,要求学生思考,给定四边形,有什么样的边、角、对角线条件可判定四边形是正方形?要求给出简单图例,并说出相应证明思路。
为进一步理解正方形的判定方法,可研究以下几个问题:
(3)对角线相等的菱形是正方形吗?
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形吗?
(5)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗?若不是,还需增加什么条件?
(6)能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?”
(7)四个角都相等的四边形是正方形吗?
小结:证明正方形的思路,总体讲三种思路,如图4所示;遇到具体条件要学会具体分析,规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线,或者把他们搅和在一起。这是一定要都要冷静,学会去分析。
动画演示:
场景六:正方形的判定
F例题讲解
例2如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、AB的中点,DE、CF相交于M,
求证:AD=AM。
分析:欲证AD=AM,只需证明∠1=∠2,但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难,考虑到E、F是正方形的两边中点,容易证明得:△BCF≌△CDF,得∠3=∠4,而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF,这是要证AD=AM,是否想到与直角有关的等腰三角形?只需延长CF、DA交于N,即可出现直角三角形MND,只要证明A是ND中点即可。这是是否发现△BCF≌△ANF?由AN=BC=AD,从而A是ND中点,MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。问题得证。
证明:略。
说明:将此题中的中点E、F进行变化:E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点,且BE=AF,则有DE⊥CF。这个变化后的图形在正方形中常常出现,要注意隐含的这个垂直条件。
课堂练习题及课后作业可由教师根据学生情况自主选择。
教学引入
师:教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话:把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条,按动画所示进行折叠处理。
动画演示:
场景一:正方形折叠演示
师:这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板(刻度尺)和圆规,我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度、各角的大小、对角线的长度以及对角线交点到各顶点的长度。
[学生活动:各自测量。]
鼓励学生将测量结果与邻近同学进行比较,找出共同点。
讲授新课
找一两个学生表述其结论,表述是要注意纠正其语言的规范性。
动画演示:
场景二:正方形的性质
师:这些性质里那些是矩形的性质?
[学生活动:寻找矩形性质。]
动画演示:
场景三:矩形的性质
师:同样在这些性质里寻找属于菱形的性质。
[学生活动;寻找菱形性质。]
动画演示:
场景四:菱形的性质
师:这说明正方形具有矩形和菱形的全部性质。
及时提出问题,引导学生进行思考。
师:根据这些性质,我们能不能给正方形下一个定义?怎么样给正方形下一个准确的定义?
[学生活动:积极思考,有同学做跃跃欲试状。]
师:请同学们回想矩形与菱形的定义,可以根据矩形与菱形的定义类似的给出正方形的定义。
学生应能够向出十种左右的定义方式,其余作相应鼓励,把以下三种板书:
“有一组邻边相等的矩形叫做正方形。”
“有一个角是直角的菱形叫做正方形。”
“有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。”
[学生活动:讨论这三个定义正确不正确?三个定义之间有什么共同和不同的地方?这出教材中采用的是第三种定义方式。]
师:根据定义,我们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系梳理一下。
动画演示:
场景五:平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
场景六:平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的性质关系
师:当然平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系还可以用下图(图1)表示:
图1
师:请同学们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系以及平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的性质关系整理在笔记本上。
例题讲解
例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG,求证:BG=CE
分析:据已知条件画出图形,如图2所示,要证明线段相等,与图形可以证明二个三角形全等,即只需证明△ABG≌△AEC.
证明:∵四边形ABDE和ACFG都是正方形
∴AB=AE,AG=AC
∠BAE=∠CAG=90°
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC
即∠BAG=∠EAC
∴△ABG≌△AEC∴BG=CE
图2
说明:应用正方形的性质,可以为证明全等提供条件,要注意等式性质的应用,这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同,证法是可以借鉴的。
巩固练习
巩固练习题目可有教师根据学生情况自主选择。
讲解新课
师:正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形,那么根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系,怎么判定一个矩形是正方形?
生:证一组邻边相等。
师:怎么判定一个菱形是正方形?
生:证有一个角是直角。
师:怎么判定一个平行四边形是正方形?
生:根据定义,证有一组邻边相等且有一个角是直角。
师:那么,刚才的结论如果用图来表示,是不是如图2所示?
师:图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。这是我们根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的,但似乎有缺憾,能不能同样根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全?
[学生活动:积极思考,部分学生疑惑不解。]
师点取上等学生回答问题,根据回答得图4。
生恍然大悟。
学生思路得到启发,中上等及上等学生意犹未尽,鼓励他们根据矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路,并要求其举出简单示例。
就势跟进,要求学生思考,给定四边形,有什么样的边、角、对角线条件可判定四边形是正方形?要求给出简单图例,并说出相应证明思路。
为进一步理解正方形的判定方法,可研究以下几个问题:
(1)对角线相等的菱形是正方形吗?
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形吗?
(3)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗?若不是,还需增加什么条件?
(4)能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?”
(5)四个角都相等的四边形是正方形吗?
小结:证明正方形的思路,总体讲三种思路,如图4所示;遇到具体条件要学会具体分析,规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线,或者把他们搅和在一起。这是一定要都要冷静,学会去分析。
动画演示:
场景七:正方形的判定
例题讲解
例2如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、AB的中点,DE、CF相交于M,
求证:AD=AM。
分析:欲证AD=AM,只需证明∠1=∠2,但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难,考虑到E、F是正方形的两边中点,容易证明得:△BCF≌△CDF,得∠3=∠4,而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF,这是要证AD=AM,是否想到与直角有关的等腰三角形?只需延长CF、DA交于N,即可出现直角三角形MND,只要证明A是ND中点即可。这是是否发现△BCF≌△ANF?由AN=BC=AD,从而A是ND中点,MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。问题得证。
证明:略。
说明:将此题中的中点E、F进行变化:E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点,且BE=AF,则有DE⊥CF。这个变化后的图形在正方形中常常出现,要注意隐含的这个垂直条件。
课堂练习题及课后作业可由教师根据学生情况自主选择。
详细介绍:教学目的
1.使学生知道长方形、正方形;通过观察和动手操作,使学生能辨认和区别出这两种图形.
2.使学生初步建立起空间观念,培养学生初步的逻辑思维能力,渗透分类统计思想.
3.激发学生学习数学的兴趣,进行爱祖国、爱科学的思想教育.
教学重点和难点
知道长方形和正方形的形状和名称,并能区别这两种图形.
教学过程
一、导入新课.
同学们,今天老师给大家带来了一位新朋友,大家鼓掌欢迎!(出示动画“认识图形”)
二、讲授新课.
1、初步认识长方形(继续演示动画“认识图形”).
(1)师:这是图图提出的第一个问题:“图形国是什么形状的?”谁来回答?
(2)教师出示国旗图,问:国旗的面是什么形状的?举起数学课本、练习本问:数学课本、练习本的面是什么形状的?再拿出一张长方形彩纸,先横着放,问:这张彩纸是什么形状的,竖着放、斜着放呢?
(3)学生举例.
小结:以上这些物品的面,不管大,还是小,它们的形状都可以用这样一个图形表示,(教师画长方形)问:这是什么图形?(板书长方形)
(4)数一数长方形有几条边,再数一数桌上的长方形纸有几条边,用彩笔逐一勾出四条边.
(5)师用一定长来量长方形的四条边,学生认真观察后,问:长方形四条边一样长吗?哪两条边一样长?哪两条边不一样长?
小结:长方形四条边不一样长,对着的两条边一样长.
(6)学生折纸,看看是不是对着的两条边一样长.
(7)反馈练习:请说出几号图形是长方形.
2、初步认识正方形(继续演示动画“认识图形”).
(1)这是图图提出的第二个问题,谁来回答?
(2)教师拿出一块手绢,问:这块手绢是什么形状的?再举起地板砖、正方形电光纸,问这些东西的面是什么形状的?斜着放呢?
(3)学生举例.
小结:以上这些物品的面不论大或是小,它们的形状都可以画成这样一个图形“□”(画正方形),这是什么形?(板书正方形)
(4)数一数正方形有几条边,四条边一样长吗?先量一量,再折折桌上的正方形纸比一比.
(5)长方形和正方形比较:①长方形有几条边?正方形有几条边?②长方形四条边怎么样?正方形四条边怎么样?③长方形与正方形相同的地方是什么?不同的地方是什么?
教师归纳:长方形有四边条,正方形也有四条边,这是相同的地方;不同的地方是长方形对着的两条边相等,正方形四条边都相等.
(6)反馈练习:
用4根小棒摆一个正方形,用6根小棒摆一个长方形.
教师归纳:长方形沿中间虚线对折后,有的是长方形,有的是正方形,为什么呢?这是根据长方形边的长短确定的,这个问题我们在以后的学习中再进一步研究.正方形不论是大正方形还是小正方形,沿中间虚线对折后都是长方形,沿正方形对角线对折后是三角形.
三、课堂练习.
做一做1、2题
1.沿虚线折一折,看看正方形的边长怎么样,长方形的边长怎么样(分组进行).
2.说一说,哪些物品的面是正方形的,哪些物品的面是长方形的.
四、小结.今天我们学了哪几种图形?(板书:长方形正方形)
五、布置作业:练习七第2、3题.
板书设计
认识图形长方形正方形
课题:§4.6正方形(一)
教学目的:使学生掌握正方形的定义、性质和判定,会用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算,理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系和区别,进一步加深对“特殊与一般的认识”
教学重点:正方形的定义.
教学难点:正方形与矩形、菱形间的关系.
教学方法:双边合作如:在教学时可播放转换动画使学生获得生动、形象的可视思维过程,从而掌握判定一个四边形是正方形的方法.为了活跃学生的思维,可以得出下列问题让学生思考:
(1)对角线相等的菱形是正方形吗?为什么?
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形吗?为什么?
(3)对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?如果不是,应该加上什么条件?
(4)能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗?为什么?
(5)说“四个角相等的四边形是正方形”,对吗?
教学过程:
让学生将事先准备好的矩形纸片,按要求对折一下,裁出正方形纸片.
问:所得的图形是矩形吗?它与一般的矩形有什么不同?
所得的图形是菱形吗?它与一般的菱形有什么不同?
所得的图形在小学里学习时称它为什么图形?它有什么特点?
由此得出正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
(一)新课
由正方形的定义可以得知:正方形是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形,因此正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.
请同学们推断出正方形具有哪些性质?
性质1、(1)正方形的四个角都是直角。
(2)正方形的四条边相等。
性质2、(1)正方形的两条对角线相等。
(2)正方形的两条对角线互相垂直平分。
(3)正方形的每条对角线平分一组对角。
例1求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知:四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
教学建议
根据本节内容的特点和与平行四边形的关系,建议教师在教学过程中注意以下问题:
1.正方形的知识,学生在小学时接触过一些,可由小学学过的知识作为引入。
2.正方形在现实中的实例较多,在讲解正方形的性质和判定时,教师可自行准备或由学生准备一些生活实例来进行判别应用了哪些性质和判定,既增加了学生的参与感又巩固了所学的知识.
3.如果条件允许,教师在讲授这节内容前,可指导学生按照教材145页图4-30所示,制作一个平行四边形作为教学过程中的道具,既增强了学生的动手能力和参与感,有在教学中有切实的体例,使学生对知识的掌握更轻松些.
4.在对性质的讲解中,教师可将学生分成若干组,每个学生分别对事先准备后的图形进行边、角、对角线的测量,然后在组内进行整理、归纳.
5.由于正方形的性质定理证明比较简单,教师可引导学生分析思路,由学生来进行具体的证明.
6.在正方形性质应用讲解中,为便于理解掌握,教师要注意题目的层次安排。
教学引入
师:前面我们已经学习过平行四边形、矩形和菱形,知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形,他们都具有平行四边形的性质,同时又都具有各自独特的性质。
师:现在我们来学习一种新的特殊的平行四边形----正方形。
讲授新课
师:正方形我们在小学就已经接触过,首先我们来看正方形的定义。
动画演示:
场景一:正方形定义
师:正方形的定义我们可以分成俩部分来理解:
(1)有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
(2)有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
师:根据这两部分我们会想起什么?
[学生活动:积极思考,回想学过定义,大部分学生会想起矩形和菱形,小声议论甚至抢答。]
生:有一个角是直角的平行四边形是矩形,(1)说的是矩形;有一组邻边相等的平行四边形是菱形,(2)说的是菱形。
生:正方形既是矩形又是菱形。
生:正方形还是平行四边形。
师:大家想得都不错。正方形既是矩形又是菱形,根据定义,他还是平行四边形。
师:正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形。
动画演示:
场景二:正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系
师:正方形、平行四边形、矩形、菱形他们之间的关系还可以用图1来表示:
图1
师:请同学们回想一下,我们在学习矩形、菱形时,知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形,他们都具有平行四边形的性质,同时又都具有各自独特的性质。
师:那么,根据正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系,正方形应具有什么样的性质?
[学生活动:回忆矩形、菱形的性质,并逐个验证在正方形上。]
师在学生活动时要注意观察学生的情况,有疑惑时要注意及时反馈。
师:我们来归纳总结正方形的性质。
动画演示:
场景三:矩形的性质
场景四:菱形的性质
¿场景五:正方形的性质
例题讲解
例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG,求证:BG=CE
分析:据已知条件画出图形,如图2所示,要证明线段相等,与图形可以证明二个三角形全等,即只需证明△ABG≌△AEC.
证明:∵四边形ABDE和ACFG都是正方形
∴AB=AE,AG=AC
∠BAE=∠CAG=90°
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC
即∠BAG=∠EAC
∴△ABG≌△AEC∴BG=CE
图2
说明:应用正方形的性质,可以为证明全等提供条件,要注意等式性质的应用,这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同,证法是可以借鉴的。
巩固练习
巩固练习题目可有教师根据学生情况自主选择。
讲解新课
师:正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形,那么根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系,怎么判定一个矩形是正方形?
生:证一组邻边相等。
师:怎么判定一个菱形是正方形?
生:证有一个角是直角。
师:怎么判定一个平行四边形是正方形?
生:根据定义,证有一组邻边相等且有一个角是直角。
师:那么,刚才的结论如果用图来表示,是不是如图3所示?
师:图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。这是我们根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的,但似乎有缺憾,能不能同样根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全?
[学生活动:积极思考,部分学生疑惑不解。]
师点取上等学生回答问题,根据回答得图4。
生恍然大悟。
学生思路得到启发,中上等及上等学生意犹未尽,鼓励他们根据矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路,并要求其举出简单示例。
就势跟进,要求学生思考,给定四边形,有什么样的边、角、对角线条件可判定四边形是正方形?要求给出简单图例,并说出相应证明思路。
为进一步理解正方形的判定方法,可研究以下几个问题:
(3)对角线相等的菱形是正方形吗?
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形吗?
(5)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗?若不是,还需增加什么条件?
(6)能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?”
(7)四个角都相等的四边形是正方形吗?
小结:证明正方形的思路,总体讲三种思路,如图4所示;遇到具体条件要学会具体分析,规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线,或者把他们搅和在一起。这是一定要都要冷静,学会去分析。
动画演示:
场景六:正方形的判定
F例题讲解
例2如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、AB的中点,DE、CF相交于M,
求证:AD=AM。
分析:欲证AD=AM,只需证明∠1=∠2,但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难,考虑到E、F是正方形的两边中点,容易证明得:△BCF≌△CDF,得∠3=∠4,而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF,这是要证AD=AM,是否想到与直角有关的等腰三角形?只需延长CF、DA交于N,即可出现直角三角形MND,只要证明A是ND中点即可。这是是否发现△BCF≌△ANF?由AN=BC=AD,从而A是ND中点,MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。问题得证。
证明:略。
说明:将此题中的中点E、F进行变化:E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点,且BE=AF,则有DE⊥CF。这个变化后的图形在正方形中常常出现,要注意隐含的这个垂直条件。
课堂练习题及课后作业可由教师根据学生情况自主选择。
教学建议
根据本节内容的特点和与平行四边形的关系,建议教师在教学过程中注意以下问题:
1.正方形的知识,学生在小学时接触过一些,可由小学学过的知识作为引入。
2.正方形在现实中的实例较多,在讲解正方形的性质和判定时,教师可自行准备或由学生准备一些生活实例来进行判别应用了哪些性质和判定,既增加了学生的参与感又巩固了所学的知识.
3.如果条件允许,教师在讲授这节内容前,可指导学生按照教材145页图4-30所示,制作一个平行四边形作为教学过程中的道具,既增强了学生的动手能力和参与感,有在教学中有切实的体例,使学生对知识的掌握更轻松些.
4.在对性质的讲解中,教师可将学生分成若干组,每个学生分别对事先准备后的图形进行边、角、对角线的测量,然后在组内进行整理、归纳.
5.由于正方形的性质定理证明比较简单,教师可引导学生分析思路,由学生来进行具体的证明.
6.在正方形性质应用讲解中,为便于理解掌握,教师要注意题目的层次安排。
教学引入
师:前面我们已经学习过平行四边形、矩形和菱形,知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形,他们都具有平行四边形的性质,同时又都具有各自独特的性质。
师:现在我们来学习一种新的特殊的平行四边形----正方形。
讲授新课
师:正方形我们在小学就已经接触过,首先我们来看正方形的定义。
动画演示:
场景一:正方形定义
师:正方形的定义我们可以分成俩部分来理解:
(1)有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
(2)有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
师:根据这两部分我们会想起什么?
[学生活动:积极思考,回想学过定义,大部分学生会想起矩形和菱形,小声议论甚至抢答。]
生:有一个角是直角的平行四边形是矩形,(1)说的是矩形;有一组邻边相等的平行四边形是菱形,(2)说的是菱形。
生:正方形既是矩形又是菱形。
生:正方形还是平行四边形。
师:大家想得都不错。正方形既是矩形又是菱形,根据定义,他还是平行四边形。
师:正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形。
动画演示:
场景二:正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系
师:正方形、平行四边形、矩形、菱形他们之间的关系还可以用图1来表示:
图1
师:请同学们回想一下,我们在学习矩形、菱形时,知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形,他们都具有平行四边形的性质,同时又都具有各自独特的性质。
师:那么,根据正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系,正方形应具有什么样的性质?
[学生活动:回忆矩形、菱形的性质,并逐个验证在正方形上。]
师在学生活动时要注意观察学生的情况,有疑惑时要注意及时反馈。
师:我们来归纳总结正方形的性质。
动画演示:
场景三:矩形的性质
场景四:菱形的性质
¿场景五:正方形的性质
例题讲解
例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG,求证:BG=CE
分析:据已知条件画出图形,如图2所示,要证明线段相等,与图形可以证明二个三角形全等,即只需证明△ABG≌△AEC.
证明:∵四边形ABDE和ACFG都是正方形
∴AB=AE,AG=AC
∠BAE=∠CAG=90°
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC
即∠BAG=∠EAC
∴△ABG≌△AEC∴BG=CE
图2
说明:应用正方形的性质,可以为证明全等提供条件,要注意等式性质的应用,这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同,证法是可以借鉴的。
巩固练习
巩固练习题目可有教师根据学生情况自主选择。
讲解新课
师:正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形,那么根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系,怎么判定一个矩形是正方形?
生:证一组邻边相等。
师:怎么判定一个菱形是正方形?
生:证有一个角是直角。
师:怎么判定一个平行四边形是正方形?
生:根据定义,证有一组邻边相等且有一个角是直角。
师:那么,刚才的结论如果用图来表示,是不是如图3所示?
师:图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。这是我们根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的,但似乎有缺憾,能不能同样根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全?
[学生活动:积极思考,部分学生疑惑不解。]
师点取上等学生回答问题,根据回答得图4。
生恍然大悟。
学生思路得到启发,中上等及上等学生意犹未尽,鼓励他们根据矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路,并要求其举出简单示例。
就势跟进,要求学生思考,给定四边形,有什么样的边、角、对角线条件可判定四边形是正方形?要求给出简单图例,并说出相应证明思路。
为进一步理解正方形的判定方法,可研究以下几个问题:
(3)对角线相等的菱形是正方形吗?
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形吗?
(5)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗?若不是,还需增加什么条件?
(6)能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?”
(7)四个角都相等的四边形是正方形吗?
小结:证明正方形的思路,总体讲三种思路,如图4所示;遇到具体条件要学会具体分析,规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线,或者把他们搅和在一起。这是一定要都要冷静,学会去分析。
动画演示:
场景六:正方形的判定
F例题讲解
例2如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、AB的中点,DE、CF相交于M,
求证:AD=AM。
分析:欲证AD=AM,只需证明∠1=∠2,但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难,考虑到E、F是正方形的两边中点,容易证明得:△BCF≌△CDF,得∠3=∠4,而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF,这是要证AD=AM,是否想到与直角有关的等腰三角形?只需延长CF、DA交于N,即可出现直角三角形MND,只要证明A是ND中点即可。这是是否发现△BCF≌△ANF?由AN=BC=AD,从而A是ND中点,MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。问题得证。
证明:略。
说明:将此题中的中点E、F进行变化:E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点,且BE=AF,则有DE⊥CF。这个变化后的图形在正方形中常常出现,要注意隐含的这个垂直条件。
课堂练习题及课后作业可由教师根据学生情况自主选择。
本节课的教学内容是三年级“长方形和正方形周长”。教学的着眼点不仅仅关注学生有没有理解圆周长的意义,更是如何来激发学生的兴趣,促使学生主动探索新知,从而发现求周长的的一些规律和方法。
在引进周长的概念时,正对小学数学枯燥乏味,我就带学生走出班级,到学校的水池旁边。我提问“你知道这个水池一圈有多长吗?你知道怎么测量吗”
水池是学生非常熟悉的,贴近学生生活的实际,这个问题一提出,大大调动了学生学习的积极性,学生马上就带着问题去学习新的知识了。
等学生知道了绕物体一圈的边线就是周长时,我再引到长方形和正方形周长的计算上就轻而易举了。有的学生在计算长方形和正方形周长的时候,就采用上面的方法,把4条边全部测量一遍,再相加,他们自己也觉得很麻烦。在这时,我就要学生想想有没有更简单的办法?促使学生去寻找解决问题的办法,又激发了学生的学习兴趣,激活了学生的思维,培养了学生的创新意识。
当然问题答案往往不是唯一的,有的学生总结长方形周长计算公式是两条长加两条宽,也有学生总结是长加宽的和再乘2,在这里教师要鼓励学生的答案。这样不但培养了学生开放型的思维方式,还激发了学生去动动手的愿望。
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