4.7二倍角的正弦、余弦、正切（2）

教学目的：要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力教学重点：二倍角公式的应用教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式教学过程：一、复习引入：1.二倍角公式:；；；2．半角公式3．万能公式二、讲解范例：例1已知求的值.例2求证：[sinq(1+sinq)+cosq(1+cosq)]×[sinq(1-sinq)+cosq(1-cosq)]=sin2q例3求函数的值域。例4求证：的值是与a无关的定值。例5化简：例6求证：例7化简：三、课堂练习：1.求值：cos280°＋sin250°－sin190°·cos320°2.求的值.四、课后作业：习题7.24.5.补充：证明：（1）．（2）.（3）．（4）．

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已知三角函数值求角(小编推荐)

第三十七教时

教材：（2）

目的：理解反正切函数的有关概念，并能运用上述知识。

过程：

一、反正切函数

1°在整个定义域上无反函数。

2°在上的反函数称作反正切函数，

记作（奇函数）。

二、例一、（P75例四）

1、已知，2、求x（精确到）。

解：在区间上是增函数，符合条件的角是唯一的

3、已知且，4、求x的取值集合。

解：

所求的x的集合是（即）

5、已知，6、求x的取值集合。

解：由上题可知：，

合并为

三、处理《教学与测试》P127-12861课

例二、已知，根据所给范围求：

1°为锐角2°为某三角形内角3°为第二象限角4°

解：1°由题设

2°设，或

3°

4°由题设

例三、求适合下列关系的x的集合。

1°2°3°

解：1°

所求集合为

2°所求集合为

3°

例四、直角锐角A，B满足：

解：由已知：

为锐角，

四、小结、反正切函数

五、作业：P76-77练习与习题4.11余下部分及《教学与测试》P12861课练习

关于高中教案论语选读2的高中教案推荐

【教学目标】

1、掌握党、否、厌、卓尔、宜在文中的含义。理解并积累成语：斐然成章；暴虎冯河；登堂入室；杀鸡焉用牛刀；仰之弥高，钻之弥坚；循循善诱。

2、感悟孔子的人格之美以及与弟子之间感人的师生情谊。

3、结合《选读》中的其它章节，为子路画像，探讨子路与孔子的关系，深入理解孔子的人才观。

4、结合孔子师生间的关系，探讨当今时代的师生关系的特点。

【文化内涵】

1、感悟孔子的人格之美以及与弟子之间感人的师生情谊。

2、结合《选读》中的其它章节，为子路画像，探讨子路与孔子的关系，深入理解孔子的人才观。

3、结合孔子师生间的关系，探讨当今时代的师生关系的特点。

【课时建议】

三课时

教学步骤一：讲—读—品

1、文意疏通：

（1）以学生研习讨论为主，串讲重要文言词语。

（2）文意难点，需教师深化点拨。

如：5.22见《论语别裁》“公冶长五•不如归去”章节

17.4见《论语讲要》……

2、在疏通文句基础上，从诵读入手，揣摩人物语气，品味人物思想感情（重点人物：孔子、子路、颜渊、子贡等）。

教学步骤二：为子路画像

以专题研究的形式，采用小论文的体裁，以小组合作为单位进行研究性学习，学习成果以文章形式进行交流展示。

（注：关于子路形象的材料，课文中还有：第二课13.3章，第三课17.5章、17.7章，第四课18.7章，第五课5.26章，第十三课11.26章。分析子路形象时要把这些材料综合起来考虑。）

参考专题：

从个性化的人物语言分析子路性格；

子路与孔子的特殊关系；

儒学思想必须是一个社会群体思想氛围的产物，子路对孔子思想的影响；

怎样看待““门人不敬子路””？

注：《论语》表现的是一个平面：一批学生在听孔子说教。从《论语》中看不出学生年龄的大小，看不出每个人的身份面目。因此，《论语》中的众生像解读（包括孔子自己）还需联系更多《论语》之外的作品：如《史记》《孔子家书》等，又如研究子路（仲由）推荐仲大军先生《仲由子路与孔子到底是个什么关系？——对孔子教育集团成员关系的新认识》一文，颇有帮助。

等腰三角形的性质【荐】

一、教学目的

使学生掌握等腰三角形性质定理(包括推论)及其证明．

二、教学重点、难点

重点：等腰三角形的性质．

难点：文字命题的证明．

三、教学过程

复习提问

什么叫做等腰三角形？什么是等腰三角形的腰、底边、顶点和底角？

引入新课

教师演示事先备好的等腰三角形纸片对折，使两腰叠在一起，发现它的两底角重合，从而得到等腰三角形两底角相等的命题，当然此命题的真实性还需推理论证．

新课

1．等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)．

让学生回忆前面学过的文字命题证明的全过程．引导学生写出已知、求证，并且都要结合图形使之具体化．

2．推论1等腰三角形顶角平分线平分底边且垂直于底边．

从性质定理的证明过程可以知道(如图1)BD=DC，∠ADB=∠ADC，所以AD平分BC，且AD⊥BC，即得推论．

从推论1可以知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

推论2等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．

3．等腰三角形性质的应用．等腰三角形的性质有着重要的应用，一般说，利用“等腰三角形两底角相等”的性质证明两角相等；利用“等腰三角形底边上的三条主要线段重合”的性质，来证明两条线段相等、两个角相等及两条直线互相垂直；利用“等边三角形各角相等，并且每一个角都等于60°”的性质，来证明一个角是60°，或作图中通过作等边三角形，作出一个60°的角．

例1已知：如图2，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC、屋椽AB=AC．求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．

这是一道几何计算题，要使学生熟悉解计算题的步骤，引导学生写出解题过程．

小结

1．叙述等腰三角形的性质(本堂所讲定理及推论)及其应用．

2．等腰三角形顶角与底角之间的常用关系式：在△ABC中，AB=AC，则

(1)∠A=180°-2∠B=180°-2∠C；

3．已知等腰三角形一个角的度数，求其它两个角的度数：(1)若已知角是钝角或直角，则此角一定为顶角，于是由2中(2)可求出两底角；(2)若已知角是锐角，则此角可能是顶角，也可能是底角．若为前者，可按2中(2)求出两底角．若为后者，则可按2中(1)求出顶角．

练习：略

作业：略

四、教学注意问题

1．等腰三角形的性质在今后解(证)几何题中有着重要的应用，务必引起学生重视．且应反复练习．

2．几何计算题的一般解题步骤．

灯下漫笔（节选）教学设计2

教学目标

一、抓文中凝炼形象而富有力度的语句仔细揣摩，把握感情基调，领会文章情理交融的语言特色，更深入地理解文章主旨。

二、培养学生提炼语句，鉴赏语言的能力。

教学过程

一、揣摩下面含义丰富的语句，特别是要注意画线词语的理解

1．我们极容易变成奴隶，而且变了之后，还万分喜欢。

提示：“极容易”说明中国“乱”是长期的，“治”是短暂的，因此老百姓常常“想做奴隶而不得”；他们把做奴隶当作是一种奢望，甚至是一种享受，一旦有哪一位统治者满足了这一令人悲哀的要求，他们自然就“万分高兴”了。

2．只要一翻孩子所读的《鉴略》……就知道“三千余年古国古”的中华，历来所闹的就不过是这一个小玩艺。

提示：“这一个小玩艺”是指“我们极容易变成奴隶，而且变了之后，还万分喜欢”，也指后文所说的强盗官兵反复争夺天下，历史总陷入“一治一乱”的循环怪圈中，老百姓总是在“奴隶”和“下于奴隶”两种命运之间反复挣扎。

3．假如有一种暴力，“将人不当人”，不但不当人，还不及牛马，不算什么东西；待到人们羡慕牛马，发生“乱离人，不及太平犬”的叹息的时候，然后给与他略等于牛马的价格，有如元朝定律，打死别人的奴隶，赔一头牛，则人们便要心悦诚服，恭颂太平盛世。为什么呢？因为他虽不算人，究竟已等于牛马了。

提示：这段话通过打比方，愤怒地抨击了封建暴政，暴露了国民的奴性人格，讽刺所谓的“太平盛世”，不过就是一个百姓“略等于牛马”的时代，至多是一个“暂时做稳了奴隶的时代”。

4．但实际上，中国人向来就没有争到过“人”的价格，至多不过是奴隶，到现在还如此……

提示：“‘人’的价格”内涵是指老百姓不受强盗官兵的愚弄，不再沦为牛马，甚至不再是奴隶，而能够自己决定自己的命运，充分享受做人的资格，获得做人的尊严，实现当家作主的梦想。

5．中国的百姓是中立的，战时连自己也不知道自己属于哪一面，但又属于无论哪一面，强盗来了，就属官，当然该被杀掠；官兵既到，该是自家人了罢，但仍然要被杀掠，仿佛又属于强盗似的。这时候，百姓就希望有一个一定的主子，拿他们去做百姓，──不敢，是拿他们去做牛马，情愿自己寻草吃，只求他决定他们怎样跑。

提示：这段话揭示了老百姓遭受官兵蹂躏的悲惨命运，讽刺国民的麻木不仁和奴性性格，批判国民缺少反抗精神。

6．假使真有谁能够替他们决定，定下什么奴隶规则来，自然就“皇恩浩荡”了。

提示：“奴隶规则”是指“怎样服役，怎样纳粮，怎样磕头，怎样颂圣，总之，是“有一个一定的主子，拿了他们去做百姓，──不敢，是拿他们去做牛马，情愿自己寻草吃，只求他决定他们怎样跑”，并且“除了老例的服役纳粮之外”，不受“意外的灾殃”。

7．百姓是一遇到莫名其妙的战争，稍富的迁进租界，妇孺则避入教堂去了，因为那些地方都比较“稳”，暂不至于想做奴隶而不得。

提示：这段话揭示了当时的现实，仍是强盗官兵交互为祸的时代，老百姓仍处于“想做奴隶而不得”的悲惨境地。

二、总结

本文情感基调：对老百姓的深深同情；对封建历史的愤怒批判；对现实复古主义者的无情抨击；对青年的热切呼唤；对中国未来社会充满必胜的信心。为了充分表现这丰富的情感内涵，作者使用了个性化的语言，这主要表现在：1．形象性，用极为形象的语言进行高度哲理化的议论；2．概括性，把中国历史概括为两个时代，高度浓缩；3．准确性，用词准确形象，入木三分。再加上双关、反语等修辞手法和幽默、讽刺等表现手法的运用，使文章语言情理交融，富有力度。

等腰三角形的性质 万能通用篇

一、教学目的

使学生熟练地掌握等腰三角形的性质．

二、教学重点、难点

重点：等腰三角形性质的应用．

难点：添加合适的辅助线．

三、教学过程

复习提问

1．等腰三角形的性质．

2．等腰三角形的底角一定是＿角？

3．等腰三角形的底角为20°，求它的顶角度数．

引入新课

等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm的两部分，求这三角形各边的长．

学生可能利用算术的方法，计算出腰长为10底边长为1．也可能算不出来，这里教师可作如下引导：

在图1中，AB=AC，D为AB的中点(即AD=DB)，设AD=xcm，则AB=AC=2cm(中线定义)．由AC+AD=15cm，得

2x+x=15．

解得x=5，……

本题是利用列方程的方法解得的，此法对于某些几何计算题来说，简捷而有效．

新课

例2已知：图2，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度数．

分析：欲求三角形各角度数．只需求出∠A度数，把∠A度数作为一个未知数x，则∠A=∠1=x°，∠2=∠A+∠1=2x°，∠ABC=∠C=∠2=2x°．应用三角形内角和定理于△ABC，求出方程所对应的几何等式：∠A+∠ABC+∠C=180°，即可得出关于x的方程．

例3已知：如图3，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．

通过分析使学生发现，要作AF⊥BC即底边上的高这条辅助线(这是证明的关键所在)，并告诉学生这是等腰三角形中一种常见的辅助线．利用这条辅助线就很容易证得结论．并说明，这是利用等腰三角形的“三线合一”性质来证明的题目．

小结

1．列方程解几何计算题是几何计算题的一种重要解法，在这种解法中，寻求几何等式(如例2中∠A+∠ABC+∠C=180°)是基础，把几何等式的各项转化为未知数x的代数式是关键(如∠A=x°，∠ABC=∠C=2x°)．

2．对于等腰三角形的”三线合一”性要灵活运用．

练习：略

作业：略

思考题：例3中辅助线改为△ABC的顶角平分线AF，写出证明过程．

四、教学注意问题

1．等腰三角形性质的灵活、综合应用，防止依赖于全等三角形证明线段或角相等的思维定势．

2．要防止“三线合一”性在应用中出现的错误．

圆心角弧弦弦心距之间的关系 万能通用篇

教学目标

1．使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；

2．使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题；

3．培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律．

教学重点和难点

圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点．

教学过程设计

一、创设情景，引入新课

圆是轴对称图形．圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题．今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性．

1．动态演示，发现规律

投影出示图7－47，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转180°后．问：

(1)结果怎样？

学生答：和原来的平行四边形重合．

(2)这样的图形叫做什么图形？

学生答：中心对称图形．

投影出示图7－48，并动态显示：⊙O绕圆心O旋转180°．由学生观察后，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．

投影继续演示如图7－49，让直径AB两个端点A，B绕圆心旋转30°，45°，

90°，让学生观察发现什么结论？

得出：不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合．

进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度α，你发现什么？

学生答：仍然与原来的图形重合．

于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性．即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合．

2．圆心角，弦心距的概念．

我们在研究圆的旋转不变性时，⊙O绕圆心O旋转任意角度α后，出现一个角

∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图7－50．(如有条件可电脑闪动显示图形．)

在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上．

在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书．

顶点在圆心的角叫做圆心角．

再进一步观察，AB是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是AB所对的弦．请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么？

学生答：过圆心O作弦AB的垂线．

在学生回答的基础上，教师指出：点O到AB的垂直线段OM的长度，即圆心到弦的距离叫做弦心距．如图7－51．(教师板书定义)最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系．(引出课题)

二、大胆猜想，发现定理

在图7－52中，再画一圆心角∠A′OB′，如果∠AOB=∠A′OB′，(变化显示两角相等)再作出它们所对的弦AB，A′B′和弦的弦心距OM，OM′，请大家大胆猜想，其余三组量与，弦AB与A′B′，弦心距OM与OM′的大小关系如何？

学生很容易猜出：=，AB=A′B′，OM=OM′．

教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢？

学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到=，怎样证明弧相等呢？

让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么？

学生：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．

请同学们想一想，你用什么方法让和重合呢？

学生：旋转．

下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明=．

把∠AOB连同旋转，使OA与OA′重合，电脑开始显示旋转过程．教师边演示边提问．

我们发现射线OB与射线OB′也会重合，为什么？

学生：因为∠AOB=∠A′OB′，

所以射线OB与射线OB′重合．

要证明与重合，关键在于点A与点A′，点B与点B′是否分别重合．这两对点分别重合吗？

学生：重合．

你能说明理由吗？

学生：因为OA=OA′，OB=OB′，

所以点A与点A′重合，点B与点B′重合．

当两段孤的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢？

学生：与重合，弦AB与A′B′重合，OM与OM′重合．

为什么OM也与OM′重合呢？

学生：根据垂线的唯一性．

于是有结论：=，AB=A′B′，OM＝OM′．

以上证明运用了圆的旋转不变性．得到结论后，教师板书证明过程，并引导学生用简洁的文字叙述这个真命题．

教师板书定理．

定理：在同圆____中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．

教师引导学生补全定理内容．

投影显示如图7－53，⊙O与⊙O′为等圆，∠AOB=∠A′O′B′，OM与

O′M′分别为AB与A′B′的弦心距，请学生回答与．AB与A′B′，OM与O′M′还相等吗？为什么？

在学生回答的基础上，教师指出：以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同圆．(投影显示叠合过程)

这样通过叠合，把等圆转化成了同圆，教师把定理补充完整．

然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：

定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得出其余三组量相等．请同学们思考，在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗？如何证明？

在学生讨论的基础上，简单地说明证明方法．

最后，教师把这四个真命题概括起来，得到定理的推论．

请学生归纳，教师板书．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

三、巩固应用、变式练习

例1判断题，下列说法正确吗？为什么？

(1)如图7－54：因为∠AOB=∠A′OB′，所以AB=．

(2)在⊙O和⊙O′中，如果弦AB=A′B′，那么=．

分析：(1)、(2)都是不对的．在图7－54中，因为和不在同圆或等圆中，不能用定理．对于(2)也缺少了等圆的条件．可让学生举反例说明．

例2如图7－55，点P在⊙O上，点O在∠EPF的角平分线上，∠EPF的两边交⊙O于点A和B．求证：PA=PB．

让学生先思考，再叙述思路，教师板书示范．

证明：作OM⊥PA，ON⊥PB，垂足为M，N．

把P点当做运动的点，将例2演变如下：

变式1(投影打出)

已知：如图7－56，点O在∠EPF的平分线上，⊙O和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D．

求证：AB=CD．

师生共同分析之后，由学生口述证明过程．

变式2(投影打出)

已知：如图7－57，⊙O的弦AB，CD相交于点P，∠APO=∠CPO，

求证：AB=CD．

由学生口述证题思路．

说明：这组例题均是利用弦心距相等来证明弦相等的问题，当然，也可利用其它方法来证，只不过前者较为简便．

练习1已知：如图7－58，AD=BC．

求证：AB=CD．

师生共同分析后，学生练习，一学生上黑板板演．

变式练习．已知：如图7－58，=，求证：AB=CD．

四、师生共同小结

教师提问：

(1)这节课学习了哪些具体内容？

(2)本节的定理和推论是用什么方法证明的？

(3)应注意哪些问题？

在学生回答的基础上，教师总结．

(1)这节课主要学习了两部分内容：一是证明了圆是中心对称图形．得到圆的特性——圆的旋转不变性；二是学习了在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距之间的关系定理及推论．这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据．

(2)本节通过观察——猜想——论证的方法，从运动变化中发现规律，得出定理及推论，同时遵循由特殊到一般的思维认识规律，渗透了旋转变换的思想．

(3)在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件．

五、布置作业

思考题：已知AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD的弦心距，如果AB＞CD，那么OM和ON有什么关系？为什么？

板书设计

课堂教学设计说明

这份教案为1课时．

如果内容多，部分练习题可在下节课中处理．

——摘自《初中几何教案》

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